湖南省怀化市2019届高三数学(理)统一模拟考试试题一(含答案)
湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019年高三第一次模考理科数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，再和求交集即可.【详解】解不等式得，即，因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A. 1B. -1C. 0D.【答案】A【解析】【分析】由复数的除法先求出复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，所以虚部为1.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，熟记复数的运算法则即可，属于基础题型.3.有下列四个命题：：，.：，.：的充要条件是.：若是真命题，则一定是真命题.其中真命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】逐项判断命题的真假即可.【详解】根据正弦函数的值域，可判断：，为真；当时，，所以：，为真；时，，但无意义，所以：的充要条件是为假命题；若是真命题，则或有一个为真即可，所以“：若是真命题，则一定是真命题”是假命题.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合相关知识点判断即可，属于基础题型.4.两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两正数的等差中项为，等比中项为，求出，进而可求出结果.【详解】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记公式即可，属于基础题型.5.已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出一个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可.【详解】分两种情况讨论如下：(1)甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；(2)甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；综上，所求概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，以及分类讨论思想，分两种情况讨论即可得出结果，属于基础题型.6.设函数的图像关于原点对称，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由辅助角公式整理函数解析式，再由函数关于原点对称，即可求出结果.【详解】因为，又函数关于原点对称，所以，即，因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记性质即可得出结果，属于基础题型.7.在的展开式中，项的系数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式先求出，再由微积分基本定理即可求出结果.【详解】因为，展开式的通项为，所以在的展开式中，项的系数为，即；所以.故选C【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理，熟记定理即可，属于基础题型.8.的面积为，角的对边分别为，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由面积公式和余弦定理，可将化为，进而可求出结果.【详解】因为为的面积，所以，又,所以可化为，所以，因为为三角形内角，所以为钝角，又，所以，整理得，解得，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查余弦定理和同角三角函数基本关系，熟记公式即可，属于基础题型.9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值为3.14，这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（）（参考数据：，，）A. 3，3.1056，3.1420B. 3，3.1056，3.1320C. 3，3.1046，3.1410D. 3，3.1046，3.1330【答案】B【解析】【分析】按程序框图，逐步执行即可得出结果.【详解】当时，，输出；当时，，输出；当时，，输出.故选B.【点睛】本主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.10.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】先由题意设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，同理可求出，再由即可求出结果.【详解】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，，同理可得，所以故选C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出弦长，进而可求解，属于常考题型.11.如图，是某几何体的三视图，其正视图、侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该几何体是一个四棱锥，进而可求出结果.【详解】显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为2的正方体中显然，所以，所以选A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，以及几何体外接球的相关计算，先由三视图确定几何体的形状即可求解，属于常考题型.12.设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先设，由以为切点可作直线与两曲线都相切，可得两函数在点处切线斜率相同，再由导数的方法即可求解.【详解】设，由于点为切点，则，又点的切线相同，则，即，即，又，，∴，于是，，设，则，所以在单调递增，在单调递减，的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义，一般需要对函数求导，用导数的方法研究其单调性等，属于常考题型.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设等比数列的前项的和为，且满足，，则_______．【答案】32【解析】【分析】先设等比数列的公比为，再由，求出首项和公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列，熟记其通项公式和前项和公式，即可求出结果，属于基础题型.14.已知实数满足，则目标函数的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，结合可行域即可求出结果. 【详解】由约束条件作出可行域如图所示：因为目标函数可化为，因此表示直线在轴截距的相反数，求的最大值，即是求截距的最小值，由图像可得直线过点B时截距最小，由解得，所以.故答案为4【点睛】本题主要考查简单的线性规划，由约束条件作出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图像即可求解，属于基础题型.15.已知正方形的边长为2，为平面内一点，则的最小值为______．【答案】-4【解析】【分析】由正方形的边长为2，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，分别写出四点坐标，再设，由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，因为正方形的边长为2，所以可得，设，则，，，，所以，，因此，当且仅当时，取最小值.故答案为-4【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.16.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】画出函数的图象（如图所示）．不妨令，则由已知和图象，得，且，则，则，因为在恒成立，所以在单调递减，所以，三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.【答案】(1) (2)1【解析】【分析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.18.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)见证明；(2) (3)见解析【解析】【分析】（1）先证明平面，即可得到；（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合(2)中求出的平面的一个法向量，即可求解.【详解】（1）连交于，由题意.在正方形中，，所以平面，得（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.设底面边长为，则高.则，，又平面，则平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，又二面角为锐角，则二面角为；（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，设，则又平面，所以，则.即当时，而不在平面内，故平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间向量的方法求二面角等，一般需要建立适当的坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可结合条件求解，属于常考题型.19.在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.镇有基层干部60人，镇有基层干部60人，镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，，，，，，绘制成如下频率分布直方图.（1）求这40人中有多少人来自镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）40人中有16人来自镇，28.5户（2）见解析【解析】【分析】（1）先确定抽样比，再由镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知服从二项分布，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则镇应选取（人），所以这40人中有16人来自镇因为，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为显然可取0，1，2，3，且，则，，，所以的分布列为所以数学期望【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.20.设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件可得，，解得，∴，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为（等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.21.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可；（3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为，所以，①当时，，函数在区间上单调递增；②当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.即当时，恒成立.令，则.显然当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.∴时取最小值.所以实数的取值范围是（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，即（等号当且仅当时成立）令，则，即故【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.（2）点是曲线上的动点，求点到直线距离的最大值与最小值.【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（2），【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数，即可求出其普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由曲线C的参数方程，先设点，再由点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为∵直线的极坐标方程是：∴∴直线的直角坐标方程为（2）∵点是曲线上的动点，∴设，则到直线的距离：，∴当时，点到直线距离取最大值当时，点到直线距离取最小值【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求点到直线的距离，熟记公式即可，属于常考题型.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由分类讨论的思想，先求出函数的最小值，再解函数绝对值不等式即可；（2）由分析法证明即可.【详解】解：（1）由已知可得，所以因为恒成立，所以，从而可得所以实数的最大值（2）由（1）知，，所以，要证，只需证，即证，即证，即，又因为是正数，所以，故只需证，即，而，可得，故原不等式成立【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，以及不等式的证明，分析法是常用的一种证明方法，属于常考题型.。
湖南省怀化市2019届高三4月第二次模拟考试 数学(理)(pdf版,含答案)
3
84
3
3
或 ( 2 6 , 2 6 ) 满足 OA OB ,
3
3
综上, 存在圆心在原点的圆 x2 y2 8 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A, B ， 3
且 OA OB …………………12 分
21 解：（Ⅰ）设切点 P(x0,0)
u ' x
ax x2
,
k
a x0 x02
C
F
y
则
AD m 0
，
即
ax
3
ay
2
3 2
az
0
z
3y 3,
所
以
DE m 0
ax 2ay 0
x 2 y
m (2 y, y, 3y ) …………………10 分 3
所以 cos
nm nm
a
3 ay 3
41 1y
1 4
，即 sin
3
15 . …………………12 分 4
19 解：（Ⅰ）由图（二）可知，100 株样本树苗中高度高于 1.60 米的共有 15 株，以样本的频率估计总
an,2
an1,2
an1,1
1
1 2n2
, (n
3)
即 an,2
an1,2
1
1 2n2
, (n
3)
又 an,2 (an,2 an1,2 ) (an1,2 an2,2 )
1
5
(a3,2
a2,2 ) a2,2
2n2
n
, 2
数列 an,2 显然为递增数列，又易知 a102,2 100 a103,2 ，所以 m 的最小值为 103．
即 AC CD 5 2 ，解得： AC 8,CD 2 …………………6 分 4 22 5 10 2
湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(PDF版 含答案)
2 a， 4
2 …………12 分 1 ,故 SE：EC 2： 1 即 SC : SE =3： 由于 SN：NP 2： 解法二： （Ⅰ）同解法一
( Ⅱ ) 由题设知，连 BD , 设 AC 交于 BD 于 O ，由题意知 SO 平面ABCD . 以 O 为坐标原点，
OB, OC, OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立坐标系 O xyz 如图.
