数学竞赛练习题答案
六年级数学第三单元竞赛练习题3(答案)
六年级数学第三单元竞赛练习题3一填空1、（ ）的51是最小的四位数。
2、最大的两位数是（ ）的31。
3、甲数的51与乙数的61相等，甲数是90，乙数是（ ）。
4、一台拖拉机，53小时耕地85公顷，1小时耕地多少公顷？正确列式是（ ） ；耕地1公顷要多少小时？正确列式是（ ）。
5、一个数分别与32、74相乘，乘得的两个积的和是1413，原来这个数是（ ）。
6、一根木头截去全长的31，正好截去31米，这根木头还有（ ）米。
7、8米的43和30米的（ ）同样长。
8、甲、乙两数相差0.4，甲的43和乙的65相等，甲、乙两数之和是（ ）。
9、甲、乙两数相差45，甲数的75等于乙数的65，甲数是（ ）。
10、一本书共160页，小时第一天读81，第二天读15页，还剩下全书的（ ）。
11、一根彩带的长度等于它本身长度的43加上43米，这根彩带长（ ）米。
12、两个数相除，商是60，余数是商的121，被除数是545，除数是（ ）。
13、实验小学六年级有男生55人，比女生多15人，要使妇生人数占全年级人数的209，需转入（ ）名学生。
14、一个最简分数，把它的分子扩大3倍，分母缩小2倍后得2134，原分数是（ ）。
15、学校有彩色粉笔48盒，比白粉笔的83少3盒，学校有白粉笔（ ）。
16、一捆绳子，用去它的52还多7米，还剩20米，这捆绳子长（ ）米。
17、梁昕和吴飞从甲地到乙地，梁昕的速度经吴飞的速度快51，已知吴飞行这段路用30分钟，梁昕行这段路用（ ）分钟。
18、一条路，已修的经没修的少41，这时修了这条路的（ ）。
19、甲、乙两个数的和是18，如果把甲数的101给乙数，这时甲、乙两数恰好相等，原来乙数比甲数少（ ）。
20、大伟看一本故事书，第一天看了30页，第二天看的是第一天的32还多5页，两天看了全书页数的175，全书共有（ ）页。
21、回民小学五年二班，女生人数比全班的53多2人，男生有22人，五年二班一共有（ ）。
七年级数学竞赛练习卷(2)(含答案)-
七年级数学竞赛练习卷（2）一、选择题：1、两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ）A. 1911B. 1199C. 819D. 273 2、若790a b +=，则2ab 一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、非负数D 、非正数 3、满足(n 2-n-1)n + 2=1的整数n 有几个？（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个4、若不等式︱x+1︱+︱x-3︱≤a 有解，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ≤4 B.a ≥4 C.0＜a ≤2 D.a ≥25、若a 、b 是有理数，且a 2001+b 2001=0，则A 、a=b=0B 、a-b=0C 、a+b=0D 、ab=06、某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ）A 、20％B 、25％C 、80％D 、75％7、两个相同的瓶子中装满了酒精溶液，第一个瓶子里的酒精与水的体积之比为a :1，第一个瓶子为b :1，现将两瓶溶液全部混和在一起，则混和溶液中酒精与水的体积之比是( ) (安徽省初中数学联赛试题)A 、2b a + B 、12++b a ab C 、22++++b a ab b a D 、24++++b a abb a 8、咖啡A 与咖啡B 按x :y(以重量计)的比例混合。
A 的原价为每千克50元，B 的原价为每千克40元，如果A 的价格增加10%，B 的价格减少15%，那么混合咖啡的价格保持不变。
则x :y 为( ) A 、5：6 B 、6：5 C 、5：4 D 、4：59、设P 是质数，若有整数对（a ，b ）满足 ，则这样的整数对（a ，b ）共有 ( ) A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 10、有理数a 、b 、c 满足下列条件：a +b +c ＝0且abc ＜0，那么cb a 111++的值 （ ） （A ）是正数 (B)是零 (C)是负数 (D)不能确定11、设四个自然数a,b,c,d 满中条件1≤a<b<c<d≤2004和a+b+c+d=ad+bc ，m 与n 分别为abcd 的最大值和最小值，则6nm +等于( ) A ．2002； B ．2004： C ．2006： D ．2008。
2020小升初数学专题训练《数学竞赛》(通用含详解)
专题训练《数学竞赛》一、单选题（共7题；共14分）1.“65+26 100－26”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. ＝D. －2.“11－6 5”，比较大小，在里应填的符号是（）A. ＞B. ＜C. =D. +3.一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟。
求桥的长度是多少米？正确的算式是（）A. 1200×2+200B. 1200×2-200C. （1200+200）×2D. （1200-200）×24.在单摆实验中，如果增加绳长，单位时间内单摆的摆动次数（）A. 减少B. 增加C. 不变5.钟面上是（）时。
A. 6时B. 12时30分C. 12时D. 6时5分6.三个人站成一排照相，有（）种站法．A. 2B. 4C. 67.同学们到动物园去游玩，参观猴山的有28人，参观狮子馆的有32人，两个馆都参观的有18人，去动物园的一共有（）人。
A. 60B. 42C. 50D. 46二、判断题（共7题；共16分）8.25＋25×4＝200。
（）9.小动物们读得正确吗？（1）（）（2）（）10.芳芳中午12点睡觉，闹钟3点准时响起，则时针在这段时间旋转了60°。
（）11.一个盒子里有同样大小的黄球和黑球各4个，只要摸出3个球，就可以保证一定有2个同色的球。
