高数 三重积分
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
高数下9.3三重积分及其计算
1, 2在xoz面上的投影区域D1, D2分别为:
D1: 0zx2, 0x1;
关于y的变化范围: 在D1上:
D2: x2zx2+1, 0x1. 0 0.25 0.5 0.75 1
z
2
0y1;
1.5
在D2上: z x2 y 1.
D2
1
0.5
所以,
o
01dx01dy0x2 y2 f ( x, y, z)dz
然后再把它化为三次积分来计算.
积分次序一般是先z次r后 . 积分限是根据 z, r, 在积分区域中的变化范围来
截面法的一般步骤:
(1) 把积分区域 向某轴(例如 z 轴)投影, 得投影
区间[c1, c2]; (2) 对z[c1, c2]用过 z 轴且平行xoy面的平面去截
, 得截面D(z);
(3) 计算二重积分 D(z) f ( x, y, z)dxdy, 其结果为 z
的函数F(z);
(4)
最后计算单积分
c2
f
(
x,
y,
z)dz
为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy
上的密度函数.
由三重积分的物理意义,
z
若将f(x, y, z)理解为闭区域
z=z2(x, y)
上的体密度函数, 那么三重积
分
f ( x, y, z)dv
表示空间物体的质量M.
o
a
则函数F(x, y)可以理解为压缩 b
在平面薄片Dxy上的密度函数. x
o
故 z2dv cc z2dzD(z) dxdy
y
ab
cc
z 2 (1
z2 c2
)dz
高数同济六版D103三重积分
通过选取特定的节点和权系 数，使得数值积分具有更高 的代数精度和更好的稳定性。
数值方法在求解复杂三重积分中应用
1 2 3
适应性网格划分
根据被积函数的特性，自适应地划分积分区域， 使得在函数变化剧烈的区域采用更细的网格，提 高计算精度。
蒙特卡罗方法
通过随机抽样估计三重积分值，适用于高维、复 杂积分区域的计算，但计算结果的精度与抽样次 数和随机数生成质量有关。
通过投影法或截面法，可以将三重积分转化为二重积分进行计算。
二重积分与三重积分在解决实际问题时常常相互转换，如计算物体体积、质量等。
与曲线曲面积分关系及转换方法
三重积分与曲线积分、曲面积分 之间有着密切的联系，它们都是 研究多元函数积分学的重要内容。
在一定条件下，三重积分可以转 化为曲线积分或曲面积分进行计
划分微元
将积分区域Ω划分为n个小立方体，每个小立方体的边长分 别为dx, dy, dz，小立方体的体积为dV=dx×dy×dz。
三重积分表达式
对于被积函数f(x,y,z)，其在积分区域Ω上的三重积分可以表 示为∭f(x,y,z)dV，其中积分号∭表示三重积分，dV表示体积 微元。
计算步骤
先对z进行积分，再对y进行积分，最后对x进行积分。即 ∭f(x,y,z)dV=∫[a,b]dx∫[c,d]dy∫[e,f]f(x,y,z)dz，其中[a,b]、 [c,d]、[e,f]分别为x、y、z的积分上下限。
高维数值积分方法
将高维积分转化为一系列一维积分的组合，利用 一维数值积分方法进行计算，降低计算复杂度。
误差分析和收敛性判断
误差来源分析
分析数值积分过程中产生的各种误差来源，包括截断误差、 舍入误差、模型误差等，为后续的误差控制和收敛性判断 提供依据。
高数---第3讲 三重积分的计算
第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
三重积分函数 奇点
三重积分函数奇点
在进行三重积分时，我们需要考虑函数的奇点。
奇点是指函数在某些点上无定义或者不连续的点。
在三重积分中，奇点可以分为两种情况，第一种是函数在积分区域内的某些点上无定义，第二种是函数在积分区域内的某些点上不连续。
对于第一种情况，即函数在积分区域内的某些点上无定义，我们需要将积分区域进行分割，将包含奇点的子区域排除在外，只对定义良好的区域进行积分。
这样可以避免在奇点处出现积分结果的发散或者无穷大的情况。
对于第二种情况，即函数在积分区域内的某些点上不连续，我们需要将积分区域进行分割，将包含不连续点的子区域分开考虑。
对于每个子区域，我们可以分别计算积分，然后将结果相加得到整个积分的结果。
需要注意的是，对于奇点的处理需要根据具体函数的性质来确定。
有些函数的奇点是可积的，可以通过一些特殊的积分技巧来处理。
而有些函数的奇点是不可积的，此时我们需要通过其他方法来求解积分，例如使用数值积分等近似方法。
总结起来，处理三重积分函数的奇点需要将积分区域进行合理的分割，将包含奇点的子区域排除或者分开考虑，根据具体函数的性质选择适当的积分方法，以得到准确的积分结果。
第九章 重积分(二重和三重)高数课件
其中Ω 其中Ω 所围立体. 所围立体
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤ θ ≤ 2π
∴
r=R
∫∫∫Ω
3. 三重积分的计算
(1) 投影法 (“先单后重”) 先单后重” 先单后重
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
关键：正确的判断上、下曲面 关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域. 找对投影区域
2011-2012学年高等数学第二学期期 中考试说明
• 题型： 题型： 个小题）； 个小题）； 一、填空题（5个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、 填空题（ 个小题）；二 选择题（ 个小题）；三 计算题（ 个小题）；四 计算题（ 个小题）；五 个小题）； 个小题）； 计算题（ 5个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计 算与解答题（ 个小题）；六 证明题（ 个小题 个小题）； 个小题）。 算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（ 1个小题）。 • 考试时间： 考试时间： 2012年5月4日（第10周周五）下午 ：00－6：00 年 月 日 周周五） 周周五 下午4： － ： • 考试地点： 考试地点： 化学工程与工艺6班 制药工程 化学工程与工艺 班、制药工程1—2班： 24-303 班 生物工程1—2班：24-305 班 生物工程
