高等数学(下册)第八章：三重积分
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高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结定义与表示：三重积分是对三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV。
其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
性质：线性性质：被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面；函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差。
可加性质：如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G 上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
估值性质：设M、m 分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值，V为G的体积，则有mV≤≤MV。
计算方法：直角坐标系法：适用于被积区域Ω不含圆形的区域。
具体方法包括先一后二法（投影法）和先二后一法（截面法）。
柱面坐标法：适用被积区域Ω的投影为圆时。
具体方法依具体函数设定。
球面坐标法：适用于处理涉及球形或类似形状的积分区域。
坐标变换：在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
应用：物理学：用于计算物体的质量、电荷和能量等物理量的分布。
工程学：用于计算复杂结构的体积和材料用量等。
经济学：用于分析多维经济模型。
求解步骤：确定积分区域和函数。
选择适当的坐标系进行积分。
写出三重积分的表达式。
根据所选坐标系进行坐标变换和简化。
进行积分运算并求解。
综上所述，三重积分是一个涉及多个方面的概念，包括其定义、性质、计算方法、坐标变换以及应用等。
理解和掌握这些知识点对于深入学习和应用三重积分至关重要。
三重积分 ppt课件
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
ppt课件
10
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
ppt课件
14
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
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因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
三重积分计算--课件
化三重积分为三次积分
计算三次积分
z1 ( x, y) z z2 ( x, y) 用平行于z 轴的直线穿Ω
(2) 将三重积分化为三次积分:
dxdy
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
(3) 计算三次积分.
例1 计算三重积分
平面x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
三重积分的计算(一)
回顾:
在求密度分布不均匀几何体质量的过程中， 推导出了三重积分的定义：
d (T ) 0
lim
f ( , ,
k 1 k k
n
k
)Vk f ( x, y, z )dV
三重积分的计算
计算三重积分 I f ( x, y, z )dV 其中:Ω为关于z轴的
1
xy
d
z
z2 ( x, y)
d [
Dxy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]
平面薄片的面 密度
z1 ( x, y)
( x, y )
压缩后平面 薄片的质量
O
y
d
先一后二投影法
x
Dxy
投影法计算三重积分的计算步骤 (1) 用不等式表示积分区域 a xb 将Ω投影到xOy 面得Dxy Dxy : y1 ( x) y y2 ( x) :
1 x 2 y
0
xdz x d x
0
1
0
1 x 2 y
dz
1 (1 x ) 2
1 1 1 2 3 (1 x 2 y )d y ( x 2 x x )d x 4 0 48
三重积分 ppt课件
当 0时， 和总趋于确定的极限 I ，
则称此极限I 为函数 f (x,y,z)在区域Ω上的三重积分5 .
被积函数
n
记为
f ( x, y, z)dv
lim 0 i1
f ( xi , yi , zi )vi
积分区域 积分变量
体积元素
PPT课件
注：1、被积函数 f (x,y,z) 在有界闭区域Ω上连续， 则 f (x,y,z) 在Ω上三重积分存在. 2、三重积分与二重积分有类似的性质.
PPT课件
（2）近似 ( xi , yi , zi ) vi (i 1,2, , n)
（3）求和 （4）取极限
作乘积 f ( xi , yi , zi )vi
n
f ( xi , yi , zi )vi
i 1
令为n个小区域中直径最大者，
若对Ω的任意分法， 及点( xi , yi , zi ) 的任意取法
用以上三组曲面分割Ω，得
体积元素为
22
柱面坐标系下三重积分为
PPT课件
如何化为三次积分？ ——投影法 1、求Ω在xoy面的投影区域 ; 2、将 化为极坐标：
3、过 确定
做平行与z轴的射线 ，
4、
23
例6
解 Ω在xoy面的投影区域 ：
化为极坐标：
z
PPT课件
o
y
x
24
例6将三重积分 解
化为柱面坐标下三次积分
6
PPT课件
(1)1dv 的体积
(2)对称性
设关于xoy面对称，分成1与
两部分
2
0
f (x, y,z) f (x, y, z)
三重积分
0 ≤ y ≤ 1 x 0≤ x ≤1
1 x y
x
1
1 1 2 ∫∫∫ xdxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ xdz = 2 ∫ x(1 x) dx = 24 0 0 0 0
3 例
化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
2 2 2
次积分， 次积分，其中 积分区域 为由曲面
D( z )
无关时
就是截面的面积，如截面为圆、 就是截面的面积，如截面为圆、椭圆 三角形、正方形等， 、三角形、正方形等，面积较易计算
