第五章 数字高程模型内插
数字高程模型
1、数字高程模型：它是用一组有序数值阵列形式表示地面高程的一种实体地面模型，是数字地形模型（简称DTM)的一个分支，是表示区域D上的三维向量有限序列。
2、DTM：数字地形模型是利用一个任意坐标系中大量选择的已知x、y、z的坐标点对连续地面的一个简单的统计表示，或者说，DTM就是地形表面形态属性信息的数字表达，是带有空间位置特征和地形属性特征的数字描述。
地形表面形态的属性信息一般包括高程、坡度、坡向等。
3、TIN：不规则三角网，通过从不规则分布的数据点生成的连续三角面来逼近地形表面。
4、测绘4D产品（即DLG数字线划图、DRG数字栅格影像、DEM、DOM数字正射影像）：DLG：现有地形图上基础地理要素分层存储的矢量数据集。
数字线划图既包括空间信息也包括属性信息。
DRG：数字栅格地图是纸制地形图的栅格形式的数字化产品。
DEM：数字高程模型是以高程表达地面起伏形态的数字集合。
DOM：数字正射影像利用航空相片、遥感影像，经象元纠正，按图幅范围裁切生成的影像。
5、连续不光滑DEM：指每个数据点代表的只是连续表面上的一个采样值，而表面的一阶导数或更高阶导数不连续的情况。
6、数字地貌模型：是地貌形体及其空间组合的数字形式，是一维、二维、三维、四维空间地貌的可视描述和模拟。
7、DEM误差：DEM高程值与真实值的差异9、插值：根据不同数据集的不同方式，DEM建模可以使用一个或多个数学函数对地表进行表示。
根据若干相邻参考点的高程求出待定点上的高程值。
（内插）14、不规则镶嵌数据模型：用相互关联的不规则形状与边界的小面块集合来逼近不规则分布的地形表面15、行程编码结构：对于一幅栅格图像，常常有行或列方向上相邻的若干点具有相同的属性代码，因而可采取某种方法压缩那些重复的记录内容，即只在各行或列数据的代码发生变化时依次记录该代码以及相同代码重复的个数，从而实现压缩16、细节层次模型：对同一个区域或区域中的局部使用具有不同细节的描述方法得到的一组模型。
数字高程模型重点
数字高程模型1.DTM：以数字形式储存的地球表面上所有信息的总和，是描述地面特征和空间分布的数值的集合，是地形表面型态等多种信息的一种数字表示2.DEM：对二维地理空间上具有连续变化特征地理现象通过有限的地形高程数据实现对地形曲面的数字化模拟－－模型化表达和过程模拟。
特点：（1）精度的恒定性（2）表达的多样性（3）更新的是实时性（4）尺度的综合性3.DEM和DTM的关系：DEM是DTM的子集，是DTM最基本的部分；DTM中地形属性为高程是即为DEM4.一般要素：随机点、随机线特征要素（含特征信息的要素）：特征点(山顶,鞍部,谷底)、特征线5. 地形图：现势性差、但物美价廉摄影测量和遥感影像数据：现势性好，大范围数据精度高、相对成本低地面测量：精度高、成本高工作量大、周期长既有DEM数据6.决定DEM数据精度的条件：原始地形采样点的分布和密度。
7.DEM的数据结构:正方形网结构（Gird）,不规则三角网结构（TIN）,混合结构（Gird和TIN 混合结构）8.DEM的三种表示模型:规则格网模型(GRID),等高线模型(Contour),不规则三角网模型(TIN)9.表面建模：根据采用的数据模型，使用一个或多个数学函数对地形表面进行表达和处理。
即DEM表面生成或重建。
表面建模的方法：基于点的建模,基于三角形的建模,基于格网的建模,混合方法（以上任意两种混合）10.数字表面建模的方法1.基于点的表面建模2.基于三角形的表面建模3.基于格网的表面建模4.混合表面建模11.TIN模型的优点：（1）能以不同层次的分辨率来表述地形表面。
（2）在某一特定分辨率下能用较少的空间和时间更精确地表示更复杂的表面。
（3）能更好地顾及这些特征如断裂线、构造线等，更精确合理地表达地形表面。
（4）精度高、速度快、效率高和容易处理断裂线和地物等12.在所有可能的三角网中, 狄洛尼（Delaunay）三角网最适合用于拟合地形方面，常常被用于TIN的生成。
数字高程模型
+第一章绪论数字地形图：在测绘领域，地形图是一个专有名词。
国内的地形图（国外的不了解）一般特指那些特定比例尺系列、有着固定分幅范围的、全面表达地表面的地形、地物特征的地图。
其内容特点是全面、均衡、不突出表达某种要素。
一般包括：测量控制点、居民地、水系、交通、管线、地貌、植被等内容。