（）12.和一样重。
（）13.从1开始的连续10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
（）14.一瓶纯牛奶，亮亮第一次喝了30%，然后在瓶里兑满水，又接着喝去30%．亮亮第一次喝的纯奶多．（）三、填空题（共7题；共8分）15.在横线上填上“＞”、“＜”或“＝”．100cm＋200cm________3m 54÷9×2________24÷8×316.小东买了一个篮球和一个足球，篮球价格是足球的两倍。
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1)222541636089x y z xy yz xz+--+-(2)2274012742a ab b a b+-++(3)2227156381341x y z xy yz xz+---+ (4)2224985422242a b c ab bc ac+++--(5)22634455212x xy y x y+-+++ (6)24040593521m mn m n--++(7)22152********x xy y x y+-+--(8)22284233215x y z xy yz xz+--++(9)2263491413206x xy y x y--++-(10)222723531031615x y z xy yz xz+--+-(11)22203973189m mn n m n-+++-(12)22320123346m mn n m n++---(13)22546212x y x y-+-+(14)22152********x xy y x y-+-++ (15)2212104256525x xy y x y+--+-(16)222822472x xy y x y-+-+(17)2227334451818x xy y x y --++-(18)2224275351223x y z xy yz xz --+-+(19)21863733535x xy x y ++++(20)2230774931356x xy y x y ++---(21)22242312501224x xy y x y ---++(22)2230148551025m mn n m n --+-+(23)222122854424m mn n m n +---+(24)221431151421x xy y x y ++--(25)2240316624a ab b a b -+-+-(26)222212721x xy y x y--+-(27)22141122799x xy y x y -+-++(28)226520914x xy y x y -++-+(29)2214217454025p pq q p q -+-++(30)22943103326m mn n m n +-+--(31)222243524222248a b c ab bc ac-+-+-(32)2226364210x xy y x y +----(33)22113021624x xy y x y ++---(34)2228499424218x y z xy yz xz+++++(35)22144775436x xy y x y+-++-(36)2245191712m mn n m n+---+ (37)22225145251720x y z xy yz xz---++ (38)22104121212849m mn n m n-+++-(39)2281721292220m mn n m n-++--(40)224564121012x xy y x y++++(41)2225536242436x y z xy yz xz-++--(42)2224063538a b c ab bc ac-++++ (43)254121521a ab a b++++(44)274283612m mn m n+-+-(45)25649344212x xy x y--+-(46)2243914x xy y x y--++-(47)2272113565287m mn n m n----+ (48)2235834218a ab b a b--+-(49)22728211156p pq q p q-++--(50)22256126112734a b c ab bc ac---+-(51)228953421x xy y x y++++-(52)22351110244535x xy y x y+----(53)22264155161048x y z xy yz xz-+---(54)222151412111327a b c ab bc ac-++++ (55)222827526136p pq q p q+++++ (56)2226435309658x y z xy yz xz+----(57)22202422739a ab b a b----+ (58)2226366132033x y z xy yz xz----+ (59)22216716542440a b c ab bc ac-++--(60)2224544111731x y z xy yz xz----+ (61)22418829187x xy y x y-+-++(62)2221218113315x xy y x y-++-+ (63)22220427749x xy y x y+++--(64)2228189182721x y z xy yz xz--+-+ (65)2212142040525x xy y x y--+++ (66)224217152743x xy y x y+--++ (67)22262124394632a b c ab bc ac--+-+ (68)22291069415x y z xy yz xz-+--+ (69)2228129201218x y z xy yz xz-+--+ (70)22925656612x xy y x y+--++(71)2218236282016a ab b a b +-+--(72)2224137122512x xy y x