高数---第3讲 三重积分的计算
三重积分计算
三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。
在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。
一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。
设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。
则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。
可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。
三重积分对应的结果是一个数值。
二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。
三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。
1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。
先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。
然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。
第三节三重积分的概念与计算-PPT课件
重积分
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )， 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块
V1 , V2 , . . . , Vn ,
Vi 的体积 记为 V i
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
2 2 2 1 D xy
2 2 2 M ( x y z ) dxdydz dxdy ( x y z ) d 解 0
3 1 1 y y1 2 2 2 ( x y) dxdy ( x y ) dx 0 0 3 3 3 D xy
过点 ( x ,y ) D 作直线 , o xy
a
z2 S 2
z1
S1
z z ( x ,y ) 1
从 z 穿入，从 z b 1 2穿出．
x
( x, y)
D
y
y y ( x ) 2
y y ( x ) 1
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的 函数，则
1 2 13 2 ( x ) dx x x 1 0 3 3 3 0
1 2
其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 xy
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最
容易安排
g ( x , y , z ) dV dx ( x , y , z ) dz dy g
第三节三重积分计算法
设M（x,y,z）为空间
z
一点，如果将x，y，z
改用另外三个数r，,z
来表示，则称（r, ,z） O r
为点M的柱面坐标。
x
M (x, y, z)
z
y
P(r, )
在xoy面上 r, 就是极坐标
由图可知柱面与直角坐标的关系是
x r cos
y
r
sin
(0 r ,0 2 , z )
且被积函数含有
x2 y2, y x
常用极柱坐标
2.球面坐标
由球面坐标与直角坐标的关系：
x r sin cos 0 r
y
r
sin
sin
z r cos
,
0
0 2
体积元素
三重积分在球面坐标系下的形式：
f (x, y, z)dv F(r,,)r2 sindrdd
其中 F(r,,) f (r sin cos, r sin cos, r cos)
4
所以 zdxdydz rdrd r2 zdz
D
2
2
4
d rdr zdz
0
0
r2
1
2
d
2 r(16 r2 )dr
20
0
1 2
2 [8r 2
r2 6
]02
64 3
例6 计算 I (x2 y2)dv 其中
由锥面x2 y2 z2 , x 0, y 0
和z a a 0所围成第一卦限 z z a
f (x, y, z)dv
球面方程：r a
2
d
d
a F(r,, )r2 sindr
0
0
0
一般地，空间区域 包含原点在其内
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
高数 三重积分
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法 方法1. 投影法【 “先一后二” ;“丝丝吃法”】
d xd y
D
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
方法2. 截面法【“先二后一” ;“片片吃法”】
z z 2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
微元线密度≈
记作
D d xd y z ( x, y )
d z
a
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
两种方法各有特点, 具体计算时应根据 被积函数 及积分域（重积分两要素）的特点灵活选择.
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方法1. 投影法【“先一后二” ;“丝丝吃 法 ”】 z 1) 选 择 恰 当 的 投 影 面 ，
如 闭 区 域 在 xoy 面 上的投影为闭区域 D,
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
x y z 例4 计算 z dv , : 2 2 2 1 a b c
2
2
2
2
例5
2 2 dxdydz , : z x y ,z 1
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分)和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21z z dz )z ,y ,x (f ，再做二重积分⎰⎰σDd )y ,x (F ,就是“投影法”，也即“先一后二"。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D.多D 上一点(x ，y ）“穿线”确定z 的积分限,完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二"这一步.σ=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰d ]dz )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f D z z 21如果先做二重积分⎰⎰σz D d )z ,y ,x (f 再做定积分⎰21c c dz )z (F ，就是“截面法”，也即“先二后一”.步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间,即]c ,c [z 21∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰σzD d )z ,y ,x (f ，完成了“先二”这一步（二重积分)；进而计算定积分⎰21c c dz)z (F ，完成“后一"这一步。
dz ]d )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f 21zc c D σ=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰。
当被积函数f （z)仅为z 的函数(与x,y 无关)，且z D 的面积)z (σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑:将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面）D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)D 是圆域（或其部分）,且被积函数形如)xy(f ),y x (f 22+时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3)Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)z y x (f 222++时，可选择球面坐标系计算.1。
《高等数学教学课件》 第三节 三重积分的计算法精品文档17页
分割的 .令模0, 若和式
,则f称 (x,y,z)在 上 可 积,
i1
称 极 限 f(x,值 y,z)在 为 上 的 三重积分 , 记 为 :f(x,y,z)dv,
n
即 f(x ,y,z)d v l i0 m i 1f(i,
i,
i) vi,其
中f(x , y,
z)称
为
被
积
函 ,
称f (x, y,z)dv为被积表达,式 x, y, z称为积分变量,称dv为体积微元,
(2) .由 zx,x yy1和 z0所 围 成 解(2).
xy
f(x ,y,z)dx dy d d x 0zd f(x y ,y,z)d z
D xy
1 1x xy
0dx 0 d0 yf(x,y,z)d.z
二、柱面坐标、球面坐标坐标系下的三重积分计算
1、柱面坐标系
x r cos , r [0, )
yr zr
yz rcos
zz
0
si n 0 r J r.
01
例 1、计算 zdx,其 dy 是 中 dz 由 x2 曲 y2z面 24和 x2y23z所 围 . 成
解
:
0 2
D :
0 r 3
1 3
r2
z
4 r2
zdxdyrddzrd4r2zdz 2d
3
4r2
rdr zdz
及 z1 ,z2 所 围 成 . 的 圆 台 体
解
: 1z2, "先二后一 "计算方法： (x,y)D (z):x2y2z2,
2
2
zdxdydz dz zdxd y zdz dxdy
1
1
D(z)
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第3讲 三重积分的计算
一、直角坐标系下三重积分的计算
１.先一后二法
例1 计算
V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算V
zdV ⎰⎰⎰,
其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分
cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V
是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.
2.先二后一法
例4 计算sin V
z dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222
222x y z a b c
ρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）
例1 计算V
I zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,
锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22
()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空
间区域.
三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）
例1 计算2V I x dV =
⎰⎰⎰,其中V
由曲面z =
和z = 0R >围成. 例2 计算222[()
()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中
2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤
例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222x
y z a ++≤在第一卦限的部分.
例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.
练习：
1、2
V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2
、V I =
，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
6475⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3、()V I x z dV =
+⎰⎰⎰
，:V z =
z =8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4、()V
I x y z dV =++⎰⎰⎰，2222:,0,0,0V x y z R x y z ++≤≥≥≥所围。
4316R π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5、2()V
I x y z dV =++⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面1z =围成的空间区
域. 76π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6、已知()f x 连续，222()[()]V F t z f x y dV =++⎰⎰⎰，其中222:0,V z h x y t ≤≤+≤，求'()F t ，20()lim t F t t +→。