2 1 1
故选 B. 10 提示：显然焦点 F 的坐标为（1,0），所以可设直线 AB 的方程为 ������ = ������(������ − 1)，代入������ 2 = 4������并整理得 ������ 2 ������ 2 − (2������ 2 + 4)������ + ������ 2 = 0， 所以������1 + ������2 = 2 +
40 =16 （人） ， 200
x=10 0.15 20 0.25 30 0.3 40 0.2 50 0.1 28.5 ，
所以三镇基层干部平均每人走访贫困户 28.5 户…………4 分 （II）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出 1 人，其工作出色的概率为
2 3 3 b 的最大值为 h(e ) e ,故选 B 2 1 3
二、填空题（ 4 5 20 ） ： 13. 32 ; 14. 12 ； 15. 4 ； 16.（2e + , 2 e ) .
2
1 e
16 提示：图略，由 f (a) f (b)=f (c) ，得 | ln a || ln b | =2 ln c,
2 6 2 6 a, 0, a) ， CS (0, a, a) 2 2 2 2
2019届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得到集合，再和求交集即可.【详解】解不等式得，即，因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A．1 B．-1 C．0 D．【答案】A【解析】由复数的除法先求出复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，所以虚部为1.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，熟记复数的运算法则即可，属于基础题型.3．有下列四个命题：：，.：，.：的充要条件是.：若是真命题，则一定是真命题.其中真命题是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】逐项判断命题的真假即可.【详解】根据正弦函数的值域，可判断：，为真；当时，，所以：，为真；时，，但无意义，所以：的充要条件是为假命题；若是真命题，则或有一个为真即可，所以“：若是真命题，则一定是真命题”是假命题.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合相关知识点判断即可，属于基础题型.4．两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据两正数的等差中项为，等比中项为，求出，进而可求出结果. 【详解】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记公式即可，属于基础题型.5．已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出一个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可.【详解】分两种情况讨论如下：(1)甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；(2)甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；综上，所求概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，以及分类讨论思想，分两种情况讨论即可得出结果，属于基础题型.6．设函数的图像关于原点对称，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由辅助角公式整理函数解析式，再由函数关于原点对称，即可求出结果. 【详解】因为，又函数关于原点对称，所以，即，因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记性质即可得出结果，属于基础题型.7．在的展开式中，项的系数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二项展开式的通项公式先求出，再由微积分基本定理即可求出结果. 【详解】因为，展开式的通项为，所以在的展开式中，项的系数为，即；所以.故选C【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理，熟记定理即可，属于基础题型.8．的面积为，角的对边分别为，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由面积公式和余弦定理，可将化为，进而可求出结果.【详解】因为为的面积，所以，又,所以可化为，所以，因为为三角形内角，所以为钝角，又，所以，整理得，解得，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查余弦定理和同角三角函数基本关系，熟记公式即可，属于基础题型. 9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值为3.14，这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（）（参考数据：，，）A．3，3.1056，3.1420 B．3，3.1056，3.1320C．3，3.1046，3.1410 D．3，3.1046，3.1330【答案】B【解析】按程序框图，逐步执行即可得出结果.【详解】当时，，输出；当时，，输出；当时，，输出.故选B.【点睛】本主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.10．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【解析】先由题意设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，同理可求出，再由即可求出结果.【详解】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，，同理可得，所以故选C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出弦长，进而可求解，属于常考题型.11．如图，是某几何体的三视图，其正视图、侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由三视图确定该几何体是一个四棱锥，进而可求出结果.【详解】显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为2的正方体中显然，所以，所以选A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，以及几何体外接球的相关计算，先由三视图确定几何体的形状即可求解，属于常考题型.12．设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先设，由以为切点可作直线与两曲线都相切，可得两函数在点处切线斜率相同，再由导数的方法即可求解.【详解】设，由于点为切点，则，又点的切线相同，则，即，即，又，，∴，于是，，设，则，所以在单调递增，在单调递减，的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义，一般需要对函数求导，用导数的方法研究其单调性等，属于常考题型.二、填空题13．设等比数列的前项的和为，且满足，，则_______．【答案】32【解析】先设等比数列的公比为，再由，求出首项和公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列，熟记其通项公式和前项和公式，即可求出结果，属于基础题型.14．已知实数满足，则目标函数的最大值为_______．【答案】4【解析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如图所示：因为目标函数可化为，因此表示直线在轴截距的相反数，求的最大值，即是求截距的最小值，由图像可得直线过点B时截距最小，由解得，所以.故答案为4【点睛】本题主要考查简单的线性规划，由约束条件作出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图像即可求解，属于基础题型.15．已知正方形的边长为2，为平面内一点，则的最小值为______．【答案】-4【解析】由正方形的边长为2，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，分别写出四点坐标，再设，由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，因为正方形的边长为2，所以可得，设，则，，，，所以，，因此，当且仅当时，取最小值.故答案为-4【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.16．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】画出函数的图象（如图所示）．不妨令，则由已知和图象，得，且，则，则，因为在恒成立，所以在单调递减，所以，三、解答题17．已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.【答案】(1) (2)1【解析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.18．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)见证明；(2) (3)见解析【解析】（1）先证明平面，即可得到；（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合(2)中求出的平面的一个法向量，即可求解.【详解】（1）连交于，由题意.在正方形中，，所以平面，得（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.设底面边长为，则高.则，，又平面，则平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，又二面角为锐角，则二面角为；（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，设，则又平面，所以，则.即当时，而不在平面内，故平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间向量的方法求二面角等，一般需要建立适当的坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可结合条件求解，属于常考题型. 19．在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.镇有基层干部60人，镇有基层干部60人，镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，，，，，，绘制成如下频率分布直方图.（1）求这40人中有多少人来自镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）40人中有16人来自镇，28.5户（2）见解析【解析】（1）先确定抽样比，再由镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知服从二项分布，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则镇应选取（人），所以这40人中有16人来自镇因为，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为显然可取0，1，2，3，且，则，，，所以的分布列为所以数学期望【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.20．设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解. 【详解】解：（1）由题设条件可得，，解得，∴，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为（等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型. 21．已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果； （2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可； （3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.【详解】 解：（1）因为，所以，①当时，，函数在区间上单调递增；②当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. （2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.