y +----(73)2225307404012x xy y x y +---+(74)2225621435830x y z xy yz xz -++++(75)22324814682330x xy y x y +---+(76)22123615381114x xy y x y -+-+-(77)222813670942x xy y x y ---++(78)224247310m mn n m n +-+-+(79)2248286741728a ab b a b ---++(80)2210414213910x xy y x y +-++-(81)25628272418m mn m n +++-(82)22251236162424x y z xy yz xz+-+++(83)2226425484111a b c ab bc ac++-+-(84)222402242182x y z xy yz xz+-++-(85)22245615592360x y z xy yz xz+++++(86)2224235207358x y z xy yz xz-+-+-(87)2263024194014x xy y x y +++++(88)22152896x xy y x y+-+-(89)229211825246x xy y x y +-+--(90)228383516388x xy y x y ++--+(91)222271544273a b c ab bc ac +---+(92)2218935187236x xy y x y +-+--(93)22227343033x y z xy yz xz +-+--(94)222191222115x xy y x y --+-+(95)22189201815x xy y x y--++(96)2262521395118x xy y x y -++-+(97)222481225143510x y z xy yz xz-----(98)2492863814p pq p q +--+(99)244211620x xy x y +--+(100)272958510x xy x y --++初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(943)(64)x y z x y z---+(2)(727)(6)a b a b-++(3)(73)(56)x y z x y z---+(4)(725)(74)a b c a b c+-+-(5)(723)(924)x y x y++-+ (6)(87)(553)m m n---(7)(347)(563)x y x y++--(8)(42)(8)x y z x y z-+--(9)(922)(773)x y x y+--+ (10)(87)(953)x y z x y z-+--(11)(53)(473)m n m n---+ (12)(326)(61)m n m n+-++ (13)(932)(621)x y x y++-+ (14)(565)(33)x y x y----(15)(375)(465)x y x y+--+ (16)(421)(72)x y x y---(17)(93)(346)x y x y+--+ (18)(6)(775)x y z x y z--++ (19)(277)(95)x y x+++ (20)(671)(576)x y x y+++-(21)(344)(836)x y x y--+-(22)(545)(625)m n m n-+++ (23)(346)(724)m n m n+---(24)(23)(757)x y x y++-(25)(832)(522)a b a b-+--(26)(3)(247)x y x y-++ (27)(723)(23)x y x y----(28)(37)(22)x y x y-+-+ (29)(25)(775)p q p q----(30)(926)(51)m n m n--++(31)(656)(474)a b c a b c+---(32)(62)(265)x y x y++--(33)(64)(56)x y x y+++-(34)(273)(473)x y z x y z++++ (35)(76)(271)x y x y-++-(36)(453)(4)m n m n+---(37)(575)(52)x y z x y z-++-(38)(537)(277)m n m n---+ (39)(925)(964)m n m n-+--(40)(56)(922)x y x y+++(41)(56)(56)x y z x y z--+-(42)(5)(86)a b c a b c++-+(43)(61)(921)a a b+++ (44)(62)(76)m n m+-+ (45)(872)(76)x y x-+-(46)(47)(2)x y x y+--+ (47)(977)(851)m n m n--+-(48)(73)(56)a b a b-++ (49)(32)(773)p q p q-+--(50)(836)(74)a b c a b c+--+ (51)(7)(83)x y x y+++-(52)(755)(527)x y x y++--(53)(855)(83)x y z x y z--+-(54)(323)(574)a b c a b c-+++ (55)(753)(42)p q p q++++ (56)(855)(876)x y z x y z-+--(57)(463)(573)a b a b--+-(58)(926)(73)x y z x y z++--(59)(274)(84)a b c a b c+---(60)(54)(94)x y z x y z++--(61)(421)(47)x y x y----(62)(265)(33)x y x y-+-+ (63)(267)(77)x y x y+-++ (64)(863)(33)x y z x y z--++ (65)(655)(245)x y x y++-+ (66)(731)(653)x y