2π
2 h
h
x
o
y
例. 计算三重积分
其中Ω 其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体. 成半圆柱体
大一高数知识点总结完整版
大一高数知识点总结完整版导言：大学高级数学（简称高数）是一门对很多理工科学生来说非常重要的课程。
在大一期间，我们学习了高数的基础知识，这些知识对我们后续学习进一步的数学课程以及其他学科都有很大帮助。
下面将对大一高数的几个重要知识点进行总结，以便于我们复习巩固。
1. 一元函数的极限和连续性1.1 函数的极限：介绍了函数极限的概念、定义和性质。
包括左极限和右极限，无穷大极限等。
1.2 连续性：介绍了函数连续性的概念，以及一些函数连续性的判定方法，如闭区间上的连续函数必定有界。
1.3 中值定理：包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，讲述了函数导数和函数性质之间的关系。
2.1 导数的定义：介绍了导数的定义和性质，导数的图形意义以及几何意义。
2.2 导数的四则运算法则：讲述了求和、差、积和商的函数的导数的法则。
2.3 高阶导数：介绍了导数的概念，如一阶导数、二阶导数等。
2.4 微分：讲述了微分的定义、性质和微分形式。
3. 微分中值定理和泰勒级数3.1 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理：介绍了导数中值定理的概念和应用。
3.2 泰勒级数：讲述了泰勒级数的概念、性质以及泰勒展开公式的推导。
4.1 不定积分的定义和常用公式：介绍了不定积分的定义和性质，以及一些基本的不定积分公式。
4.2 定积分和变量替换法：讲述了定积分的概念和性质，以及变量替换法在定积分中的应用。
5. 定积分的应用5.1 平均值、面积和弧长：介绍了定积分在求函数平均值、曲线下面积和弧长等方面的应用。
5.2 微分方程的应用：讲述了定积分在求解微分方程的问题中的应用。
6. 多元函数的极限与连续性6.1 多元函数的极限：讲述了多元函数的极限的定义和判定方法。
6.2 多元函数的偏导数：介绍了多元函数的偏导数的定义和计算方法。
6.3 多元函数的连续性：讲述了多元函数的连续性的概念和性质。
7. 重积分7.1 二重积分：介绍了二重积分的定义和性质，以及二重积分的计算方法。
高数定积分公式大全
高数定积分公式大全高数定积分，又称定积分或定性积分，是在高等数学中一种重要的概念，它能够用来求解许多复杂的和高度不确定的定积分问题，发挥着非常重要的作用。
在利用定积分解决问题时，需要利用一系列的定积分公式，以完成对各种复杂函数的考察和计算。
在数学及其应用科学领域中，高数定积分的应用场景十分广泛，由于其丰富的定积分公式，使得它能够成功地解决各种复杂的定积分问题。
这些定积分公式可以分为三类：边界公式、普遍公式和变换公式三类。
一、边界公式：边界公式是对定积分中表达式的特殊情况进行求解时的有效的简化方法，常见的边界公式有二重定积分的边界公式，三重定积分的边界公式以及变量偏导数的边界公式等。
1、二重定积分的边界公式：其中，∮∫f(x,y)dydx的解是：①当f(x,y)=h(x)g(y)时，∮∫h(x)g(y)dydx=∫h(x)dx∫g(y)dy②当f(x,y)=h(y)g(x)时，∮∫h(y)g(x)dydx=∫h(y)dy∫g(x)dx2、三重定积分的边界公式：其中，∮∫∫f(x,y,z)dzdydx的解是：当f(x,y,z)=h(x)g(y)j(z)时，∮∫∫h(x)g(y)j(z)dzdydx=∫h(x)dx∫g(y)dy∫j(z)dz3、变量偏导数的边界公式：其中，z/xy解是：当f(x,y,z)=h(x)g(y)j(z)时，（z/xy =/x (∫h(x)dx∫g(y)dyj(z))而边界条件有：①y为常数时，（z/xy = (j(z)/x)②x为常数时，（z/xy = (h(x)/x)二、普遍公式：普遍公式又称常规公式，它是一般情况下定积分的解决方案，例如，1、∮∫f(x,y)dydx =[∫f(x,y)dy]dx2、∮∫∫f(x,y,z)dydzdx =[∫[∫f(x,y,z)dz]dy]dx3、（z/xy =/x (∫[∫f(x,y)dy]dx)三、变换公式：变换公式指的是将定积分解决方案中的某些变量或变量对进行变换，例如，1、∮∫[f(u,v)]dudv=∫[∫[f(u,v)du]dv]2、（z/xy =/x (∫[∫f(u,v)dv]du)3、∮∫[f(λ,μ)]dλdμ=∫[∫[f(λ,μ)dμ]dλ]以上就是定积分公式大全，上述定积分公式可以用于解决许多复杂的定积分问题，它们对解决复杂的定积分问题起到了非常重要的作用。
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易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积 分容易计算时，用截面法较为方便，
尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时
dxdy D( z )
就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、 正方形等，面积较易计算
z
例1 将 其中 为长方体，各边界面 平行于坐标面。
均为非负函数
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法 方法1. 投影法【 “先一后二” ;“丝丝吃法”】
d xd y
D
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
方法2. 截面法【“先二后一” ;“片片吃法”】
( x, y)
D
f ( x , y , z )dv c dy x1 ( y ) dx z1 ( x , y ) f ( x , y , z )dz.
