高等数学第九章(三重积分
高等数学§9.3.1-2三重积分的计算
例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz
高等数学中的三重积分与曲面积分
高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。
一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。
它可以看作是二重积分的推广。
三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。
一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每个小立方体进行求和来实现。
具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
这种方法称为立体分割法。
在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。
具体地，我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。
柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。
它可以看作是线积分的推广。
曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。
一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。
第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。
三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
三重积分圆柱法公式
三重积分圆柱法公式三重积分圆柱法公式，这可是高等数学中的一个重要知识点。
对于很多同学来说，一听到“三重积分”这几个字，可能就会觉得头大。
但别担心，咱们今天就来好好聊聊这个圆柱法公式，把它变得简单易懂。
先来说说啥是三重积分。
想象一下，咱们有一个三维的空间区域，就像是一个立体的大盒子，里面充满了各种各样的东西。
我们想要知道这个区域里这些东西的总量，这时候就用到三重积分啦。
而圆柱法公式呢，就像是我们在这个立体盒子里找东西的一个特别工具。
给大家讲个我自己教学时候的事儿。
有一次上课，我在黑板上写下三重积分圆柱法公式，然后问同学们：“这看起来是不是有点复杂？”结果有个同学大声说：“老师，这不是有点复杂，这是非常复杂！”全班哄堂大笑。
其实啊，这个公式看起来复杂，但是咱们把它拆解一下，就会发现也没那么可怕。
咱们先来看圆柱坐标系是啥。
它就是把咱们熟悉的直角坐标系换了个“马甲”。
在圆柱坐标系中，一个点的位置用(r, θ, z) 来表示。
r 表示点到 z 轴的距离，θ 表示绕 z 轴旋转的角度，z 就是高度。
那三重积分圆柱法公式到底长啥样呢？它是：∫∫∫ f(r, θ, z) r dr dθ dz 。
这里面的 r 可别忽略啦，它是个关键。
因为有了它，在计算积分的时候，就像是给我们的计算过程加了个“助推器”。
比如说，我们要计算一个圆柱体内部的某个物理量的总和。
如果用直角坐标系，那计算量可大了去了。
但要是用圆柱坐标系，结合圆柱法公式，就会简单很多。
咱们来具体做个例子感受一下。
假设我们要计算一个半径为 R，高度为 H 的圆柱体，里面的函数是f(r, θ, z) = r^2 + z 。
首先，确定积分的上下限。
r 的范围是从 0 到 R，θ 的范围是从 0 到2π，z 的范围是从 0 到 H。
然后，把函数代入圆柱法公式进行计算。
这一步就需要我们细心认真，一步一步来，可不能着急。
经过一番计算，就能得出最终的结果啦。
在学习这个公式的过程中，大家一定要多做练习题。
高等数学三重积分
I=
∫∫ dxdy ∫
D
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
=
∫
4
0
dx ∫
4− x
0
dy ∫
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
. .
Ω
y
y=0
x+ y = 4
1
.
D
o
4
x
8. 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
x y z 所围区域。 Ω : 抛物柱面 2 y = x和平面 + + = 1, z = 0 所围区域。 4 2 2
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
6 x+y+z=6
3x+y=6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
D
f ( x , y , z )dz
。
y
y= x
y2=x
y=0
.
Ω
0
D
π
o
y
2
x
z=0
三重积分的坐标系和坐标变换
三重积分的坐标系和坐标变换三重积分是高等数学中重要的内容之一，它在实际应用中经常被用到。
三重积分的计算与坐标系和坐标变换不可分割，这篇文章将探讨三重积分的坐标系和坐标变换的重要性及其计算方法。
一、坐标系坐标系是数学中一种很重要的概念，是用来描述物体在空间中位置的一种方法。
三维空间中常用直角坐标系，极坐标系和柱面坐标系。
其中直角坐标系是最常用的。
1. 直角坐标系三维空间中的直角坐标系就是我们常见的“立体直角坐标系”。
分别以 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴为三个坐标轴，它们的正半轴的轴向成 $120^{\circ}$ 的夹角。
直角坐标系中的坐标点表示为$(x,\,y,\,z)$，它表示在 $x$ 轴正半轴上走 $x$ ，在 $y$ 轴正半轴上走 $y$ ，在 $z$ 轴正半轴上走 $z$ 后所到达的点。
2. 极坐标系极坐标系常用于描述二维空间中的点，但它同样适用于描述三维空间中的点。
极坐标系的坐标是 $(r,\,\theta,\,\varphi)$，其中$r$ 表示该点到原点的距离，$\theta$ 表示该点到 $x$ 轴正半轴的极角，$\varphi$ 表示该点到 $z$ 轴正半轴的方位角。
