高等数学复习(三重积分)
三重积分的质量计算问题
三重积分的质量计算问题三重积分是高等数学中比较重要的一部分，它常常被应用于物理学、工程学等各个领域中。
而在三重积分的计算中，一个非常重要的问题就是如何保证计算的质量。
在本文中，我们将探讨三重积分的质量计算问题，并介绍一些解决方法。
一、计算误差的来源在进行三重积分的计算过程中，往往会产生一些误差，这些误差的来源可以分为以下几点：1.算法误差三重积分的计算往往需要运用到一些算法，不同的算法之间可能会产生一些精度上的差异，从而导致计算误差的出现。
2.数据误差在三重积分的计算过程中，数据的准确程度也会影响计算的精度。
例如，在测量一些物理量时，仪器本身的精度、环境因素等因素都会影响数据的准确性，从而导致误差的产生。
3.舍入误差在计算机计算的过程中，由于计算机的精度是有限的，因此会产生一些舍入误差。
这种误差可能会在计算的多个阶段中逐渐累积，最终影响到计算结果的准确性。
二、解决方法三重积分的计算质量对于精确计算至关重要。
因此，为了提高计算的精度，我们需要采取一些有效的措施来消除计算误差。
1.选择适当的算法计算误差的来源之一是算法误差。
因此，我们可以通过选择适当的算法来减少误差的产生。
一些常用的算法包括梯形法、辛普森法等。
2.提高数据的准确性在三重积分的计算过程中，数据的准确程度也会影响到计算的精度。
因此，我们可以通过提高数据的准确性来消除误差的影响。
例如，在进行测量时，我们可以使用更精确的仪器，或者在更为恰当的环境中进行测量。
3.进行数值稳定性分析在进行三重积分的计算时，我们应该对计算结果的数值稳定性进行分析。
如果计算结果不稳定，我们可以采取一些有效的方法来减少误差的产生。
例如，可以采用数值微分的方法，或者使用某些差分公式来重构计算结果。
4.避免舍入误差在计算机计算的过程中，舍入误差是比较常见的误差类型之一。
因此，我们可以采用一些避免舍入误差的方法来消除误差的影响。
例如，可以采用更高精度的计算方法，或者使用一些特殊的算法来减少舍入误差的产生。
《高等数学教学课件》2011 第三节 三重积分的计算法
2a cos
2 2 d
0
2
3 2a cos
4a 2 r 2 rdr
2
2 3
(4a
2
r
2)2
d
2
0
2 3
3
2 [8a 3 (4a 2 4a 2 cos 2 ) 2 ]d
4 3
2 (8a3 8a3 sin3 )d
0
2
32 3
a
3
(
2
2 sin3 d )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
2 sind )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
).
例10、将直角坐标形式的二次积分
2
4 x x2
4
4 x x2
I dx
f ( x, y)dy dx
0
2 x x2
2
0
f ( x, y)dy
化为极坐标形式的二次积分.
解
4 cos
I 2 d rf (r cos , r sin )rdr.
D3 : x 2 y 2 2a 2 , x 0, y 0
( a e x2 dx)2 a e x2 dx a e y2 dy e ( x2 y2 )dxdy
0
0
e ( x2 y2 )dxdy
e
0
(
x
2
y
2
)
D2
dxdy
e ( x2 y2 )dxdy
D1
D2
( )
a 0
e x2 lim
a
dx)2
4
(1
4
(1
三重积分圆柱法公式
三重积分圆柱法公式三重积分圆柱法公式，这可是高等数学中的一个重要知识点。
对于很多同学来说，一听到“三重积分”这几个字，可能就会觉得头大。
但别担心，咱们今天就来好好聊聊这个圆柱法公式，把它变得简单易懂。
先来说说啥是三重积分。
想象一下，咱们有一个三维的空间区域，就像是一个立体的大盒子，里面充满了各种各样的东西。
我们想要知道这个区域里这些东西的总量，这时候就用到三重积分啦。
而圆柱法公式呢，就像是我们在这个立体盒子里找东西的一个特别工具。
给大家讲个我自己教学时候的事儿。
有一次上课，我在黑板上写下三重积分圆柱法公式，然后问同学们：“这看起来是不是有点复杂？”结果有个同学大声说：“老师，这不是有点复杂，这是非常复杂！”全班哄堂大笑。
其实啊，这个公式看起来复杂，但是咱们把它拆解一下，就会发现也没那么可怕。
咱们先来看圆柱坐标系是啥。
它就是把咱们熟悉的直角坐标系换了个“马甲”。
在圆柱坐标系中，一个点的位置用(r, θ, z) 来表示。
r 表示点到 z 轴的距离，θ 表示绕 z 轴旋转的角度，z 就是高度。
那三重积分圆柱法公式到底长啥样呢？它是：∫∫∫ f(r, θ, z) r dr dθ dz 。
这里面的 r 可别忽略啦，它是个关键。
因为有了它，在计算积分的时候，就像是给我们的计算过程加了个“助推器”。
比如说，我们要计算一个圆柱体内部的某个物理量的总和。
如果用直角坐标系，那计算量可大了去了。
但要是用圆柱坐标系，结合圆柱法公式，就会简单很多。
咱们来具体做个例子感受一下。
假设我们要计算一个半径为 R，高度为 H 的圆柱体，里面的函数是f(r, θ, z) = r^2 + z 。
首先，确定积分的上下限。
r 的范围是从 0 到 R，θ 的范围是从 0 到2π，z 的范围是从 0 到 H。
然后，把函数代入圆柱法公式进行计算。
这一步就需要我们细心认真，一步一步来，可不能着急。
经过一番计算，就能得出最终的结果啦。
在学习这个公式的过程中，大家一定要多做练习题。
(整理)高等数学重积分重点难点