数字地形图的历史形态是模拟地形图，一般是纸质的。
数字高程模型(DEM)：地形图上的地貌是用等高线、高程点、陡坎、陡崖等表达的。
等高线和高程点，外加陡坎、陡崖及其比高构成了一种“高程模型”。
通过对他们的判读，可以得到对地表高程的总体印象，是对实际地貌的一种模拟。
数字地形图上的等高线和高程点是数字高程模型的一种。
不规则三角网、规则格网都可以是数字高程模型，其核心特点是都可以对地表高程信息进行完整的模拟。
数字地面(地形)模型(DTM)：地形是“地表形态”或“地貌形态”的简称。
地形可以用高程来描述，也可以用坡度、坡向等信息来描述。
数字地形模型包括数字高程模型、数字坡度模型、数字坡向模型等。
数字表面模型(DSM)：DEM必须是高程信息，是对地形和地貌的模拟，DSM可以是地物表面的模拟，包括植被表面、房屋的表面，对DSM进行加工，去掉房屋、植被等信息，可以形成DEM。
模型（Model）:用来表现其它事物的一个对象或概念，是按比例缩减并转变为能够理解的事物本体。
模型可用来表示系统或现象的最初状态，或表现某些假定或预测的情形。
三个层次：概念模型----基于个人的经验与知识在大脑中形成的关于状况或对象的模型。
物质模型----模拟的模型。
如沙盘，塑料地形模型。
数学模型----基于数字系统的定量模型。
用数学的语言、方法去近似地刻划实际，是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
•（1）按照模型的应用领域（或所属学科）如人口模型，生物模型，生态模型，交通模型，作战模型等。
•（2）按照建立模型的数学方法（或所属数学分支）如初等模型，微分方程模型、网络模型、运筹模型、随机模型等。
数字高程模型内插
4、考虑地貌特征的逐点内插
在拟合曲面的插值过程中，由于使用光滑曲面表达地 面，因而难以反映地性线（如山脊、山谷等），从而 造成插值后的地形失真；
解决方法是在插值前，判断拟合面内是否有地性线穿 过，对含地性线的拟合面，按地性线将其分割，直到 不含地性线为止，分割后的曲面如参考点个数不够， 可扩展选点范围；
1）整体内插函数保凸性较差；
2）不容易得到稳定的数值解；
3）多项式系数物理意义不明显，这容易导致无意义的地形 起伏现象；
4）解算速度慢且对计算机容量要求较高；
5）不能提供内插区域的局部地形特征。
龙格现象
二、整体内插
优点：
整个区域上的内插函数唯一； 能得到全局光滑连续的DEM； 可充分反映宏观地形特征； 编程简单。
3、Voronoi图法
Voronoi图将平面分成N
个区域，每区域包括一个点， 该区域是离该点最近的点的 集合； Voronoi图对散点空间的剖 分是唯一的，每个voronoi区 域是一个凸多边形； 利用Voronoi图可以找到最 佳的邻近点，也可以非常方 便地定出邻近点的权；
3、Voronoi图法
5、最小二乘配置法
在数字地面模型内插中可以使用该方法： Hi : 参考点i的实测高程值； hi : i点投影到趋势面上的点的高程值； zi : 从趋势面起算的i点的高程值； si : 实际地面与趋势面在i点的高程差； ri : i点的测量误差；
5、最小二乘配置法
目标：E(zi )=E(si )=E(ri )=0， 误差方程：Z=S+R=H-AW
由于该方法在大范围计算量大，选择函数困难，故应用较少； 但也有人认为： Hardy多面函数法的计算简单、快捷，但是它要求参考
数字高程模型的内插教育课件
1.1内插方法的分类
按内插点的分布范围，可以将内插分为三类。
整体内插
分块内插
逐点内插
根据二元函数逼近数学面和参考点的关系，内插又可以分 为两种。
纯二维内插
曲面拟合内插
6
1.1内插方法的分类
二维插值要求曲面通过内 插范围的全部参考点，曲 面拟合则不要求曲面严格 包括参考点，但该方法要 求拟合面相对于已知数据 点的高差的平方和最小， 即遵从最小二乘法则。可 见，内插的中心问题在于 邻域的确定和选择适当的 插值函数。
P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) P 2 ( , x 2 , y 2 , z 2 ) P 3 ( , x 3 , y 3 , z 3 ) P 4 ( , x 4 , y 4 , z 4 )
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11/29/2019
