高数BC三重积分
高等数学§9.3.1-2三重积分的计算
例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz
高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
高数---第3讲 三重积分的计算
第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
高数讲义第三节三重积分(一)
z 0 所围空间立体.
解 如图， Dxy : 1 x 1
x2 y 1 1
y
y x2
1 Dxy
0
1x
: 1 x 1, x2 y 1,
0 z x2 y2.
1
1
x2 y2
I
dx 1
x2
dy0
f ( x, y, z)dz.
例 2 计算三重积分 xdxdydz，其中 为三个
（5）若 是前后结构 即若用平行于 x 轴的直线穿过 ，与其边界曲面 的交点至多有两个，亦可将 投影到 yoz 面上。
f ( x, y, z)dv
而后者又可进一步化为三次积分。
对于 为左右结构情形同理。
例1 化 I f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分，
其中， 为由曲面z x2 y2, y x2, y 1,
（3）进一步，若 是 X 型区域
z
f ( x, y, z)dv
（3） 若 是 X 型区域
o
a
Dxy {( x, y) |a x b, b y1( x) y y2( x)} x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
n
lim
0
i 1f(i,i源自,i)vi
存在，且与 的分法及点
(i ,i , i ) 的取法无关， 则称此极限为 f ( x , y, z )
在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z)dv
n
即
f ( x, y, z)dv
lim
0
i 1
f (i ,i , i )vi .
三重积分的计算与应用
三重积分的计算与应用积分是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算的一种方法，它可以用于计算三维体积、质心位置、质量、物理场的通量等问题。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的计算方法三重积分在直角坐标系中的计算方法可以分为直角坐标系下的直接计算和变量替换法两种。
1. 直接计算直接计算是指根据积分的定义，将积分区域划分为许多小的体积元，然后对每个小体积元进行积分的方法。
在直角坐标系中，三重积分的计算公式为：∬∬∬_V f(x,y,z) dxdydz其中f(x,y,z)为被积函数，V为积分区域，dxdydz表示三维空间中的体积元。
通过将积分区域V划分成小的立方体，求解每个小立方体的体积和函数值的乘积，再将所有小立方体的贡献相加，即可得到三重积分的结果。
2. 变量替换法当被积函数的积分区域V的形状比较复杂时，直接计算的方法可能比较繁琐。
这时可以利用变量替换法来简化计算。
变量替换法是通过引入新的变量替换积分变量，使得积分区域转化为更简单的形式。
常用的变量替换方法包括球坐标系变换、柱坐标系变换和曲线坐标系变换等。
二、三重积分的应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
1. 计算体积三重积分可以用来计算三维空间中各种复杂形体的体积。
通过将被积函数设为1，即可计算出积分区域的体积。
2. 质心位置质心是一个物体的重心位置，对于具有连续分布质量的物体，其质心位置可以通过三重积分来计算。
通过将被积函数分别为x、y、z乘以质量密度，然后对三重积分进行计算，即可得到质心位置的坐标。
3. 质量如果一个物体的质量分布在三维空间中不均匀，可以通过三重积分来计算其质量。
将被积函数设为质量密度，然后对积分区域进行三重积分，即可得到质量的大小。
4. 物理场的通量物理场的通量表示单位时间通过单位面积的物理量。
高等数学《三重积分的计算》
若在D上有
则有
(2) 单调性
(1) 正性
性质5
（三重积分中值定理）
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
二、利用直角坐标计算三重积分 1、坐标面投影法
如图，
得
注意
这种方法称为坐标面投影法.