在极坐标系中，点的坐标用球面坐标来表示。
3. 柱面坐标系柱面坐标系常用于描述宽度不大的物体，这种坐标系中的点被表示为 $(r,\,\theta,\,z)$。
其中 $r$ 表示该点到 $z$ 轴的距离，$\theta$ 表示该点到 $x$ 轴正半轴的极角，$z$ 表示该点到 $xy$ 平面的距离。
二、坐标变换坐标变换是指从一个坐标系转变为另一个坐标系。
坐标变换的目的是为了简化问题、匹配实际应用，使得坐标系变得更加适用。
1. 直角坐标系转极坐标系若要将坐标 $(x,\,y,\,z)$ 转换成极坐标系坐标$(r,\,\theta,\,\varphi)$，我们应该通过以下公式获得：$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\,\theta=\arctan\frac{y}{x},\,\varphi=\arcc os\frac{z}{r}$$2. 直角坐标系转柱面坐标系若要将坐标$(x,\,y,\,z)$ 转换成柱面坐标系坐标$(r,\,\theta,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$r=\sqrt{x^2+y^2},\,\theta=\arctan\frac{y}{x},\,z=z$$3. 极坐标系转直角坐标系若要将坐标 $(r,\,\theta,\,\varphi)$ 转换成直角坐标系坐标$(x,\,y,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$x=r\sin\varphi\cos\theta,\,y=r\sin\varphi\sin\theta,\,z=r\cos\varphi $$4. 柱面坐标系转直角坐标系若要将坐标$(r,\,\theta,\,z)$ 转换成直角坐标系坐标$(x,\,y,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta,\,z=z$$三、三重积分计算方法三重积分是在三维空间中计算物体的体积、重心、惯量等物理量的一种数学方法。
重积分知识点
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
高等数学9-3
化三重积分 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz 为直角坐标下
z
的三次积分。 的三次积分。
1） 是由曲面 y = 0, y = ） z = 0, x + z = 1 围成 0 ≤ z ≤ 1 x 解 : 0≤ y ≤ x 0≤ x≤1
x
z = 1 x
y=0
x
o
y
z=0
y
y= x
c
x o
y
∫c dz ∫∫ f ( x , y, z )dxdy
D( z )
d
先重后定
- 12 -
第三节
三重积分
例4
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
z 2dxdydz , 其中 是由曲面 计算三重积分∫∫∫
z=
围成的闭区域。 x 2 + y 2 , z = 1, z = 2 围成的闭区域。
z
π
2
d ∫0
2cos
ρ d ρ ∫0 zdz
2
x
y
z =0
=
4a2 π 3
ρ = 2cos
x
∫0
2
8 3 cos d = a 9
3
- 17 -
o
第三节
三重积分
例6 计算三重积分
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
其中 其中由
z = x2 + y2 , z = 2 x2 y2 所围成 . 抛物面
解: : 0 ≤ 0≤ x ≤1 ∴ ∫∫∫ xd xd yd z
z
y ≤ 1 (1 x) 2
o
z = 1 x 2y
∫0
1
1 2(1 x)
1x2 y
三重积分的体积计算问题
三重积分的体积计算问题三重积分是高等数学中的一个重要概念，它是对三维空间内的某一物理量进行计算的方法之一。
而在实际应用中，三重积分的体积计算问题也经常被人们所关注。
在本文中，我将探讨三重积分的体积计算问题，并结合一些具体例子，阐述三重积分在实际计算中的应用。
一、三重积分的定义在了解三重积分的体积计算问题之前，先让我们回顾一下三重积分的基本定义。
三重积分是对三维空间内某一物理量进行计算的一种方法。
它的定义可以表示为：$$\iiint\limits_D f(x,y,z) \mathrm{d}V$$其中，$D$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示要计算的物理量，$\mathrm{d}V$ 表示体积微元。
在三重积分中，积分区域 $D$ 可以是任何形状的三维空间区域，如长方体、球体、圆柱体、锥形等等。
二、三重积分的体积计算方法在三重积分中，如果要计算一个区域 $D$ 所包含的体积，可以使用以下公式：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V$$这个公式的意思就是对积分区域 $D$ 中的所有体积微元$\mathrm{d}V$ 进行累加，从而得到整个区域 $D$ 的体积。
当积分区域 $D$ 为长方体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\int_a^b \int_c^d \int_p^q\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$其中 $a、b、c、d、p、q$ 分别为长方体的六个面的坐标值。
当积分区域 $D$ 为球体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^rr^2 \sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r$$其中，$\theta$ 和$\phi$ 分别为球面坐标系中的极角和方位角，$r$ 为球体的半径。
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分析 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)d。v故只需计算三重积分即可。而积分