即当时，恒成立.令，则.显然当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.∴时取最小值.所以实数的取值范围是（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，即（等号当且仅当时成立）令，则，即故【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.（2）点是曲线上的动点，求点到直线距离的最大值与最小值.【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（2），【解析】（1）由曲线的参数方程消去参数，即可求出其普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由曲线C的参数方程，先设点，再由点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为∵直线的极坐标方程是：∴∴直线的直角坐标方程为（2）∵点是曲线上的动点，∴设，则到直线的距离：，∴当时，点到直线距离取最大值当时，点到直线距离取最小值【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求点到直线的距离，熟记公式即可，属于常考题型.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）由分类讨论的思想，先求出函数的最小值，再解函数绝对值不等式即可；（2）由分析法证明即可.【详解】解：（1）由已知可得，所以因为恒成立，所以，从而可得所以实数的最大值（2）由（1）知，，所以，要证，只需证，即证，即证，即，又因为是正数，所以，故只需证，即，而，可得，故原不等式成立【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，以及不等式的证明，分析法是常用的一种证明方法，属于常考题型.。
(完整版)2019届怀化市湖南省高三三模数学(理)试卷(word版)
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019届高三期考 理科数学命题人：湖天中学 刘 华 审题人:彭 斌、陈 朦、张理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合{}R x x y y M ∈-==,12，{}R x x y x N ∈-==,32，则M N I为A ．]3,3[-B ．]3,1[-C ．φD ．]3,1(- 2.下列命题中，正确的是①{}也成等差数列，项和，则是其前是等差数列，已知n n n n n n n S S S S S n S a 232,--； ②“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件； ③复数321,,Z Z Z ，若()()0232221=-+-Z Z Z Z ，则31Z Z =；④命题“02,020>--∈∃x x R x ”的否定是“02,2<--∈∀x x R x ”. A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．2 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．92 B ．275C ．31D ．32455 5.在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β均以ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若3tan 5α=，则()βα-tan 的值为 A ．0 B ．1715 C ．169 D ．815 6.已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点D C B A ，，，的距离都大于1的概率为A.16π B.4π C.π4223- D.41π- 7.甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同， 如图所示，记甲的体积为甲V ，乙的体积为乙V ，则有 A ．乙甲V V < B ．乙甲V V =C ．乙甲V V >D ．乙甲、V V 大小不能确定输出否是2,1i S ==开始11i S S i -=⨯+1i i =+21i i =- 结束?10<i8.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12展开式的各个二项式系数的和为128，则nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中2x 的系数为A ．44B ．560C ．7D ．359.已知点P 为双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，右支上一点，点2,1F F 分别为双曲线的左、右焦点，点I 是21F PF ∆的内心，若恒有212131F IF IPF IPF S S S ∆∆∆≥-成立，则双曲线离心率的取值范围是A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，3]D ．(1，3]10.设函数x x f lg )(=，若存在实数b a <<0，满足)()(b f a f =，则8log 222b a M +=,221log ⎪⎭⎫⎝⎛+=b a N ，21ln e Q =的关系为A ．Q N M >>B ．N Q M >>C ．M Q N >>D ．Q M N >>11.如图，GCD ∆为正三角形，AB 为GCD ∆的中位线，AE AB 3=,BF BC 3=,O 为DC 的中点，则向量FE ，OF 夹角的余弦值为A.21 B.21- C.22- D.2212.已知函数234)(,132)(23+-=+-=x a x g ax ax x f ，若对任意给定的[]2,0∈m ，关于x 的方程)()(m g x f =在区间[]2,0上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1]B.(0，1)∪{－1}C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡181， D.(－1，0)∪⎥⎦⎤ ⎝⎛181， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.某学校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法，从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为______．14.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若Z 的最小值是9-，则Z 的最大值为 ．15.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面，4,2,60,====∠︒AC PA AB BAC ABC 则三棱锥ABC P -外接球的体积为 ．16.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)1(),1()21(=-=+f x f x f ,n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(124+∈=-N n S a n n ，则)()(63a f a f +＝________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2π≠A ，且 ,sin cos 62sin B A A b =（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若3π=A ，求ABC ∆周长的取值范围．18.（本小题满分12分）政府为了对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门 对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机 抽样的方法抽取110人进行统计，得到如右列联表：(Ⅰ)用独立性检验的思想方法说明有多少的把握认为不买房心理预期与城乡有关？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）某房地产中介为增加业绩，决定针对买房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面， //,1, 4.DC EB DC EB AB === （Ⅰ） ACD DE 平面求证：⊥;（Ⅱ）.值所成的锐二面角的余弦与平面，求平面若ABE AED BC AC =20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+．（Ⅰ）若2=x 是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设,m n 为正实数，且m n >，求证： ln ln 2m n m nm n -+<-．请考生在第22，23两题中任选一题作答。
湖南省怀化市高三数学下学期期末考试试题 理(含解析)
湖南省怀化市2019届高三数学下学期期末考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.） 1.已知集合{A x y ==，{}|1B x a x a =+≤≤， 若A U B=A ，则实数a 的取值范围为（ ）A. (][),32,-∞-+∞UB. []1,2-C. []2,1-D. [)2,+∞【答案】C 【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A ⋃=即B A ⊆，所以12{2a a +≤≥-，解之得21a -≤≤，故选C. 考点：1.集合的表示；2.集合的运算.2.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++…”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．3.设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. a b ∥，b α⊂，则a P αB. a α⊂，b β⊂，αβ∥，则a b ∥C. a α⊂，b α⊂，a β∥，b β∥，则αβ∥D. αβ∥，a α⊂，则a β∥【答案】D 【解析】分析：在A 中，a ∥α或a ⊂ α；在B 中，a 与b 平行或异面；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，由面面平行的性质定理得a ∥β． 详解：由a ，b 是空间中不同直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，a ∥b，b ⊂ α，则a ∥α或a ⊂ α，故A 错误； 在B 中，a ⊂ α，b ⊂ β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故B 错误； 在C 中，a ⊂ α，b ⊂ α，α∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，α∥β，a ⊂α，则由面面平行的性质定理得a ∥β，故D 正确． 故选：D ．点睛：本题考查线面位置关系的判断，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A. 65 B. 184C. 183D. 176【答案】B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.实数,x y 满足不等式组1,1{0,0,x y y W xx y ≥-≥=-≥则的取值范围是（ ）A. [一1，1）B. [一1，2）C. （-1，2）D. [一1，1]【答案】A 【解析】试题分析：这是一道线性规划题，先画出可行域，如下：1=y W x -表示的是到阴影部分上的点的斜率，故由图可知斜率的范围是[一1，1），则1=y W x -的取值范围是[一1，1）.考点：线性规划问题.6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）A. 8πB. 12πC. 14πD. 16π【答案】A 【解析】【详解】由几何体的三视图可知，此几何体为半径为2的球体的34，所以3342843V ππ=⨯⨯=.考点：几何体的三视图及球的体积公式.7.若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13 B. 13-C.79D. 79-【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入已知条件求得表达式的值. 