高三数学综合练习一.doc
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题含答案
韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()UA B =（ ） A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.5．已知(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若b c ⊥，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ） A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则 A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积． 18．（本小题12分） 已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列； （2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n . 19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P . （1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值. 22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一） 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题（每小题5分）1.【解析】由题意，23201,2B x x x =-+==，所以2,1,2AB =-，所以(){} 1,0UA B =-，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥，所以3t =-，()0,4c =，所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--，故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF =，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =故选A. 法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==， 在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当0a <时，1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确； 对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确； 对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC. 10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确. 对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确； 对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y x k x x ⋅===，所以AP NF k k =， 从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒， 所以，PQ PF =，所以C 正确. 对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确 对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确. 对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<， 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-， ∵()0,απ∈，sin 5α=，cos 5α=-，∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y = 所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅，得1r =，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）. 17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以，2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分 （2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====， ()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====， 所以X 的分布列如下表：所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ， 则()2332122033327P C C b ===+=， 由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分 20.（本小题满分12分） （1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==，又4AB =，所以， 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ， 设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥， 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ，()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<. 可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=（1λ=舍去） .综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE12分21.（本小题满分12分） 解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分 又∵002BPy k x =-，且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， ∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。
新领航教育特供：北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题
小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 /wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：东城区普通高中示范校高三综合练习（一） 高三数学（理） 2012. 12命题学校：北京汇文中学学校： 班级： 姓名： 成绩：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U B C A 为A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C【解析】{0,4}U A =ð,所以{0,4}{2,4}{0,2,4}U B A == ð，选C.2．1>a 是11<a 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0a <时，11a <，恒成立，当0a >时，由11a <得，1a >，所以1a >是11a <成立的充分不必要条件,选A.3．若y x <<0，则下列各式正确的是A ．11--<y xB ．y x sin sin <C ．y x 33loglog < D ．11()()33x y < 【答案】C【解析幂函数1y x -=在0x >时，单调递减，所以A 错误。
sin y x =在定义域上不单调，错误。
对数函数3=log y x 在定义域上单调递增，所以C 正确。
指数函数1=()3x y 在定义域上单调递减，不正确。
所以选C.4．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是A ．3B ．6C ．9D ．36【答案】C【解析】在等差数列中，121030a a a +++= ，得1105()30aa +=，即。
高三数学2002届综合复习试题(一)
综合练习（一）2002．4班级：_________, 姓名：___________，成绩：___________一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）将正确答案填入下表中 1．已知集合{}1|),(22=+=y x y x P ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=+=+R b a b y a x y x Q ,,1|),(.若P ∩Q ≠φ，则a,b 应满足（A ）a ≤1且b ≤1 （B ）2≤a 且2≤b（C ）22b a ab +≥ （D ）22b a ab +≤2．若532sin=θ，542cos =θ，则θ的终边在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第一象限或第三象限（D ）第四象限3．设α、β表示平面，l 表示直线，且α⊄l ，β⊄l .存在下列三个事实：①l ⊥α②l ∥β③α⊥β .若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则可以构成三个命题。
