高等数学(下册) 三重积分要点总结
高数 三重积分
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法 方法1. 投影法【 “先一后二” ;“丝丝吃法”】
d xd y
D
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
方法2. 截面法【“先二后一” ;“片片吃法”】
z z 2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
微元线密度≈
记作
D d xd y z ( x, y )
d z
a
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
两种方法各有特点, 具体计算时应根据 被积函数 及积分域（重积分两要素）的特点灵活选择.
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方法1. 投影法【“先一后二” ;“丝丝吃 法 ”】 z 1) 选 择 恰 当 的 投 影 面 ，
如 闭 区 域 在 xoy 面 上的投影为闭区域 D,
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
x y z 例4 计算 z dv , : 2 2 2 1 a b c
2
2
2
2
例5
2 2 dxdydz , : z x y ,z 1
高数下册积分重点
微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分二重积分/累次积分⎰⎰Dd y x f σ),(1）⎰⎰D在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域；f (x,y )被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。
2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。
3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。
4）σd y x f D⎰⎰),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。
此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分的现实意义才成立。
5）的面积。
即为时，注意：当D D d y x f y x f D)(),(1),(σσ=≡⎰⎰6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)()(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x baDx y x y ba Ddxy x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdyd σσσ当当型域条件下， {}⎰⎰⎰⎰⎰⎰==≤≤≤≤=⎩⎨⎧===⨯=)()(2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r DDrdrr r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x drrd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ⎰⎰⎰⎰'=≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂='→⎩⎨⎧===D DdudvJ v u y v u x f d y x f vy uyv xu xv u y x J D D v u y y v u x x D dudvJ d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下，三重积分dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(1）⎰⎰⎰Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。
三重积分
知识结构图1、三重积分概念理解三重积分的概念是要注意⑴若1),,(=z y x f 时，则⎰⎰⎰=vv dv z y x f ),,(，其中|v|为V 的体积。
例:利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体体积：1) 226y x z --=及)(22y x z +=;2)az z y x 2222=++(a>0)及222z y x =+（含有Z 轴的部分） 3) )(22y x z +=及22y x z += 4))5(22y x z --=及z y x 422=+⑵三重积分的物理意义:若V 是某物体所占有的空间闭区域，连续函数),,(z y x f 为该物体的密度函数，则三重积分⎰⎰⎰vdv z y x f ),,(的值等与该物体的质量。
例1:设有一物体，占有空间闭区域}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
例2:球心在原点、半径为R 的球体，在任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。
2、三重积分的计算方法一、利用直角坐标进行三重积分 投影法步骤为:以平行与坐标轴的直线穿过区域V 的边界曲面而定，先穿过的为下限后穿过的为上限，确定的积分限，完成“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
围成的闭区域。