【详解】依题意222πππcos 22cos 12cos 13326πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11699α⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，故选D.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.8.已知22cos a xdx ππ-=⎰，()f x 是以a 为周期的奇函数，且定义域为R ，则()()20172018f f +的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 2018【答案】A 【解析】222sin 22a cosxdx ππππ-===-⎰ 可知()f x 的周期为2a =x R ∈Q ，()00f =()()()()()20172018101f f f f f ∴+=+= ()()()()11211f f f f =-=-=-Q()10f ∴=故选A9.设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意[1,3]x ∈，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. (,0]-∞B. 5[0,)7C. 5(,)7-∞D.5(,0)(0,)7-∞⋃【答案】C 【解析】 【分析】恒成立问题，利用分离参数法得到m ＜251x x -+，转为求函数251y x x =-+在[]1,3的最小值，从而可求得m 的取值范围．【详解】由题意，f （x ）＜﹣m +4，可得m （x 2﹣x +1）＜5． ∵当x ∈[1，3]时，x 2﹣x +1∈[1，7]，∴不等式f （x ）＜﹣m +4等价于m ＜251x x -+． ∵当x ＝3时，251x x -+的最小值为57，∴若要不等式m ＜251x x -+恒成立，则必须m ＜57，因此，实数m 的取值范围为（﹣∞，57），故选：C ． 【点睛】本题考查恒成立问题的解法，经常利用分离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题． 10.在ABC △中，E 为AC 上一点，3AC AE =u u u r u u u r，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>u u u r u u u r u u u r ，则31m n+的最小值是A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A.5512πB.5312πC.256πD.174π【答案】A 【解析】函数()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，可得223y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向下平移1个单位，得到()2213g x sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则()()123g x g x ==-，则22,32x k k Z πππ+=-+∈，即5,12x k k Z ππ=-+∈，[]12,2,2x x ππ∈-，得12175719,,,,12121212x x ππππ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，当121917,1212x x ππ==-时，122x x -取最大值5512π，故选A.12.已知函数21(0)()21(0)x xx f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(11)(23]e，，+⋃ B. 11(11)(23]3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， C. 11(11)[23)3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， D. 2(11)(23]e+⋃，， 【答案】B 【解析】分析：该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函数的极值，从而结合图像完成任务.详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时，()1x x f x e =+，21'()x x xx e xe xf x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e -==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或2001a a -=⎧⎨<≤⎩或02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或12111a ea e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或23a <≤或13a e=+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3e e ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭U U ，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图像的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.）13.已知向量=(2,),(1,1)a x b =-v v ，若a b ⊥r r ，则a b +=r r __________.【解析】 【分析】利用a b r r ⊥求出x ，然后求a b +r r .【详解】向量()=(2,),1,1a x b =-v v ，若a b r r ⊥，则0202,a b x x ⋅=⇒-+=⇒=r r()1,3a b ∴+=-==rr.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了向量的模的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知函数()(0)af x x b x x=++≠在点(1(1))f ，处的切线方程为25y x =-+，则a b -=__________．【答案】4 【解析】详解】()af x x b x=++Q ()21a f x x∴=-' ()112f a =-=-'，3a ∴= ()114f a b b =++=+()1253f =-+=，43b ∴+=，1b =-则()314a b -=--=15.观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________． 【答案】4980 【解析】 【分析】表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字， 2018是该表的第1009个数字， 由19021100921-<<-，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=g， 故答案为：4980【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】500327π【解析】如图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >，则,6,22x x OI IE Q ==-该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，246222x x x ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则22OC =，224223OP -=()(2222322R R =+，解得3R =3450033273V ππ==，故答案5003π三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列. （1）求B ；（2）若a c +=b =ABC ∆的面积.【答案】(1)3B π=；(2)16. 【解析】 【分析】（1）由题意可知2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理边化角整理可得()2sinBcosB sin A C =+，据此可知12cosB =，3B π=.（2）由题意结合余弦定理整理计算可得54ac =，结合三角形的面积公式可得ABC S ∆=. 【详解】（1）∵ccosA ，bcosB ，acosC 成等差数列, ∴2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理2a RsinA =，2c RsinC =，2b RsinB =，R 为ABC ∆外接圆的半径， 代入上式得：2sinBcosB sinCcosA sinAcosC =+， 即()2sinBcosB sin A C =+.又A C B π+=-，∴()2sinBcosB sin B π=-， 即2sinBcosB sinB =. 而0sinB ≠，∴12cosB =，由0B π<<，得3B π=. （2）∵222122a cb cosB ac +-==，∴()222122a c acb ac+--=，又a c +=b = ∴27234ac ac --=，即54ac =，∴115224ABC S acsinB ∆==⨯=. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.已知向量cos 2,cos 4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v，4b sin x π⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎭v ，函数()1f x a b =⋅+r r（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应x 的值. 【答案】（1）π,5[,],1212k k k Z ππππ-++∈；（2）=2x π时，()f x最小，min ()f x ==12x π时，()f x 最大，max ()2f x =. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算与辅助角公式可求得()2sin 2+3f x x π=（），从而可求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得42+[,]333x πππ∈结合正弦函数的图象可求()2sin 2+3f x x π=（）的最大值和最小值。
湖南省怀化市2019届高三上学期期末考试数学(理)
怀化市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．i 是虚数单位，复数131ii--为 A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．若{ }M =直线, { }N =抛物线, 则M N 的元素个数是A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 3．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为A ．+1πB ．1+2πC ．+2πD ．2+1π4．高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有 A ．16种 B ．18种 C ．20种 D ．22种5.若在区域00x y x y ⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 恰好在单位圆221x y +=内的概率为 A ．4π B ．6π C ．8π D ．12π6.设直线l 的方程为：sin 20130x y θ+-= (R θ∈)，则直线l 的倾斜角α的范围是A ．[)0,πB ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．下列命题正确的有①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题p ：“05,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝：“05,R 2≤--∈∀x x x ”； ③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N , 若p P =>)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ； ④回归直线一定过样本中心（y x ,）. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“理想距离”为：(,)d P Q = 1212x x y y -+-；若()y x C ,到点()3,2A 、()8,8B 的“理想距离”相等，其中实数x 、y 满足 80≤≤x 、80≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和是A ．