2020-2021九年级上期末模拟数学试卷(含答案) (2)
浙江省上杭县西南片区2018届九年级上期末模拟数学试卷一.单选题（共10题；共30分）1.如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A. =B. =C. =D. EF=GH2.如果函数y=2x2﹣3ax+1，在自变量x的值满足1≤x≤３的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣23，则a的值为（）A. B. C. 或 D.3.某一时刻，一根4米长的旗杆的影子长6米，同一时刻一座建筑物的影子长36米，则这座建筑物的高度为（）米．A. 22B. 20C. 26D. 244.已知α为锐角，且tan（90°－α）＝，则α的度数为（）D. 75°A. 30°B. 60°C. 45°5.为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠０），则S关于h的函数图象大致是( )A. B. C. D.6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A. 2海里B. 2sin55°海里海里 C. 2cos55°海里 D. 2tan55°7.三角函数、、之间的大小关系是（）A. B.C. D.8.如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°．则∠D+∠E=（）D. 250°C. 240°A. 220°B. 230°9.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A. 勾股定理B. 勾股定理是逆定理的圆周角所对的弦是直径C. 直径所对的圆周角是直角D. 90°10.二次函数y=x2-2x+3的对称轴为（）A. x=-2B. x=2C. x=1D. x=-1二.填空题（共8题；共24分）11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度________．12.等边△ABC内接于⊙O，AB=10cm，则⊙O 的半径是________ cm。
13.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB= ________14.设y=（n+1），当n=________ 时，y是x的反比例函数．15.如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=1，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A1B1C 的位置，点A1刚好落在BC的延长线上，求点A从开始到结束所经过的路径长为（结果保留π）________．16.如图，反比例函数y= （k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E 是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为________．17.如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得∠ACB=32°，BC=60m，则河宽AB 约为________m．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）18.不论m取任何实数，抛物线y=（x﹣m）2+m﹣1（x为自变量）的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是________．三.解答题（共6题；共36分）19.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．20.如图，新城区新建了三个商业城A，B，C，其中C在A的正东方向，在A处测得B在A的南偏东52°的方向，在C处测得B在C的南偏东26°的方向，已知A和B的距离是1000m．现有甲、乙两个工程对修建道路，甲修建一条从A到C的笔直道路AC，乙修建一条从B到直线AC最近的道路BD．求甲、乙修建的道路各是多长．（结果精确到1m）（参考数据：sin38°≈0.62），sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，cos38°≈0.79，tan38°≈0.7821.如图，⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC.22.油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．（1）求∠PBA；（2）求A，B间的距离；（3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）23.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．求证：△ACF∽△BEC．24.如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱MO的距离为 4.5米，照明灯P到灯柱的距离为 1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．，cos55°≈0.574），sin55°≈0.819（参考数据：tan55°≈1.428四.综合题（共10分）25.如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y= x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．浙江省上杭县西南片区2018届九年级上册期末模拟数学试卷参考答案与试题解析一.单选题1.【答案】 C【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：连接EG，AE，∵AB的中垂线CD分别交于C，∴=，故A正确；∵AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，∴=，故B正确；∴四边形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正确．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴＞，故C错误．故选C．【分析】由AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，根据垂径定理与弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．2.【答案】 D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：抛物线y=2x2﹣3ax+1的对称轴为x= a．当a＜1，即a＜时，有2﹣3a+1=﹣23，解得：a= （舍去）；当1≤ a≤３，即≤a≤４时，有a2=24，解得：a= （舍去）或a=﹣（舍去）；当a＞3，即a＞4时，有18﹣9a+1=﹣23，解得：a= ．综上所述：a的值为．故选D．【分析】分a＜、≤a≤４和a＞4三种情况，找出函数值y的最小值，令其等于﹣23，即可得出关于a的一元一次（或一元二次）方程，解之即可得出结论．3.【答案】 D【考点】比例线段【解析】【解答】解：设建筑物高为x，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得∴x=24，∴建筑物的高为24米，故选D．【分析】要求出建筑物的高，利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同解题．4.【答案】 A【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】已知α为锐角，且tan（90°－α）＝，有特殊三角函数值我们知道，所以，解得，选A【点评】本题考查三角函数，考生解答本题的关键是掌握三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值【考点】反比例函数的图象【解析】【分析】∵V=Sh（V为不等于0的常数），∴（h≠０），S是h的反比例函数。
根据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分。
故选C.6.【答案】 C【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP?cos∠A=2cos55°海里．故选C．【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP?cos∠A=2cos55°海里．7.【答案】 C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【分析】=，在三角函数中，若，则sinA随着∠A的增大而增大，cosA随着∠A的增大而减小，所以即：选C。
【点评】此题首先要先把所有三角函数化为统一的类型，或者化为sinA，或者化为cosA，进而更加方便计算。
【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】连接OA、OB、OC，如图所示：∵∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°，∴∠AOB+∠AOC=360°﹣100°=260°，∵∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），∴∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．【分析】连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠BOC=100°，得出∠AOB+∠AOC=260°，由圆周角定理得出∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），即可得出结果．9.【答案】 C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB是直角．则∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选C．【分析】由AB是直径，根据直径所对的圆周角是直角即可判定∠ACB是直角．10.【答案】C【考点】二次函数的性质【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．【解答】y=x2-2x+3中，a=1，b=-2，c=3，x=-=-=1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键．二.填空题11.【答案】3cm【考点】垂径定理的应用【解析】【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，∵OF过圆心，∵DE=8cm，∴EF= DE=4cm，∵OC=5cm，∴OB=5cm，∴OF= = = =3．故答案为：3cm．【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长．12.【答案】【考点】垂径定理【解析】【解答】如图，作直径AD，连接BD，∵等边△ABC内接于⊙O，AD为直径，∴∠C=60°=∠D，∠ABD=90°，∵sinD=，∴AD=cm，∴⊙0的半径是cm，故答案为：．【分析】作直径AD，连接BD，根据等边三角形性质求出∠C=60°，根据圆周角定理求出∠D=∠C=60°，解直角三角形求出AD即可．13.【答案】108°【考点】圆的认识【解析】【解答】解：设∠COD=∠A=x°，∴∠AOB=（180﹣2x）°，∠OCD=∠ODC=，∵∠AOB+∠C=180°，∴+180﹣2x=180解得：x=36∴∠AOB=（180﹣2x）°=108°，故答案为：108°．【分析】设∠COD=∠A=x°，表示出∠AOB和∠OCD，然后利用三角形内角和定理求解即可．14.【答案】0【考点】反比例函数的定义【解析】【解答】解：根据题意得：n+1≠０且n2+n﹣1=﹣1，解得：n=0，即当n取0时，y=（n+1）是反比例函数．故答案是：0．【分析】根据反比例函数的定义得到n2+2n≠０且n2+n﹣1=﹣1，然后解不等式和方程即可求出n的值．15.【答案】π 【考点】弧长的计算，旋转的性质【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠A=60°，AC= =2，∠ACB=30°，∴∠ACA1=150°，点A从开始到结束所经过的路径长为以C为圆心、2为半径的弧，即= π，故答案为：π．【分析】本题考查的是点的轨迹以及弧长的计算，利用余弦的概念求出AC=2，根据弧长公式计算求出点A从开始到结束所经过的路径长即可．16.【答案】8【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：设E（a，），则B纵坐标也为，E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，因为BF=BC﹣FC= ﹣= ，所以F也为中点，S△BEF=2= ，k=8．故答案是：8．【分析】设E（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y= ，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．17.【答案】37.5【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠B=90°BC=60m，∠C=32°，∴AB=BC?tan32°≈60×0.625≈37.5m故答案为37.5．【分析】由BC求AB，可利用tan32°，得到AB=BC?tan32°，代入数值即可求出结果. 18.【答案】y=x﹣1【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【解答】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+m﹣1的顶点坐标为（m，m﹣1），即，①﹣②，得：x﹣y=1，即y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1．【分析】根据抛物线的顶点式可得顶点坐标，即，①﹣②得：x﹣y=1，可知答案．三.解答题19.【答案】解：有触礁危险．理由：过点P作PD⊥AC于D．设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD=90°﹣45°=45度．∴BD=PD=x．在Rt△PAD中，∵∠PAD=90°﹣60°=30°∴AD= x∵AD=AB+BD∴x=12+x∴x=∵6（+1）＜18∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】过点P作PD⊥AC于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根据三角函数AD，BD就可以PD表示出来，根据AB=12海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD．从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险．20.【答案】解：在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=90°﹣52°=38°，AB=1000m，∴BD=AB?sin∠BAD≈1000×0.62=620（m），AD=AB?cos∠BAD≈1000×0.79=790（m）．在直角△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=90°﹣26°=64°，BD=620m，∴CD=≈302.4（m），∴AC=AD﹣CD≈790﹣302.4≈488（m）．即甲修建的道路长约488m，乙修建的道路长约620m．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】先解直角△ABD，求出乙修建的道路长BD=AB?sin∠BAD≈620m，AD=AB?cos∠BAD≈790m．再解直角△CBD，求出CD=≈302.4m，那么根据AC=AD ﹣CD求出甲修建的道路长．21.【答案】证明：∵⊙O中的弦AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，∴=，∴AD=BC．