重积分一、基本要求1.了解二重、三重积分的概念和性质2.掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算3.掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的计算4.会用重积分计算曲面面积、立体面积、以及物体质量、质心等几何量和物理量.二、主要内容详细内容：1. 重积分定义：设(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数，将D 任意分成n 个小闭区域12,,,n σσσ∆∆∆，其中i σ∆也表示第i 个小闭区域的面积，在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη (1,2,,)i n =作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)l i m (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 2. 性质ⅰ) [](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅱ)1211(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ)1DDd d σσσ==⎰⎰⎰⎰ (σ为D 的面积)ⅳ)如果在D 上，(,)(,)f x y g x y ≤，则有(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰ⅴ)设,M m 分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ⅵ)(中值定理)设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη,使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰3. 直角坐标下计算二重积分ⅰ)积分区域{}12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤ 则21()()(,)(,)bx a x Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,)()(),D x y y x y c y d ϕϕ=≤≤≤≤则21()()(,)(,)dy c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰4. 极坐标下计算二重积分设积分区域D ：12()(),φθρφθαθβ≤≤≤≤ 则(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰21()()(cos ,sin )d f d βφθαφθθρθρθρρ=⎰⎰5. 二重积分的几何意义：(,)Df x y d σ⎰⎰等于以D 为底，(,)z f x y =为顶的曲顶拄体的体积，(这里(,)0f x y ≥)物理意义：(,)Df x y d σ⎰⎰表示位于平面区域D ，面密度为(,)f x y 的薄片的质量.6. 三重积分定义：设(,,)f x y z 是有界闭域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域12,,,n v v v ∆∆∆，其中i v ∆也表示第i 个小闭区域的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ (1,2,,)i n =作和1(,,)nii i i i f ξηζσ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在Ω上的三重积分，记作(,,)f x y z dv Ω⎰⎰，即1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d v f vλξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ 7. 直角坐标下计算三重积分ⅰ)积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈ 则21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,,)(,),z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤ 则21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.柱面坐标下计算二重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)z z z αθβφθρφθρθρθ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2211()(,)()(,)(cos ,sin ,)z z d d f z dz βφθρθαφθρθθρρρθρθ=⎰⎰⎰9. 球面坐标下计算三重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)r r r αθβφθφφθθφθφ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰＝2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βφθθφαφθθφθφφφθφθφ=⎰⎰⎰10. 三重积分的物理意义：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰表示位于空间区域Ω，体密度为(,,)f x y z 的空间形体的质量. 11.对称区域上的奇偶函数积分ⅰ)若(,)f x y 为区域上D 的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，则10(,)(,)2(,)(,)DD f x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰，为的奇函数，为的偶函数ⅱ) 若(,,)f x y z 为Ω区域上的连续函数，Ω关于xy O 坐标面对称，1Ω为Ω位于xy O 坐标面上侧的部分，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)f x y z f x y z dv f x y z dvf x y z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，为z 的奇函数为z 的偶函数12.