区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。
解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为
M(x, y, z)dv(xyz)dxdydz
1
11
dxdy(xyz)dz
1
1
1
dx (xy )dy
2.可加性： f(x, y, z)dvf(x,y,z)d vf(x,y,z)dv
12
1
2
3. 的体积：V dv
4. 单调性：若 在上，f(x ,y ,z)g (x ,y ,z)，则
f(x, y,z)d vg(x, y,z)dv
3
5．估值性质： m f( x ,y ,z ) M ,( x ,y ,z ) , 则
第九章 重积分
三重积分
1
三重积分
一、三重积分的概念
1．定义:
n
f(x ,y,z)d v l i0im 1f( i, i, i) vi
2．物理意义: M(x, y, z)dv 表示体密度为(x, y, z)的空间物体 的质量。
2
二、三重积分的性质
1.线性性质：
[ f(x, y,z)g(x, y,z)d ] v f(x ,y,z)d v g (x ,y,z)dv
11
12
利用直角坐标计算
利用柱面坐标计算
确定 D x y 上顶曲面 z h2 ( x, y) 下顶曲面 z h1( x, y)
确定
Dxy
1()
2()
上顶曲面 z z2 ( , ) 下顶曲面 z z1( , )
2 利用球面坐标计算
:1() 2()
r1(,) r() r2(,)
7
解题方法流程图
I f(x,y,z)dv D
fg(x2y2z2) Yes 投影为圆域
3 先二后一的方法
求D1及截面面积S ( z ) 求 c1,c2
I c2 g(z)S(z)dz c1
No Yes
f(x,y,z)g(z)
No 1 先一后二的方法
f g(x2y2) 为柱
No
或 投影为圆域
Yes
D
z 1 (x ,y )
（2）“先二后一”法若 { x ,( y ,z ) |c 1 z c 2 ,( x ,y ) D z }
其中 D z 是竖坐标为 z的平面截 闭区域所得到的一个
平面闭区域，则
f(x,y,z)dxd y c2d dzzf(x,y,z)dxd
c1
D z
5
2．利用柱面坐标计算
3．利用球面坐标计算
若 { r , , ( ) | r 1 ( , ) r r 2 ( , ) 1 ( ) , 2 ( ) , }
则 f(x, y, z)dxdydz
f ( r s ic n o ,r ss isn i,r n c o )r 2 s id n d r d
0
00
0
0
2
1(1
y
1 )dx
3
02
22
10
【例2】
计算三重积分
(1dxxdyydz)z3。其中
为平面
x
0
，
y 0，z 0，xyz1，所围成的四面体。
分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应
考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路111的方法计算。
（2）质心
x
1 M
xdv，y
1 M
ydv Leabharlann ，z1 Mzdv
（3）转动惯量 Ix (y2z2)dv Iy (x2z2)dv
Iz (x2y2)dv
9
六、典型例题
【例1】设有一物体，占有空间闭区域 { ( x ,y ,z ) |0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 } 在点(x, y, z)处 的密度为 (x ,y,z)xyz，计算该物体的质量。
4
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f(x, y,z)d vf(x, y,z)dxdydz
（1）“先一后二”法若D为在xoy面上的投影区域
{ x ,y , ( z ) |z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y ) ( x , , y ) D }
则
f(x ,y ,z )dx dd yx d z 2 (x d ,y z )f(y x ,y ,z )dz
dvr2sindddr
转化为三次积分
I dxdy h2(x,y) fdz
Dxy
h1(x,y)
I dxdy z2(,) fdz
Dxy
z1(,)
8
五、重积分的应用
1．几何应用
空间立体
的体积: V dv V f(x,
y) d
D
曲面的面积: A 1zx2zy2dxdy
2．物理应用
D
（1）质量 M(x, y, z)dv
若 { , , z ) ( | z 1 ( , ) z z 2 ( , ) 1 ( ) , 2 ( ) , }
则 f (x ,y ,z ) dx df ( y cd o ,z ss i,z ) n d d dz
d 2 ( )d z2 ( , )f( c o , s i,n z) dz 1 ( ) z1 ( , )
d 2 ( ) d r 2 ( , ) f ( r s i cn ,o r s s i s n , i r c n ) o r 2 s s d in
1 ( ) r 1 ( , )
6
四、三重积分的解题方法
计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数 f(x, y, z)和积分区域 所具有的特点。如果被积函数 f(x ,y,z)g (x 2y2 z2) 积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数 f(x,y,z)g(z)，则可采用先二后一法计算；如果 被积函数 f(x,y,z)g(x2y2)，积分区域为柱或的投影 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：
mV f(x, y, z)dvMV
6. 中值定理：设函数 f(x, y,z)在闭区域 上连续，V是 的体积，则在上至少存在一点(, ,)，使得
f(x, y,z)d vf(, ,)V
7.奇偶对称性：
0
f(x, y,z)d v
2 fdv
1
关于xoy面对称，f(x, y,z)为z的奇函数 关于xoy面对称，f(x, y,z)为z的偶函数