在这三个命题中，正确命题的个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）34．把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移m(m>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是 （A ）6π（B ）65π（C ）3π（D ）32π5．已知方程032=++m x x 的两个虚根为1z ，2z ，且2||21=-z z ，则实数m 的值是（A ）5（B ）25 （C ）413（D ）2136．（理）圆θθρsin 32cos 2-=的圆心的极坐标为（A ）)3,2(π（B ）)3,2(π-（C ）)35,2(π-（D ）)3,2(π- （文）曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k 的取值范围是（A ）]43,125(（B ）),125(+∞ （C ）]43,31(（D ）)125,0(7．将圆心角为120°，半径为30的扇形OAB （O 为圆心）卷成一个圆锥，使两条半径OA 、OB 重合，则扇形中的弦AB 上的点到圆锥底面的最远距离是 （A ）210（B ）10 （C ）15（D ）2158．从12个化学实验小组（每小组4人）中选出5人，进行5个不同的化学实验，且每小组至多选1人，则不同的安排方法的种数是（A ）55512P C （B ）5551254P C （C ）55548P C （D ）5514512P C C9．设)32(21<<-+=a a a M ，)(),161(log 221R x x N ∈+=，则M ，N 的大小关系为 （A ）M>N （B ）M=N（C ）M<N （D ）不能确定10．双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐近线截得的线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离则双曲线的两条渐近线的夹角为（A ）120°（B ）90°（C ）60°（D ）30°11．已知函数y=f(x)的反函数与函数y=g(x)的图象关于点P （a,b ）对称，则g(x)可表示为 （A ）)()(1x a fb x g ++=- （B ）)2(2)(1x a f b x g --=-（C ）)()(1x b fa x g ++=- （D ）)2(2)(1x b fa x g --=-12．已知⊙O 的半径为r ，O 点到直线l 的距离|OA|=m ，P 是圆周上一点，且∠POA=θ。
数学高三一模2019~2020试卷丰台区 含答案
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是（A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换：① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）.其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：社区 社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 303020 20B 120 40 35 20 25 C15050403030（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列； （Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()AD ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分）已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,.x（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C所有项的和.丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1sin 22C C C =+-1sin cos 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -,,，=(020)BC -,,，=(220)BA -,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩,,令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而2cos 2m n m n⋅<>==⋅,m n .解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增. 因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意2222112.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y .令0=x ，得100--=x y y M .直线PB 的方程为：)1(10-+-=x x y y .令0=x ，得10+=x y y N . 因为OM ON OQ =2， 所以12022-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以220202(1)21x m x -==-.即m =所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.…………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,.所以1k b =(12)k n =,,,.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,. 综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===. 又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾. 所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,. 由此及(ⅱ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下： (1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,. 于是0k c =(12)k n =,,,. 所以所有项的和0S =. (2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,. 故4531,0,0n c c b b ==== 于是1156010n b b c b -≠===,,， 于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n n S n =-= . 同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
高三数学综合练习题
高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。
2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。
3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。
4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。
5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。
综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。
2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。
3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。
4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。
综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。
2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。
3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。
4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。
综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。
2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。
北京市东城区20172018学年度第二学期高三综合练习一