几何应用、物理应用曲面面积：xyD A =⎰⎰平面薄片的质心坐标：(,)(,)DDx x y d x x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰， (,)(,)DDy x y d y x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰空间物体的质心坐标：1(,,)x x x y z dv M ρΩ=⎰⎰⎰ ，1(,,)y y x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰1(,,)z z x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰其中(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰三、 重点与难点：1. 选择适当的坐标计算重积分.2. 根据被积函数及积分区域特点，选择适当的积分次序.3. 二次积分的积分次序变换.4. 利用对称区域上函数的奇偶性简化计算. 四、 例题1. 设(,)f x y 在[,]a b 上连续，证明不等式22()()()b b a a f x dx b a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 等号仅当()f x 为常数时成立.分析：利用“非负被积函数的二重积分非负”的性质来证明.在证明等号成立的条件时，用到了“非负连续函数的定积分为零，则此函数恒为零”的性质. 证明：因为[]20()()bba adx f x f y dy ≤-⎰⎰222()()2()()()bb baa ab a f x dx f x dx b a f y dy ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 故有22()()()b ba a f x dxb a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 当()f x 为常数时，显然上述等号成立.反之，设上述等号成立，则[]2()()0bba a dx f x f y dy -=⎰⎰ 由于函数[]2()()()ba F x f x f y dy =-⎰是[,]ab 上非负连续函数， 故()0F x ≡，a x b ≤≤.特别()0F a =即[]2()()0ba f x f y dy -=⎰，又由于函数[]2()()()G y f x f y =-是[,]a b 上非负连续函数，故()0G x ≡，a y b ≤≤.因此()()f y f a ≡，a y b ≤≤ 即()f x 为常数.2. 在下列二次积分中改变积分次序 1)2111(,)x dx f x y dy --⎰⎰分析：积分域D ：211,1x y x -≤≤≤≤-，也表示为两个区域12,D D 的并，其中1D ：210,1y x y -≤≤≤≤- ：01,y x ≤≤≤≤解：2110111(,)(,)(,)x dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰2)311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰分析：注意到当01x <<，3x x <，尽管这个二次积分并不是(,)f x y 在由y x =及3y x =所围区域上的二重积分，但是改变积分次序使之与原二次积分相等仍为可能.解：311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰＝33110(,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy --⎰⎰⎰⎰ 3011(,)(,)x yx dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰31100(,)(,)x x y dx f x y dy dx f x y dx =⎰⎰⎰311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰01(,)y dy f x y dx -=⎰10(,)y dx f x y dx -⎰11(,)ydy f x y dx -=⎰3. 计算下列二重积分1) 22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是,,y x y x a y a ==+=和3y a = (0)a >为边的平行四边形区域.分析：当y 从a 变到3a ，对每一固定的y ，x 从y a -变到y 故化为先对x 后对y 的二重积分较简单. 解：D ：3,a y a y a x y ≤≤-≤≤ 32222()()aya y a Dx y dxdy dy x y dx -+=+⎰⎰⎰⎰23324()1433aay y a ay dy a ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰ 2) 2Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由x 轴和摆线的第一拱(sin ),(1cos ),(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤所围的区域分析：区域D ：02x a π≤≤，0()y x φ≤≤其中()y x φ=为摆线的直角坐标方程，显然当(sin )x a t t =-时，()(1cos ),(02)y x a t t φπ==-≤≤解： []2()2322001()3a x ay dxdy dx y dy x dx πφπφ==⎰⎰⎰⎰⎰23301(1cos )(1cos )3a t a t dt π=--⎰ ((sin ))x a t t =- 4280161sin 332a t dt π=⎰44882003232sin 2sin 33a a udu udu ππ==⋅⎰⎰ ()2tu = 4432753135238642212a a ππ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅3)2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D ：11x -≤≤，02y ≤≤分析：将区域D 分成两块12,D D ，使被积函数21222(),(,)(,)y x x y D y x y xx y D ⎧--∈⎪-=⎨-∈⎪⎩再利用二重积分的关于积分域的可加性，分块计算 解：曲线2y x =将区域D 分成 ：11x -≤≤，20y x ≤≤ ：11x -≤≤，22x y ≤≤2Dy xdxdy -⎰⎰1222()()D D x y dxdy y x dxdy =-+-⎰⎰⎰⎰2221122101()()x x dx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰114240(44)4615x dx x x dx=+-+=⎰⎰4)D⎰⎰,其中D :22224x y ππ≤+≤分析：当二重积分的积分域为圆域或扇形域，可考虑用极坐标解：220sin d d πππθρρρ=⋅⎰⎰⎰⎰22sin d πππρρρ=⋅⎰ 26π- 4.