解
故 ：
解
如图，
解
如图,
2、坐标轴投影法(截面法)
坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:
解
原式
3、利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
解
积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 的奇函数,
例7
解
三、利用柱面坐标计算三重积分
规定：
柱面坐标与直角坐标的关系为
如图，三坐标面分别为
任取球体内一点
得锥面
对: 从0 积分，
对 : 从0 积分，扫遍球体
1. 为全球体
2. 为上半球体
3. 为下半球体
5. 为球体的第一、二卦限部分
6. 为空心球体
4. 为右半球体
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
（计算时将三重积分化为三次积分）
圆柱面；
半平面；
平 面．Βιβλιοθήκη 如图，柱面坐标系中的体积元素为
解
知交线为
例2
解
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
解
注：
四、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标与直角坐标的关系为
如图，
S
r
M
y
高等数学 第三节 三重积分
解1 0 y 1 , y x y , 0 z 1 y
z yz1
x sin2 ydv 1sin2 ydy
y
xdx
1 y
dz
0
y
0
x
1y
0
解2 由于被积函数关于 x 是奇函数，积分域关于
yOz 平面对称，所以积分等于零。
第十章 第三节
20
奇偶对称性化简三重积分
1 积分区域关于某坐标面具有对称性； 2 被积函数在积分区域上关于相对应的坐标轴 具有奇偶性。
x 0 , y 0}
z R
R
zdxdydz 0 dz zdxdy
Dz
Dz
R
y
R x
R
z(R2
z2 )dz
(1
R2z2
1
z4)
R
R4
40
42
4 0 16
第十章 第三节
17
例6 计算 由 z 1 (x2 y2 ) , z 1 , z 4 围成。
2
解
，其中
利用对称性 轮换
奇偶
1 2
(
Dz
b
a dz f ( x , y , z)dxdy Dz
第十章 第三节
15
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴 (例如 z 轴) 投影，得 投影区间 [a , b]；
(2) 对 z [a , b] 用过 z 轴且平行于 xOy 面的平面
去截 ，得截面 D z ；
z b
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z)dxdy ， z
把 x 看成常数。积分区域 就为圆盘 y2 z2 x2
(1
x4
)dxdydz
高数2 第10章 三重积分
第三节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想, 采用k k k k v ∆),,(ζηξμΩ),,(k k k ζηξkv ∆引例: 设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质,,),,(C z y x ∈μ求分布在Ω内的物质的可得∑=nk 1lim →λ=M “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量M .密度函数为定义.设,),,(,),,(Ω∈z y x z y x f kk k nk k v f ∆∑=→),,(lim 10ζηξλ存在,),,(z y x f ⎰⎰⎰Ωvz y x f d ),,(称为体积元素,v d .d d d z y x 若对Ω作任意分割:任意取点则称此极限为函数在Ω上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域Ω上连续,则存在,),,(Ω∈ζηξ使得⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(Vf ),,(ζηξ=V 为Ω的体积,积和式”极限记作二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法(“先一后二”)方法2 . 截面法(“先二后一”) 方法3 . 三次积分法,0),,( z y x f 先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数, 方法:当被积函数在积分域上变号时, 因为),,(z y x f 2),,(),,(z y x f z y x f --),,(1z y x f =),,(2z y x f -非负函数根据重积分性质仍可用下面介绍的方法计算.2),,(),,(z y x f z y x f +=zyabc dz=gz=eNMPzy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=Ω=[a ,b ;c ,d ;e ,g ]I =⎰ge zz y x f d ),,(积分区域是长方体..ΩD同理，也有其它积分顺序⎰⎰Dy x d d ⎰⎰⎰=ged cbazz y x f y x d ),,(d d 1.计算三重积分方法1. 投影法(“先一后二”)zyz 2(x ,y )Ω为图示曲顶柱体I =⎰21),(),(d ),,(y x z y x z zz y x f ⎰⎰Dy x d d PNM..积分区域是曲顶柱体ΩDz 1(x ,y )2.计算三重积分zy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=zyz 2(x ,y )I =D积分区域是曲顶柱体Ω为图示曲顶柱体这就化为一个定积分和一个二重积分的运算z 1(x ,y )2.计算三重积分.zy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=⎰21),(),(d ),,(y x z y x z zz y x f ⎰⎰Dy x d dz =0y = 0x =0yxΩ：平面x = 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域先画图xz y1121D xy是曲顶柱体ΩD xy :x = 0, y = 0, x+2y =1 围成：上顶yx z 21--=：下底z = 0121⎰⎰⎰2--102-101=yx x z y x x d d d 481=...例1. 计算三重积分x + 2y + z =1D xyz y x x I d d d ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰2--10yx z x y x d d d I =Ω：平面y =0 , z =0，3x+y =6,3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域yx6241 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图D xy :y = 0, 3x +y = 6, 3x+2y =12 围成y x z --=6z = 0不画立体图做三重积分D xy ⎰⎰⎰--=yx D zz ,y ,x f y x I xy6 0)d (d d ⎰⎰⎰----=yx y y zz y x f x y 603243260d ),,(d d ..是曲顶柱体Ω：上顶：下底例2.zy x z ,y ,x f I d d d )( Ω⎰⎰⎰=计算66x+y+z=63x+y=62.z yΩ3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域66x+y+z=63x+y=62.zyΩ3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域3x+y=63x+2y=12 x+y+z=6.66zy 42Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域3x+y=63x+2y=12 x+y+z=6.66zy 42Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域z = 0y = 042x+y+z=6.zy66Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域420zy663x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域Ω⎰⎰--=y x Dzz ,y ,x f yx I 6 0)d (d d .0yx624D ..⎰⎰⎰----=yx yy zz y x f x y I 6 0324 26 0d ),,(d dyx2πxy = 1 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图不画立体图做三重积分D xy :xz -=2πz = 0⎰⎰⎰-=x πD zz ,y ,x f y x I xy2 0)d (d d ⎰⎰⎰-=x πx πzz y x f y x 2 02 0d ),,(d d 围成2=0==πx ,y ,x y 。
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1 1 x y
2
2
dz x y z
2 2 2
1
例: {( x, y, z) x y r ,0 z h}
2 2 2
(r , h) f ( x y , z )dv
2 2
其中 f (u , v ) 连续,
求:
" rh
例.