截面法的一般步骤： 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域 向某轴（例如 z 轴）投影，得投 向某轴（ 投影， 影区间[c1 , c2 ]； (2) 对 z ∈ [c1 , c 2 ]用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去 截 ，得截面 Dz ;
1 3
0
0
r
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥 体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标 体或旋转体时， 来计算。 来计算。
ez 2 2 dxdydz, : z = x + y , z = 1, z = 2 例2 ∫∫∫ 2 2 x +y x = r cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2 y = r sinθ , z=z 当0 ≤ r ≤ 1时 1≤ z ≤ 2
当1 ≤ r ≤ 2时 r ≤ z ≤ 2
2 z 2 2
e ez I = ∫ dθ [∫ dr∫ rdz + ∫ dr∫ rdz] r r 0 0 1 1 r
2π
1
= 2π (e2 e) + 2π ∫ (e2 er )dr = 2πe2
《重积分三重积分》课件
三重积分的性质
线性性质
三重积分满足线性性质，即对于 可分离变量的三重积分，可以将 积分拆分成几个部分分别进行计 算。
区间可加性
三重积分具有区间可加性，即对 于分割的三重积分，其值等于各 个子区间上三重积分的和。
积分中值定理
对于有界闭区域上的连续函数， 存在至少一个点使得三重积分在 该点的值等于被积函数在区域上 的平均值乘以区域的体积。
重积分三重积分
目录 CONTENTS
• 重积分的概念 • 三重积分的概念 • 三重积分的计算方法 • 三重积分的应用 • 三重积分的扩展知识
01
重积分的概念
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y, z)$ 是三维空间上的可积函 数，$D$ 是三维区域，则 $f(x, y, z)$ 在 $D$ 上的三重积分用 $intintint_{D}f(x, y, z)dxdydz$ 表示 。
计算流体动力学
在流体力学中，三重积分常用于计算流体在三维空间 中的流动情况，例如流体速度、压力等。
计算热传导
在热力学中，三重积分可以用来计算三维物体中的温 度分布以及热传导情况。
计算结构力学
在结构力学中，三重积分可以用来计算三维结构在不 同载荷下的应力和应变分布。
05
三重积分的扩展知识
重积分与线积分、面积分的关系
质量分布
当 $f(x, y, z)$ 表示物体的密度时，三重积分表 示该物体在区域 $D$ 上的总质量。
3
重心位置
三重积分可以用来计算物体在区域 $D$ 上的重 心位置。
02
三重积分的概念
三重积分的定义
三重积分.ppt
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)d z
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDz f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
bd x y2 (x) d y z2 (x, y) f (x, y, z)d z
（也表示体积）
n
作和式 f (i ,i , i )Vi i 1
记作
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
三重积分的性质与二重积分相似.
二.三重积分的性质
1. k f (x, y, z)dV k f (x, y,) dV ( k 为常数)
同样也有轮换对称性，如
x2
dV
y 2 dV
z 2 dV
1 3
(x2
y2
z2 )dV
第四节 三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
设区域 :
(
x,
y)
D
:
y1
(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
投影法
b
dx
y2 (x) dy
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解 画积分区域的草图. 采用先对x积分, 再对y、z
积分的方法简单.将V向yOz平面投影 得平面区域 D yz {( y, z ) 0 y z ,0 z 1}, 对任一 ( y, z ) Dyz , x取值为 0 x z 2 y 2 .
1 z
I
1
0
1
0
1 . 36
解题时, 要依据具体的被积函数 f ( x , y , z )
和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.
14
三重积分
例 计算三重积分 I x 3 y 4 cos zdxdydz ,
V ( x , y , z ) 0 x 1, 0 y 1, 0 z . 2
解 由于V是长方体, 三次积分的上、下限 z 都是常数, 故
I
其中V是长方体
V
0
1
x dx y dy 2 cos zdz
3
1
4
0
0
1 1 1 1 4 5 20
O
y
15
x
三重积分
例 化三重积分 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分,
其中积分区域为由曲面 z x 2 2 y 2 及z 2 x 2 所围成的闭区域. z x2 2 y2 解 由 得交线投影区域 2 2 2 z 2 x z x 2 y
3
三重积分
2. 三重积分存在性 在Ω上是可积的.
(existence)
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 设被积函数 f ( x , y , z ) 1, 则区域V 的体积为
V 1 dv
x yzdv 0
2 2 2 2 8 y y z d v z dv
3
8
三重积分
(4) 若 关于原点对称,
则 f ( x , y , z )dv
0 2 f ( x , y , z )dv
4
f为 x , y , z的奇函数
f为 x , y , z的偶函数
0 2 f ( x , y , z )dv Ω
1
f为z的奇函数 f为z的偶函数
其中1为在xOy坐标面的上半部区域.