计算二重积分112111224y y xxy dy e dx dy e dx I =+⎰⎰⎰分析：由于被积函数的原函数不易求出，可考虑改变积分次序后再计算.解：设区域D ：211,2x x y x ≤≤≤≤21111223()82y y xx xxx De e d dx e dy x e e dx σI ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 5.设一平面薄片位于双曲线221x y -=及0,1y y ==直线所围平面区域D ，且D 上任一点(,)x y 处的面密度为2x y ，求此薄片的质量. 分析：平面薄片的质量等于密度函数再区域上的二重积分，再利用区域对称化简计算.解：薄片的质量1222DD M x yd x yd σσ==⎰⎰⎰⎰31122200022(1)3dy x ydx y y dy ==+⎰⎰152222(1)1)1515y =+=6.求曲面z =夹在两曲面2222,2x y y x y y +=+=之间的那部分曲面的面积.分析：将所求的曲面投影到xoy 面计算最简单，投影域xy D 为曲线2222,2x y y x y y +=+=所围部分.解：投影域：xy D ：222y x y y ≤+≤由z =，知x y z z ==2xyxyD D S dxdy ==⎰⎰⎰⎰)4ππ=-=7.化二次积分1100(,)dx f x y dy ⎰⎰为极坐标形式的二次积分.分析：一般极坐标形式的二次积分为先对ρ后对θ的二次积分，当然也可化为先θ对后对ρ的二次积分. 解：区域可表示为1D ：10,04cos πθρθ≤≤≤≤及2D ：1,042sin ππθρθ≤≤≤≤1114cos 0(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰12sin 04(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ+⎰⎰积分域也可表示为1D ：01,02πρθ≤≤≤≤及2D ：110cosarcsinarc ρθρρ≤≤≤≤两部分.111200(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πρρρθρθθ=⎰⎰⎰⎰＋1arcsin11arccos(cos ,sin )d f d ρρρρθρθθ⎰8.设函数()f x 在[0,1]上连续，并设10()f x dx A =⎰，求110()()x dx f x f y dy ⎰⎰. 分析：求解关键是利用二重积分对坐标轮换对称的性质，即区域D 的边界曲线方程关于,x y 对称，则有 (,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰.解：变换积分次序得1110()()()()yxdx f x f y dy dy f x f y dx =⎰⎰⎰⎰10()()xdx f x f y dy =⎰⎰111112()()()()()()x xxdx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1100()()dx f x f y dy =⎰⎰112()()f x dx f y dyA=⋅=⎰⎰∴11201()()2x dx f x f y dy A =⎰⎰ 9.求锥面z =和抛物面22z x y =+所围成的立体体积. 分析：求体积可用二重积分，也可用三重积分. 解一：投影域D ：221x y +≤()22DV x y d σ⎤=+⎦⎰⎰2120()6d d πθρρρρπ=-=⎰⎰解二：221120002()6V dv d d dz d πρρπθρρπρρρρΩ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由,,1,0z xy y x x z ====所围成的区域分析：Ω在面xoy 上投影域D 如图所示，在D 上的点(,)x y ，0z xy =≥，在不知道曲面z xy =形状的情况下，也容易写出Ω的积分范围. 解：Ω：0,0,01z xy y x x ≤≤≤≤≤≤ 12323000xxyxy z dxdydz dx dy xy z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1230001364x xyxdx y dy z dz ==⎰⎰⎰ 11.求22()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.分析：Ω是由旋转曲面222x y z +=与4z =所围而成的立体，化三重积分的计算中可化为先对z 或后对z 的积分.解一：Ω：221()42x y z +≤≤，(,)xy x y D ∈，22:8xy D x y +≤ 22422221()2()()xyx y D x y z dv dxdy x y z dz +Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242102350()528)82563d d z dzd πρθρρπρρρρρπ=+=+-=⎰⎰解二：Ω：04z ≤≤，(,)z x y D ∈，其中22:2z D x y z +≤ 422220()()zD x y z dv dz x y z dxdy Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰4220420)42563dz d z d z dzπθρρρππ=+==⎰⎰⎰12.