B ．152C ．10D ．5 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．计算1213x dx -⎰的值等于 ．10．如右图，点,,A B C 是圆O 上的点，且32=BC ，32π=∠BAC ，则圆O 的面积等于 ．11．若曲线C 的极坐标方程为 θθρsin 2cos 2=，则曲线C 的普通方程为 .（二）必做题（12～16题）12．看右边程序运行后的输出结果s = ．13．已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：βα//， 则p 是q 的 条件． 14．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下过程： 现在加密密钥为2log (2)y x =+(>0a 且1a ≠)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问接受方接到密文“4”，则解密后得到明文为 ． 15．已知a ,b ,c 成等差数列且公差不为零，则直线0ax by c -+=被圆22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为_______． 16．已知,*x y N ∈，且2112341999x y -+++++=+++++，当2x =时,y = ；若把y 表示成x 的函数，其解析式是y = .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知(),f x m n =⋅ 设0>ω， )cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离等于2π． （1）求ω的值；（2）在AB C ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC a S ∆==．当()1f A =时，求,b c 的值．18．（本小题满分12分）在一次数学考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有5道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜.(1) 求该考生8道题全答对的概率；(2) 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分 数的分布列. 19．（本小题满分12分）正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ．（1）求证：A 1C ⊥面AEF ；（2）求截面AEF 与底面ABCD 所成二面角θ的正切值．20．（本小题满分13分）)京广高铁于2019年12月26日全线开通运营，808G 次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程()S t (单位：m )和时间t (单位：s )的关系为：2315165()ln(1)422S t t t t =-+++.（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值. 21．（本小题满分13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（2）对于抛物线上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，求a 的取值范围． 22．（本小题满分13分）已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立．设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n nn b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，n T =1231232222n n b b b b +++⋅⋅⋅+，求n T ；（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数。
2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,3,5M =，{}2,5N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}5B ．{}1,3C ．{}2,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】试题分析：Venn 图中阴影部分表示的集合是(){}{}{}1,3,41,3,51,3U C M N ⋂=⋂=,故选B【考点】集合的运算 2．下列命题错误的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．若命题:p x R ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：x R ∀∈，210x x ++≠C ．若命题“p q ∨”为真命题，则p 为假命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 【答案】C【解析】A. 根据逆否命题的定义判断.B. 根据命题的否定的定义判断.C. 根据命题“p q ∨”，一真则真判断.D. 由2320x x -+>解得2x >或1x <，再用集合法判断. 【详解】A. 由逆否命题的定义知，正确.B. 由命题的否定的定义知，正确.C. 若命题“p q ∨”为真命题，则,p q 一真一假或都为真，所以p 可以为真命题，故错误.D. 因为2320x x -+>，解得2x >或1x <，故正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.不变；②将某校参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，…，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为92；③线性回归方程$y bx a =+必经过点(,)x y ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病.其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①根据均值与方差的计算公式判断.②根据系统抽样的间隔数判断.③根据线性回归分析判断.④根据独立性检验的前提判断. 【详解】①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，故错误； ②样本间隔为12002450=，若第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为()20412492+-⨯=，正确；③线性回归方程$y bx a =+必经过点(,)x y ，正确；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使推断出现错误，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．已知为等比数列，是它的前项和. 若，且与2的等差中项为，则= ( ) A ．31 B ．32C ．33D ．34【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q 和a 1，代入等比数列的求和公式即可． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，则可得a 1q•a 1q 2=2a 1，因为即a 1q 3==2，又a 4与2a 7的等差中项为 ，所以a 4+2a 7=，即2+2×2q 3=，解得q=，可得a 1=16，故S 5==31．故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，也利用等差数列的性质，属基础题． 5．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+【答案】A【解析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L . 故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L . 故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.6．已知向量,a b r r 满足||2a =r ，||3b =r ，()1a b a ⋅-=r r r ，则||a b -r r等于( )A ．23B ．22C 7D 3【答案】D【解析】根据||2a =r ，||3b =r ，由()1a b a ⋅-=r r r，求得a b ⋅r r，然后再由()()()222||2a b a ba ab b-=-=-⋅+r r r r r r r r .【详解】因为||2a =r ，||3b =r，所以()2()1a b a a b a ⋅-=⋅-=r r r r r r ，解得5a b ⋅=r r，所以()()()222||242593a b a ba ab b-=-=-⋅+=-⨯+=r r r r r r r r .故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下:（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点｡若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为（ ）（参考数据:5 2.236≈）A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.618【答案】A【解析】由已知条件及勾股定理求出AE ,BE ，则0.764 1.236AF 剟，利用几何概型中的线段型计算公式计算即可. 【详解】由勾股定理可得22215,1AC CD =+==，则51 1.236AD =≈，1.236,20.764AE BE AE ==-=，所以0.764 1.236AF 剟，由几何概型中的线段型可知使得BE AF AE ≤≤的概率约为1.2360.7640.2362-=.故选：A 【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.8．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()()5115112541945252521002020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 9．已知函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x 的图象向左平移6π个单位后得到()g x ，()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，则实数a 的取值范围是( )【答案】D【解析】由最小正周期为π，易得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再由()f x 的图象向左平移6π个单位后得到2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得其单调减区间，再根据()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，则区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()g x 减区间的子集求解. 【详解】因为函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以2ω=，2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由()f x 的图象向左平移6π个单位后得到2()2sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令23222232k x k πππππ+≤+≤+，解得521212k x k ππππ-+≤≤+， 当50,,1212k ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，当11171,,1212k ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为()g x 在区间,246a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和4,23a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递减，所以5,,2461212a πππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，41117,,231212a πππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即561211212a a ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得11562a ππ≤≤. 