高考数列专题讲解(含答案)

数列
题型一、数列的综合问题
【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且
S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1S n
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，
因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，
所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，
于是q 2＝a 5a 3
＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.
故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1 ＝(－1)n －1·32n .
(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数，
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，
所以1<S n ≤S 1＝32，
故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1
＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，
所以34＝S 2≤S n <1，
故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2
＝34－43＝－712.
综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n
≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.
【分析】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.
【即时应用】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），
解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.
∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，
∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n .
(2)不存在.理由如下：
∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3
(k ∈N *)， 易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k
＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，
∴不存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k
成立. 题型二、数列的通项、求和
求和要善于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常用求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)当d >1时，记c n ＝a n b n
，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1
d ＝2， 即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，
解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29. 故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －
1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，
故c n ＝2n －12
n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12
n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋9
25＋…＋2n －12n .②
①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋12
n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，
故T n ＝6－2n ＋32
n －1. 【分析】用错位相减法解决数列求和的模板
第一步：(判断结构)
若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和.
第二步：(乘公比)
设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q .
第三步：(错位相减)
乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)
将作差后的结果求和，从而表示出T n .
【即时应用】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.
(1)证明：a n ＋2＝3a n ；
(2)求S 2n .
(1)证明 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，
因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.
两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，
即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，
所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，
故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .
(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n
＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列.
因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.
于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n
＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )
＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)
＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).
题型三、数列的综合应用
3.1 数列与函数的综合问题
【例3】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *).
(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－
1ln 2
，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，
有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.
所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2
d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，
它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.
由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，
解得a 2＝2.
所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，
所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12
n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2
n －1 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12
n －1－n 2n ＝2－1
2n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n
. 热点3.2 数列与不等式的综合问题
【例4】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n 3·2n －1
，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.
解 (1)设公差为d ，由题意得：
⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝
3，
d
＝3，∴a n ＝3n .
(2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，
∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）
2n ＋1，
∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）
2n
＝（n ＋1）（2－n ）
2n ＋1，
∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，
∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。