x y--+-(67)(76)(634)a b c a b c++--(68)(353)(322)x y z x y z-+++ (69)(423)(263)x y z x y z++-+ (70)(36)(922)x y x y+---(71)(924)(234)a b a b--++ (72)(33)(874)x y x y--++ (73)(572)(56)x y x y+---(74)(772)(832)x y z x y z++-+ (75)(825)(476)x y x y--+-(76)(257)(632)x y x y---+ (77)(727)(436)x y x y+---(78)(72)(65)m n m n-+++(79)(867)(64)a b a b--+-(80)(572)(225)x y x y+--+ (81)(76)(843)m m n++-(82)(566)(26)x y z x y z+-++(83)(665)(7)a b c a b c----(84)(86)(524)x y z x y z+++-(85)(93)(565)x y z x y z++++ (86)(775)(654)x y z x y z--+-(87)(667)(42)x y x y++++ (88)(32)(543)x y x y-++ (89)(33)(962)x y x y++--(90)(454)(272)x y x y+-+-(91)(954)(33)a b c a b c-+--(92)(676)(356)x y x y--++ (93)(9)(334)x y z x y z+++-(94)(331)(745)x y x y-+++ (95)(343)(65)x y x y-++ (96)(673)(36)x y x y-+-+ (97)(835)(645)x y z x y z++--(98)(72)(747)p p q-+-(99)(445)(4)x y x+--(100)(82)(95)x y x---。
大学生数学竞赛习题及详细解答
一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(，则=')(t f ．解：)(t f tx x x t 2)11(lim ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→tte 2=，t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴．2. 设曲线L 的方程为te x 2=，te t y --=，则L 的拐点个数为 ．解：)(21213-22t ttt t t e e e e x y dx dy +=+=''=--， )32(412/)32(215-423-222tt t t t t t e e e e e x dx dy dxy d +-=--=''⎪⎭⎫ ⎝⎛=--． 022<dxyd ，∴无拐点，即L 的拐点个数为0．3. 设2)1()(x e x x f +=，则=)0()2009(f．解：n n xx n e ∑∞==0!1 ，n n x x n e 20!12∑∞==∴，12020!1!1)1()(2+∞=∞=∑∑+=+=∴n n n n x x n x n e x x f ．令200912=+n ，则20082=n ，1004=n ，∴2009次幂项的系数!100412009=a ． 又!2009)0()2009(2009f a =，!1004!2009)0()2009(=∴f ． 另解：利用2009阶Peano 型余项（或者拉格朗日型余项）的麦克劳林公式，或者高阶导数的乘法法则．4. 设x e f xsin 1)(+='，则=)(x f ．解：x e f xsin 1)(+=' ，⎰⎰-+=+=∴x d e e x de x e f x x x x sin )sin 1()sin 1()(⎰-+=xdx e e x x x cos )sin 1(．而⎰xdx e xcos ⎰=x d e x sin ⎰-=xdx e x e x xsin sin ⎰+=x d e x e xxcos sin)cos cos (sin ⎰-+=xdx e x e x e x x x ⎰-+=xdx e x x e x x cos )cos (sin ，⎰∴xdx e x cos C x x e x ++=)cos (sin 21．)(x e f ∴x e x )sin 1(+=C x x e x ++-)cos (sin 21C x x e x +-+=)cos sin 2(21．C x x x x f +-+=∴)]cos(ln )sin(ln 2[21)(．另解：x e f xsin 1)(+=' ，令xe t =，则t x ln =，)sin(ln 1)(t tf +='∴，dxxx x x x dx x x f ⎰⎰⋅⋅-+=+=∴1)cos(ln )]sin(ln 1[])sin(ln 1[)(dx x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln 1[．而dx x ⎰)cos(ln dx xx x x x ⎰⋅⋅+=1)sin(ln )cos(ln dx x x x ⎰+=)sin(ln )cos(lndxxx x x x x x 1)cos(ln )sin(ln )cos(ln ⋅⋅-+=⎰dx x x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln )[cos(ln ．而dx x ⎰∴)cos(ln C x x x ++=)]sin(ln )[cos(ln 21． -+=∴x x x f )]sin(ln 1[)(Cx x x ++)]sin(ln )[cos(ln 21C x x x ++-=)]sin(ln )cos(ln 2[21．5. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且⎰-+=-02)1()(xx x e x dt t x f ，则=)1(f ．