则实数a 的取值范围是11562a ππ≤≤. 故选：D本题主要考查三角函数的图象和性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．已知函数()f x 是奇函数，(1)f x +是偶函数，当[0,2)x ∈时，()2x f x =，当[2,0)x ∈-时，21()log f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则(0)(1)(2)(2018)(2019)f f f f f +++++L 等于( ) A ．1008 B ．1009 C ．1010 D ．1011【答案】C【解析】根据函数()f x 是奇函数，得到()()f x f x -=-，又(1)f x +是偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，两者可推出()4()f x f x +=，得到函数()f x 是以4为周期的周期函数，可计算(2)(1)(0)(1)2f f f f -+-++=，然后利用周期性求解. 【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又(1)f x +是偶函数， 所以(1)(1)f x f x +=-+，所以()(11)(11)(2)f x f x f x f x =---+=-++=-+， 所以()2(()4)f x f x f x -+=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，(2)(1)(0)(1)10122f f f f -+-++=-+++=，所以对任意整数t 均有()(1)(2)(3)2f t f t f t f t ++++++=， 所以(0)(1)(2)(2018)(2019)f f f f f +++++L ，50521010=⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对称性以及周期性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某个球面上，PC 为该球的直径，ABC V 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积A ．683πB ．163πC ．643πD ．803π【答案】D【解析】根据题意作出图形，设球心为O ，半径为r ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ，利用截面圆的性质可求出1OO ，进而得到底面ABC 上的高，根据三棱锥的体积为163，求得半径即可. 【详解】 如图所示：设球心为O ，半径为r ，过ABC 三点的小圆的圆心为1O ， 则1OO ⊥平面ABC ，延长1CO 交球于点D ，则PD ⊥平面ABC ， 因为143CO =，所以21163OO r =-所以2116223PD OO r ==-23443ABC S ==V ， 所以V 三棱锥P-ABC 21161643333r =⨯-=， 解得2203r =， 所以三棱锥的外接球的表面积为28043r ππ=. 故选：D12．已知函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=上，则实数k 的取值范围为( )A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将问题转化为()y f x =与直线1y kx =+的图象，在(),0-∞，()0,∞+上各有2各交点，借助函数图象与导数的几何意义求出直线1y kx =+与()y f x =的两段图象相切时的斜率，即可得到k 的范围. 【详解】因为函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线10kx y +-=的图象上，而直线10kx y +-=关于直线1y =的对称图象为10kx y -+-=，所以函数22ln (0)()3(0)2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象与10kx y -+-=的图象有且仅有四个不同的交点.当0x >时，()1ln f x x '=-，所以当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减， 当0x ≤时，()232f x x x =--作出()y f x =与直线10kx y -+-=的图象， 如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切于点(,2ln )C x x x x -，则1ln 2ln 1x k x x x kx -=⎧⎨-=+⎩，解得1x =，故1k =， 设直线1y kx =+与232y x x =--相切与点23,2B x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得1x =-，所以12k =， 因为函数()y f x =与10kx y -+-=的图象有且仅有四个不同的交点 所以函数()y f x =与1y kx =+的图象在(),0-∞，()0,∞+上各有2各交点. 故112k <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的图象，导数的几何意义，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题13．若复数z 满足(1)17i z i +=-，则||z =_____. 【答案】5再求模. 【详解】因为复数z 满足(1)17i z i +=-， 所以()()17(1)173411(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以||5z ==.故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(2,0)F -，点A ，点P 为双曲线右支上的动点，且APF V 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为______. 【答案】2【解析】设双曲线的右焦点为()2,0F '，根据APF V 的周长为=++l AF PF AP ，结合双曲线的定义，转化为32l a PF AP '=+++，当,,A P F '三点共线时，周长l 取得最小值求解. 【详解】设双曲线的右焦点为()2,0F '，又3AF =，所以APF V 的周长为3=++=++l AF PF AP PF AP ， 由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即2PF a PF '=+， 即32l a PF AP '=+++，当,,A P F '三点共线时，周长l 取得最小值. 此时，3PF AP AF ''+==， 所以3238a ++=， 解得1a =，所以2ce a==. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若4ABC π∠=，OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则m n +最小值为_____.【答案】 【解析】由4ABC π∠=，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得到2AOC π∠=，设()()()1,0,0,1,cos ,sin ,,22A C B πθθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再根据OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r(,)m n R ∈，建立m n +关于θ的函数求解.【详解】因为,,A B C 为单位圆上三个不同的点，且4ABC π∠=，所以2AOC π∠=，不妨设()()()1,0,0,1,cos ,sin ,,22A C B πθθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 因为OB mOA nOC =+u u u r u u u r u u u r(,)m n R ∈，所以cos ,sin m n θθ==，所以cos sin 4m n πθθθ⎛⎫+=+ ⎝+≥⎪⎭=，当且仅当54πθ=时，取等号.所以m n +最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．在下图所示的三角形数阵中，用(),i j a i j ≥表示第i 行第j 个数（*,i j N ∈），已知,1,1112i i i i a a -==-（*i ∈N ），且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即,1,11,i j i j i j a a a ---=+（21)j i ≤≤-，若,2100m a >，则正整数m 的最小值为__________．【答案】103【解析】根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列,2{}n a 的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解． 【详解】 因为,11112n n a -=-，所以，()1,121122n n a n --=-≥ 由题意可知,21,11,2n n n a a a --=+，（3n ≥），∴,21,21,12112n n n n a a a ----==-，（3n ≥），即,21,22112n n n a a ---=-，（3n ≥），∴()(),2,21,21,22,2n n n n n a a a a a ---=-+- ()3,22,22,221522n a a a n -++-+=+-L ， 又由,21,2232321515111()[(1)]()110,(3)2222222n n n n n n n a a n n n -------=+--+-=-+=->≥所以当3n ≥时,数列{},2n a 显然递增，又易知102,2103,2100a a <<， ∴m 的最小值为103，故应填103. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列{},2n a 的通项公式是解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．三、解答题17．如图，在ABC ∆中，,484C CA CB π=⋅=u u u v u u u v ，点D 在BC 边上，且352,cos 5AD ADB =∠=. （Ⅰ）求,AC CD 的长；（Ⅱ）求cos BAD ∠的值.【答案】(1) 8,2AC CD ==5cos BAD ∠=【解析】试题分析：（1）由34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∠=得，进而得2sin CAD ∠=，然后利用正弦定理求边长；（2）由48CA CB ⋅=u u u v u u u v，得62CB =. 52BD =余弦定理得210AB =，从而5cos BAD ∠= 试题解析： （Ⅰ）在ABD ∆中，∵34cos ,sin 55ADB ADB ∠=∴∠=.∴()sin CAD sin ADB ACD ∠=∠-∠ sin coscos sin44ADB ADB ππ=∠-∠ 42322525210=⨯-⨯=. 在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin sin AC CD AD ADC CAD ACD==∠∠∠，即524225102AC ==，解得8,2AC CD ==（Ⅱ）∵48CA CB ⋅=u u u v u u u v，∴2848CB ⋅=，解得62CB =∴52BD CB CD =-=ABC ∆中，()22286228622102AB =+-⨯⨯⨯=ABD ∆中，22221052525cos 5221052BAD +-∠==⨯⨯.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．