5
三重积分
例 设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 1为的z 0部分 则
2 2 x y zdv 0
2 2 y z d v 2 y z dv 0
(2)对z [c1 , c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz ; (红色部分)
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
c2
z
z
c1
o
Dz
其结果为z的函数F ( z ); c2 (4) 最后计算单积分 F ( z )dz .
c1
y
19
x
三重积分
D: x y 1 1 x 1 故： 1 x2 y 1 x2 x2 2 y2 z 2 x 2
2 2
z
O
x
y z 2 x2
I dx
1
1
1 x 2
2
1 x
dy
2 x 2
2 2
x 2 y
f ( x , y, z )dz
其中 4 是 的关于原点对称的一半区域.
9
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的 平面的来划分 , 则 vi x j yk zl .
( vi是小长方体). 故直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为
S2
S2 : z z2 ( x, y),
过点 ( x , y ) D 作直线,
从 z1 穿入, 从 z2 穿出．
b x
z1
S1
z z1 ( x , y )
y y2 ( x )
11
a
O
( x, y)
D
y
y y1 ( x )
三重积分
先将 x , y 看作定值, 将 f ( x , y, z )只看作 z 的函数, 则
D : y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b, X－型
得
dx y ( x ) dyz ( x , y ) f ( x , y , z )dz
a
1
f ( x , y , z )dv
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
1
12
三重积分
f ( x , y , z )dv dx
2是 在一,五卦限部分的区域,则
2 x yz dv 0
2 2 y z d v 4 y z dv
2 2
2
7
三重积分
(3) 若域 关于三个坐标面都对称,
则 f ( x , y , z )dv
f同为 x , y , z的奇函数 0 f同为 x , y , z的偶函数 f ( x , y , z ) d v 8 3 其中 3是 在第一卦限部分的区域. 例 设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 3是 在第一 卦限的部分, 则
即
c2 f ( x , y , z )dv dz f ( x , y , z )dxdy c1 Dz c2 F ( z )dz c1
注 当被积函数仅与变量z有关, 且截面Dz易知时, 用上公式简便.
截面法的公式还有两个. 希自己推
20
三重积分
例 计算三重积分 zdxdydz ,其中为
z z2 y2 1 dz ydy xdx 0 0 z 7 1 z 1 1 y 2 dz [ z y 2 ]dy 0 z 2dz 8 z 02
O
y
18
x
三重积分
截面法(先二后一法)
截面法的一般步骤
(1) 把积分区域向某轴 (如z轴) 投影, 得投影区间 [c1 , c2 ];
dz
0
1 y z
dx
x
(1 y )dy
0
1
1 y
e
(1 y z )2
(1 y z )dz
1 y 1 1 (1 y z )2 2 (1 y )dy e d[(1 y z ) ] 0 0 2 1 54
17
三重积分
先对z积分? xy 例 计算 dxdydz ,其中V为锥面z 2 x 2 y 2 z V 与平面z 1所围成的区域 在第一卦限内的部分 .
2
三重积分
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f ( x , y, z )在闭区域Ω上的三重积分. 记为
f ( x , y , z )dv Ω
0
即
f ( x , y , z )dv lim f ( , , Ω
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
f ( x , y , z )dv f ( x , y , z )dxdydz
10
三重积分
思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分
投影法 (先一后二法)
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D,
S1 : z z1 ( x, y),
z
z2
z z2 ( x , y )
第三节
三重积分
(triple integral)
三重积分的概念 三重积分的计算
小结
思考题
第8 章 重积分
作业
1
三重积分
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义
(define)
① 设f ( x , y, z )是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1 , v2 ,vn
16
三重积分
例 求I
解
0 dx 0
1
1 x
dz
1 x z
0
(1 y )e
(1 y z )2
dy
z
1
e
y 2 的原函数不是初等函数,
x yz 1
一定要交换积分次序. 应先x对积分
I (1 y )dy
0 1
1
O
1
y
0
1 y
0
e
(1 y z ) 2
V
4
三重积分
(property) 4. f (三重积分的性质 x , y , z ) f ( x , y , z 与二重积分的性质类似 ) ( f ( x , y , z ) f ( x , y ,.z )) 则称f关于变量 z的奇 (偶) 函数. 对称性质 补充三重积分 (1) 若域 关于xOy坐标面对称,则 f ( x , y , z )dv
1 z
0 1
0 1 z
dy
1 y z
1
y
0
dx
x
0
(1 y z )dy
1 1 2 z (1 z ) dz . 0 2 24
zdxdydz
d 0 D
xy
1 x y
zdz
22
三重积分
x2 y2 z2 已知椭球V: 2 2 2 1 内点(x,y,z)处质量 a b c 2 2 2 x y z 的体密度为: 求椭球的质量. , a 2 b2 c 2