解：⎰--02)(xx dt t x f⎰-=-=x xtx u du u f 2))((⎰=2)(x xdu u f ，⎰+=∴2)1()(x xx e x du u f ．对方程两边求导，有xxxe e x f x x f ++=-⋅1)(2)(2． 令1=x ，有e e f f ++=-1)1()1(2，e f 21)1(+=∴． 6. =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ． 解：原式n nk kn nk n nk n 1)(41lim 41lim 12122⋅-=-=∑∑=∞→=∞→621arcsin 2arcsin 4110102π===-=⎰x dx x ．7. 设曲线)(x f y =在原点处有拐点及切线x y 2=，且满足微分方程0='-'''y y ，则曲线的方程为 ．解：)(x f 为0='-'''y y 满足00==x y ，20='=x y ，00=''=x y 的特解．由特征方程03=-r r ，得特征根01=r ，12-=r ，13=r ， 得微分方程的通解为xx e C e C C y 321++=-．由初始条件，有0)0(321=++=C C C y ， 2)0(32=+-='C C y ，0)0(32=+=''C C y ，解得01=C ，12-=C ，13=C ．∴曲线方程为x x e e y --=．8. 设yxxy z )(=（0>x ，0>y ），则=∂∂==12y x xz ．解：由)ln (ln ln y x yxz +=，有)1ln (ln 11)ln (ln 11++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅++='y x y x x y x y z z x， )1ln (ln 1)(++⋅='∴y x yxy z yx x．)12(ln 4)12(ln 2212+=+⋅='∴==y x x z ．.9. 已知{}n a 为等差数列，01≠=-+d a a n n ，0≠n a （ ,2,1=n ），且∞=∞→n n a lim ，则级数∑∞=+111n n n a a 的和是 ． 解：)111(lim 11322111+∞→∞=++++=∑n n n n n n a a a a a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++-+-=++∞→)(1lim 1132232112n n n n n a a a a a a a a a a a a d )111111(lim 113221+∞→-++-+-=n n n a a a a a a d 1111)11(lim 1da a a d n n =-=+∞→． 10. 设L 为圆周122=+y x ，则{}=++⎰ds y x y x yL2222sin )cos(π ．解：原式L ds y x ds x ds y ds y L Lyx L L 21)(21cos 22222L -=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰↔方程对称性的方程πππ-=⋅-=221．二、 计算题（10分）设0)1(=f ， 2)1(='f ，求xe x xf x x cos )cos (sin lim220-+→．解：原式[]xe x x x xf x x f x x x cos 1cos sin lim 1cos sin )1(1)1cos (sin lim 2202200--+⋅-+-+-+=→→∴；变形；连续乘法))(21())(1(1))(21())((lim )1(22222220)1(x o xx o x x o x x o x f x f +--++-+-++⋅'=→'存在；泰勒公式 )(23)(2)(lim222222202)1(x o x x o x x o x x f ++-+=→=' 32)1(23)1(21lim 20=++=→o o x ．三、 计算题（10分）设可导函数)(x f y =由方程3223323=+-y xy x 所确定，求)(x f 的极值点与极值． 解：视)(x f y =，对方程两边求导，得06)2(33222=⋅+⋅+-dxdyy dx dy xy y x ， 即 0)(222=---dxdy y x y y x ．由原方程知，有 x y ≠， 02=-+∴dxdyy y x ．……………………………………①令0=dxdy，得x y -=，代入原方程，有3223333=--x x x ， 解得唯一驻点2-=x ，此时2)2(=-=f y ．再对①式两边求导，得0)(21222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+dx y d y dxdy dx dy ．………………………………………②在驻点2-=x 处，有0202012222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-=x dx yd ，041222>=∴-=x dx yd ， 2-=∴x 为)(x f 的极小值点，)(x f 有极小值2)2(=-f ．四、 证明题（10分）试证：当0≠x 时，有不等式21)4(arctan 10<-<πx e x 成立． 证明：令te tf arctan )(=，t tg =)(，则对0≠x ，在0与x 构成的闭区间上)(t f 与)(t g 满足柯西中值TH 条件，所以存在介于0与x 之间的ξ，使得)()()0()()0()(ξξg f g x g f x f ''=--，即22)(11104arctan ξξξξπe e e e x e x +=⋅+=--． 由212)(102=<+<ξξξξe e e e ，即得21)4(arctan 10<-<πxe x ，证毕． 另证：利用拉格朗日中值定理，或者泰勒中值定理．