试将三重积分(,,)f x y z dv ΩI =⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω是由z =及1,2z z ==所围成的区域.分析：此题可分别化为直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三重积分，主要这个三重积分不可将它理解为(,,)f x y z 在大的圆锥区域积分减去小的圆锥区域积分.解：21(,,)zz dx dy f x y z dx -I =⎰⎰直2121(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρρθρθI =⎰⎰⎰柱22201(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρρθρθ+⎰⎰⎰22101(cos ,sin ,)zdz d f z d πθρθρθρρ=⎰⎰⎰()!22sec 2!!400sec (sin cos ,sin sin ,cos )sin n r n r d d f r r r r dr ππφφθφφθφθφφ-I =⎰⎰⎰球13.设(,,)1()(,,)f x y z x y z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中Ω：2221,0x y z z ++≤≥分析：两边在Ω上求三重积分，解出(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰即可.解：设(,,)f x y z dv A Ω=⎰⎰⎰，则 (,,)1()f x y z x A y z =+++[](,,)(1)()A f x y z dv x A y z dv dv A zdv ΩΩΩΩ==+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211200122(1)33x y z A zdz dxdy A z z dz πππ+≤-=+=+-⎰⎰⎰⎰ 234A ππ=+ 83(4)A ππ=-，故8(,,)1()3(4)f x y z x y z ππ=+++- 14.用定积分表示三重积分000()xyzdy dz f t dt ⎰⎰⎰分析：由于被积函数是t 的函数，故将,z t 积分次序变换后，把对z 的积分算出，再将,y t 的积分次序变换，又可把对y 的积分算出，最后保留对t 的积分式子. 解：0()()xy z x y ytdy dz f t dt dy dt f t dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰020()()()()1()()2x yx xt x dy f t y t dtdt f t y t dy f t x t dt =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰15.用重积分证明：由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积分别是2()bx a V f x dx π=⎰和2()b y a V xf x dx π=⎰证明：曲线()y f x =绕x 轴旋转的旋转曲面方程：222()y z f x +=，a x b ≤≤在xoy 面上投影域为xy D ：,()()a x b f x y f x ≤≤-≤≤故所求体积()()b f x x a f x V dx dy -=⎰⎰(04bf x a dx =⎰⎰24()4ba f x dx π=⎰2()baf x dx π=⎰曲线()y f x =绕y轴旋转的旋转曲面方程：y f = 在xoz 面上投影域为zx D ：2222a x z b ≤+≤故所求体积0zx f y D V dzdx dy =⎰⎰⎰2()2()bf a b ad d dyf d πρθρρπρρρ==⎰⎰⎰⎰即2()by a V xf x dx π=⎰16.求曲面221z x y =++上点(1,1,3)M -处的切平面与曲面22z x y =+所围成的空间区域的体积V .分析：所围的空间区域在xoy 面上的投影域的确定以及如何在此投影域上积分是此题的关键.解：曲面221z x y =++在(1,1,3)M -处的法向量''(,,1)(2,2,1)M x y M n z z =-=--则切平面方程为2(1)2(1)2(3)0x y z --+--= 即221z x y =--所以切平面与曲面的交线22221z x y z x y =--⎧⎨=+⎩在xoy 面上的投影曲线为 22(1)(1)1x y z ⎧-++=⎨=⎩即所求空间在xoy 面上的投影域D 为22(1)(1)1x y -++≤故22221()DV x y x y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰221(1)(1)Dx y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰ 22221(1)x y x y dxdy +≤=--⎰⎰2120(1)2d d πθρρρπ=-=⎰⎰17.设球体占有闭区域Ω：2222x y z Rz ++≤，它在内部个点处的密度的大小等于该点到坐标原点距离的平方.试求这球体的质心.分析：由于Ω为球体，且被积函数出现222x y z ++项，故可用球面坐标计算，同时注意到区域Ω的对称性. 