已知正方形ABCD ，E F ，分别是AB CD ，的中点，将ADE ∆沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为()0θθπ<<（1）证明：BF ADE ∥平面（2）若ACD ∆为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的身影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2）154【解析】（1）ADE ∆沿DE 折起，其它边不变，可知EB FD ∥且EB FD =，则有四边形EBFD 为平行四边形，那么BF ED ∥，又由于ED AED ⊂平面，BF AED ⊄平面，故BF AED ∥平面；（2）解法一：过点A 作AG BCDE ⊥平面，垂足为G ，连接GC GD ，，由于AC AD =，则有AGD AGC ≅V V ，故点A 在CD 的中垂线EF 上，过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，由已知得ED AGH ⊥平面，故AH DE ⊥，则AHG ∠即是θ，设原正方形ABCD 的边长为2a ，根据已知边和角的关系可以求得sin θ；方法三：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上证法同法一，建立空间直角坐标系，先求平面CED 的法向量，再求平面ADE 的法向量，可得二面角的余弦值，进而得到sin θ． 【详解】解：（1）证明：E F ，分别是正方形ABCD 的边AB CD ，的中点， ∴EB FD ∥且EB FD =，则四边形EBFD 为平行四边形， ∴BF ED ∥.又ED AED ⊂平面，而BF AED ⊄平面， ∴BF AED ∥平面（2）解法一：过点A 作AG BCDE ⊥平面，垂足为G ，连接GC GD ，.∵ACD ∆为正三角形，AC AD ∴=，∴GC GD =， ∴G 在CD 垂直平分线上，又∵EF 是CD 的垂直平分线， ∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，则AH DE ⊥，∴AHG ∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠.设原正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，在折后图的AEF ∆中，322AF a EF AE a ===，，∴AEF ∆为直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅，∴3AG a =. 在Rt ADE ∆中，AH DE AD AE ⋅=⋅，∴525AH GH ==，，则1cos 4GH AH θ==，即15sin 4θ=.解法二：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，连接AF ，在平面AEF 内过点A 作1AG EF ⊥，垂足为1G∵ACD ∆为正三角形，F 为CD 的中点， ∴AF CD ⊥.又∵EF CD ⊥，∴CD AEF ⊥平面. ∵1E G A A F ⊂平面，∴1CD AG ⊥平面 又∵1AG EF ⊥且CD EF F ⋂=，CD BCDE EF BCDE ⊂⊂平面，平面∴1D G C E A B ⊥平面∴1G 为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上过点G 作GH ED ⊥，垂足为H ，连接AH ，则AH DE ⊥，∴AHG ∠是二面角A DE C --的平面角，即AHG θ=∠.设原正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，在折后图的AEF ∆中，322AF a EF AE a ===，，∴AEF ∆为直角三角形，AG EF AE AF ⋅=⋅，∴3AG a =. 在Rt ADE ∆中，AH DE AD AE ⋅=⋅，∴525AH GH ==，，则1cos 4GH AH θ==，即15sin θ=.解法三：（同解法一）点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，如图，连接AG ，以G 点为坐标原点，GA u u u v 为z 轴，GF u u u v为y 轴，过G 点作平行于DC的向量为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，32AF a AE a EF a ===，，.所以()0,0,0G ，3002a A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，302a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，302a D a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，002a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，. 又平面DEC 的一个法向量为()001n =r，，，设平面ADE 的一个法向量为()m x y z =r，，.则00AD m DE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即3330322202y z ax ay az ax ay x y⎧⎧=-+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，所以32y m y y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭r ，， 所以3314131cos 4n mn may a yθ-⋅++⋅===⋅r rr r ，即15sin 4θ=. 【点睛】本题考查空间向量与立体几何的相关知识，是常考题型．19．某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图1所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图2所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.（1）求这批树苗的高度于1.60米的概率，并求图1中,,a b c 的值；（2）若从这批树苗中随机选取4株，记ξ为高度在(]1.40,1.60的树苗数量，求ξ的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()06826P S μσμσ-<≤+>.且()220.9544P S μσμσ-<≤+>，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布，如果这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗是否被签收？ 【答案】（1）概率为0.15，0.2a =， 1.3b =， 3.5c =（2）详见解析（3）将顺利被公司签收【解析】（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15，记X 为树苗的高度，结合图1，图2求得()1.20 1.30P X <≤，()1.70 1.80P X <≤，()()1.30 1.40, 1.60 1.70P X P X <≤<≤，()()1.40 1.50, 1.50 1.60P X P X <≤<≤，即可求得答案；（2）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]1.40,1.60的概率为()1.40 1.600.70P X <≤=，因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，可得随机变量()~4,0.7B ξ，即可求的分布列，进而求得()E ξ；（3）利用条件，计算出()P X μσμσ-<≤+= (1.40 1.60)0.7P X <≤=，从而给出结论. 【详解】（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15， 记X 为树苗的高度，结合图1，图2可得：()()21.20 1.30 1.70 1.800.02100P X P X <≤=<≤==， ()()131.30 1.40 1.60 1.700.13100P X P X <≤=<≤==， ()()()11.40 1.50 1.50 1.60120.0220.130.352P X P X <≤=<≤=-⨯-⨯=， ∴组距为0.1，∴0.2a =， 1.3b =， 3.5c =.（3）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]1.40,1.60的概率为()1.40 1.600.70P X <≤=，因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，∴随机变量()~4,0.7B ξ，分布列为：ξ0 1 2 3 4 P0.00810.07560.26460.41160.2401∴()40.7 2.8E ξ=⨯=.（3）由()1.5,0.01N ，取 1.5μ=，0.1σ=， 由（2）可知()()1.40 1.600.70.6826P S P X μσμσ-<<+=<≤=>，又Q 结合（1）可得()()22 1.30 1.700.960.9544P S P X μσμσ-<<+=<≤=>，∴这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，应该认为这批树苗是合格的，将顺利被公司签收. 【点睛】本题解题关键是掌握频率直方图基础知识和求二项式分布列，及其正态分布的实际应用,考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 20．设椭圆E:（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）2283x y +=【解析】试题分析：（1）因为椭圆E:22221x y a b+=（a,b>0）过M （22），6,1)两点,所以2222421{611a b a b +=+=解得22118{114a b ==所以228{4a b ==椭圆E 的方程为22184x y +=（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22{184y kx m x y =++=得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>1222122412{2812km x x k m x x k +=-+-=+， 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥u u u r u u u r,需使,即2222228801212m m k k k--+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>, 所以222{38m m >≥,所以283m ≥,即26m ≥26m ≤, 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21m r k =+,222228381318m m r m k===-++,26r =, 所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥26m ≤, 而当切线的斜率不存在时切线为26x =22184x y +=的两个交点为或2626()满足OA OB ⊥u u u r u u u r ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r．【考点】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系． 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．21．已知函数()ln ()au x x a R x=-∈ （Ⅰ）若曲线()u x 与直线0y =相切，求a 的值. （Ⅱ）若12e a e +<<设ln ()xf x ux x=-求证：()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21x x e -<.（e 为自然对数的底数）【答案】(Ⅰ)1.a e=-(Ⅱ)证明见解析.【解析】（Ⅰ）设切点()0,0P x ，由导数的性质可得0.a x =-结合切点在函数()u x 上，可得1.a e=-（Ⅱ）不妨设12x x <，()210a u x x x'=--<Q ，则()u x 在()0,+∞上单调递减，由函数零点存在定理可得存在()0,2x e e ∈，使得()00u x =，分类讨论有：①当00x x <≤时，在区间(]00,x 上存在零点1x ，且10e x x <<.②当0x x >时,在区间()0,2x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<.据此即可证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）设切点()()00022,0',0,.a x a x P x u x k a x x x ++=∴==∴=---Q 又切点在函数()u x 上，()00,u x ∴=即00001,alnx lnx x -=⇒=- 011,.x a e e∴=∴=-（Ⅱ）不妨设12x x <，()210a u x x x'=--<Q ，所以()u x 在()0,+∞上单调递减，又()()10,2202a a u e u e ln e e e=->=-<， 所以必存在()0,2x e e ∈，使得()00u x =，即.