如果数据参考点呈正方形格网分布，则可以 直接使用双线性内插公式：
式中，A，B，C，D为 正方形四个格网点，l是 格网边长。
一般相邻分块间要求有适当宽度的重叠，以保证相邻分块间能
平滑、连续地拼接。典型的局部内插有线性内插、多项式内插、
双线性内插和样条函数内插等。特别是
基于TIN 和
正方形格网的剖分法双线性内插
是DFM分析与应用中最常用的方法。
13
2.1分块内插（线性内插）
算法的基本思想 线性内插是首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定 一个平面，继而求出内插点的高程值的方法。基于TIN的 内插广泛采用这种简便的方法。
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2.1分块内插（二元样条函数内插）
算法的基本思想
为保证各分块曲面间的光滑性，
按照弹性力学条件使所确定的n
次多项式曲面与其相邻分块的边
界上所有n—1次导数都连续，这
DEM的内插方法与精度评定
导 师: 魏玉明 答辩人: 雒建旺 专 业: 测绘工程
论文简体框架
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DEM研究背景
DEM的介绍 DEM的内插方法
结论
1.DEM研究背景
数字高程模型（DEM)是地理信息系统地理数据库 中昀为重要的空间信息资料和赖以进行地形分析的 核心数据系统。目前世界各主要发达国家都纷纷建 立了覆盖全国的DEM数据系统。DEM作为地球空间框 架数据的基本内容，是各种地理信息的载体，在国 家空间数据基础设施的建设和数字地球战略的实施 进程中都具有十分重要的作用。
3.DEM内插算法
DEM是地表的一个数学模型，使数学函数 （内插函数）表示。确定了内插函，即重建 了地表起伏形态，由此可求得地面任一点的 高程。
内插是DEM核心问题
生产 质量控制
贯穿DEM
精度评定 应用
一.DEM内插的理论基础
地表起伏连续光滑 相邻数据点之间相关
多项式法 插值逼近 样条函数法 多项式法
1
n n i 1 i 1
1 F 1
P1 Z1 1 Pn Z n
Pi Z i / 不良时）
2.DEM的介绍
1. DEM的含义 DEM 即数字高程模型 ，数字高程模型（Digital Elevation Model),简称DEM。它是用一组有序数值阵 列形式表示地面高程的一种实体地面模型，是数字地 形模型(Digital Terrain Model，简称DTM)的一个分 支，其它各种地形特征值均可由此派生。一般认为， DTM是描述包括高程在内的各种地貌因子，如坡度 、坡向、坡度变化率等因子在内的线性和非线性组合 的空间分布，其中DEM是零阶单纯的单项数字地貌 模型，其他如坡度、坡向及坡度变化率等地貌特性可 在DEM的基础上派生。
第五章数字高程模型2
四、求地表面积
地表面积的计算可看作是其所包含的每个格网表 面积之和。若格网中有特征高程点，则可将格网分解 为若干个小三角形，求出它们斜面面积之和作为格网 的表面积。若格网中没有高程点，则可计算格网对角 线交点处的高程，用四个共用顶点的斜三角形面积之 和作为格网的表面积。
（1）野外实地直接测量得到； （2）利用摄影测量方法获取； （3）从地形图中采集。
现实世界
野外直接测量 摄影测量与遥感 现有地形图
全站仪 GPS
传感器 数字化仪 扫描仪
地面影像
数字地图图像
数字摄影测量工作站 要素识别与提取 数字地理信息
数字地理信息的获取方法与途径
◆其它获取DEM方法：
❖ 用航天遥感立体像对获取DEM. ❖ INSAR(干涉合成孔径雷达）获取DEM. ❖ 激光扫描测高仪等
(2)地面平面曲率的计算
地面的平面曲率(plan curture)是指地面坡向的变化率，可以通过计算地 面坡向的坡度而求得。
4．谷脊特征分析
当(Hi, (j-1) –Hi, j)(Hi,(j+1)-Hi , j)>0 时，
若Hi,(j+1)> Hi, j则Vr(i, j)=-1
若Hi,(j+1)< Hi, j则Vr(i, j)=1
与DTM密切相关的学科和技术 GIS: DTM是其中核心部分的实体 测绘学:DTM的数据来源； 应用数学:内插DTM的理论基础以及分析 计算机科学:
第五章 数字高程模型内插
