动态规划应用举例
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划算法应用场景
动态规划算法应用场景动态规划（Dynamic Programming）在数学上属于运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法，同时也是计算机科学与技术领域中一种常见的算法思想。
动态规划算法与我们前面提及的分治算法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题的解。
但是两者之间也有很大区别：分治法将问题划分为互不相交的子问题，递归的求解子问题，再将他们的解组合起来求解原问题的解；与之相反，动态规划应用于子问题相互重叠的情况，在这种情况下，分治法还是会做很多重复的不必要的工作，他会反复求解那些公共的子问题，而动态规划算法则对相同的每个子问题只会求解一次，将其结果保存起来，避免一些不必要的计算工作。
Tips: 这里说到的动态规划应用于子问题相互重叠的情况，是指原问题不同的子问题之间具有相同的更小的子子问题，他们的求解过程和结果完全一样。
动态规划算法更多的时候是用来求解一些最优化问题，这些问题有很多可行解，每个解都有一个值，利用动态规划算法是希望找到具有最优值的解。
接下来，就让我们具体看看动态规划算法的求解思路及相关应用场景。
1. 动态规划算法求解分析1.1 适用问题首先，在利用动态规划算法之前，我们需要清楚哪些问题适合用动态规划算法求解。
一般而言，能够利用动态规划算法求解的问题都会具备以下两点性质：最优子结构：利用动态规划算法求解问题的第一步就是需要刻画问题最优解的结构，并且如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则此问题具备最优子结构的性质。
因此，判断某个问题是否适合用动态规划算法，需要判断该问题是否具有最优子结构。
Tips: 最优子结构的定义主要是在于当前问题的最优解可以从子问题的最优解得出，当子问题满足最优解之后，才可以通过子问题的最优解获得原问题的最优解。
重叠子问题：适合用动态规划算法去求解的最优化问题应该具备的第二个性质是问题的子问题空间必须足够”小“，也就是说原问题递归求解时会重复相同的子问题，而不是一直生成新的子问题。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
动态规划算法有啥用途
动态规划算法有啥用途动态规划算法是一种常用的优化算法，可以在时间和空间上实现高效的计算。
它适用于一系列问题，包括最优化问题、决策问题和计数问题等。
动态规划算法通常用于问题具备「无后效性」（无后效性是指问题的当前状态不会受到未来状态的影响）和「最优子结构」（问题的最优解可以由子问题的最优解推导得到）的情况下。
基本思想是将原问题划分为若干子问题，逐个求解子问题，再根据子问题的最优解推导出原问题的解。
下面将介绍几个典型的应用场景：1. 最短路径问题：最短路径问题是图论中的经典问题，动态规划算法可以高效地解决。
通过构建状态转移方程，可以递推求解从起点到终点的最短路径。
2. 最长公共子序列问题：最长公共子序列问题在字符串处理中非常常见，例如求两个字符串的最长公共子序列长度。
动态规划算法可以通过构建状态转移方程来高效地求解。
3. 背包问题：背包问题是一类经典的组合优化问题，常见的有0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
动态规划算法可以用来求解背包问题的最优解。
4. 最大子数组和问题：最大子数组和问题是在一个数列中找到一个连续子数组，使得子数组元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子数组和。
5. 最长递增子序列问题：最长递增子序列问题即求解一个序列中最长的子序列，满足子序列中的元素从左到右递增。
动态规划算法可以高效地求解最长递增子序列的长度。
6. 矩阵链乘法问题：矩阵链乘法问题是矩阵计算中常见的优化问题，即给定一系列矩阵，求解它们相乘的最少次数。
动态规划算法可以用来高效地解决该问题。
7. 0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定的一组物品中，每个物品可以选择放入背包或不放入背包，目标是使得背包中物品的总价值最大，且背包的容量不能超过一个给定的值。
动态规划算法可以用来求解该问题的最优解。
8. 最大子矩阵和问题：最大子矩阵和问题是在一个二维矩阵中寻找一个子矩阵，使得子矩阵元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子矩阵和。
动态规划算法详解及经典例题
动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。
（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。
⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。
动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。
这样就能够从表中得到原始问题的解。
（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。
关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。
⽽在各阶段中。
⼈们都须要作出⽅案的选择。
我们称之为决策。
⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。
这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。
因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。