①当00x x <≤时，()()()2222111110lnx x a x x a a lnx f x x x x x x'--+---+-=---=≤<， 所以()f x 在区间(]00,x 上单调递减， 注意到()110a f e e e=-->，()00000000lnx lnx a f x lnx x x x =--=-< 所以函数()f x 在区间(]00,x 上存在零点1x ，且10e x x <<. ②当0x x >时,()()2221110lnx x a a lnx f x x x x x++---='=+>所以()f x 在区间()0,x +∞上单调递增，又，且()2124141122212?022*******a ln e ln f e ln e ln e ln e e e e e e=-->--->->->， 所以()f x 在区间()0,2x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<.综上，()f x 有两个不同的零点1x 、2x ，且21212x x x x e e e -=-<-=. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与曲线C 的交点为,O P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）根据C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数得到直角坐标方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简即可.（Ⅱ）由直线l 的极坐标方程与射线:3OM πθ=，联立求得交点P 到原点的距离1ρ，曲线C 的方程与射线:3OM πθ=，联立求得交点Q 到原点的距离2ρ，再由||PQ OQ OP =-求解.【详解】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：22(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得：2cos ρθ= 即曲线C 的极坐标方程为：2cos ρθ=（Ⅱ）直线l的极坐标方程是2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:3OM πθ=相交，交点P到原点的距离132cos 36OQ ρππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 曲线C 与射线:3OM πθ=相交，交点距离22cos 13OP πρ===，则12||2PQ OQ OP ρρ=-=-=.【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的转化以及直线与直线，直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．设函数()|3||2|f x x x =++-的最小值为m . （Ⅰ）求不等式|21|x x m -+<的解集；（Ⅱ）已知||,||1010m ma b <<，证明：|41|2||ab a b ->-. 【答案】（Ⅰ）(4,2)-；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出5m =，然后利用绝对值的几何意义解不等式即可.（Ⅱ）将不等式两边同时平方作差即可证出. 【详解】（Ⅰ）因为|3||2||(3)(2)|5x x x x ++-≥+--= 当(3)(2)0x x +-≤，即32x -≤≤时取等号 所以()f x 的最小值为5，所以5m = 由|21|5x x ++<，得210(21)5x x x -<⎧⎨--+<⎩或210(21)5x x x -≥⎧⎨-+≤⎩解得:142x -<<或122x ≤<，即42x -<< 所以不等式的解集是(4,2)-（Ⅱ）222222(41)4()16441ab a b a b a b ---=--+()()22244141a b b =---()()224141a b =--因为5m =，所以1||2a <，即241a <，同理241b <. 所以22(41)4()ab a b ->-，即|41|2||ab a b ->-. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式求最值、利用绝对值的几何意义解不等式、比较法证明不等式，属于中档题.。
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湖南省怀化市2019届高三数学统一模拟考试试题（一）理本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={02|2≥++-∈x x N x }，则满足条件的集合B 的个数为 A. 3B. 4C. 7D. 82.已知i 为虚数单位，且复数2满足|34|)21(i i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A.1-2i B. l+2i C. 2-i D. 2+i3.双曲线14822=-y x 与双曲线14822=-x y 有相同的 A.渐近线B.顶点C.焦点D.离心率4.已知倾斜角为α的直线与直线012:=-=y x l 垂直，则αα22sin cos -的值为A. 53- B. 53 C. 56D. 0 5.某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是A.月收入的极差为60B. 7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元 6.已知0x 0221<),,0[x 0,>1,,:a ax ax R x p +∞∈∃++∈0，若q p ∧为真，则实数a 的取值范围为 A. (0,1) B. [0,1) C. (0,1]D. 07.已知数列{n a }满足xdx a a n a a a n n n 2sin 4),2(2084112π=⋅≥=+-，且0>4a ,则=⋅)3tan(6πa A.33- B. 33C.3- D. 38.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为A.1B.2C.3 D.2 9.如图所示为函数)20,>)(sin()(πϕωϕω≤+=x A x f 的部分图象，点M 、N 分别为图象的最高点和最低点，点P 为该图象一个对称中心，点A(0，1)与点B 关于点P 对称，且向量在恰为1，229=AP ，则)(x f 的解析式为 x 轴上的投影A.)36sin(332)(ππ+=x x f B. )63sin(2)(ππ+=x x fC. )66sin(2)(ππ+=x x fD. )632sin(2)(ππ+=x x f10.在正方体中，过AB 作一垂直于直线B1C 的平面交平面ADD1A1于直 线l ，动点M 在直线l 上，则直线B1M 与直线CD 所成的角的正弦值的最小值是 A.33 B.23 C. 22 D. 2111.过抛物线C: y x 42=的焦点F 作斜率分别为21,k k 的两条直线21,l l ，其中A 交C 于A 、B两 点，2l 交C 于D 、E 两点，若221=k k ,则|AB| + |DE|的最小值为 A. 12 B. 16 C. 24 D. 3012.对于函数:)(x f y =与)(x g y =，若存在0x ，使)()(00x g x f -=，则称))(,()),(,(00o o x g x N x f x M --是函数)(x f 与)(x g 图象的一对“隐对称点已知函数1)1ln()(),2()(--=+=x x x g x m x f ，若函数)(x f 与)(x g 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为A.(-1，0)B.(-∞,一1)C.(0，1) U (1，+∞)D.(-∞,-1)U( -1,0) .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22〜23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.已知向量b a ,的夹角为 120°，222==-a b a ,则=b.14.已知)(,)13(3*∈-N n xx n的展开式的系数和为16,则展开式中的常数项为 . 15.某学校2019年元旦晚会准备了 6个节目，考虑整体效果，其中节目甲必须在前三位，且节目丙、丁必须相邻，则元旦晚会节目的演出顺序的编排方案种数为 .16.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥0620820y x y x y ,在实数y x ,中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{n a }的前9项，即y a x a ==91, ,则数列{n a }的前13项和的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C a b A c cos )1213(cos -=. (1)若54sin =B ，求A sin 的大小； (2)若△ABC 的面积为25，且△ABC 的外接圆半径为213，求△ABC 的周长. 18.(本小题满分12分）在五边形 ABCDE 中，AB = AE=2，BA⊥AE，BC⊥CD，BE//CD ，BE=2BC = 2CD ，现将△ABE 沿着BE 折起，使得点A 到达点P 的位置， 且使平面PBE 丄平面BCDE ，记线段PE 的中点为M. (1)求证:DM//平面PBC;(2)求直线CM 与平面PDE 所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分）“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活 动，界定日行步数不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活 方式者”，其他为“一般健康生活方式者某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工，统计他们的日行步数（均不低于4千步，不超过20千步），按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：(1)求300名教职工日行步数（千步）的样本平均数（每组数据 以区间的中点值为代表，结果四舍五人保留整数）；(2)由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ (千步）服从正态分布),(2σμN ，其中，μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2,求该校被抽取的3oo 名教职工中日行步数（千步) )18,14(∈ξ的人数 (结果四舍五人保留整数）；(3)用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中 随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元。
求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望。
20.(本小题满分12分）已知椭圆C: 12222=+b y a x (a>b>0)的短轴长为32，且椭圆C 与圆F:49)1(22=+-y x 的公共弦长为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于两点，交y 轴于点D ，若DA=mAF ，DB=nBF,试探究n m +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
21.(本小题满分12分）已知函数)0,(ln 1)(≠∈--=a R a ax x ax x f 且. (1)试讨论)(x f 的单调性；(2)设函数xx xe x g x 1ln )(--=，当 a>0 时，若),0(),,0(21+∞∈∃+∞∈∀x x ，，使不等式4)()(21≥+x f x f 4：成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22,122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4cos)(22πθρ+=.(1)求直线l 的普通方程与圆C 在直角坐标系下的标准方程；设圆C 与直线l 交于两点，若P 点的直角坐标为（1,0)，求22PB PA +的值. 23.(本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲 已知函数3212)(--+=x x x f.(1)解不等式)(x f <6;(2)已知a ，b ，c 都是正数，记)(x f 的最大值为t,若a + b + 2c = t ，求证: 7411≥+++c b c a .。