解：密度222(,,)x y z x y z ρ=++ 此球体的质量(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰222()x y z dv Ω=++⎰⎰⎰22cos 222sin R d d r r dr ππφθφφ=⋅⎰⎰⎰5555202322sin cos 515R R d πππφφφ=⋅=⎰由对称性易知0x y == 22211(,,)()z x y z dv z xy z dv MMρΩΩ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而22cos 22222200()sin cos R z x y z dv d d d ππφθφφρρρρρΩ++=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰666720282sin cos 63R Rd πππφφφ=⋅=⎰∴54z R =即球体的质心：5(0,0,)4R 五、自测题(A)一、 选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D 为221x y +≤在第一象限部分，二重积分2Dxy d σ⎰⎰可化为A)112dx xy dy ⎰⎰B) 1200dx dy ⎰C) 1200dx dy ⎰D) 20xy dy2. 设1()Dx y d σI =+⎰⎰,2sin()Dx y d σI =+⎰⎰,3tan()Dx y d σI =+⎰⎰,其中D 为三角形闭区域，三顶点分别为(0,0),(1,0),(0,1),则 A) 123I <I <I B) 213I <I <I C) 231I <I <I D)以上均不正确3. 设空间区域1Ω：2222,0x y z R z ++≤≥2Ω：2222,0,0,0x y z R x y z ++≤≥≥≥ 则 A)124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C) 124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 设平面薄片位于区域221x y +≤，密度函数为222(2)(2)x y x ρ=++，质心坐标为(,)x y ，则A) 0,0x y == B)0,0x y =≠ C) 0,0x y ≠= D)0,0x y ≠≠5. 设22()Dx y d σ+⎰⎰，D ：由2y x =，1x =，0y =所围，则化为极坐标形式的积分为 A)sec 3400d d πθθρρ⎰⎰B)1340d d πθρρ⎰⎰C) 3400d d πθρ⎰ D)sec 340tan sec d d πθθθθρρ⎰⎰二、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.2224x x y d σ≤+≤⎰⎰＝2. 2sin sin 200cos d d πθαθθρθρ+⎰⎰＝3.利用重积分性质估计22(49)Dx y d σI =++⎰⎰，这里D :224x y +≤，那么 I∈ 4.积分222y xdx e dy -⎰⎰的值等于5.设Ω：224,01x y z +≤≤≤，则(sin cos 2)x y z dv Ω+⎰⎰⎰三、(10分) 计算二重积分1()x y x y dxdy +≤+⎰⎰四、 (10分) 改变下列积分次序. 1.220(,)xx dx f x y dy ⎰⎰ 2. ln 10(,)exdx f x y dy ⎰⎰五、 (10分) 证明()()000()()()ayam a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰六、 (10分) 计算三重积分()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =与z =所围区域.七、 (10分) 设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =曲面与所围区域，求(,)f x y .八、 (10分) 求平面1xy z a b c++=被三坐标所割出的有限部分的面积.九、 (10分) 计算2z dv ΩI =⎰⎰⎰，Ω：2222221x y z a b c ++≤.自测题(B)三、 选择题(3分⨯5＝15分) 1. 在下列哪种情况下成立A) (,)(,)f x y f x y -=- B) (,)(,)f x y f x y -= C) (,)(,)f x y f x y --= D) (,)(,)f x y f x y -= 且(,)(,)f x y f x y -=2. 设D 由1x =，0y =，12x y +=，1x y +=，若[]31ln()Dx y dxdy I =+⎰⎰，32()Dx y dxdy I =+⎰⎰，[]33sin()Dx y dxdy I =+⎰⎰，则1I ，2I ，3I 之间的关系为A) 123I <I <I B) 321I <I <I C) 132I <I <I D) 312I <I <I 3.设(,)f x y 为连续函数，则00(,)axdx f x y dy ⎰⎰等于 A) 00(,)aydy f x y dx ⎰⎰ B) 0(,)a ay dy f x y dx ⎰⎰ C) 0(,)aya dy f x y dx ⎰⎰ D) 0(,)aady f x y dx ⎰⎰ 4.设平面区域{}(,),D x y a x a x y a =-≤≤≤≤，{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B) 12D xydxdy ⎰⎰C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D)05.一物体占有空间区域Ω：2221,0x y z z ++≤≥，密度为(2)(2),x y z +-质心坐标，(,,)x y z 则A)0,0x y >> B) 0,0x y >> C) 0,0x y <> D) 0,0x y << 四、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.22222()x y yf x y d σ+≤+⎰⎰的极坐标形式的二次积分为2.设区域D 由双曲线222()2x y xy +=，那么()Dx y d σ+⎰⎰等于3.设D ：222x y a +≤，Dxy dxdy ⎰⎰＝4.空间区域Ω是由平面1x y z ++=及三坐标面所围，将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为先对x ，再对y ，最后对z 的三重积分5.曲面1x y z ++=所围立体的体积是 三、(10分)计算221()Dx yf x y dxdy ⎡⎤++⎣⎦⎰⎰，其中D 是由3y x =，1y =，1x =-所围成的区域，()f x 为连续函数.