五、 计算题（10分）计算二次积分dy e x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+-+=--．解：⎰dy e y 2积不出来，∴考虑交换积分次序．dye x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+++=∴<--交换上下限下限，上限第二个积分的内积分有 ．相应二重积分区域D 如图所示．⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+=1yx )sin(32232)1)(sin(yyy Dy D x Dy dx dy edxdy edxdye x I 后先左右对称为奇函数121011222-====⎰⎰e ededy ye y y y ．六、 计算题（10分）求幂级数∑∞=-+11213n n n x n 的收敛半径、收敛域及和函数．解：21211221333)1(lim )()(lim x x n x n x u x u n n n n n nn n =+=-+++∞→+∞→ ，∴收敛区间为31<x ，收敛半径为31． 当31±=x 时，级数为∑∑∞=∞=+±=±11133)3(313n n nn n n ，发散．∴收敛域为)31,31(-． ∑∑∑∞=∞=++∞=-++=+=0201221121)3)(1(93)1(3n n n n n n n n x n x xn xn)(9)(9)1(9010132'='=+=∑∑∑∞=+∞=+∞==n n n n n nx y y x yx y n x 令2222)31(9)1(19)1()1()1(9)1(9x x y x y y y x y y x -=-⋅=--⋅--⋅='-=．七、 计算题（10分）求曲面积分⎰⎰∑++++=23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz I ，其中∑是球面4)1()1()1(222=-+-+-z y x的内侧． 解：（ 直接计算困难，∴考虑借助高斯公式）．记222z y x r ++=，则3r x P =，3r yQ =，3rz R =． 522623333)(r x r r r xr x r r xx x P -=⋅⋅-=∂∂=∂∂，有对称性可知，5223r y r y Q -=∂∂，5223rz r z R -=∂∂， 有033522=-=∂∂+∂∂+∂∂r r r z R y Q x P ，)0,0,0(),,(≠∀z y x ．∴可以改变积分闭曲面． 记22221:ε=++∑z y x （320-<<ε），取内侧，则⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=++++=1113232221)(zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz Iε方程改变积分闭曲面ππεεεεε4343131)3(13313:322221-=⋅⋅-=Ω⋅-=-=⎰⎰⎰≤++Ωz y x Gauss dV 方程。
初中数学竞赛：抽屉原理(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。
一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。
使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。
一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。
例1从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有2个数的差为50；（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。
证明：（1）将100个数分成50组：{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。
（2）将100个数分成50组：{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。
（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。
第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。
例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。
得到500个余数r1，r2，...，r500。
由于余数只能取0，1，2， (499)499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
七年级数学竞赛练习题(3)(含答案)-
七年级数学竞赛练习题（3）一、填空题：（每题4分）1、 对于a 、b 两数，我们定义一种新运算“*”，得到21a －95b ，即a*b=21a －95b. 若8*x=21－91，则x=___________.2、若（a-2）2与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b =_________.3、|a|=6,|b|=7,并且ab<0,则a+ b=________.4、在线段A B 上，A 、 B 两点之间有2003个点，则共有________条线段.5、计算：12 + (13 +23 )+(14 +24 +34 )+(15 +25 +35 +45 )+……+ (12004 +……+20032004)=____________. 6、已知12 + 22 +32 +……+ n 2 = 16n(n+1)(2n+1)，则22 + 42 +62 +……+1002 =________. 