例：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x解：画出Ω及在xoy 面投影域D.“穿线”y x z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010 ∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤10101三重积分概念三重积分 存在性三重积分 计算利用球面坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x x y x x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x截面法步骤为：计算区域上的二重积分 ，完成“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
三重积分求解技巧
三重积分求解技巧三重积分是在三维空间中计算体积、质量、质心、转动惯量等物理量的重要工具。
在进行三重积分的求解时，我们可以运用一些技巧来简化问题和提高计算效率。
下面将介绍一些常用的三重积分求解技巧。
1. 坐标变换坐标变换是一种常用的简化三重积分问题的技巧。
通过选择适当的坐标系，可以将原本复杂的积分变为更简单的形式。
常见的坐标变换包括柱坐标变换和球坐标变换。
在柱坐标变换中，用$r$，$\\theta$和$z$来表示三维空间中的点，可以将$x$，$y$，$z$转化为$r$，$\\theta$和$z$。
在球坐标变换中，用$r$，$\\theta$和$\\phi$来表示三维空间中的点，可以将$x$，$y$，$z$转化为$r$，$\\theta$和$\\phi$。
通过坐标变换，原本复杂的积分可以被简化为一个更简单的形式，使得计算更加容易。
2. 对称性如果被积函数具有某种对称性，可以利用对称性简化求解问题。
常见的对称性包括轴对称性和平面对称性。
如果被积函数在$x$，$y$和$z$的交换下不变，那么可以利用轴对称性简化问题。
通过将积分区域限定在一个八分之一坐标轴内，并将结果乘以8来计算整个积分。
如果被积函数在某个平面的对称性，可以利用平面对称性简化问题。
通过将积分区域限定在平面的一个半空间内，并将结果乘以2来计算整个积分。
通过利用对称性，可以减少计算量，并且简化问题的形式。
3. 利用积分的性质在进行三重积分计算时，可以利用积分的性质来简化问题。
常见的性质包括线性性质、可交换性和可分离性。
利用线性性质，可以将三重积分分解为若干个单独的积分，然后分别计算。
这样可以将复杂的三重积分问题转化为多个简单的一重或二重积分问题。
利用可交换性，可以改变积分的变量顺序，从而简化计算。
需要注意的是，在改变积分变量顺序时，需要同时改变积分区域的表示。
利用可分离性，可以将三重积分分解为三个独立的一重积分，然后分别计算。
这样可以将三重积分的计算问题转化为三个独立的一重积分问题。
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
重积分知识点
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
高等数学(下册) 三重积分要点总结
x 2 y 2 ( z a)2 a 2
围成(或两球相交部分)； （106 页，10 题（1）；124 页，7 题（1，2）） 球锥形： 由球面
f ( x, y , z ) dv
x y ( z a) a
2 2 2
2
f ( x, y , z ) dv
z x2 y2 a
和平面
z ba
围成；（103 页，例 3） 抛物面与平面： 由 xOy 平 面上曲线 y 2 x 绕 x 轴旋转 与平面 x 5 围成； （124 页，
2
f ( x, y , z ) dv
7 题（3）） 球面与抛物面： 由球面
z 2 x y
z xy
围成；（106 页，4 题）
2
三重积分要点总结
3、利用区域对称性和函数奇偶性算三重积分 区域对称性 区域 关于 YOZ 平面对称 区域 关于 XOZ 平面对称 区域 关于 XOY 平面对称 函数奇偶性 被积函数关于 X 变量是奇函数 结论
f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z )
比较： 求质量对密度积分； 求质心密度乘 x 积分 （除质量） ， 求惯量密度乘 x 2 平方和积分。
3
x 乘以密度的在物体上积分 ; 对密度的积分 y 乘以密度的在物体上积分 ; y 对密度的积分 z 乘以密度的在物体上积分 ; z 对密度的积分 x
求空间物体转动惯量：
（x 轴乘 x）
高数下9.3三重积分及其计算
f
(
x,
y,
z)dz
为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy
上的密度函数.
由三重积分的物理意义,
z
若将f(x, y, z)理解为闭区域
z=z2(x, y)
上的体密度函数, 那么三重积
分
f ( x, y, z)dv
表示空间物体的质量M.
o
a
则函数F(x, y)可以理解为压缩 b
在平面薄片Dxy上的密度函数. x
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该
和式的极限存在, 则称此极限为空间物体的质量M,
即
n
M
lim
0
i 1(i Nhomakorabea,i,
i
)vi
.
当然, 在三维空间定义的函数u=f(x, y, z)的“几何”
意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如
何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何
平行于z 轴的直线穿过 的下曲面为
z=0, 上曲面为z=x2+y2, 有 0zx2+y2. 0.5
由题意要求, 需要先对y积分, 则 0
应作平行于y 轴的直线穿过 , 为此,
需作一母线平行于y 轴的柱面z=x2,
将积分区域分为两部分(见图)1, 2.
00 00..2255 0.5
00..7755
11
再求关于另一个变量的定积分.
设积分区域 介于两平行平面
c2 z
z=c1, z=c2(c1<c2)之间, 用任一平行且
介于此两平面的平面去截 , 得区域
D(z), c1zc2.