十、 (10分)求椭球2222221x y z a b c++≤的体积十一、15分)将(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω由22z x y =+，z =所围.十二、10分) 21xxdx ⎰⎰十三、10分) 求由2y ax =及x a = (0)a >所围图形关于直线y a =-的转动惯量. 八、(15分) 求222201lim(,)t x y t f x y d t σπ→+≤⎰⎰，其中(,)f x y 为连续函数.自测题(C)一、选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D ：2214x y ≤+≤，则(,)D f x y d σ⎰⎰A)2121(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰B)120104(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰C) 2201(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰D) 2012(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ 2. 设1Dx y dxdy I =+⎰⎰，22aDx y dxdy I =+⎰⎰ (0)a >，其中D ：1x y +≤，那么A) 120I -I > B) 120I -I <C) 120I -I = D) 12I -I 的符号与a 的取值有关3.设Ω：2222x y z R ++≤，2221()x y z dv ΩI =++⎰⎰⎰，则A) 543R πI = B)223()2x y dv ΩI =+⎰⎰⎰C) 223()2y z dv ΩI >+⎰⎰⎰ D) 223()2z x dv ΩI <+⎰⎰⎰ 4.设k D ：22()()2,1,2,3x k y k k -+-≤=，记2(3)kk D x y d σI =+-⎰⎰，则有A)123I =I ≠I B) 321I =I ≠I C) 132I =I ≠I D)以上都不正确5.设设Ω：2222x y z z ++≤，12z ≥，则f dxdydz Ω⎰⎰⎰A)123002()sin d f d ππφρρφρ⎰⎰ B)2cos 23002()sin d f d πφπφρρφρ⎰⎰C)111022dr f rdz π⎰⎰D)21022dz f rdr π⎰五、 填空题(3分⨯5＝15分)1.将柱面坐标三次积分42000(,,)dz d f z d πθρθρ⎰⎰化为先对z 后对ρ，θ的三次积分2.不等式22041z x y ≤≤+≤所表示的图形的体积为3.设Ω为2222x y z x ++≤则222()f x y z dv Ω++⎰⎰⎰在球面坐标下的三次积分为在柱面坐标下的三次积分为4.一旋转抛物面状容器装满水，再将水倒掉34，问容器内水面下降了 ％三、(15分)将二次积分变换积分次序 2210(,)x dx f x y dy I =⎰⎰六、 (15分)计算三次积分1000sin 1x yzdx dy dz z-⎰⎰⎰ 七、 (15分)用二重积分证明：平面曲线()0y f x =>，(0)a x b ≤≤≤绕x轴和y 轴旋转一圈所得的旋转曲面的面积分别是2(bx a S f x π=⎰和2by a S π=⎰ 八、 (15分)求曲面z =与222x z z +=所围立体的体积 九、 (10分)若(,)f x y 为区域D 上的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，证明 0(,)(,)2(,)(,)DDf x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数为的偶函数重积分自测题答案自测题(A)一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D二、1.3π 2.0 3.]ρπ[36，100 4. 41(1)2e -- 5.4π 三、43四、1)2420222(,)(,)yy y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰2) 1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰六、8π 七、18xy +九、3415abc π自测题(B)一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 二、1.2sin 200()d f d πθθρρρ⎰⎰2.03.42a 4.111000(,,)z y zdz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰5.43三、25- 四、43abc π五、7()36π-1 七、485a 八、(0,0)f自测题(C)一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 二、1.222400(,,)d d f z dz πρθρρθ⎰⎰⎰2.8π3.2sin cos 2200sin ()d d f r r dr ππφθπθφφ-⎰⎰⎰2cos 220()d d f z dz πθπθρρρ-+⎰⎰4.50三、142001(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx -⎰⎰四、1(1sin1)2-七、提示：将(,)Df x y d σ⎰⎰表示为在1D 上的二重积分.。
第九章 重积分(二重和三重)高数课件
其中Ω 其中Ω 所围立体. 所围立体
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤ θ ≤ 2π
∴
r=R
∫∫∫Ω
3. 三重积分的计算
(1) 投影法 (“先单后重”) 先单后重” 先单后重
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
关键：正确的判断上、下曲面 关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域. 找对投影区域
