2.1复数的加法与减法
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。
2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。
3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。
2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。
2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。
2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。
3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。
5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。
7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。
2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。
3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。
七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。
2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。
3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。
八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
新版高中数学必修2课件：7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
提示：我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋ di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi(a，b∈R) 减去复数c＋di(c，d∈R)的差，记作(a＋bi)－(c＋di)．
根据复数相等的含义，c＋x＝a，d＋y＝b， 因此x＝a－c，y＝b－d， 所以x＋yi＝(a－c)＋(b－d)i， 即(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i. 答案：A
2．已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是 ()
A．1 Bห้องสมุดไป่ตู้ 2 C．－1 D．－i
解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i， 故复数z的虚部为－1. 答案：C
3．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2 ＝________.
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形，∴|z1－z2|＝ 2.
方法归纳
1．设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念， 可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本 章“复数问题实数化”思想的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为 C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2| ＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方 形．
(2)如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好为平行四
边形的四个顶点，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA ＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则zA－zC ＝________.
高二数学复数的加减乘除与运算规则
高二数学复数的加减乘除与运算规则复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
在高二数学中，我们学习了复数的加减乘除与运算规则，它们是我们在解决复数相关问题时的基础。
本文将对这些运算规则进行详细的介绍。
一、复数的加法与减法规则复数的加法规则很简单，实部相加得到新的实部，虚部相加得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和可以表示为(z1+z2) = (a+c) + (b+d)i。
同样地，复数的减法规则也很直观，实部相减得到新的实部，虚部相减得到新的虚部。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的差可以表示为(z1-z2) = (a-c) + (b-d)i。
二、复数的乘法规则复数的乘法规则需要我们对两个复数进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算实部的乘积，然后计算虚部的乘积，最后将两部分相加。
所以，两个复数的乘积可以表示为：(z1*z2) = (a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i三、复数的除法规则复数的除法规则与乘法规则有些类似，但需要注意的是，我们需要将除数的共轭复数乘以被除数，然后进行分配律的运算。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，我们首先计算两个复数的乘积，然后将乘积的实部和虚部除以除数的模的平方。
所以，两个复数的除法可以表示为：(z1/z2) = (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2 + d^2)以上就是高二数学中复数的加减乘除与运算规则的详细介绍。
通过掌握这些规则，我们可以更加熟练地进行复数的运算，解决与复数相关的问题。
同时，在实际应用中，我们可以利用这些规则简化计算，并应用到其他数学领域中。
2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课典文 型精例讲题
例2:根据复数及其运算的几何意义，求复平面 1.（重内点的）两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离. 解: 因为复平面内的点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)对应的
复数分别为z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，所以点 Z1,Z2之间的距离为 Z1Z2 Z1Z2 z2 z1 | ( x2 y2i) ( x1 y1i) |
进行，这是复数减法的几何意义.
课典文 型精例讲题
例1:计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 1.（重点） 解: (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=(5-2-3)+(-6-1-4)i =-11i.
课典文 型精例讲题
总结:本题还可以这样解： 1.（重点(5-）6i)+(-2-i)-(3+4i)
1.复数的减法法则
根据复数相等的含义，c+x=a,d+y=b, 因此x=a-c,y=b-d, 所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即
实部相减为实部
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
虚部相减为虚部
课文精讲
➢ 复数的减法 1.（重点）
1.复数的减法法则
这就是复数的减法法则.由此可见，两个复 数的差是一个确定的复数.可以看出，两个复数 相减例讲题
总结:尽管 AB 的位置可以不同，只要它们的 1.（重点终）点与始点所对应的复数的差相同，那
么向量 AB 所对应的复数就是唯一的， 因此我们将复平面上的向量称之为自由 向量，即它只与其方向和长度有关，而 与其位置无关.
本课小结
复数的加法
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课件ppt
正弦值,进而求出△AOB 的面积.
解 (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 = + ,于是 = − ,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.
(2)因为 = − ,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
微练习
(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=
(2)(5-5i)-3i=
.
答案 (1)1+2i (2)5-8i
解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.
(2)(5-5i)-3i=5-8i.
.