则
f ( x, y, z)dv
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和 锥 面 z k 2 ( x2 y 2 ) 围 成；（105 页，例 4；107 页， 10 题（2），12 题（2）） 球锥形： 由球面
f ( x, y , z ) dv
x2 y2 z 2 a2
和 锥 面 z k 2 ( x2 y 2 ) 围 成； 如区域描述方程中含有 x 2 y 2 时选择柱坐标系 典型区域描述 区域示意图 区域柱坐标描述和累次积分 抛物面与平面： 由曲面 f ( x, y , z ) dv
f ( x, y , z ) dv
多个平面： 由
x 0, y 0, z 0 和 x 2 y z 1 围成；（101
页，例 1）
f ( x, y , z ) dv
多个平面和一个曲顶： 由 y x ， x 1 ， z 0 和一个曲面
f ( x, y , z ) dv
2
2
f ( x, y , z ) dv
和抛物面
4 z x2 y 2
围成；（106 页，9 题（1）； 107 页，12 题（4））
1
三重积分要点总结
抛物面与锥面： 由抛物面
z k(x y )
2 2
f ( x, y , z ) dv
和锥面
z x2 y 2
f ( x, y , z ) dv
其它类型区域选直角坐标系 区示意图 区域直角坐标描述和累次积分（写出 两种形式累次积分：穿线法先对 z 积 分，和切片法后对 z 积分）
2
单个封闭曲面： 由椭球面
x y z 2 2 1 2 a b c
围成；（101 页，例 2）
2
2
f ( x, y, z )dv 0
被积函数关于 Y 变量是奇函数 被积函数关于 Z 变量是奇函数
f ( x, y, z )dv 0
f ( x, y, z )dv 0
四、三重积分的类型题目： 交换积分顺序； 球坐标、柱坐标、直角坐标下积分的互相表示； 三重积分的计算； 求空间物体质量:在物体区域上对密度进行积分。 求空间物体质心：
三重积分要点总结
1、三重积分的计算步骤： 画出积分区域示意图 根据区域描述选择坐标系并描述区域（曲面和变量范围等） 利 用公式转化成累次积分计算。 2、典型区域总结：对教材上的例题和习题类型做了归纳。 典型区域描述 纯球形： 由球面 如区域描述方程中含有 x 2 y 2 z 2 时选择球坐标系 区域示意图 区域极坐标描述和累次积分
z xy
围成；（106 页，4 题）
2
三重积分要点总结
3、利用区域对称性和函数奇偶性算三重积分 区域对称性 区域 关于 YOZ 平面对称 区域 关于 XOZ 平面对称 区域 关于 XOY 平面对称 函数奇偶性 被积函数关于 X 变量是奇函数 结论
f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z )
x 乘以密度的在物体上积分 ; 对密度的积分 y 乘以密度的在物体上积分 ; y 对密度的积分 z 乘以密度的在物体上积分 ; z 对密度的积分 x
求空间物体转动惯量：
（x 轴乘 x）
I x ( y 2 z 2) 乘以密度在物体上积分 I y ( x 2 z 2) 乘以密度在物体上积分 （x 轴乘 y 2 z 2 ） I z ( y 2 x 2) 乘以密度在物体上积分
围成；（107 页，12 题（3）） 锥面与平面： 由曲面
4 z 2 25( x 2 y 2 )
及平面
f ( x, y , z ) dv
z 5
围成；（107 页，11 题（3）） 柱面和平面： 由柱面
x2 y 2 1
及平面 z 1 ， z 0 ， x 0, y 0 所围成的第一卦限内的闭区 域；（107 页，11 题（1）） 典型区域描述
比较： 求质量对密度积分； 求质心密度乘 x 积分 （除质量） ， 求惯量密度乘 x 2 平方和积分。
3
x 2 y 2 ( z a)2 a 2
围成(或两球相交部分)； （106 页，10 题（1）；124 页，7 题（1，2）） 球锥形： 由球面
f ( x, y , z ) dv
x y ( z a) a
2 2 2
2
f ( x, y , z ) dv
z x2 y2 a
和平面
z ba
围成；（103 页，例 3） 抛物面与平面： 由 xOy 平 面上曲线 y 2 x 绕 x 轴旋转 与平面 x 5 围成； （124 页，
2
f ( x, y , z ) dv
7 题（3）） 球面与抛物面： 由球面
z 2 x y