【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【分析】由弦AB=CD，根据弦与弧的关系，可得=，则可得=，即可证得AD=BC．22.【答案】解：如图：（1）∵∠BPA=15°×2=30°，∠BAP=75°﹣15°=60°，∴∠PBA=180°﹣30°﹣60°=90°；（2）AB=APsin30°=12×=6km；（3）过B作BC⊥AP，BC=AB?sin60°=6×=3．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】（1）根据方向角进行解答；（2）利用三角函数解答；（3）作出AP上的垂线解答．23.【答案】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°，∵∠ECF=45°，∴∠ACF=∠ACE+45°，∴△ACF∽△BEC．【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】可证明∠A=∠B=45°，再根据外角的性质和已知条件可得出∠ACF=∠BEC，则△ACF∽△BEC．24.【答案】解：（1）如图线段AC是小敏的影子；（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ，在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ﹣ED=4.5﹣1.5=3（米），∵tan55°=，∴PD=3tan55°≈4.3（米），∵DF=QB=1.6米，∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（米）答：照明灯到地面的距离为 5.9米．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）第一问作图相对简单，直接连接P点和小敏头顶，延长线和地面交点C和A的连线即为影子；（2）第二问．过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，要求P到地面的距离，由题可知，只需求出PD即可，而在三角形PDQ中，55°角的邻边数值已知，求对边，可用正切便可求出PD=3tan55°≈4.3（米），再加上眼睛高度 1.6，便可求出照明灯到地面的距离为 5.9米．四.综合题25.【答案】（1）解：根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2（2）解：①如图，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴= = ，设D（a，=﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1.0），∴N（1，），∴= = （a+2）2+ ；∴当a=2时，的最大值是；②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2 ，BC= ，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB= ，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）= ，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC= ，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴x D=﹣2，情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC= ，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC= = ，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3 k，∴∴RC= k，RG= k，DR=3 k﹣k= k，∴= = ，∴a1=0（舍去），a2= ，点D的横坐标为﹣2或﹣．【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用【解析】【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c，于是得到结论；（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（﹣，0），得到PA=PC=PB= ，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．。
广东省广州市番禺区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
广东省广州市番禺区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．220x x -=B ．2210x x --=C ．2210x x -+= D ．2230x x -+= 2．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．2BC DE =B ．ADE ABC ∆∆ C ．AD AB AE BC = D ．4ABC ADE S S ∆∆=3．抛物线222y x x -=+与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,2B ．()1,1C ．()2,0D ．()0,2- 4．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）A ．至少有1个球是黑球B ．至少有1个球是白球C ．至少有2个球是黑球D ．至少有2个球是白球6．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．D7．一元二次方程260x +-=的两实数根为12,x x ，则12x x +的值为（ ）A B ．- C ．D ．68．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒后得到的'''A B C （点B 的对应点是点'B ，点C 的对应点是点'C ），连接'CC ．若22CC B ︒∠''=，则B 的大小是（ ）A ．63︒B ．67︒C ．68︒D ．77︒9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②a+c ＞b ；③2a+b ＞0．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 10．如图，已知弦AB 与弦CD 交于点P ，且P 为AB 的中点，延长,AC DB 交于点E ，若2,3AC BD ==，则CE BE +=（ ）A ．9B ．3+C ．10D ．二、填空题 11．一元二次方程2250x -=的解为__________．12．点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为_____．13．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．14．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为_____．15．如果关于x 的方程220x x k -+=（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．三、解答题17．已知x=﹣1是方程x 2+mx ﹣5=0的一个根，求m 的值及方程的另一个根．18．配方法解方程：2346x x -=19．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.（1）求证：BDE CAD ∆∆∽；（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.20．如图，已知△ABC 和点O ．（1）把△ABC 绕点O 顺时针旋转90︒得到△A 1B 1C 1，在网格中画出△A 1B 1C 1；（2）用直尺和圆规作△ABC 的边AB ，AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P （要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P 是△ABC 的内心，外心，还是重心？ 21．如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A 、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．22．已知二次函数2y x 2x 3=-++．（1）在坐标系中作出函数图象，并求其图象的顶点坐标和图象与x 轴的交点坐标； （2）自变量x 在什么范围内，y 随x 的增大而减小？23．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，以AB 为直径作O ，点D 为O 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E（1）判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若2,2BE DE BE ==，求AC DC的值．24．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由25．如图，O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6,cm ACB ∠的平分线交O 于点D ． （1）求AD 的长；（2）试探究CA CB CD 、、之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接,OD P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE OD ⊥于点E ，设OPE ∆的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长参考答案1．D【分析】一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 根 的判别式：2=4∆-b ac ，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无解，据此逐项法分析解题【详解】A. 220x x -=1,2,0a b c ==-=，22=4=(2)41040b ac ∆---⨯⨯=>∴方程有两个不相等的实数根，故A 错误；B. 2210x x --=1,2,1a b c ==-=-22=4=(2)41(1)80b ac ∆---⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根，故B 错误；C. 2210x x -+=1,2,1a b c ==-=22=4=(2)4110b ac ∆---⨯⨯=∴方程有两个相等的实数根，故C 错误；D.2230x x -+=1,2,3a b c ==-=22=4=(2)4138<0b ac ∆---⨯⨯=-∴方程无解故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．C【分析】根据三角形中位线的性质求解．【详解】解：由题意BC是△ABC的中位线，∴由中位线的性质可得：BC=2DE，BC∥DE，∴A正确，且∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴ΔADE∼ΔABC，且相似比=DE:BC=1:2，∴B正确，SΔABC=4SΔADE，且AD:AE=AB:AC，∴D正确，C错误，故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线和三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质及三角形相似的判定与性质是解题关键．3．A【分析】x=．与y轴的交点坐标即令0【详解】x=得，令0222=0022=+-+=-，y x x0,2，∴抛物线222=+与y轴的交点坐标为()y x x-故选：A．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．A根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．A【详解】试题分析：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．考点：随机事件．6．C【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：连接OA，OB．∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°．∵OA=OB=2，∴AB故选C．7．B【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】解：∵一元二次方程x 2的两实数根为x 1，x 2，∴x 1+x 2故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 8．B【分析】利用旋转的性质得到'',90,AC A C BAC CAC BCA B C A '''=∠=∠=︒∠=∠，继而得到CAC '△为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解得45ACC AC C ''∠=∠=︒，再由角的和差求得23B C A ''∠=︒，再由旋转的性质可得23BCA ∠=︒，最后根据三角形内角和解题即可．【详解】 ABC 绕点A 顺时针旋转90︒后得到的'''A B C'',90,AC A C BAC CAC BCA B C A '''∴=∠=∠=︒∠=∠CAC '∴为等腰直角三角形45ACC AC C ''∴∠=∠=︒22CC B ︒∠''=452223B C A CC A CC B ︒'''∴∠=∠-∠''=︒-=︒23BCA B C A ''∴∠=∠=︒902367B ∴∠=︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．B【详解】观察图象可知抛物线与x 轴有两个交点，△=b 2﹣4ac ＞0，即可得4ac ＜b 2，①正确； 当x=﹣1时，y ＜0，即a ﹣b+c ＜0，所以a+c ＜b ，②错误； 因对称轴12b x a =->，a ＜0，所以﹣b ＜2a ，即2a+b ＞0，③正确． 故答案选B ．考点：二次函数图象与系数的关系．10．C【分析】根据题意，由两角相等证明△ABE ∽△DCE ，△PBD ∽△PAC ，再由相似三角形性质，得到对应边成比例，设EC=x ，EB=y ，列出方程组，解出x ，y ，然后求得．【详解】∵∠A=∠D （同弧所对的圆周角相等）∠E=∠E∴△ABE ∽△DCE同理△PBD ∽△PAC ∴23AC PC AP BD BP PD=== ∵P 为AB 中点∴PA=PB, ∴393,,242PB PC PD PC AP PC ===CD=PC+PD=PC+91344PC PC = AB=AP+BP=33322PC PC PC += ∴13134312PC CD AB PC == 设EC=x ，EB=y,则32x EC y CD y EB x AB+===+，则可得： 22231312x x y y x y ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩解得：265245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴CE+BE=26241055+= 故选：C ．【点睛】此题考查相似三角形的综合运用，掌握相似三角形的判定方法和性质，根据对应边成比例设未知数，运用方程思想，求出相关线段的长度是解题的关键．11．125,5x x =-=【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法解题即可．【详解】 2250x -=2=25x ∴5x ∴=±故答案为：125,5x x =-=．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（﹣3，5）．【分析】根据关于原点的对称的点的横纵坐标均互为相反数可得所求点的坐标．【详解】解：点(3，−5)关于原点的对称点的坐标为(−3，5)，故答案为(−3，5).【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的知识；掌握关于原点对称的点的坐标的特点是解决本题的关键．