7、春节联欢会上，电工师傅在礼堂四周挂了一圈彩灯，其排列规则是：绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红……那么，第2003个彩灯是________色的.8、美国《数学月刊》上有这样一道题：有人在如图所示的小路上行走（假设小路的宽度都是1米），当他从A 处到B 处时，一共走了_____________米.9、某个体服装经销商先以每3件160元的价钱购进一批童装，又以每4件210元的价钱购进比上一次多一倍的童装. 他想把这两批童装全部转手，并从中获利20%，那么，他需要以每3件______元出手. 10、三位同学去买橡皮、铅笔和尺子，第一位同学买了3块橡皮、7支铅笔和1把尺子，共花了3.15元；第二位同学买了4块橡皮、10支铅笔和1把尺子，共花了4.20元；第三位同学买了1块橡皮、1支铅笔和1把尺子，花了_______元.二、选择题（每题4分）1、A 、B 、C 三家超市在同一条南北大街上，A 超市在B 超市的南边40米处，C 超市在B 超市的北边100米处. 小明从B 超市出发沿街向北走了50米，接着又向北走了- 60米，此时它的位置在（ ） (A)B 超市; (B) C 超市北边10米 ; (C) A 超市北边30米; （D ）B 超市北边10米.2、a,b,c 是三个整数，则在 a+b 2 、b+c 2 、c+a 2中整数的个数为（ ） （A ）有且只有1个; (B) 有且只有2个; (C) 有且只有3个; (D)至少有1个.3、若A 、B 、C 三个数互不相等，则在A-B B-C 、B-C C-A 、C-A A-B中，正数的个数一定有（ ） （A ） 0个； (B) 1个； (C) 2个； （D ）3个.4、若|a|+a=0, |ab|=ab,|c|-c=0, 则化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|，得（ ）（A ）2c-b; (B) 2c-2a; (C)-b; (D)b.5、若a 、b 、c 、d 四个数满足1a-2000 = 1b+2001 = 1c-2002 = 1d+2003，则a 、b 、c 、d 四个数的大小关系为（ ）（A ）a>c>b>d ； (B)b>d>a>c ； (C)c>a>b>d ； （D ）d>b>a>c.6、方程px + q = 99的解为x = 1，p 、q 均为质数，则pq 的值为（ ）（A）194; (B) 197; (C)199; (D)201.7、某种商品的市场零售价，去年比前年上涨了25%. 有关部门通过宏观调控，稳定了涨幅，使得今年比前年值上涨了15%，则今年比去年的市场零售价降低了（）（A）8%；（B）10%；（C）11%；（D）12%.8、有A、B、C三个盒子，分别装有红、黄、蓝三种颜色的小球之一种，将它们分给甲、乙、丙三个人. 已知甲没有得到A盒；乙没有得到B盒，也没有得到黄球；A盒中没有装红球，B盒中装着蓝球. 则丙得到的盒子编号与小球的颜色分别是（）（A）A, 黄; (B) B，蓝; (C)C，红; (D)C，黄.9、李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性将第二天所剩的饮料的一半零半瓶喝完. 这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则妈妈买的饮料一共有（）（A）5瓶；（B）6瓶；（C）7瓶；（D）8瓶10、某月中有三个星期一的日期都是偶数，则该月的18日一定是（）（A）星期一；（B）星期三；（C）星期五；（D）星期日.三、解答题：（每题10分）1、过年时，小刚领来家做客的表弟到文具店购物，他用自己50元的“压岁钱”个表弟买了圆珠笔、铅笔和方格本三种文具共100件. 已知一支圆珠笔5元，一支铅笔0.1元，一个方格本1元，那么，这100件文具中，三种文具各多少？2、一个数的首位数字是1，若把它的首位数字放到末位，所得的四位数比原数的4倍多_______，求原来的四位数.（1）在“________”上能填写的符合题意的正整数有多少个？（2）当“________”上填什么数时，原四位数取最大值和最小值；并求出原四位数的最大值和最小值.参考答案一、填空题：1、238/95；2、1/3；3、±1；4、2009010；5、1003503；6、171700；7、红；8、118；9、190；10、1.05.二、选择题：1、 C ；2、D ；3、B ；4、D ；5、C ；6、A ；7、A ；8、A ；9、C ；10、B ；三、解答题：1、设买圆珠笔x 支、铅笔y 支、方格本z 个，则⎩⎨⎧x+y+z=100 ①5x+0.1y+z=50 ②， ②×10 - ①，得49x+9z=400, 所以z = 400 - 49x 9. 取正整数解，得⎩⎨⎧x=1z=39. 把x=1, z =39代入①，得 y=60.2、（1）设原数的后三位为x ，“______”上所填的数为m, 则 4(1000+x)+m=10x+1.所以， m=6x – 3999.x 的最大值为999，此时m=1995；因为m 为正整数，所以6x-3999>0, 则x>666.5.因此， x 的最小值为667，此时m=3.总之，相应的m 所取的正整数有1995-667+1=1329（个）.（2）由（1）易得，当m=1995，原数的最大值为1999；当m=3时，原数最小值为1667.3、有必胜策略，先取者必胜.假设甲先取，由于54÷（4+1），商10余4，所以甲先取走4张，乙再取走n(1≤n ≤4)张，接着甲取走（5-n ）张；以后每次在乙取牌后，甲所取牌数均为5减去乙所取牌数之差；最后必剩5张，由乙来取，乙无论怎么取，都得给甲剩下1 ～4张，这样，甲就能最后取走剩下的所有牌.4、（1）设第一、二、三包分别取x 千克、y 千克、z 千克，则⎩⎨⎧x+y+z=1 ①90%y+30%z=1×45% ②由②得，6y+2z =3 ③.①×2 - ③，得 2x-4y = - 1， 于是y = 2x + 14. （2）由题意知，必用第二包.如果不用第一包，即当x=0时，y 有最小值为y = 2×0+ 14 = 14； 如果不用第三包，即当z=0时，y 有最大值，此时，90%y+30%×0=1×45%，解得y = 12. 所以，14 ≤ y ≤12.。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