2011-2012学年高等数学第二学期期 中考试说明
• 题型： 题型： 个小题）； 个小题）； 一、填空题（5个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、 填空题（ 个小题）；二 选择题（ 个小题）；三 计算题（ 个小题）；四 计算题（ 个小题）；五 个小题）； 个小题）； 计算题（ 5个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计 算与解答题（ 个小题）；六 证明题（ 个小题 个小题）； 个小题）。 算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（ 1个小题）。 • 考试时间： 考试时间： 2012年5月4日（第10周周五）下午 ：00－6：00 年 月 日 周周五） 周周五 下午4： － ： • 考试地点： 考试地点： 化学工程与工艺6班 制药工程 化学工程与工艺 班、制药工程1—2班： 24-303 班 生物工程1—2班：24-305 班 生物工程
2π
2 h
h
x
o
y
例. 计算三重积分
其中Ω 其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体. 成半圆柱体
三重积分独家解法
§重积分重积分是定积分延伸，定积分是如图（1）所示，由上曲线和下曲线在定义域内所围成面积S ；二重积分的已知条件是一平面区域作为二重积分的“定义域”，被积函数是两个空间曲面函数的差值，如 xydθD,其实，它的二重积分的原始形式为 [f x −g x ]dθD,即f x −g x =xy 。
其中，f （x ）和g （x ）均为空间曲面的函数表达式。
而如果把二重积分以定积分的形式表现则比较牵强： xydθA B，A 与B 的差值就是二重积分的定义区域，但是，A 和B 只是作者假设的虚拟值，实际并不存在，为了简洁地表达二重积分，引入了“ ”符号，这是二重积分的高度抽象化，单从这个符号是看不出二重积分的几何意义的。
§三重积分三重积分是在体积的基础上的四维积分。
定积分的定义域在一维数轴上（X ）反映，积分函数为曲线，对应积分几何意义为面积；二重积分的定义域在二维数轴（X-Y ）上反映，积分函数为曲面，对应几何意义为体积；三重积分的被积函数没有固定的意义，积分也就没有固定的意义，比如， xdxdydz Ω，被积函数为f(x)=x ，当x 表示密度时， xdxdydz Ω表示质量，当x 表示单位粒子能量时， xdxdydz Ω表示内能…即：密度、单位粒子能量都是一种四维变量。
这些变量是关于x 、y 、z 的函数，我们暂设为h(x,y,z)。
即(x ,y,z)dxdydz Ω.以高等数学（第六版 下册 同济大学数学系编）P159页例1（计算三重积分 xdxdydz Ω，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域）为例，闭区域Ω如图所示，xdxdydz Ω中的h(x,y,z)=x 是x 的一元一次函数，与y,z 无关，我们采用微分思想，把三棱锥C-OAB 分成若干份，则阴影部分的体积为dV=yzdx .阴影部分的三重积分为xyzdz （x 为被积函数h(x,y,z)=x ）.则所求重积分为 xyzdx x 2x 1,但是y,z 必须用x 的函数关系式表示，即z=-x+1，y=1−x 2,三重积分 xyzdx 10= [x ∗ 1−x 2 ∗ −x +1 ]dx 10=14 x −2x 2+x 3 dx 10=148，所以，同样， 只是三重积分的高度抽象化的表达式，反映不出三重积分的几何意义。
重积分知识点
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
高等数学3复习提纲
高等数学3复习提纲复习提纲注意：以下出现的Ex1表示的对应习题中的第一题，其余表示符号类推。
1、 掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分 直角坐标系下：把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序，再把其中的二重积分化为二次积分，由此把三重积分化为三次积分。
先一后二：先把Ω向某个坐标面投影得到平面闭区域D(比如向xOy 面投影得到Dxy)，再以Dxy 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，把Ω的边界曲面分为上下部分，其方程分别记作()()21,,,z z x y z z x y ==，()()12,,z x y z x y ≤。
则Ω表示为：()()()12,,,xy x y D z x y z z x y ∈≤≤，。
再把Dxy 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。
先二后一：先把Ω向某个坐标轴投影得到区间I(比如向z 轴投影得到[Z1,Z2])，再从[Z1,Z2]上任取一点z ，过该点作一垂直于z 轴的平面，截Ω得到平面闭区域Dz ，则Ω表示为：()12,z z z z x y D ≤≤∈， 。
再把Dz 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。
柱面坐标系下：实为直角坐标系下使用先一后二的做法时，选择Dxy 为极坐标系，把Ω表示为如下形式：()()()12,,,xy D z z z ρθρθρθ∈≤≤，。
Dxy 下,ρθ的取值范围可参照二重积分（有两种情形）。
当Ω的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时，可考虑使用柱面坐标系。
球面坐标系下：当Ω的是球体或半球体或球面与锥面围成时，可考虑使用球面坐标系，其积分变量,,r θϕ的范围的确定请参照课堂例题。
示例：159页 例1，例2，例3；习题10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。
2、 了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式，会套用公式计算。