13．1 4【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是14．故答案为：14．考点：列表法与树状图法．14．4【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3π＝6π，设母线长为L，则有12×6πL＝15π，解得：L＝5，∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，∴在直角△AOC中高AO4．故填：4.【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．15．1k<【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．16．6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=12A′B′=4，∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．17．m=﹣4，另一根是5．【详解】试题分析：先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于m的方程，求得m的值，然后代入原方程，最后再解方程即可.试题解析：由题意得，解得则原方程可化为，解得，所以另一个根为-5．考点：1.方程的根的定义；2.解一元二次方程18．113x =+，213x =-． 【分析】 先移项，再将二次项系数化为1，然后利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：2364x x -=，2423x x -=， 2242113x x -+=+， ()2713x -=，13x -=±，113x =+213x =-． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．19．（1）见解析；（2）6013DE =. 【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明； 对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.【详解】解：（1)证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠.又∵AD 为BC 边上的中线，∴AD BC ⊥.∵DE AB ⊥，∴90BED CDA ︒∠=∠=，∴BDE CAD ∆∆∽.(2)∵10BC =，∴5BD =.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得12AD ==. 由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴BD DE CA AD=， 即51312DE =， ∴6013DE =. 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.20．（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）△A 1B 1C 1如图所示．（2）如图所示，点P 是△ABC 的外心．（1）分别得出△ABC 绕点O 顺时针旋转90︒后的对应点坐标，进而得到△A 1B 1C 1． （2）根据垂直平分线的作法求出P 点即可，进而利用外心的性质得出即可．21．（1）结果见解析；（2）13． 【详解】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：41123= ． 试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．22．（1）作图见解析；顶点坐标为()1,4；图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-；（2）1x >．【分析】（1）顶点坐标为（1，4），与x 轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0）；函数图象见解析． （2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小．【详解】解：（1）二次函数解析式可化为()222314y x x x =-++=--+ 其图象为抛物线如图所示抛物线的顶点坐标为()1,4当0y =时，有2230x x -++=解得：121,3x x =-=所以，图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-（2）∵函数图象开口向下，又其对称轴1x =∴当1x >时，y 随x 的增大而减小【点睛】本题考查了二次函数的图象，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是解题的关键一步，同时，描点时要用平滑曲线．23．（1）DC 是O 的切线；理由见解析；（2）AC DC = 【分析】（1）连接OC ，如图，证明OCB OCD ∆∆≌得到90ODC OBC ︒∠=∠=，然后根据切线的判定定理可判断CD 为⊙O 的切线；（2）根据已知条件得到DE=2BE=4，设CD CB x ==，在Rt CDE ∆中，根据勾股定理求出x ，设O 的半径为r ，在Rt OBE ∆中，根据勾股定理求出r ，再在在Rt ABC ∆中，根据勾股定理求出AC ，于是得到结论．【详解】解：（1）DC 是O 的切线，证明：连接OC ，在OCB 和OCD 中CB CD CO CO OB OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，OCB OCD ∴≌，90ODC OBC ︒∴∠=∠=，OD DC ∴⊥，∵OD 是圆的半径，DC ∴是O 的切线；（2）2,2BE DE BE ==，4DE ∴=．设CD CB x ==，在Rt CDE 中，222CE ED CD =+， ()22224x x ∴+=+，3,3x CD CB ∴===．设O 的半径为r ，则4EO ED OD r =-=-，在Rt OBE 中，222OE EB OB =+， ()22242r r ∴-=+，1.5r ∴=，23AB r ∴==．在Rt ABC中，AC ==3AC DC ∴== 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：在判定两个三角形全等时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了切线的判定以及勾股定理的应用．24．（1）334y x =-；（2）①证明见解析；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 【分析】 （1）分别在抛物线解析式中令x=0，y=0，可以得到B 和A 的坐标，然后应用待定系数法可以得到直线AB 的解析式；（2）①分别设点M 、N 的横坐标为m 、n ，则由平行四边形的性质可以证得m+n=4,即m 、n 的和为定值；②作DE ⊥PM ，结合①可以求得平行四边形CMND 的周长是关于m 的二次函数，由二次函数的知识可以求得平行四边形CMND 的周长取最大值时m 的值，从而得到对应的D 点坐标．【详解】解：（1）令2393044x x --=，可 得()121,4,4,0x x A =-=， 令抛物线解析式中x=0可得()0,3B -，设直线AB 的解析式为：y kx b =+代入,A B 两点坐标，求得334y x =-； ()2①设点P 的横坐标为m ，则点M 坐标为239,344m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 点C 的坐标为3,34m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23394,33444AP m MC m m m ⎛⎫∴=-=---- ⎪⎝⎭ 2334m m =-+ 设点N 的横坐标为n ，同理得2334DN n n =-+ 22333344m m n n ∴-+=-+ 整理得：()()()334n m n m n m -+=- m n ≠4m n ∴+=为定值②作DE PM ⊥，则442DE n m m m m =-=--=-易证DEC AOB ∆∆∽()455,42344ED CD DE m EC ∴===- 平行四边形CMND 的周长()()2235322324210442MC CD m m m m m ⎛⎫=+=-++⨯-=-++ ⎪⎝⎭ 302-< 13m =∴时，周长有最大值 此时点D 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭当点M N 、位置对调，点C D 、位置相应对调时，依然满足条件 ∴点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或．【点睛】本题考查一次函数、二次函数与平行四边形的综合应用，熟练掌握一次函数解析式的求法、平行四边形的性质及二次函数的图象和性质是解题关键．25．（1）（2）CA CB +=，证明见解析；（3． 【分析】(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交O 于D ，判断△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA 到F ，使AF=CB ，可证△CDF 为等腰直角三角形,从而得到CA 、CB 、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM ，PM,正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，先求OD 的长度，再得到点M 经过路径的长．【详解】解：()1AB 是直径90ADB ︒∴∠= CD 是ACB ∠的平分线ACD BCD ∴∠=∠AD BD ∴=在Rt ABD ∆中，222AD BD AB +=1022AD BD AB ∴====()2CA CB +=，证明如下延长CA 到F ，使AF CB =，连接DF180,180CBD CAD FAD CAD ︒︒∠+∠=∠+∠=CBD FAD ∴∠=∠又,AD BD AF BC ==ADF BDC ∴∆∆≌，,90,CD FD CDF CDF ︒∴=∠=∆为等腰直角三角形CA CB CF ∴+=()3连接OM PM 、PE OD ⊥90PEO ︒∴∠=点M 为OPE ∆的内心135OMP ︒∴∠=OD OP DOM POM OM OM =∠=∠=，，OMD OMP ∴∆∆≌135OMD OMP ︒∴∠=∠=∴所以点M 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135︒的两段劣弧上（分OD 左右两种情况）； 设OMD 所在圆的圆心'O135OMD ︒∠='90OO D ︒∴∠='22O O ∴==弧OD的长为902180π∴点M经过路径长为2【点睛】本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段△CDF和△ABD是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．。
2020-2021学年河北省保定市满城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年河北省保定市满城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，可将方程配方为（）A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝0C．（x﹣1）2＝2D．（x﹣1）2＝0 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下面的三视图所对应的几何体是（）A．B．C．D．4．在同一坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+3的大致图象可能是（）A．B．C．D．5．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y＝x2﹣2x+3B．y＝﹣x2﹣2x+3C．y＝﹣x2+2x+3D．y＝﹣x2+2x﹣3 6．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0 7．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（）A．6B．5C．4D．38．“任意画一个三角形，其内角和是360°”，这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝31°，则∠BEC的大小为（）A．120°B．121°C．122°D．125°10．如图，将一块含30°角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，点B在直线m上的正投影分别为点D，点E，若AB＝10，BE＝3，则AB在直线m上的正投影的长是（）A．5B．4C．3+4D．4+4二、填空题（每小题3分，共30分）11．方程x2﹣2x＝0的根是．12．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为．13．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴为直线．14．一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象交点的纵坐标为2，当﹣3＜x＜﹣1时，反比例函数y＝中y的取值范围是．15．抛物线y＝x2﹣4x+1与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴交点为C，则△ABC的面积为．16．从﹣2，﹣1，1，0四个数中，随机抽取两个数相乘，积为0的概率是．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，则图中阴影部分的面积为．18．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝，则BD的值是．19．如图，AB是⊙O的直径，延长AB至D，使BD＝AB，过点D作⊙O的切线，切点为C，则＝．20．抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+4m与x轴的两个交点分别为C，D，顶点为P．当△PCD 的面积最大时，m＝．三、解答题（本题共7个小题，共60分）21．用适当的方法解方程．（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AC＝，AB＝5．求BD的长．23．如图，直线y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A（1，3），B（3，n），与x，y轴分别交于P，C．（1）求k的值；（2）求△OAB的面积；（3）观察图象指出，当x取何值时﹣x+4＞．24．某校计划在暑假第二周的星期一至星期五开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．（1）甲同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中一天是星期五的概率是多少？25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．26．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）CO⊥DB；（3）△EDA∽△EBD．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m．（1）若抛物线经过原点，求m的值，写出抛物线的解析式，并在下面的坐标系中画出抛物线的示意图．【提示：画抛物线示意图时，可在它的上面找三个比较特殊的点，注意在图上适当位置写上抛物线的解析式．】（2）求抛物线顶点P的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与y轴的交点为点C，那么点C可能在点（0，）的上方吗，为什么？参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，可将方程配方为（）A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝0C．