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竞赛练习题（一）参考答案
班级姓名？
1．一个小组的小朋友排成一列做游戏，小明从前往后数，他排第15个，从后往前数，他排第13个，共有（27）个小朋友在做游戏。
2．18名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（24）名男同学。
3．东东从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。
布袋原来有（15）个白皮球，（10）个花皮球。
4．芳芳有1元4角钱，晶晶有8角钱。
芳芳给晶晶（3角）钱，两人的钱数同样多。
5．用6根短绳连成一根长绳，一共要打（5）个结。
6．14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（9）个小朋友。
7．十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（4）个。
8．小东数数，从9开始数起，数到99时，小东数了（91）个数。
9．把1根绳子对折以后，再对折，这时每折长1米，这根绳子长（4）米
10．小强家离学校3千米，小强每天上两次学，来回要走（12）千米。
11．森林里的小动物开运动会赛跑。
最后小兔用了4分钟，小狗用了5分钟，熊猫用了4分30秒，请问得第一名的是（小兔）。
12．班上的同学，年龄都是8岁或9岁，那么任意两个邻座同学年龄之和最大是（18）岁，最小又是（16）岁。
13．1个西瓜的重量=3个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（9）个梨的重量。
14、六一节到了，三个小朋友互送贺卡，每人都要收到另外两个人的贺卡，一共要送（6）张贺卡。
15、一个小朋友吃一个面包需要5分钟，现在有5个小朋友，按同样的速度，同时吃5个同样的面包，需要（ 5 ）分钟。
16、两捆同样多的练习本，第一捆拿走15本，第二捆拿走9本，（第二捆）剩的多，多（6）本。
17、两根同样长的绳子，分别剪去一段，第一根剩下17米，第二根剩下12米，(第二根)剪去的长，长（ 5 ）米。
18、15个小朋友分成两组做游戏，后来有3个小朋友从第一小组调到第二小组，现在共有（15 ）个小朋友在做游戏。
19、小红参加旅游，和旅游团的每一个人合照一次相，她一共照了19次。
这个旅游团共有（20 ）个人。
20、公共汽车上原来有一些人，到站后有5人下车，又有8人上车，公共汽车上现在比原来多（ 3 ）人。
21、老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还剩4本。
教室里共有（16 ）个小朋友。
22、老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还缺4本。
教室里共有（24 ）个小朋友。
23、一根木头锯成5段，要锯（4 ）次。
如果每锯一次用2分钟，一共需要锯（8 ）分钟。
24、小白兔有15个萝卜，小黑兔有18个萝卜。
兔妈妈又买来7个萝卜，给小白兔（5 ）个、小黑兔（ 2 ）个两只小兔的萝卜就同样多。
25、5、7、8、7、11、7、（16 ）、（7 ）
26、28、24、28、20、28、16、（28 ）、（12 ）
27、25、26、24、25、23、（24 ）、（22 ）
28、10、20、11、19、12、18、（13 ）、( 17 )
29、李华今年10岁，爸爸今年40岁，当李华15岁时，爸爸（45 ）岁。
30、妹妹今年4岁，姐姐今年12岁。
10年后，姐姐比妹妹大（8 ）岁。
竞赛练习题（二）参考答案
班级姓名
1、用10根短绳连成一条长绳，一共要打（9 ）个结。
2、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有（8 ）个梨。
3、用1、2、3三个数字可以组成（6）个不同的两位数，写出来
12.13.21. 。
4、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是（5）和（4 ）。
5、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下（
6）盘。
6、15个小朋友排成一排报数，报双数的小朋友去打乒乓，队伍里留下（8 ）人。
7、哥哥给了弟弟2支铅笔后还剩5支，这时两人的铅笔一样多，弟弟原来有铅笔（3）支。
8、林林、红红、芳芳三个小朋友买糖吃。
林林买了7粒，红红买了8粒，芳芳没有买。
三个小朋友要平分吃，芳芳一共付了1元钱，其中给林林（4）角，给红红（6 ）角。
9、找规律填数1、4、5、9、（14 ）、（23 ）
10、☆+☆+〇+〇=20
〇+〇+〇+☆=14 ☆=（8 ）〇=（ 2 ）
11、一根钢管，锯成4段，需要锯（3 ）次,如果每锯一次需要2分钟，一共需要（6 ）分钟。
12、在学校大楼前种树，一共种了12棵梧桐树。
在每两棵梧桐树之间加种一棵柳树，一共可加种（ 5 ）棵柳树。
13、一根绳子对折后再对折，这时长2米，这根原来绳子有（8）米。
14、小华有15支铅笔，他送给小苗2支后两人的铅笔就一样多了，小苗原来有（9）支。
15、小玲今年5岁，奶奶说你长到10岁的时候我正好60岁，奶奶今年是（55）岁。
16、一本书，小红第一天读1页，以后每天都比前一天多读1页，读到第5天，一共读了（15 ）页。
17、口袋里有黑袜子和白袜子各三双，杂乱地放在一起，要你从口袋里去摸，你至少必须摸出（3 ）只袜子能配成一双颜色相同的袜子。
18、一列队伍从左数，小明排第7；从右数小明排第5，这列队伍共有（11 ）人。
19、小红有15本书，小东有7本，小红给小东（4 ）本，两个人就同样多。
20、2头猪换4只羊，1只羊换4只兔，4只羊换（16 ）只兔，1头猪换（8 ）只兔。