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则AB =（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x << （2）复数i1iz =-在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为（A ）2-（B ）1-（C ）2（D ）4（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是（A ）2n ≤ （B ）3n ≤（C ）4n ≤ （D ）5n ≤输出S结束是开始否0,0n S ==1n n =+2nS S =+（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（A ）2（B ）22（C ）32（D ） 4（6）函数4()2x f x x=-的零点所在区间是 （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）3(1,)2（D ）3(,2)2（7）已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览； ②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等.（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014届高三数学综合练习(一)
2014届高三数学练习一（理）一：选择题１．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{31,}N x x k k N ==-∈的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．1个 Ｂ．２个 Ｃ．3个 Ｄ．无穷个 2．已知命题11:242x p ≤≤，命题15:[,2]2q x x +∈--，则下列说法正确的是 A ．p 是q 的充要条件 B ．p 是q 的充分不必要条件 C ．p 是q 的必要不充分条件 D ．p 是q 的既不充分也不必要条件A.第10项B.第9项C.第8项 D :第7项4．若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间为A ． （1,32）. B ．（32,21）. C ．（21,31） D ．（31,0） 5．设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则A ．c b a <<B ．a b c <<C ． b a c <<D ． c a b << 6．执行右面的框图，若输出结果为21， 则输入的实数x 的值是 A ．23B ．41C ．22 D ．27. 已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-8. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥243x y x xy ,则y x z 3-=的最大值为A.10B.8C.6D.49. 函数f （x ）=log a （x 3–ax ）（a>0且a≠1）在(2,+∞）上单调递增，则a 的取值范围是 A ．a>1 B ．1<a<12 C ．1<a≤12D ．1<a≤410．函数y =的图象上至少有三个点到原点的距离成等比数列，则公比q 的取值范围是A ．(⎫⎪⎪⎣⎭ B．⎣ C．)⎛+∞ ⎝⎦ D．(⎛ ⎝⎦二：填空题11. 某几何体的三视图如图所示，则这个 几何体的体积是 12. 函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_________。
北京市丰台区2021-2022学年高三下学期综合练习(一) 数学试题
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学2022.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A.{|11}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{|22}x x -<< D.{|22}x x -<≤【1题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义计算即可.【详解】∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，∴{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选：D.2.已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（）A.1x ∀>，210x ->B.1x ∀>，210x -≤C.1x ∃>，210x -≤D.1x ∃≤，210x -≤【2题答案】【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B.3.若复数i z a b =+（a ，b 为实数）则“0a =”是“复数z 为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数判断即可.【详解】解：根据复数的概念，当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数，反之，当复数i z a b =+z 为纯虚数时，0a =且0b ≠所以“0a =”是“复数z 为纯虚数”的必要不充分条件故选：B4.已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（）A.4B.3C.2D.1【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】求出圆心的坐标，即可求得圆心C 到直线3x =的距离.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，故圆心C 到直线3x =的距离为132-=.故选：C.5.若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.15 B.14C.158 D.78【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a ，然后由前n 项和公式可得.【详解】因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C6.在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠=（）A.6π B.3π C.56π D.6π或56π【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由7cos 4B =得3sin 4B ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A.7.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种 B.20种 C.30种D.60种【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C =种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119-=种.故选：A8.已知F 是双曲线22:148x y C -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（）A.32B.322C. D.6【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点00(,)M x y 的坐标，再求面积.【详解】不妨设F 为双曲线C 的左焦点，点00(,)M x y 在渐近线y =上，因为2,a b c ===，||||OM MF =，所以0x =，0y =，即△OMF 的面积12⨯=.故选：C9.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a-<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【9题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得.【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值()12f =-，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.10.对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++= ，则n 的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【10题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可.【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++= ，故2462100n ++++≥ ，即()221002n n +≥，解得14012n -≤或14012n -≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()f x 2lg x x -+的定义域是_________.【11题答案】【答案】{|02}x x <≤【解析】【详解】∵函数()f x lg x∴要使函数有意义，则20{x x -≥>∴02x <≤∴函数()f x lg x 的定义域为{}02x x <≤故答案为{}02x x <≤12.已知向量(2,3)a =- ，(,6)b x =-．若a b∥，则=x ______．【12题答案】【答案】4【解析】【分析】利用两向量共线的条件即求.【详解】∵向量(2,3)a =-，(,6)b x =-，a b∥，∴()()2630x -⨯--=，解得4x =.故答案为：4.13.