（x﹣1）2＝2D．（x﹣1）2＝0【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．解：x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+12＝1+12，（x+1）2＝2，故选：A．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3．下面的三视图所对应的几何体是（）A．B．C．D．【分析】根据“俯视打地基、主视疯狂盖、左视拆违章”得出组成该几何体的小正方体分布情况，继而得出答案．解：根据三视图知，组成该几何体的小正方体分布情况如下：与之相对应的C选项，故选：C．4．在同一坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+3的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数与反比例函数的图象，判断两个式子中的k是否可以取到相同的符号，从而判断．解：A、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；B、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；C、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＜0，根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，则选项错误；D、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，故选项正确．故选：D．5．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y＝x2﹣2x+3B．y＝﹣x2﹣2x+3C．y＝﹣x2+2x+3D．y＝﹣x2+2x﹣3【分析】抛物线开口向下，a＜0，与y轴的正半轴相交c＞0，对称轴在原点的右侧a、b 异号，则b＞0，再选答案．解：由图象得：a＜0，b＞0，c＞0．故选：C．6．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．故选：C．7．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用已知条件可得直线l与圆相离，根据直线与圆相离的性质可以作出判断．解：∵⊙O与直线l无公共点，∴⊙O与直线l相离．∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∵⊙O直径为10cm，∴⊙O半径为5cm，∴圆心O到直线l的距离大于5cm．故选：A．8．“任意画一个三角形，其内角和是360°”，这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确【分析】直接利用三角形内结合定理结合不可能事件的定义分析得出答案．解：任意画一个三角形，其内角和是360°”，这一事件是不可能事件．故选：B．9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝31°，则∠BEC的大小为（）A．120°B．121°C．122°D．125°【分析】根据圆周角定理可求∠CAD＝31°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．解：在⊙O中，∠CBD＝31°，∴∠CAD＝31°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠CAD＝62°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣62°）÷2＝59°，∴∠BEC＝180°﹣59°＝121°．故选：B．10．如图，将一块含30°角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，点B在直线m上的正投影分别为点D，点E，若AB＝10，BE＝3，则AB在直线m上的正投影的长是（）A．5B．4C．3+4D．4+4【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC＝5，根据锐角三角函数可得BC的长，再根据勾股定理可得CE的长；通过证明△ACD∽△CBE，再根据相似三角形的性质可得CD的长，进而得出DE的长．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝10，∴AC＝＝5，BC＝AB•cos30°＝10×＝，在Rt△CBE中，CE＝，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∴Rt△ACD∽Rt△CBE，∴，∴CD＝＝，∴DE＝CD+BE＝4+，即AB在直线m上的正投影的长是4+，故选：D．二、填空题（每小题3分，共30分）11．方程x2﹣2x＝0的根是x1＝0，x2＝2．【分析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故答案为：x1＝0，x2＝2．12．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为90°．【分析】由△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD 的大小，然后由图形即可求得答案．解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴OB＝OD，∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD＝90°，∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．13．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴为直线x＝1．【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x＝1，故答案为：x＝1．14．一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象交点的纵坐标为2，当﹣3＜x＜﹣1时，反比例函数y＝中y的取值范围是＜y＜2．【分析】把一个交点的纵坐标是2代入y＝﹣x+1求出横坐标为﹣1，把（﹣1，2）代入y ＝求出k，令﹣3＜x＜﹣1，求出y＝﹣的取值范围，即可求出y的取值范围．解：令y＝2，则2＝﹣x+1，∴x＝﹣1，把（﹣1，2）代入y＝，解得：k＝﹣2，∴反比例函数为y＝﹣，当x＝﹣3时，代入y＝﹣得y＝，∴x＝﹣3时反比例函数的值为：，当x＝﹣1时，代入y＝﹣得y＝2，又知反比例函数y＝﹣在﹣3＜x＜﹣1时，y随x的增大而增大，即当﹣3＜x＜﹣1时反比例函数y的取值范围为：＜y＜2．15．抛物线y＝x2﹣4x+1与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴交点为C，则△ABC的面积为．【分析】令x＝0，可求得三角形ABC的AB边上的高，令y＝0，得x的一元二次方程，求得方程的解，进而求得AB，根据三角形面积公式求得结果．解：当y＝0时，x2﹣4x+1＝0，∴x＝＝2±，∴AB＝2+﹣（2﹣）＝2，当x＝0时，y＝2，∴OC＝1，∴S△ABC＝＝＝，故答案是是：．16．从﹣2，﹣1，1，0四个数中，随机抽取两个数相乘，积为0的概率是．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，积为0的结果有6种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，积为0的结果有6种，∴积为0的概率为＝，故答案为：．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，则图中阴影部分的面积为2π．【分析】先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝＝4，再根据旋转的性质得出△ABC≌△A′B′C′，然后根据阴影部分的面积＝（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝＝4，∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，∴∠ACB＝∠A'CB'＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠CA′B′＝∠CAB＝90°，∴阴影部分的面积＝﹣×4×4+×4×4﹣＝2π，故答案为2π．18．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝，则BD的值是3．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得：BD＝3，故答案为：3．19．如图，AB是⊙O的直径，延长AB至D，使BD＝AB，过点D作⊙O的切线，切点为C，则＝．【分析】连接OC，得∠OCD＝90°，设OC＝x，OD＝3x，由勾股定理得CD＝2x，即可得出答案．解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，设OC＝x，∵BD＝AB，∴OD＝3x，由勾股定理得CD＝2x，，故答案为：．20．抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+4m与x轴的两个交点分别为C，D，顶点为P．当△PCD 的面积最大时，m＝2．【分析】根据抛物线的解析式求得项点坐标；根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m为何值时△PCD的面积最大．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+4m，∴该抛物线的顶点P为（1，﹣m2+4m），当﹣m2+4m最大时，△PCD的面积最大，∵﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，﹣m2+4m最大为4，即m为2时△PCD的面积最大．故答案是：2．三、解答题（本题共7个小题，共60分）21．用适当的方法解方程．（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；（2）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AC＝，AB＝5．求BD的长．【分析】（1）由∠ABC＝∠ACD及∠A＝∠A，可证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的性质，可求出AD的长，进而可求出BD的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，即＝，∴AD＝2，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣2＝3．23．如图，直线y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A（1，3），B（3，n），与x，y轴分别交于P，C．（1）求k的值；（2）求△OAB的面积；（3）观察图象指出，当x取何值时﹣x+4＞．【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式，即可求出一次函数解析式；（2）先由直线解析式求得D（0，4），根据△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积求得△AOB的面积．解：（1）将点A（1，3）代入y＝（x＞0）得：3＝k，解得k＝3，∴反比例函数的表达式为：y＝，（2）将点B（3，n）代入y＝得：n＝1，∴点B（3，1），∴C（0，4），如图，连接OA，OB，∴△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积＝﹣＝4．（3）当﹣x+4＞时，即y＝﹣x+4的图象在y＝上方，由图象可知，此时1＜x＜3，即当1＜x＜3时，﹣x+4＞．24．某校计划在暑假第二周的星期一至星期五开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．（1）甲同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中一天是星期五的概率是多少？【分析】（1）由树状图得出共有20个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有8个，由概率公式即可得出结果；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有4个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五）；其中有一天是星期五的结果有1个，由概率公式即可得出结果．解：（1）根据题意画图如下：由树状图可知，共有20个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有8个，∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期五的概率为＝；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有4个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），其中有一天是星期五的结果有1个，即（星期四，星期五），∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期五的概率是．25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．26．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）CO⊥DB；（3）△EDA∽△EBD．【分析】（1）连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC为直角，即可得证；（2）由切线长定理及等腰三角形的性质可得出结论；（3）由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由切线的性质及等腰三角形的性质得出∠EDA+∠ADO＝90°，∠ADO＝∠DAO，证出∠EDA＝∠ABD，由相似三角形的判定可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD∥OC，∴∠OAD＝∠COD，∠ODA＝∠COD，∴∠COD＝∠BOC，在△COD和△BOC中，，∴△COD≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴CD为圆O的切线；（2）∵CD和CB是⊙O的切线，∴CD＝CB，CO平分∠DCB，∴CO⊥BD．（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠ADO＝∠DAO，∴∠EDA＝∠ABD，又∵∠DEA＝∠BED，∴△EDA∽△EBD．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m．（1）若抛物线经过原点，求m的值，写出抛物线的解析式，并在下面的坐标系中画出抛物线的示意图．【提示：画抛物线示意图时，可在它的上面找三个比较特殊的点，注意在图上适当位置写上抛物线的解析式．】（2）求抛物线顶点P的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与y轴的交点为点C，那么点C可能在点（0，）的上方吗，为什么？【分析】（1）把（0，0）代入y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m即可求得m＝0或m＝1，从而得到抛物线的解析式为y＝﹣2x2，或y＝﹣2x2+4x；（2）把y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m化成顶点式即可求得顶点坐标；（3）由于抛物线与y轴的交点C为（0，﹣2m2+2m），而﹣2m2+2m＝﹣2（m﹣）2+，则﹣2m2+2m的最小值为，故点C可能在点（0，）的上方．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m经过原点，∴﹣2m2+2m＝0，∴m＝0或m＝1，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2，或y＝﹣2x2+4x，画出抛物线如图，；（2）∵y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m＝﹣2（x2﹣2mx+m2）+2m＝﹣2（x﹣m）2+2m，∴抛物线顶点P的坐标为（m，2m）；（3）∵y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m，∴抛物线与y轴的交点C为（0，﹣2m2+2m），∵﹣2m2+2m＝﹣2（m﹣）2+，∴﹣2m2+2m的最小值为，∴点C可能在点（0，）的上方．。