因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。
每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。
我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。
因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。
经常是⼈们所关⼼的问题。
我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。
（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
在⾼负荷下⽣产时。
产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y的关系为h=h(y)。
动态规划应用案例
动态规划应用案例动态规划是一种解决复杂问题的优化算法。
它通过将问题拆分成多个子问题，并记录每个子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
在实际应用中，动态规划被广泛用于解决各种问题，包括最优化问题、路径搜索问题、序列问题等。
本文将介绍几个动态规划的应用案例，以展示其在实际问题中的强大能力。
案例一：背包问题背包问题是动态规划中经典的一个例子。
假设有一个背包，容量为V，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。
要求在不超过背包容量的前提下，选取一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)最后，根据状态转移方程，可以循环计算出dp[n][V]的值，即背包中物品总价值的最大值，从而解决了背包问题。
案例二：最长递增子序列最长递增子序列是指在一个序列中，选取一些数字，使得这些数字按照顺序排列，且长度最长。
动态规划也可以应用于解决最长递增子序列问题。
假设有一个序列nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。
案例三：最大子数组和最大子数组和问题是指在一个数组中，选取一段连续的子数组，使得子数组的和最大。
动态规划也可以用于解决最大子数组和问题。
假设有一个数组nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最大子数组的和。
典型的动态规划举例矩阵连乘问题
二、 LITTLE SHOP OF FLOWERS
PROBLEM
You want to arrange the window of your flower shop in a most pleasant way. You have F bunches of flowers, each being of a different kind, and at least as many vases ordered in a row. The vases are glued onto the shelf and are numbered consecutively 1 through V, where V is the number of vases, from left to right so that the vase 1 is the leftmost, and the vase V is the rightmost vase. The bunches are moveable and are uniquely identified by integers between 1 and F. These id-numbers have a significance: They determine the required order of appearance of the flower bunches in the row of vases so that the bunch i must be in a vase to the left of the vase containing bunch j whenever i < j. Suppose, for example, you have a bunch of azaleas (id-number=1), a bunch of begonias (id-number=2) and a bunch of carnations (id-number=3). Now, all the bunches must be put into the vases keeping their id-numbers in order. The bunch of azaleas must be in a vase to the left of begonias, and the bunch of begonias must be in a vase to the left of carnations. If there are more vases than bunches of flowers then the excess will be left empty. A vase can hold only one bunch of flowers. Each vase has a distinct characteristic (just like flowers do). Hence, putting a bunch of flowers in a vase results in a certain aesthetic value, expressed by an integer. The aesthetic values are presented in a table as shown below. Leaving a vase empty has an aesthetic value of 0.