设函数()f x 的定义域为[]0,1，能说明“若函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，则函数()f x 在[]0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.【13题答案】【答案】213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为[]0,1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()f x 的定义域为[]0,1，在[]0,1上的最大值为()1f ，但()f x 在[]0,1上不是增函数，可以考虑定义域为[]0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈符合，故答案为：213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为______；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，则||FM =______．【14题答案】【答案】①.(1,0)②.5【解析】【分析】由题可得()1,0F ，设(),M x y ，结合条件可得240x y -+=，24y x =，进而可得4x =，即得.【详解】∵抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，设(),M x y ，则24y x =，又以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，∴2201001y x --⋅=---，即240x y -+=，又24y x =，∴22404y y -+=，解得4y =，4x =，∴||415FM =+=.故答案为：(10),；5.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 的距离是22；③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD 面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是______．【15题答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,CM CN MN ===，11722CMNS = ，∴11117173326B CMN CMN V S h h -=⋅=⨯= ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯= ，∴由1B CMN V -=1C B MN V -，可得h =所以直线11B D 到平面CMN 的距离是17，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，∴()1,2,2PC MC λλ==-，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D ∴()2,22,2P λλλ--，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=--=--，假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=-+-+-= ，整理得291440λλ-+=，∴71319λ+=>（舍去）或7139λ=，故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ--，所以点()2,22,2P λλλ--在1DD 的射影为()0,2,2λ，∴点()2,22,2P λλλ--到1DD 的距离为：d =，∴当25λ=时，min 455d =，∴故△1PDD 面积的最小值是145452255⨯⨯=，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【16~17题答案】【答案】（1）()sin 2f x x =（2【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．【小问2详解】由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)226g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 17.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．（1）求证：DF 平面BCE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF 的值；若不存在，说明理由．【17~18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在；13DP DF =【解析】【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形．所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ．【小问2详解】线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE = ，()1,1,0BC =-，()1,2,0BD =- ，()1,0,1DF =- ．设()01DP DF λλ=≤≤ ，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=--设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0,120.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩令x λ=，则y λ=，1z λ=+．于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ，由题意得：sin cos ,n AE n AE n AEθ⋅==⋅56=，整理得：232270λλ-+=，解得13λ=或7λ=．因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DP DF =．所以线段DF 上存在点P ，当13DP DF =时，直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56．18.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）【18~20题答案】【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X0123P641254812512125112564481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于点M N ，．若||4MN ≤，求点P 横坐标的取值范围．【19~20题答案】【答案】（1）2214x y +=（2）8[05，【解析】【分析】（1）直接由条件计算,a b 即可；（2）设出点P 坐标，分别写出直线PA ，PB 的方程，表示出M N ，坐标，由||4MN ≤得到不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意得222243,2,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．【小问2详解】设(,)P m n （22m -<<），由已知得(2,0)A -，(2,0)B ，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--．令4x =，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-()2444n m m -=-．因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=．因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤．所以22(4)4(4)m m ---≤．整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤．所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，．20.已知函数()f x =（1）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（2）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．【20~21题答案】【答案】（1）y x=（2）(3)+∞，【解析】【分析】（1）直接求导，由()1f x '=求出切点，写出切线方程即可；（2）求导后分类讨论确定函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =．因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),．故切线方程为y x =．【小问2详解】因为2()3ag x =-()x a ≤，所以()g x '=令()0g x '=，解得23a x =．当0a ≤时，由x a ≤，得230a x a --≥≥，所以()0g x '≥，则()g x 在定义域(,]a -∞上是增函数．故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减，当23a x =时，()g x 取得最大值2(3a g =．