5.3.5 多面叠加内插法（多面函数法）
基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面（或称 单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在 Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格的 通过各个数据点。
Q为简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数，其值与分块 扩充范围内参考点的个数相等；Ki为待定参数，代表了第i个核函数对多层叠加面 的贡献。
5.3.7 有限元法（了解）
以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体 分割为有限个单元（如三角形、正方形等）的集合。
5.4 逐点内插法
逐点内插法是以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的变化而移动，又称移动曲面法。 5.4.1 移动拟合法
首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定个平面，继而求出内插点的 高程值的方法。
根据已知三个参考点A,B,C双线性内插p点高程值：
（2）Matlab算法实现
最邻近插值
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 ) x
y
( x1 , y1 ) ( x2 , y 1 )
O
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求． 注意：最邻近插值一般不连续．具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值．
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缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
5.3.2 双线性多项式内插（重点介绍内容）
使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四边形，进而确定一个双线性 多项式来内插待插点的高程。
正方形格网分布的双线性内插公式：
大范围地形比较复杂，因此一般不采样整体内插法。 分块内插能够较好的保留地物细节，并通过块间重叠保持了内插面的连续性， 是应用中较常选用的策略。其中双线性内插常用于实际工程。 实际应用中人们常通过建立剖分三角网直接进行内插。 逐点内插应用简便，但计算量大。Voronoi图的点内插方法是目前较好的逐点 内插方法。
O
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求． 注意：最邻近插值一般不连续．具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值．
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插ห้องสมุดไป่ตู้点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
5.3.3 反距离权重插值算法
一种局部插值方法，假设未知值的点受较近控制点的影像比较远控制点的影响更大。
1 zi K di i 1 z0 s 1 K d i 1 i
Z0为点0的估计值；zi为控制点i的z值；di为控制点i与点0间的距离；s为在估算中 用到的控制点的数目；K为指定的幂。
移动拟合法关键在于解决下面两个问题： （1）如何确定待插点的最小邻域范围以保证有足够的参考点； （2）如何确定各参考点的权重。 选择邻近点要考虑的因素： （1）范围； （2）点数。 动态圆半径方法：
考虑距离和方位向的权重。
5.4.2 加权平均法 加权平均法是移动拟合法的特例，是在解算待定点p的高程时，使用加权平均值 代替误差方程：
首先使用最靠近插值点的三个已知数据点确定一个平面，继而求出内插点的 高程值的方法。
根据已知三个参考点A,B,C双线性内插p点高程值：
（2）Matlab算法实现