1 求 : lim 4 F (t )， t 0 π t
其中 F (t )
x2 y2 z 2 t 2
f ( x y z )d xd yd z
2 2 2
例. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,
(t ) F (t ) 2 2 f ( x y ) d D(t ) 2 2 f ( x y ) d D(t )
(预赛2016)求积分
I ( x y z)dv
其中 : 0 z 1 x y
(考研2015)设
是由平面
x y z 1 与三个坐标平面
所围成的空间区域, 则
( x 2 y 3 z ) dxdydz
1 4
例: 计算
( x y ) dv ,
2 2
1 2 2 x y 由z x y , z 2
2 2
和平面
z 1 所围的闭区域.
练习： 设 由锥面 和球面
所围成 , 计算：
(冲刺)计算
2
x y z 2 z
2
x dv
2
2
（练习）计算
( x y z ) dxdydz
2 2 2
其中
三重积分
问题一：利用对称性化简三重积分（ 的表示）
问题二：利用投影计算三重积分（附：柱坐标） 问题三：利用截面法计算三重积分 问题四：球坐标法介绍 问题五：变“限”重积分的处理
练习: 将 I
f ( x, y , z ) d v
用三次积分表示,其中 由五个平面
x 0 , y 1, x 2 y 4 ,
例. 求半径为a 的球面 与半顶角为的内接
2a
O x
M
y
锥面所围成的立体的体积.
例. 求曲面
( x y z ) a z (a 0)
z a
2
2
2 2
3
所围立体体积.
r
O x
y
(预赛2016)设扇形区域
D : 0 r a, (0 )
( y z ) dxdydz
其中
2
是由曲面
1 2 2 x ( y z) R , z 0 2
以及
z h 所围成的立体。
（预赛2014） 计算三次积分
I dx dy ye
0 x y
1
1
1
1 z4dz来自 (精选)计算1
1
dx
1 x
2
0
dy
O
x
例: 均匀圆柱体 的底圆半径为 R,
高为 H ,密度为 . (1)求对它的一条母线的转动惯量; (2)求 对它的底圆直径的转动惯量.
备用题
设有一高度为 h(t ) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其
2( x 2 y 2 ) , 设长度单位为厘米, 侧面满足方程 z h(t ) h(t ) 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积成正比
则 D 绕极轴旋转而得的立体之
体积为
2 a (cos cos ) 3
3
(练习)设有一高为 H 的圆柱形容器，
2 盛有 H 高的水，放在离心机上高 3
速旋转，因受离心力的作用，水面
呈旋转抛物面形状，问当水刚要溢
出容器时，水面的最低点在何处。
(练习)一种物质分布在半径为 R
的球体内，分布密度与球体内的 点到球表面上一定点 P0 的距离立
(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; 2 (2) 证明 t > 0 时, F (t ) G (t ) . π
例：记 为 z x
2
y
2
在点
1,0,1 处的切平面,立体
由 z 1 x y
2
2
及平面
所围, 求 的体积.
z
方成正比，求该球体的重心位置。
例. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线
的方程为 若炉内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的自重, 求它的质心.
O
z
x
例. 求半径为R的均匀球
z a M0 R
O
x
y
对位于点
的单位质量质点的引力.
例.求密度为 的均匀球体
对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
z l
y
2
是由曲面
2 2
x y z 2( x y z) 所围
例： 证明:
x2 y 2 z 2 1
f z dv f u 1 u du
1 2 1
2 2
[ f x y
?; f x y z ?]
2 2 2
（练习）计算
(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
z
多少小时? (2001考研)
O
x
y
z x, z 2
所围成 ,
其中 f ( x, y, z ) C ( ) .
例. 计算三重积分 其中 由抛物面 x y 4 z 与平面
2 2
z h (h 0) 所围成 .
例. 计算三重积分
其中 为由柱面 x
2
y 2x
2
及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围成半圆柱体.
G (t )
f (x2 y2 z 2 ) d v
z
D(t )
2 2 2 2 ( t ) {( x , y , z ) x y z t }, 其中
t
t
f (x2 ) d x
2 2 2
x
O t y (t )
D(t ) {( x, y ) x y t }.