浙江省杭州市下城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
下城区2020学年第一学期期末教学质量监测九年级数学考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，请在答题卡指定位置内填写校名，姓名和班级，填涂考生号．3．答题时，所有答案必须做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．参考公式：二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点坐标公式：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ） A ．朝上一面的点数大于2 B ．朝上一面的点数为3 C ．朝上一面的点数是2的倍数 D ．朝上一面的点数是3的倍数2．若二次函数()20y ax a =≠的图象过点()2,3--，则必在该图象上的点还有（ ）A ．()2,3--B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,3-3．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则（ ）A ．3sin 4A =B ．4cos 5A =C ．3cos 4B =D ．3tan 5B =4．若四边形ABCD 是圆内接四边形，则它的内角A ∠，B ∠，C ∠，D ∠的度数之比可能是（ ） A ．3：1：2：5B ．1：2：2：3C ．2：7：3：6D ．1：2：4：35．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ） A ．没有发生变化 B ．放大了10倍 C ．放大了30倍D ．放大了100倍6．如图，在O 中，弦AC 与半径OB 交于点D ，连接OA ，BC ．若60B ∠=︒，116ADB ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A ．132°B ．120°C ．112°D ．110°7．已知()13,y -，()22,y -，()31,y 是二次函数228y x x m =--+图象上的点，则（ ） A ．213y y y >>B ．231y y y >>C ．123y y y <<D ．321y y y <<8．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，//DE BC 交AC 于点E ．连接BE ，//DF BE 交AC 于点F ．若3AF =，5CF =，则DEF 与BDE 的面积之比为（ ）A ．35B C ．58D 9．如图，AB 是O 的弦（非直径），点C 是弦AB 上的动点（不与点A ，B 重合），过点C 作垂直于OC 的弦DE ．设O 的半径为r ，弦AB 的长为a ，ACm BC=，则弦DE 的长（ ）A ．与r ，a ，m 的值均有关B ．只与r ，a 的值有关C ．只与r ，m 的值有关D ．只与a ，m 的值有关：10．已知二次函数21y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ≠）的图象经过()2,1A ，()4,3B ，()4,1C -三个点中的其中两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线1y x =-上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ） A ．最大值为1-B ．最小值为1-C ．最大值为12-D ．最小值为12-二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．由47a b =，可得比例式：_________（写出一个正确的比例式即可）．12．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：估计该麦种的发芽概率约为_________．13．如图，折扇的骨柄长为30cm ，扇面宽度为18cm ，折扇张开的角度为120°，则扇面外端AB 的长为_ _______cm ，折扇扇面的面积为__________2cm ．（结果保留π）14．一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度h （米）与经过的时间t （秒）满足的函数关系为2155h tt t =-，则该球从弹起至回到地面的时间需_____秒，它距离地面的最大高度为______米．15．如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO 与地面垂直．为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA 绕点O 旋转到OA '处．若AO m =，'AOA α∠=，则调整后点A '比调整前点A 的高度降低了______（用含m ，α的代数式表示）．16．如图，在锐角三角形ABC 中，45B ∠=︒，65AB AC =，点D 为边AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE 沿DE 折叠得到FDE ．若FE AC ⊥，则AE EC 的值为_______；DEAF的值为________．三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分6分）现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取-张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）18．（本题满分8分）如图，小锋将一-架4米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的项端与地面的距离AC （结果保留根号）（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B 向内移动多少米（结果精确到0.1米）？ 参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈． 19．（本题满分8分）已知二次函数()()1y x m x =+-的图象经过点()2,3-．（1）求这个二次函数的表达式．（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：①直接写出方程()()13x m x +-=-的解． ②当x 满足什么条件时，0y >．20．（本题满分10分）如图，AB 是O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，OD 交AC 于点E ，AD=CD ．（1）求证：//OD BC ．（2）若10AC =，4DE =，求BC 的长． 21．（本题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点E ，点F 在BD 上，且BAF DBC ∠=∠，AB BCAF FD=．（1）求证：ABCAFD ．（2）若2AD =，5BC =，ADE 的面积为20，求BCE 的面积． 22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，设二次函数23y ax bx a =+-（a ，b 是实数，0a ≠）． （1）判断该函数图象与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，()11,A x y ，()22,B x y 为函数y 图象上的任意两点，其中12x x <．求当1x ，2x 为何值时，125y y a ==．（3）若该函数图象的项点在第二象限，且过点()1,1．当a b <时，求2a b +的取值范围． 23．（本题满分12分）如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，O 是ABC 的外接圆，连结AO ，BO ，延长BO 交AC 于点D ．（1）求证：AO 平分BAC ∠．（2）若O 的半径为5，6AD =，设ABO 的面积为1S ，BCD 的面积为2S ，求12S S 的值． （3）若ODm OB=，求cos BAC ∠的值（用含m 的代数表示）． 2020年拱墅&下城区初三数学期末检测答案一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中。
2020-2021学年辽宁省锦州市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年辽宁省锦州市九年级第一学期期末数学试卷一.选择题（共8小题）.1．如图所示物体的俯视图是（）A．B．C．D．2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）A．16个B．14个C．20个D．30个3．已知△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．B．C．D．4．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k＜1C．k≥1D．k＞15．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线互相垂直且相等D．平行四边形的对角线相等6．如图，小明（用CD表示）站在旗杆（用AB表示）的前方8m处，某一时刻小明在地面上的影子比EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6m，CE＝2m，则旗杆AB的高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．10m7．如图，在▱ABCD中，AD＝6，∠ADB＝30°．按以下步骤作图：①以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交BD于点F；②分别以点D，F为圆心，以CD长为半径作弧，两弧相交于点G．作射线CG交BD于点E．则BE的长为（）A．3B．C．4D．38．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B 作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝4﹣4；④BG•BH ＝BE•BO，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题（共8小题）.9．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＝0的一个根为1，则m＝．10．某批篮球的质量检验结果如下：抽取的篮球数n10020040060080010001200优等品的频数m931923805617529411128优等品的频率0.9300.9600.9500.9350.9400.9410.940从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是．（精确到0.01）11．如图，小军、小珠之间的距离为2.8m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.7m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.7m，1.5m，则路灯的高为m．12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）在反比例函数y＝﹣上的图象上，则y1与y2的大小关系为．13．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡1190张，设全班有x名同学，则可列方程为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则∠AEC＝．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥CA，交BD的延长线于点E，若AB＝2，BC＝4，则DE的长为．16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为．三、解答题（本大题共3小题，17题8分，18，19题各6分，共20分）17．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）3x（2x﹣1）＝2（2x﹣1）；（2）2x2+1＝4x．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣3，﹣1），顶点B，C都在小正方形的格点上．（1）点B的坐标为，点C的坐标为．（2）以原点O为位似中心，在所给的网格中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．19．小明和小刚打算寒假去北京游玩，他们准备从锦州南站乘坐动车去北京，锦州南站每天开四个检票口，其中有三个电子检票口，分别记为A，B，C，一个人工检票口记为D（如图）．（1）小明随机选择一个检票口进入候车大厅，那么他从电子检票口A进入的概率为；（2）若小明和小刚分别随机选择其中一个检票口进入候车大厅，请用树状图或列表法求他们选择不同电子检票口的概率．四、解答题（本大题共2小题，每题7分，共14分）20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝6cm．动点E从点A出发以1cm/s的速度沿AD向点D运动，动点F从点D出发以2cm/s的速度沿DC向点C运动，设运动时间为ts．（1）当△ABE∽△CBF时，求t的值；（2）当S△DEF＝S△ABE时，求t的值．21．某小家电经销商销售一种成本为每个50元的台灯，当每个台灯的售价定为80元时，每周可卖出600个，为了尽可能让利于顾客，经销商决定降价销售．经市场调查发现，这种台灯每周的销量每增加100个，该台灯的售价相应降低2元．如果该经销商每周要获得利润22000元，那么这种台灯的售价应为多少元？五、解答题（本大题共3小题，22，23题各8分，24题10分，共26分）22．如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．23．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．24．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，过点C作射线CM 交AB于点P（点P不与点D重合），过点B作BE⊥CM于点E，连接DE，过点D作DF⊥DE交CM于点F．（1）求证：DE＝DF；（2）如图2，若AE＝AC，连接AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，EG，求证：四边形ACGE为菱形；（3）在（2）的条件下，求的值．参考答案一.选择题（共8小题）.1．如图所示物体的俯视图是（）A．B．C．D．解：从上面看，是一行3个全等的矩形，故选：C．2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）A．16个B．14个C．20个D．30个解：由题意可得：＝0.3，解得：x＝14，经检验：x＝14是分式方程的解．故选：B．3．已知△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．B．C．D．解：∵△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，∴相似比为AB：DE＝3：5，∴其面积之比为9：25．故选：A．4．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k＜1C．