知识点二、复数加法的几何意义
设1 , 2 分别与复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,则1 =(a,b),2 =(c,d).
这说明两个向量1 与2 的差就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此,复
数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.
微练习
若在复平面上的平行四边形 ABCD 中, 对应的复数为 6+8i,对应的复数
为-4+6i,则对应的复数是
.
答案 -1-7i
解析由复数加法、减法的几何意义可得 =
因此 cos∠AOB=- 17 ,故 sin∠AOB= 17 ,
1
1
17 5 4 17 5
5
故 S△AOB=2 ||||sin∠AOB=2 × 2 × 2 × 17 = 2,即△AOB 面积为2.
§2复数的四则运算(1)
2.1复数的加法与减法教学目标:1.理解复数代数形式的四则运算法则2.能运用运算律进行复数的四则运算.教学重点：复数的加法、减法运算教学难点：复数加减运算教学过程：一、问题情景1、 任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算？二、学生活动已知:di c Z bi a Z +=+=21；如何计算：21Z Z Z +==？=21.Z Z ?三、建构数学1.复数的加法、减法运算设di c Z bi a Z +=+=21；是任意两个复数，则21Z Z Z +==i d b c a di c bi a ）（）（）（）（+++=+++ i d b c a di c bi a Z Z Z ）（）（）（）（-+-=+-+=-=212.复数运算律：）（）；（3213211221Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ++=+++=+四、数学运用例计算(1) ）（）（）（i i i 945231+-++--.(2)(i 21-)+(i 32+-)+(i 43-)+…+(i 20032002+-)+(i 20042003-).思考: 当0>a 时，方程02=+a x 的解是什么？思考：在复数集内，你能将22y x +分解因式吗？同步练习:1.一个实数与一个虚数的差 （ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数2.已知复数i m m z i z )1(,2121-+=+=,要使21.z z 的实部与虚部相等,则实数m 的值为______________3.已知虚数x 与y 实部相等,虚部互为相反数,且i xyi y x 6432-=-+）（,求y x ,.。
【新教材精品教案】7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 教学设计(2)-人教A版高中数学
【新教材】7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义 教学设计（人教A 版）复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.课程目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.数学学科素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：加、减运算及其几何意义.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.一、 情景导入提问：1、试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
2、同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。
3、向量的加减运算满足何种法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本75-76页，思考并完成以下问题1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----121472z i Z i =+=-与12OZ OZ +②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加减法的几何意义图321如图321所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？提示 |z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．四、典例分析、举一反三题型一 复数的加减运算例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i(a ，b ∈R)．【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a ＋(4－2b )i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i ＝－10i.(3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i ＝(a ＋2a )＋(b －3b ＋4)i ＝3a ＋(4－2b )i.解题技巧（复数加减运算技巧）(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．跟踪训练一1．计算：(1)2i －[3＋2i ＋3(－1＋3i)]；(2)(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)．【答案】(1)－9i. (2)－2a ＋(6b －5)i.【解析】(1)原式＝2i －(3＋2i －3＋9i)＝2i －11i ＝－9i.(2)原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i.题型二 复数加减运算的几何意义例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)间的距离.【答案】|Z 1Z 2|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2．【解析】 因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i .所以Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|Z 1−Z 2|=|(x 1−x 2)+(y 1−y 2)|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2解题技巧： (运用复数加、减法运算几何意义注意事项)向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是z B －z A(终点对应的复数减去起点对应的复数)． 跟踪训练二1、已知四边形ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应于复数－5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．【答案】D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.【解析】如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C 2＝z B ＋z D 2， 所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝1－7i ，因为AC ―→：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC ―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ―→：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD ―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.题型三 复数加、减运算几何意义的应用例3 已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值．【答案】 |z |max ＝6，|z |min ＝4.【解析】由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z |max ＝6，|z |min ＝4.解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧）(1)|z －z 0|表示复数z ，z 0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z －z 0|＝r 表示以z 0对应的点为圆心，r 为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．跟踪训练三1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.【答案】|z1－z2|＝ 2.【解析】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝ 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本77页练习，80页习题7.2的1、2题.本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯通.。