高中数学课时训练(含解析)：数列 (3)

【课时训练】第29节 等比数列及其前n 项和
一、选择题
1．(贵州遵义四中段测)设数列{a n }满足2a n ＝a n ＋1(n ∈N *),且前n 项和为S n ,则S 4
a 2
的值为( )
A.152 B ．154 C ．4 D ．2
【答案】A
【解析】由题意知,数列{a n }是以2为公比的等比数列,故S 4a 2
＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝15
2.
故选A.
2．(河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1＝3,a 9＝a 2a 3a 4,则公比q 的值为( )
A.2 B ．3 C ．2 D ．3
【答案】D
【解析】由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6,所以q 2
＝a 21.因为等比数列{a n }的各项都
为正数,所以q ＝a 1＝3.
3．(辽宁沈阳二中质检)在等比数列{a n }中,a 5a 11＝3,a 3＋a 13＝4,则a 15a 5＝( )
A ．3
B ．－13
C ．3或1
3 D ．－3或－1
3
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧
(a 3q 5)2＝3，a 3
(1＋q 10
)＝4，化简得3q 20－10q 10
＋3＝0,解得q 10
＝3或13,所以a 15a 5＝a 5q 10a 5
＝q 10＝3或1
3.
4．(江苏泰州模拟)已知各项均是正数的等比数列{a n }中,a 2,1
2a 3,a 1成等差数
列,则a 4＋a 5
a 3＋a 4
的值为( )
A.5－1
2 B ．5＋1
2 C ．－5－1
2 D ．5－12或5＋12
【答案】B
【解析】设{a n }的公比为q (q ＞0)．由a 3＝a 2＋a 1,得q 2－q －1＝0,解得q ＝1＋52.从而a 4＋a 5a 3＋a 4
＝q ＝1＋5
2. 5．(广东珠海综合测试)在数列{a n }中,“a n ＝2a n －1,n ＝2,3,4,…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当a n ＝0时,也有a n ＝2a n －1,n ＝2,3,4,…,但{a n }不是等比数列,因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时,有a n
a n －1＝2,n ＝2,3,4,…,即a n ＝
2a n －1,n ＝2,3,4,…,所以必要性成立．故选B.
6．(辽宁盘锦高中月考)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn .若a 3a 4a 8＝8,则Ⅱ9＝( )
A ．512
B ．256
C ．81
D ．16
【答案】A
【解析】由题意知,a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8,Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝
(a 1a 9)(a 2a 8)·(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95,所以Ⅱ9＝83
＝512.
7．(湖南浏阳一中月考)已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数,数列{b n }满足b n ＝lg a n ,b 3＝18,b 6＝12,则数列{b n }的前n 项和的最大值为( )
A ．126
B ．130
C ．132
D ．134
【答案】C
【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0),由题意可知,lg a 3＝b 3,lg a 6＝b 6.
又b 3＝18,b 6＝12,则a 1q 2＝1018,a 1q 5＝1012,∴q 3＝10－6,即q ＝10－2,∴a 1＝1022.∵{a n }为正项等比数列,∴{b n }为等差数列,且公差d ＝－2,b 1＝22,故b n ＝22＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋24.∴数列{b n }的前n 项和S n ＝22n ＋n (n －1)
2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －2322＋5294.又n ∈N *,故n ＝11或12时,(S n )m a x ＝132. 二、填空题
8．(河南洛阳统考)已知{a n }为等比数列,且a 3＋a 6＝36,a 4＋a 7＝18.若a n ＝12,则n ＝________.
【答案】 9
【解析】设{a n }的公比为q ,由a 3＋a 6＝36,a 4＋a 7＝(a 3＋a 6)q ＝18,解得q ＝1
2,
由a 1(q 2
＋q 5
)＝36得a 1＝128,进而a n ＝128·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －8.由a n ＝1
2,解得n ＝9. 9．(天津六校联考)设数列{a n }是首项为1,公比为－2的等比数列,则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.
【答案】15
【解析】由题意得a n ＝(－2)n －1,所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|＝15.
10．(福建上杭一中月考)已知等差数列{a n }的前5项和为105,且a 10＝2a 5.对任意的m ∈N *,将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ,则数列{b m }的前m 项和S m ＝________.
【答案】72m ＋1－7
48
【解析】设数列{a n }的公差为d ,前n 项和为T n .由T 5＝105,a 10＝2a 5,得
⎩⎨
⎧
5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，
a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，
解得a 1＝7,d ＝7,因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)
＝7n (n ∈N *)．对任意的m ∈N *,若a n ＝7n ≤72m ,则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1,所以数列{b m }是首项为7,公比为49的等比数列,故S m ＝7×(1－49m )1－49
＝7×(72m －1)
48＝
72m ＋1－748.
三、解答题
11．(湖北鄂东南联盟期中联考)已知数列{a n }满足a 1＝899
9,a n ＋1＝10a n ＋1. (1)证明:数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋19是等比数列,并求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19,T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和,求证:T n ＜1
2.
(1)【解】由a n ＋1＝10a n ＋1,得a n ＋1＋19＝10a n ＋10
9＝10⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n ＋19,所以a n ＋1＋1
9
a n ＋19＝10,所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋19是等比数列,首项为a 1＋1
9＝100,公比为10.
所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1,所以a n ＝10n ＋1
－19. (2)【证明】由(1)可得b n ＝lg ⎝
⎛
⎭
⎪⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1,
所以1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2
,
所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＜1
2,
所以T n ＜1
2.
12．(长沙模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1＝1,a 2＝32,a 3＝5
4,且当n ≥2时,4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.
(1)求a 4的值；
(2)证明:⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． (1) 【解】当n ＝2时,4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1, 即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋32＋54＋1,
解得a 4＝78.
(2)【证明】由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2),得
4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2),即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． ∵4a 3＋a 1＝4×5
4＋1＝6＝4a 2,∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ∈N *)． ∴a n ＋2－12a n ＋1
a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝1
2. ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项,1
2为公比的等比数列．。