k≥1D．k＞1解：根据题意得△＝22﹣4k≥0，解得k≤1．故选：A．5．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线互相垂直且相等D．平行四边形的对角线相等解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项错误，不符合题意；B．因为菱形的对角线互相垂直，所以B选项错误，不符合题意；C．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以C选项正确，符合题意；D．因为平行四边形的对角线互相平分，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．6．如图，小明（用CD表示）站在旗杆（用AB表示）的前方8m处，某一时刻小明在地面上的影子比EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6m，CE＝2m，则旗杆AB的高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．10m解：∵CD⊥AE，AB⊥AE，∴DC∥AB，∵AC＝8m，EC＝2m，∴AE＝AC+EC＝2+8＝10（m），∴△DCE∽△BAE，∴，即，解得：AB＝8，故选：B．7．如图，在▱ABCD中，AD＝6，∠ADB＝30°．按以下步骤作图：①以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交BD于点F；②分别以点D，F为圆心，以CD长为半径作弧，两弧相交于点G．作射线CG交BD于点E．则BE的长为（）A．3B．C．4D．3解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，由题意可得CG⊥BD，∴CE＝BC＝3，BE＝EC＝3，故选：D．8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B 作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝4﹣4；④BG•BH ＝BE•BO，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，∴∠FEC＝∠BGC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，∴∠OBH＝∠ECO，又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，∴△BOH≌△COE（ASA），∴OE＝OH，故①正确；如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∴EQ＝EP，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，∴四边形BPEQ是正方形，∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，∴∠QEF＝∠PEC，又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，∴△QEF≌△PEC（ASA），∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；∵EG＝GC，BG⊥EC，∴BE＝BC＝4，∴BP＝EP＝2，∴PC＝4﹣2＝QF，∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，∴△BOH∽△BGE，∴，∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，故选：D．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＝0的一个根为1，则m＝1．解：把x＝1代入方程x2﹣mx＝0得1﹣m＝0，解得m＝1．故答案为1．10．某批篮球的质量检验结果如下：抽取的篮球数n10020040060080010001200优等品的频数m931923805617529411128优等品的频率0.9300.9600.9500.9350.9400.9410.940从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.94．（精确到0.01）解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.94．故答案为0.94．11．如图，小军、小珠之间的距离为2.8m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.7m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.7m，1.5m，则路灯的高为3m．解：如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴＝，＝，即＝，＝，解得：AB＝3．故答案是：3．12．若点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）在反比例函数y＝﹣上的图象上，则y1与y2的大小关系为y1＜y2．解：∵k＝﹣4＜0，∴反比例函数y＝﹣上的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵点A（﹣2，y1）和点B（﹣1，y2）都在第二象限，且﹣2＜﹣1，∴y1＜y2．故答案为y1＜y2．13．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡1190张，设全班有x名同学，则可列方程为x（x﹣1）＝1190．解：由题意可得，x（x﹣1）＝1190，故答案为：x（x﹣1）＝1190．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则∠AEC＝25°或65°．解：如图1，当正方形ABDE在AB的右侧时，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴AC＝AE，∠CAE＝50°，∴∠AEC＝65°；如图2，当正方形ABDE在AB的左侧时，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴AC＝AE，∠CAE＝130°，∴∠AEC＝25°，综上所述：∠AEC＝25°或65°，故答案为：25°或65°．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥CA，交BD的延长线于点E，若AB＝2，BC＝4，则DE的长为．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∴OD＝OC＝，∵S△ADC＝×AD×DC＝×AC×DH，∴2×4＝2×DH，∴DH＝，∴OH＝＝＝，∴HC＝﹣＝，∵CE⊥CA，DH⊥CA，∴CE∥DH，∴，∴，∴DE＝．16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH＝AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝AB＝×2＝，∴GH＝，即GH的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共3小题，17题8分，18，19题各6分，共20分）17．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）3x（2x﹣1）＝2（2x﹣1）；（2）2x2+1＝4x．解：（1）3x（2x﹣1）＝2（2x﹣1），（3x﹣2）（2x﹣1）＝0，3x﹣2＝0或2x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为一般形式为，2x2﹣4x+1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴b2﹣4ac＝16﹣4×2×1＝8＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣3，﹣1），顶点B，C都在小正方形的格点上．（1）点B的坐标为（1，2），点C的坐标为（﹣2，3）．（2）以原点O为位似中心，在所给的网格中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．解：（1）由题意B（1，2），C（﹣2，3），故答案为：（1，2），（﹣2，3）．（2）如图，△A1B1C1即为所求作．19．小明和小刚打算寒假去北京游玩，他们准备从锦州南站乘坐动车去北京，锦州南站每天开四个检票口，其中有三个电子检票口，分别记为A，B，C，一个人工检票口记为D（如图）．（1）小明随机选择一个检票口进入候车大厅，那么他从电子检票口A进入的概率为；（2）若小明和小刚分别随机选择其中一个检票口进入候车大厅，请用树状图或列表法求他们选择不同电子检票口的概率．解：（1）小明随机选择一个检票口进入候车大厅，那么他从电子检票口A进入的概率为，故答案为：；（2）画树状图如图：共有16个等可能的结果，小明和小刚选择不同电子检票口的结果有6个，∴小明和小刚选择不同电子检票口的概率为＝．四、解答题（本大题共2小题，每题7分，共14分）20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝6cm．动点E从点A出发以1cm/s的速度沿AD向点D运动，动点F从点D出发以2cm/s的速度沿DC向点C运动，设运动时间为ts．（1）当△ABE∽△CBF时，求t的值；（2）当S△DEF＝S△ABE时，求t的值．解：（1）由题意得，AE＝tcm，DF＝2tcm，则CF＝（10﹣2t）cm，∵△ABE∽△CBF，∴＝，即＝，解得，t＝，∴当△ABE∽△CBF时，t＝；（2）∵AE＝tcm，∴DE＝（6﹣t）cm，∴S△DEF＝×DE×DF＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t，S△ABE＝×AE×AB＝×t×10＝5t，由题意得，﹣t2+6t＝5t，解得，t1＝0（舍去），t2＝1，∴当S△DEF＝S△ABE时，t＝1．21．某小家电经销商销售一种成本为每个50元的台灯，当每个台灯的售价定为80元时，每周可卖出600个，为了尽可能让利于顾客，经销商决定降价销售．经市场调查发现，这种台灯每周的销量每增加100个，该台灯的售价相应降低2元．如果该经销商每周要获得利润22000元，那么这种台灯的售价应为多少元？解：设每个台灯降x元，根据题意得，＝22000，整理这个方程得，x2﹣18x+80＝0，解得x＝10，x＝8，∵尽可能让利于顾客，∴x＝8舍去，∴定价为70元．答：这种台灯的售价应为70元．五、解答题（本大题共3小题，22，23题各8分，24题10分，共26分）22．如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．解：（1）设DC与y轴的交于点M，∵C（1，4），∴BC＝4，MC＝1，∵四边形ABCD正方形，∴CD＝BC＝4，∵点E是CD的中点，∴CE＝CD＝2，∴EM＝EC﹣MC＝1，∴E（﹣1，4），∴k＝xy＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数为y＝﹣；（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，由折叠可知，DE＝EG＝2，∠FGE＝∠D＝90°，在Rt△GME中，∠GME＝90°，∴MG＝＝＝．∴OG＝OM﹣MG＝4﹣，∵∠FNG＝∠FGE＝∠GME＝90°，∴∠FGN+∠EGM＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，∴∠EGM＝∠GFN，∴△EGM∽△GFN，∴，∴，∴GN＝，∴ON＝OM﹣MG﹣GN＝4﹣﹣＝4﹣2，∴F（﹣3，4﹣2）．23．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．【解答】（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．24．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，过点C作射线CM 交AB于点P（点P不与点D重合），过点B作BE⊥CM于点E，连接DE，过点D作DF⊥DE交CM于点F．（1）求证：DE＝DF；（2）如图2，若AE＝AC，连接AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，EG，求证：四边形ACGE为菱形；（3）在（2）的条件下，求的值．【解答】（1）证明：连接CD，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠CDB＝90°，∵BE⊥CE，DF⊥DE，∴∠CEB＝∠FDE＝90°＝∠CDB，∴∠CDF＝∠BDE，∵∠COD＝∠BOE，∠COD+∠OCD＝90°，∠BOE+∠EBO＝90°，∴∠EBO＝∠OCD，即∠EBD＝∠FCD，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF；（2）证明：由（1）得：△BDE≌△CDF，∴BE＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠ACF＝∠CBE，又∵AC＝BC，∴△ACF≌△CBE（SAS），∴∠AFC＝∠CEB＝90°，∴AF⊥CE，∵AE＝AC，EF＝CF，∵FG＝AF，∴四边形ACGE是平行四边形，∵AF⊥CE，∴四边形ACGE为菱形；（3）解：由（2）得：△ACF≌△CBE，CE＝2EF＝2CF，∴AF＝CE，由（1）得：BE＝CF，∴AF＝2BE，∵∠AFE＝∠CEB＝90°，∠APF＝∠BPE，∴△AFP∽△BEP，∴＝＝＝2．。
天津市2020-2021学年人教版九年级期末数学上册试卷 含解析
九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+14．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．306．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10015020050080010006000到白球的次数m58961162954846013601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：；②m＝（用含S1，S3的代数式表示m）．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．【分析】直接利用旋转的定义得出答案即可．【解答】解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【解答】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+1【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣3+4，即y＝（x+2）2+1．故选：A．4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：【分析】设圆的半径是R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．【解答】解：设此圆的半径为R，它的内接正六边形的边长为R，则它的内接正方形的边长为R，内接正六边形和内接四边形的边长比为R：R＝1：．故选：C．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．30【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后把已知条件代入计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DF＝25．故选：C．6．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．【解答】解：由网格构造直角三角形可得，AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴sin A＝sin45°＝，cos A＝cos45°＝，tan A＝tan45°＝1，∴选项D是正确的，故选：D．7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，连接OB．