最邻近插值
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 ) x
y
( x1 , y1 ) ( x2 , y 1 )
s
课下练习：编写C语言程序实现该插值算法。
5.3.4 二元样条函数内插
为保证各分块曲面间的光滑性，按照弹性力学条件使所确定的n次多项式曲面 与其相邻分块的边界上所有n-1次导数都连续，这n次多项式就称为样条函数。
方程的16个待定系数，需要建立16个方程。四角点高程ZA,ZB,ZC,ZD，以及它们 的导数值RA,RB,RC,RD,SA,SB,SC,SD和TA,TB,TC,TD。 优点：保留了微地物特征；内插速度快；保证了分块间连接处为平滑联系的曲面。 缺点：采样了弹性力学条件，而地表分块不是狭义的弹性壳体。
5.4.3 Voronoi图法 由Voronoi多边形的定义可知，相邻两个多边形的边界是相邻两点连线的垂直平分线， 因此借助Voronoi多边形，可以找出与待插点相邻的点集。
选点定权之后，进行加权平均的计算。
一维线性的Voronoi图内插
5.4.4 考虑地貌特征的逐点内插
5.5 关于内插方法的探讨
（2）Matlab算法实现
双线性插值
y
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
O
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成． 双线性插值函数的形式如下： f ( x, y) (ax b)(cy d ) 其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶 点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正 好确定四个系数．
5.3.5 多面叠加内插法（多面函数法）
基本思想是任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面（或称 单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在 Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格的 通过各个数据点。
Q为简单数学面，又称多面函数的核函数；n为简单数学面的张数，其值与分块 扩充范围内参考点的个数相等；Ki为待定参数，代表了第i个核函数对多层叠加面 的贡献。
x
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
5.3.7 有限元法（了解）
以离散方式处理连续量的一种数学方法，它的思路是将一定范围的连续整体 分割为有限个单元（如三角形、正方形等）的集合。
5.4 逐点内插法
逐点内插法是以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的变化而移动，又称移动曲面法。 5.4.1 移动拟合法
第五章 数字高程模型内插
• • • • • 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 内插方法的分类 整体内插 分块内插 逐点内插 关于内插方法的探讨
5.1 内插方法的分类
5.2 整体内插
由研究区域内所有采样点的观测值建立的。主要通过多项式函数来实现，又 称整体函数法内插。常被用于模拟大范围的宏观变化趋势。
取研究范围内不同平面位置的n个参考点三维坐标，带入方程内，使n阶线性 方程组有唯一解。将待插点的坐标代入上式，可得到待定点的高程值。 整体内插法的优缺点。
5.3 分块内插
分块内插是把参考空间分成若干块，对各分块使用不同的函数。要考虑各 相邻分块函数间的连续问题。 5.3.1 线性内插（重点介绍内容） （1）概念
5.3.6 最小二乘配置法（自学）
某一个测量值包含三部分： ① 与某些参数有关的值。测量值是这些参数的函数，而这个函数在空间是一个 曲面，故称为趋势面。 ② 不能简单用某个函数表达的值，称为系统的信号部分。 ③ 随机噪声。 去掉趋势面后，如果观测值包含信号和噪声两部分（且信号和噪声期望均为0， 两者的协方差也为零），则可获得信号估值的残差平方和为最小的线性内插方法， 包括内插、滤波和推估，统称最小二乘配置。