z2 ( x , y )
方法2. 截面法【“先二后一” ;“片片吃 法”】 z 1) 选择恰当的投影轴：Prj oz : [a, b] b
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方法1. 投影法 (“先一后二”切条 法) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
D
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
D : y1 ( x ) y y2 ( x ),
a x b,
f ( x , y , z )dv dx
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
思考题
( A)
( B)
2
0
dx
1
2
(C )
( D)
0 2
dx
x 2 2 x 2 2
dy f ( x , y , z )dz;
2
x
0
2
dx
1 1
dy f ( x , y , z )dz;
2 2
x
0
dx
x 2 2x 2 2
1
dy f ( x , y , z )dz;
2) z [a , b] ，过中z作生命面（截面） 穿过积分域 ，认清截面 3) “先二后一” 地计算：
c2
z a
Dz
f ( x , y , z )dv dz c D( z )
1
x f ( x , y , z )dxdy
y
具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
d z
a
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
两种方法各有特点, 具体计算时应根据 被积函数 及积分域（重积分两要素）的特点灵活选择.
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方法1. 投影法【“先一后二” ;“丝丝吃 法 ”】 z 1) 选 择 恰 当 的 投 影 面 ，
如 闭 区 域 在 xoy 面 上的投影为闭区域 D,
此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这 种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介 绍的柱坐标系下的计算法
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分） 在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
选择题: 为六个平面 x 0， x 2， y 1， x 2 y 4， z x ， z 2围成的区域， f ( x , y , z ) 在 上连续， 则累次积分 D f ( x , y , z )dv .
1
I 2 f ( x , y , z )dv
2 ( x , y, z ) | ( x , y, z , y 0)
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
x y z 例4 计算 z dv , : 2 2 2 1 a b c
2
2
2
2
例5
2 2 dxdydz , : z x y ,z 1
其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同
若极限存在，则称函数可积
若函数在闭区域上连续，则一定可积
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 中值定理： 在有界闭域 上连续,V 为 的体积,则存在 ( , , ) , 使得
f ( x, y, z ) d v f ( , , )V
记作
a
b
b
DZ
f ( x, y , z ) d x d y d z
a d z D
f ( x , y , z )d x d y
Z
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f ( x, y , z )
f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) 2 2 f1 ( x, y, z ) f 2 ( x, y, z )
第十章
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
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一、三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广 到空间区域，被积函数推广到三元函数 ，就得到三重积分的定义
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
f ( x , y , z )dV [ f ( x , y , z )dz]d
dx dy f ( x , y , z )dz
a c l
D b l
m
d
m
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
二、在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积为 V xyz 故在直角坐标系下的体积元为 dV dxdydz 三重积分可写成
f ( x , y , z )dV f ( x , y , z )dxdydz
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 可得
n
近似和, 求极限”
lim ( k , k , k )vk M 0
k 1
v k
( k , k , k )
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定义 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上 的有界函数，将闭区域 任意分成 n个小闭区域 v1，v2 ,, v n ，其中 vi 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的体积, 在每个 vi 上任取一点 ( i 1,2,, n) ， ( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) vi ， 并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为 函数 f ( x , y , z )在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z )dv ,
对 I f ( x , y , z )dv
① 若 关于 xoy 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv
z z2 ( x , y )
2) ( x , y ) Dxy
过点( x, y) D 作生命线 ,
a
z z1 ( x, y )
o
D ( x, y)
y y1 ( x )
y
y y2 ( x )
认清入口曲面 和出口曲面 ：
b
x
3） “先一后二” 地计算：
d xd y
x
dy f ( x , y , z )dz.
x
2
例1 将
其中 为长方体，各边界面平行于坐标面 解 将 投影到xoy面得D，它是一个矩形 在D内任意固定一点（x ,y)作平行于 z 轴的直线
f ( x , y , z )dV
化成三次积分
交边界曲面于两点，其竖坐标为l 和m（l < m)
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算
先假设连续函数 f ( x, y, z ) 0 , 并将它看作某物体 的密度函数 ,通过计算该物体的质量引出下列各计算