∵CD⊥AB，CD是直径，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠COB＝∠AOB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米【分析】根据坡度坡角定义即可求出结果．【解答】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10°，斜坡的水平宽度AB至少为AB＝≈8.5（米）．故选：A．9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2【分析】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，∴＝，可得3x＝2y，选项B符合题意，当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，∴＝，推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相似三角形得出等量关系，建立等式，求解．【解答】解：∵C（m，n）和D（m+8，n），∴CD∥x轴，且二次函数的对称轴x＝m+4，∴AB⊥CD，∵点C，D在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f （e，f为常数）的图象上，∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，y＝（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，∴A（m+4，n﹣16a），B（m+4，n﹣8），设AB与CD的交点为E，则E（m+4，n），则CE＝4，AE＝﹣16a，BE＝8；在△ABC中，∠ACB＝90°，且AB⊥CD，则CE2＝AE•BE，∴42＝﹣16a×8，解得，．故选：C．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．【分析】过点P作x轴的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数看求出答案．【解答】解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，所以cosα＝＝，故答案为：．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000600058961162954846013601到白球的次数m0.580.640.580.590.6050.6010.600摸到白球的频率小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是②（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．【分析】根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断①和②的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误；由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确；故答案为：②．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，∴y3＜y1＜y2，故答案为y3＜y1＜y2．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为45°．【分析】连接OM．想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．【解答】解：连接OM．∵AB是直径，＝2，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵＝，∴∠MOB＝∠COM＝30°，∵OM＝OB，∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，∵OC∥MN，∴∠MNB＝∠COB＝60°，∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故答案为：45°．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．【分析】如图，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，AM交DE于N．∵S△ABC＝BC•AM＝10，BC＝5，∴AM＝4．∵DE∥BC，AM⊥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴＝，即＝，∴AN＝，∴平行四边形DEGF的高MN＝AM﹣AN＝4﹣＝，∴平行四边形纸片的面积＝2×＝．故答案为：．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：S2＝（S1+S3）；②m＝．（用含S1，S3的代数式表示m）．【分析】①由题意可得：S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，代入化简即可得到答案；②先证明△MLK∽△KEH，设AE＝x，PE＝y，结合四边形MNOP的面积为m，可得答案．【解答】解：①观察图像（2）可知，S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，∴S1＝2（S2﹣S3）+S3，∴2S2＝S1+S3，∴S2＝（S1+S3），故答案为：S2＝（S1+S3）．②∵HE⊥EF，AK⊥HE，∴AK∥EF，同理：BL∥GF，DJ∥HE，CI∥GH，∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，∴MN∥GF∥EH，∴∠LMK＝∠EKH＝90°，∠MLK＝∠HEL，∴△MLK∽△KEH，∴＝＝，设AE＝x，PE＝y，则：＝＝，∴ML＝，MK＝＝LN，∴MN＝+＝，∴m＝MN2＝2＝，∵S1＝（x+y）2，S2＝x2+y2，S3＝（x﹣y）2，∴m＝＝＝．故答案为：．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．【分析】（1）直接利用一个未知数表示出a，b，进而代入化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：（1）∵，∴设a＝3x，则b＝4x，∴＝＝﹣；（2）原式＝2×﹣×＝1﹣＝﹣．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．【分析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形．【解答】解：如图所示，△ADE和△ADB即为所求．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）小丽通过A通道进入校园的概率为；（2）列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为＝．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB ＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．【解答】解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG∥AE，∵BO＝DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，∴∠EAB＝∠BOG＝28°，在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），答：点A离地面的高度AE约为132cm；（2）∵OG∥AE，∴∠EAB＝∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF∥OG，∴∠DCF＝∠DOG，∵∠BOG＝∠DOG，∴∠BAE＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝＝100（cm），答：C点离地面的高度CF为100cm．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．【分析】（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对①a＝15；②a＝10计算求得相应的最大值即可．（2）令S＝67.5得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由（1）的结论可得答案．【解答】解：（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，∴设矩形的面积为S，则S＝x×＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣12）2+72，∵﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝12，∴当0＜x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；①a＝15时，x≤a即x≤15；∴当x＝12时，S有最大值为72平方米；②a＝10时，x≤a即x≤10，∴当x＝10时，面积的最大值为﹣×（10﹣12）2+72＝70（平方米）．（2）令S＝67.5得：﹣（x﹣12）2+72＝67.5，解得x＝9或x＝15，由x≤a可知，当x＝15时，a≥15，由（1）知，此时矩形最大值在x＝12时取得，面积最大值为72平方米，故x＝15舍去．∴a＝9．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O 于E．证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON （HL），可得结论．（2）过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R，首先证明∠AOC＝30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP 交⊙O于E．∵＝，∴AC＝BD，∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△POM和Rt△PON中，，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴PM＝PN，∵AM＝BN，∴P A＝PB．（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MON＝120°，∵△POM≌△PON，∴∠POM＝∠PON＝60°，∵＝3，∴∠COE＝3∠COM，∴∠COM＝15°，∴∠AOC＝2∠COM＝30°，过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R∴S△AOC＝9，∴•R••R＝9，∴R＝6，∴S阴＝S阴＝S阴﹣S△AOC＝﹣9＝3π﹣9．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．【分析】（1）利用待定系数可求解析式；（2）先求出AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解；（3）①由平行线的性质可得∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，由相似三角形的判定定理可得△PQM∽△COA；②先求出BC解析式，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），由锐角三角函数可求PQ的长，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），∴，解得：，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，∴点C（0，2），又∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC＝＝＝，BC＝＝＝2，∵AB2＝25，AC2+BC2＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①∵∠ACB＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°＝∠ACO+∠CAO，∴∠BCO＝∠CAO，∵PQ∥AC，PM∥y轴，∴∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，∴△PMQ∽△COA；②如图，延长PM交AB于H，∵∠PMQ＝∠BMH，∠PQM＝∠PHB＝90°，∴∠QPM＝∠CBA，∵B（4，0），点C（0，2），∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），∴PM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣（m﹣2）2+2，∵cos∠CBA＝cos∠QPM，∴，∴＝，∴PQ＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PQ有最大值为．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．【分析】（1）①证明：如图1，连接PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：∠PCB＝∠PBC，所以弦相等，弧相等，可得结论；②如图2，作辅助线，构建直径PG，根据垂径定理得：BG＝3，∠BOG＝∠BAC，最后由三角函数定义可得结论；（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，根据勾股定理计算OG和PC的长，根据各角的关系证明∠APC＝∠E，则CE和PC的长相等，可得结论；（3）如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，证明△ACE∽△APB，列比例式得：P A•AE＝AC •AB，根据三角形面积公式得P A•AE＝S△ABC，由图形可知：点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，从而得结论．【解答】（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠P AF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠P AF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠P AF＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴，∴P A•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时P A•AE＝×＝80．。
2020-2021学年山东省临沂市沂水县九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝5，x2＝2，
故选：D．
3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠BOC的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB＝15°，即可解决问题．
解：在y＝2x2﹣5x+1中，a＝2，b＝﹣5，
∴对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣ ＝ ，
故选：B．
5．在掷硬币的实验中，正确的是（ ）
A．老师安排每位同学回家做实验，硬币自由选取
B．老师安排同学回家做实验，硬币统一发（完全一样的）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要
C．甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%，于是他断定在做第2001次时，正面不会向上
参考答案
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）.