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1.1资源分配问题
设有某种原料，总数量为a，用于生产n种产品。若分配数量xi用于生 产第i种产品，其收益为 gi (xi ) 问应如何分配，才能使生产n产品的总收入最大? 此问题可写成静态规划问题：
max z g1 ( x1 ) g 2 ( x2 ) x1 x2 xn a x 0, i 1, 2, , n i g n ( xn )
x2
其中
x2 0,1, 2,3, 4,5
因为给乙工厂x2台，其盈利为p2(x2) ，余下的s2−x2台就给丙工厂，则它的 盈利最大值为f3(s2 − x2) 。现要选择x2的值，使
p2 ( x2 ) f3 (s2 x2 )
取最大值。其数值计算如表93
s2 x2
1.1资源分配问题
下面从最后一个阶段开始向前逆推计算。 第三阶段： 设将s3台设备(s3=0,1,2,3,4,5)全部分配给工厂丙时，则最大盈利值为 其中x3=s3=0,1,2,3,4,5 因为此时只有一个工厂，有多少台设备就全部分配给工厂丙，故它的盈 利值就是该段的最大盈利值，如下表。
x3
f3 ( s3 ) max P3 ( x3 )
p1 ( x1 ) f 2 (5 x1 )
取最大值，它就是所求的总盈利最大值，其数值计算如表9-4所示。 表9-4
s1
x1
p1 ( x1 ) f 2 (5 x1 )
工厂
盈利/万元
甲 备设 台数 0 1 2 3 4 5 0 3 7 9 12 13
乙
丙
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使国家得到的盈利最大。
1.1资源分配问题
解: 将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个工厂分别编号为1、2、3 设sk表示为分配给第k个工厂至第n个工厂的设备台数。xk表示为分配给第 k个工厂的设备台数。则
p2 ( x2 ) f3 (s2 x2 )
0 0 1 2 3 4 5 0 0+4 0+6 0+11 0+12 0+12
1 5+0 5+4 5+6 5+11 5+12
2
3
4
5
f 2 (x 2 )
x* 2
0 5 10+0 10+4 10+6 10+11 11+0 11+4 11+6 11+0 11+4 11+0 10 14 16 21
1.1资源分配问题
设状态变量sk表示分配用于生产第k种产品至第n种产品的原料数量。 决策变量uk表示分配给生产第k种产品的原料数，即uk=xk 状态转移方程： 允许决策集合： 令最优值函数 f k (sk ) 表示以数量为sk的原料分配给第k种产品至第n种产品所得到的最大 总收入。因而可写出动态规划的逆推关系式为：
当 gi (xi ) 都是线性函数时，它是一个线性规划问题；当 gi (xi ) 是非线性函数时，它是一个非线性规划问题。但当n比较大时，具体 求解是比较麻烦的。由于这类问题的特殊结构，可以将它看成一个多 阶段决策问题，并利用动态规划的递推关系来求解。
1.1资源分配问题
在应用动态规划方法处理这类“静态规划”问题时，通 常以把资源分配给一个或几个使用者的过程作为一个阶段， 把问题中的变量xi为决策变量，将累计的量或随递推过程 变化的量选为状态变量。
0 1 2 2 1,2 2
1.1资源分配问题
第一阶段： 设把s1台(这里只有s1=5的情况)设备分配给甲、乙、丙三个工厂时，则最 大盈利值为
f1 (5) max p1 ( x1 ) f 2 (5 x1 )
x1
其中
x1 0,1, 2,3, 4,5
因为给甲工厂x1台，其盈利为p1(x1) ，剩下的5−x1台就分给乙和丙两个工厂， 则它的盈利最大值为f2(5−x1) 。现要选择x1值，使
sk 1 sk xk
为分配给第k+1个工厂至第n个工厂的设备台数。 Pk ( xk ) 表示为sk台设备分配到第k个工厂所得的盈利值。 f k (sk ) 表示为sk台设备分配给第k个工厂至第n个工厂时所得到的最大盈利值。 因而可写出逆推关系式为
Pk ( xk ) fk 1 (sk xk ) , f k ( sk ) 0max xk sk f 4 ( s4 ) 0 k 3, 2,1
x3 s3 0 1 2 3 0 0 4 6 1 2
P3(x3) 3 4 5
f3(s3) 0 4 6
x3* 0 1 2 3
11
11
4
5
12
12
12
12
4
5
表中x3*表示使f3(s3)为最大值时的最优决策。
1.1资源分配问题
第二阶段： 设把s2台设备(s2=0,1,2,3,4,5)分配给工厂乙和工厂丙时，则对每个s2值，有 一种最优分配方案，使最大盈利值为 f 2 (s2 ) max P2 ( x2 ) f3 ( s2 x2 )
f k ( sk ) max g k ( xk ) f k 1 ( sk xk ) , k n 1, 0 xk sk f ( s ) max g n ( xn ) xn sn n n ,1
sk 1 sk uk sk xk
Dk ( sk ) uk 0 uk xk sk
利用这个递推关系式进行逐段计算，最后求得 f1 (a) 即为所求问题的 最大总收入。
1.1资源分配问题
例1 某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高效率的设备五台，分 配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备之后，可以为国 家提供的盈利如表9-1所示。
动态规划应用举例
第1节 第2节
资源分配问题 生产与存储问题
第3节*
第4节* 第5节 第6节
背包问题
复合系统工作可靠性问题 排序问题 设备更新问题 货郎担问题
第7节*
第1节 资源分配问题
所谓分配问题，就是将数量一定的一种或 若干种资源(例如原材料、资金、机器设备、 劳力、食品等等)，恰当地分配给若干个使 用者，而使目标函数为最优。