若03a <≤时，2()03a g =，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2(03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<，由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意．综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，．21.已知集合{12}S n = ,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a = ,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集．（1）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,；②2{245}A =,,．（2）若123{}A a a a =,,是{127}S = ,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；（3）若12{}m A a a a = ,,,是{12}S n = ,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++ ≥，并指出等号成立的条件．【21~23题答案】【答案】（1）1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析（2）12（3）证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤【解析】【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值；（3）不妨设12m a a a <<< ，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.【小问1详解】解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集．②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集．【小问2详解】解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=．若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥．综上，123a a a ++的最小值是12．【小问3详解】证明：不妨设12m a a a <<< ．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤．由12m a a a <<< ，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．所以121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥L L ．即12(1)2m m n a a a ++++≥L ．等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤．。
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高三数学综合练习一
一、选择题（每小题5分，共50分）
1． 设集合M=}0|{2
<-x x x ，N=}2|||{<x x ，则（ ）
A ．Φ=N M I
B ．M N M =I
C ．M N M =Y
D ．R N M =Y
2．已知集合M=}3|{<x x ，N=}1x log |{2>x ，则=N M I （ ）
A ．Φ
B ．}30|{<<x x
C ．}31|{<<x x
D ．}32|{<<x x
3．设集合A={1，2}，则满足A Y B={1，2，3}的集合B 的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．8
4．已知全集U=R ，且}086|{,2|1||{A 2<+-=>-=x x x B x x ，则B A C U I )(等于（ ） A ．)4,1[- B ．（2，3） C ．]3,2( D ．)4,1(-
5．已知集合}R x ,13x y |y {N },0)
1x (x |x {M 23∈+==≥-=，则N M I 等于（ ） A ．Φ B ．}1|{≥x x C ．}1|{>x x D ．}0x 1|{<≥或x x
6．集合}Z n ,2n x |x {Q },016x |x (P 2∈==<-=，则=Q P I （ ）
A ．}2,2{-
B ．}4,4,2,2{--
C ．}2,0,2{-
D ．}4,4,0,2,2{--
7．定义集合运算：}B y ,A x ),y x (xy z |z {B ⊙A ∈∈+==，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合B ⊙A 的所有元素之和为（ ）
A ．0
B ．6
C ．12
D ．18
8．设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集。
若对任意A ,∈b a ，有A ∈⊕b a ，则称A 对运算⊕封闭。
下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）
A ．自然数集
B ．整数集
C ．有理数集
D ．无理数集
9．设函数1)(--=
x a x x f ，集合M=}0)('|{},0)(|{>=<x f x P x f x ，若P M ≠
⊂，则实数a 的取值范围是
A ．)1,(-∞
B ．（0，1）
C ．),1(+∞
D ．),1[+∞
10．有限集合S 中元素的个数记作)S (card ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：
①Φ=B A I 的充要条件是)()()(B card A card B A card +=Y ；
②B A ⊆的必要条件是)()(B card A card ≤；
③B A ⊄的充分条件是)()(B card A card ≤；
④A=B 的充要条件是)()(B card A card =。
其中真命题的序号是（ ）
A ．③④
B ．①②
C ．①④
D ．②③
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．已知集合A=}12m ,3,1{--，集合B=}m ,3{2，若B ⊆A ，则实数=m 。
12．集合A 中有m 个元素，若在A 中增加一个元素，则它的子集个数将增加 个。
13．现有三个元数的集合可表示为}1,,
{a
b a ，也可表示为}0,,{2b a a +，则20072006b a +的值为 。
14．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意G b a ∈,，都有G b a ∈⊕；（2）存在G e ∈，使得对一切G a ∈，都有a a e e a =⊕=⊕，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。
现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法；
②G={偶数}，⊕为整数的乘法；
③Ｇ＝｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法；
④G={二次三项式}，⊕为复数的乘法；
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法；
其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 。
（写出所有“融洽集”的序号）
三、解答题（6小题，共80分）
15．（本小题满分12分）设全集为R ，记函数的定义域为集合M ，函数的定义域为集合N ，求：
（1）集合M 、N ；
（2）集合N M ,N M Y I ；
（3）集合N)(C M)(C N),C (M R R R I Y 。
16．（本小题满分13分）设集合A=}1,12|{>-<<-x x x 或，集合B=}0|{2≤+=b ax x x 。
已知}2|{->=x x B A Y ，}31|{≤<=x x B A I 。
试求b a ,的值。
17．（本小题满分13分）已知集合}0)1(2|
{B },0)]13()[2(|{A 2<+--=<+--=a x a x x a x x x 。
（1）当2=a 时，求B A I ；
（2）当3
1>a 时，求使A B ⊆的实数a 的取值范围。
18．（本小题满分14分）向50名学生调查对A 、B 事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。
问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
19．（本小题满分14分）已知R a ∈，二次函数a x ax x f 22)(2
--=。
设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合B=}31|{<<x x 。
若Φ≠B A I ，求a 的取值范围。
20．（本小题满分14分）已知}{n a 是等差数列，d 为公差且不为0，1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ，设集合}.,,14
1|),{(},|),{(22R y x y x y x B N n n S a A n n ∈=-=∈=* 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明。
（1） 若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2） A I B 至多有一个元素；
（3） 当01≠a 时，一定有A I B Φ≠。