1．下列事件中，必然事件是（ ）
A．未来一周都是好天气
B．假期出门遇见同学
C．不在同一直线上的三个点确定一个圆
D．掷一次硬币，正面向上
【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的意义进行判断即可．
解：根据概念，知
A、未来一周都是好天气，是随机事件；
（1）求证：△DCF∽△CEB；
（2）若AD＝6，CD＝8，DF＝4，求CE的长．
23．已知点P是 上的一个动点，∠APB＝118°，AB＝10，点P到AB的最大距离约为多少？（结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）
24．如图，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y2＝ （x＜0）分别交于点C，D，且点C的坐标为（﹣1，4）．
2020-2021学年广东省佛山市高明区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省佛山市高明区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2．在一个不透明的袋子里有1个红球，2个蓝球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是（）A．B．C．D．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B的值是（）A．B．C．D．4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝5 5．已知＝，则的值为（）A．B．C．D．6．如图，在菱形ABCD中，AC＝5，∠BCD＝120°，则菱形的周长等于（）A．20B．15C．10D．57．反比例函数的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限8．如图，在平面直角坐标系中有两点C（2，1）、D（2，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，则点A的坐标为（）A．（6，0）B．（3，6）C．（6，3）D．（4，2）9．一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，那么实数c的取值为（）A．c＞1B．c≥1C．c＝1D．c＜110．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c ＜0；③2a＞b；④abc＞0，其中正确的结论是（）A．①②B．②④C．③④D．②③④二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．计算：2tan60°＝．12．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明捕捞了100尾鱼，发现鲫鱼有35尾，估计水库里有尾鲫鱼．13．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是．14．高明区某绿色产业基地2018年的粉葛产量为100吨，2019年、2020年连续两年改良技术，提高产量，2020年粉葛产量达到144吨．设平均每年的增长率为x，列出方程为：．15．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是．16．如图，在△ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，已知FC长是6，则线段OC的长为．17．如图，在x轴上取OB1＝B1B2＝B2B3＝…，过B1、B2、B3…分别作x轴的垂线，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于A1、A2、A3…连接OA1、B1A2、B2A3…则＝．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．解方程x2﹣3x+1＝0．19．如图，甲袋子中有3张除数字外完全相同的卡片，乙袋子中有2张除数字外完全相同的卡片，分别从甲、乙袋子中各随机抽出一张卡片并求和．请用树状图或列表法列出所有可能的结果，并求和为偶数的概率．20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．（1）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出△A1B1C1，使＝．（2）写出A1的坐标．（3）△A1B1C1的面积是．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，小李从西边山脚的点A走了300m后到达山顶C，已知∠A＝30°，东边山坡的坡度tan B＝．（1）求山顶C离地面的高度．（2）求B、C的距离．22．如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是BC、AD上的点，BE＝DF，连接AE、CF，AF＝FC，DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．23．如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A和B（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式和点P的坐标；（2）求△AOP的面积．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．（1）请用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．参考答案一、选择题（共10小题）.1．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．解：从上往下看，易得一个长方形，且其正中有一条纵向实线，故选：B．2．在一个不透明的袋子里有1个红球，2个蓝球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的意义求解即可．解：共有5个球，其中白球有2个，占，所以随机摸出一个球，恰好是白球的概率为，故选：C．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B的值是（）A．B．C．D．【分析】根据余弦的定义解答即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B＝＝，故选：D．4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝5解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5．故选：B．5．已知＝，则的值为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴b＝，∴＝＝．故选：D．6．如图，在菱形ABCD中，AC＝5，∠BCD＝120°，则菱形的周长等于（）A．20B．15C．10D．5解：∵∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，又∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，故可得菱形的周长＝4AB＝20．故选：A．7．反比例函数的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限【分析】根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限．解：∵反比例函数的k＝1＞0，∴反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故选：A．8．如图，在平面直角坐标系中有两点C（2，1）、D（2，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，则点A的坐标为（）A．（6，0）B．（3，6）C．（6，3）D．（4，2）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．解：∵以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段CD放大后得到线段AB，点C的坐标为（2，1），∴点A的坐标为（2×3，1×3），即（6，3），故选：C．9．一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，那么实数c的取值为（）A．c＞1B．c≥1C．c＝1D．c＜1【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出c的值即可．解：∵一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，∴b2﹣4ac＝0，即4﹣4c＝0，解得：c＝1．故选：C．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c ＜0；③2a＞b；④abc＞0，其中正确的结论是（）A．①②B．②④C．③④D．②③④解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，①错误；∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，②正确；∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，③错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线的对称轴为﹣＝﹣1，b＝2a，故b＜0；抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0；∴abc＞0；④正确．故选：B．二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．计算：2tan60°＝2．解：2tan60°＝2．故答案为：2．12．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明捕捞了100尾鱼，发现鲫鱼有35尾，估计水库里有700尾鲫鱼．解：由题意可得，2000×＝700（尾），即估计水库里有700尾鲫鱼，故答案为：700．13．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是4．【分析】根据矩形性质得出AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，推出AO＝OB，得出等边三角形AOB，求出AO，即可得出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，∴AO＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝2，即AC＝2AO＝4，故答案为：4．14．高明区某绿色产业基地2018年的粉葛产量为100吨，2019年、2020年连续两年改良技术，提高产量，2020年粉葛产量达到144吨．设平均每年的增长率为x，列出方程为：100（1+x）2＝144．【分析】根据2020年的产量＝2018年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，根据题意，得100（1+x）2＝144，故答案为：100（1+x）2＝144．15．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3）．【分析】根据抛物线顶点式解析式直接写出顶点坐标即可．解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）．16．如图，在△ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，已知FC长是6，则线段OC的长为4．解：∵E、F分别是AC、AB的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OC＝2OF，∴OC＝CF＝×6＝4．故答案为4．17．如图，在x轴上取OB1＝B1B2＝B2B3＝…，过B1、B2、B3…分别作x轴的垂线，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于A1、A2、A3…连接OA1、B1A2、B2A3…则＝．解：令OB1＝B1B2＝B2B3＝……＝a，则A1B1＝，A2B2＝，A3B3＝，……，A n B n＝，∴＝•B n﹣1B n•A n B n＝•a•＝，故答案为：．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．解方程x2﹣3x+1＝0．【分析】根据公式法求解即可．解：x2﹣3x+1＝0，∵△＝9﹣4＝5＞0，∴x1＝，x2＝．19．如图，甲袋子中有3张除数字外完全相同的卡片，乙袋子中有2张除数字外完全相同的卡片，分别从甲、乙袋子中各随机抽出一张卡片并求和．请用树状图或列表法列出所有可能的结果，并求和为偶数的概率．【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到数字之和为偶数的结果数，再根据概率公式求解即可．解：画树状图如图：由树状图知，共有6种等可能结果数，其中和为偶数的有3种结果，所以和为偶数的概率为＝．20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．（1）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出△A1B1C1，使＝．（2）写出A1的坐标（﹣2，﹣6）．（3）△A1B1C1的面积是10．【分析】（1）根据位似图形的性质即可以原点O为位似中心，在原点另一侧画出△A1B1C1，使＝；（2）结合（1）即可写出A1的坐标；（3）根据网格利用割补法即可求出△A1B1C1的面积．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）A1的坐标（﹣2，﹣6），故答案为：（﹣2，﹣6）；（3）△A1B1C1的面积是：4×6﹣2×6﹣2×4﹣2×4＝10．故答案为：10．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，小李从西边山脚的点A走了300m后到达山顶C，已知∠A＝30°，东边山坡的坡度tan B＝．（1）求山顶C离地面的高度．（2）求B、C的距离．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出AC；（2）根据正切的定义求出BD，根据勾股定理计算，得到答案．解：（1）过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝300m，∴CD＝AC＝150（m），答：山顶C离地面的高度为150m；（2）在Rt△BCD中，tan B＝，∴＝，即＝，解得，BD＝200（m），由勾股定理得，BC＝＝250（m），答：B、C的距离为250m．22．如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是BC、AD上的点，BE＝DF，连接AE、CF，AF＝FC，DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝FC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴△ADG∽△EAB，∴＝，即＝，∴DG＝．23．如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A和B（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式和点P的坐标；（2）求△AOP的面积．【分析】（1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后把P（1，m）代入到求得的解析式，即可求得m的值；（2）根据函数的对称性求得A的坐标，即可根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP＝S△AOC+S△POC求得即可．【解答】解．（1）把点B（4，1）代入y＝，得k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝，∵把P（1，m）代入y＝得：m＝＝4，∴点P坐标为（1，4）；（2）∵点A与点B关于原点对称，点B（4，1），∴点A（﹣4，﹣1），设AP与y轴交于点C，直线AP的函数关系式为y＝ax+b，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）分别代入得，，解得，∴直线AP的函数关系式为y＝x+3，∴点C的坐标（0，3），∴S△AOP＝S△AOC+S△POC＝+＝．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．（1）请用含有t的式子填空：AQ＝t，AP＝20﹣2t，PM＝t；（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，∴AQ＝t，∵∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝20，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣2t，∵PM⊥BC，∴∠PMB＝90°，∴PM＝＝t．故答案为：t，20﹣2t，t；（2）存在，理由如下：由（1）知：AQ＝PM，∵AC⊥BC，PM⊥BC，∴AQ∥PM，∴四边形AQMP是平行四边形，当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，即20﹣2t＝t，解得t＝，则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．（3）当△PQM为直角三角形时，有三种可能：①当∠MPQ＝90°时，此时四边形CMPQ为矩形，在Rt△PAQ中，∠A＝60°，∴∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，∴AP＝2AQ，即20﹣2t＝2t，解得：t＝5；②当∠MQP＝90°时，由（2）知MQ∥AP，∴∠APQ＝∠MQP＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，∴AQ＝2AP，即t＝2（20﹣2t），解得：t＝8．③当∠PMQ＝90°时，此种情况不存在．综上所述：当t为5或8时，△PQM为直角三角形．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），函数的对称轴为直线x＝1，则设点Q的坐标为（1，m），由点A、C、Q的坐标得：AC2＝12+32＝10，同理可得：AQ2＝4+m2，CQ2＝1+（m+3）2，当AC＝AQ时，则10＝4+m2，解得m＝±；当AC＝CQ时，同理可得m＝﹣6或0（舍去﹣6），故点Q的坐标为（1，0）或（1，）或（1，﹣）；（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故点D的坐标为（1，﹣4），由点B、D的坐标得，点P（2，﹣2），则点F（2，0），设点M的坐标为（a，0），则点G（a，a2﹣2a﹣3），则FM＝|2﹣a|，MG＝|a2﹣2a﹣3|，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则FM＝MG，即|2﹣a|＝|a2﹣2a﹣3|，当2﹣a＝a2﹣2a﹣3时，解得a＝，当﹣（2﹣a）＝a2﹣2a﹣3时，解得a＝，故点M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．。