最新高二下学期期中考试数学(理)试题
一单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.1.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
试题分析：根据除法运算可知，,因此其共轭复数为实部大于零，虚部小于零，故可知点在第四象限故选 D
考点：复数的几何意义
点评：主要是考查了复数的运算以及复数的几何意义的运用，属于基础题。
2.2.在推理“因为指数函数是减函数，而是指数函数，所以是减函数。
”中，所得结论显然是错误的，这是因为（）
A. 小前提错误
B. 大前提错误
C. 大前提和小前提都错误
D. 推理形式错误
【答案】B
【解析】
【分析】
对指数函数来说底数范围不同则增减性不同，可知题中大前提错误
【详解】当时指数函数是增函数，当时指数函数是减函数指数函数是减函数这个大前提是错误的，从而导致结论出错。
故选
【点睛】本题主要考查的是演绎推理的基本方法，考查了对数函数的单调性，解题的关键是
理解函数的单调性，分析出大前提是错误的。
3.3.如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）
A. 12
B. 48
C. 60
D. 144
【答案】D。
高二理科数学下册期中检测试卷及答案
～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1． 本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。
本次考试时间为120分钟，满分160分。
考试结束后，只需将答题纸交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。
3． 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１） 求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）； （２） 求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３） 若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 （Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分 综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分 则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页 共11页 设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分 则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4， 故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学(理)试题2【含答案】
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由复数的四则运算可得1i z =--，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为21i (1i)i(i i )1i i i iz --⋅===--=--⋅，所以22(1)(1)2z =-+-=.故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以8789909193888990919055x+++++++++=，解得2x =，故乙的平均成绩8889909192905++++=，则乙成绩的方差222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==.故选：A.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】先求得ba，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为20,2x y y x -==，所以2222222,15b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭.故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α ，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若m α ，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若m α ，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故D 错误．故选：B ．5．“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行可求得m 的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行，则()()23442342m mm m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩，解得4m =.因此，“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的充要条件.故选：C.6．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为35、28，则输出的=a （）A ．1B ．7C ．14D ．28【答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，35a =，28b =，a b ¹成立，a b >成立，则35287a =-=；第二次循环，7a =，28b =，a b ¹成立，a b >不成立，则28721b =-=；第三次循环，7a =，21b =，a b ¹成立，a b >不成立，则21714b =-=；第四次循环，7a =，14b =，a b ¹成立，a b >不成立，则1477b =-=.7a b ==，则a b ¹不成立，跳出循环体，输出a 的值为7.故选：B.7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C由()()22e x f x x x =-求导得()()22e xx x f '=-，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当22x -<<时，()0f x '<，于是得()f x 在(),2-∞-和()2,+∞上都单调递增，在()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取极大值，在2x =处取极小值，D 不满足，B 满足．故选：B8．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).若直线323x y +=与曲线C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：22(1)1x y -+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d ，则弦长222AB r d =-．详解：根据22cos sin 1θθ+=，求出曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d -==+，所以弦长222AB r d =-321=14=-，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．9．过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【答案】A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =.所以所求概率为224=1313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，4=AD ，E 为PC 的中点，则面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．35B ．23015C ．2515D ．10515【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD 与直线BE 所成角的余弦值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B 、()2,4,0C 、()0,4,0D 、()002P ,,、()1,2,1E ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0DC =uuu r，()0,4,2DP =-uuu r ，则20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2n = ，()1,2,1BE =- ，所以，4230cos ,1565BE n BE n BE n⋅===⨯⋅，所以，22230105sin ,1cos ,11515BE n BE n ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为10515.故选：D.12．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ⋅>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由()0f x =可得1ln xa x+=，设()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中10x a <<，分析函数()h x 的单调性，可判断②③；分析出1211e x x <<<、1210x x a<<<，利用不等式的基本性质可判断④.【详解】由()0f x =可得ln 1x a x+=，令()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，()2ln xg x x '=-，由()0g x '>可得01x <<，即函数()g x 的单调递增区间为()0,1，由()0g x '<可得1x >，即函数()g x 的单调递减区间为()1,+∞，且当10e x <<时，()ln 10x g x x+=<，当1e x >时，()ln 10x g x x +=>，如下图所示：由图可知，当01a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，①对；对于②，由图可知，1211ex x <<<，因为()11ax f x a x x -'=-=，由()0f x ¢>可得10x a<<，由()0f x '<可得1x a >，所以，函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则必有1210x x a <<<，所以，110x a <<，则121x a a->，令()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中10x a <<，则()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()20f x =，可得()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则212x x a >-，即122x x a +>，②错；对于③，由1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩，两式相加整理可得()1212ln 22x x x x a a ++=>，所以，()12ln 0x x >，可得121x x >，③对；对于④，由图可知1211ex x <<<，则11x ->-，又因为21x a >，所以，2111x x a->-，④对.故选；C.【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式12121212ln ln 2x x x xx x x x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．【答案】0【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x23 3.5 4.57y26384360a则表中a 的值为___________.【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是__.【答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜，构造()()f x ah x x+=，由函数单调性的定义可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜,令()()f x ah x x+=，则不等式等价于h （x 1）＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则()e 3x ax a h x x +-+=，所以h '（x ）2e e 30x x x ax -+-=≥在[1，+∞）上恒成立，即x e x﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故答案为：（﹣∞，3].16．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，()2,0M -，点N 为抛物线上一动点，当NFNM最小时，点N 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．【答案】222+【分析】作出图形，分析可知MN 与抛物线28y x =相切时，NFNM取最小值，设直线MN 的方程为2x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出m 的值，进而可求出点N 的坐标，利用双曲线的定义求出a 的值，结合c 的值可得出22221b ca a=-，即为所求.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，其准线为:2l x =-，如下图所示：过点N 作NE l ⊥，垂足为点E ，由抛物线的定义可得NF NE =，易知//EN x 轴，则NMF MNE ∠=∠，所以，cos cos NF NE MNE NMF MNMN==∠=∠，当NFNM取最小值时，NMF ∠取最大值，此时，MN 与抛物线28y x =相切，设直线MN 的方程为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩可得28160y my -+=，则264640m ∆=-=，解得1m =±，由对称性，取1m =，代入28160y my -+=可得28160y y -+=，解得4y =，代入直线MN 的方程2x y =-可得2x =，即点()2,4N ，则224NF =+=，()2222442MN =++=，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由双曲线的定义可得2424a MN NF =-=-，所以，()221a =-，又因为2c =，则()221221c a ==+-，所以，()222221211222b c a a =-=+-=+.故答案为：222+.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()2,0M ，求MA MB 的值.【答案】(1)3230x y --=，24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴消去t 可得直线l 的普通方程为:3230x y --=.∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得238320t t --=，显然0∆>，即方程有两个不相等的实根，设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是1t ，2t ，则1283t t +=，12323t t =-，∴12323MA MB t t ==.18．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．（2）在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．(1)求证：BC ⊥平面QAB ；(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，进而得证；（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，则有()2,2,0B ，()002P ,,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =- ，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值66．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为423+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OA OB ⋅> 可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．因为12PF F △的周长为121222423PF PF F F a c ++=+=+，①因为椭圆C 的离心率为32，所以32c a =，②由①②解得2a =，3c =．则221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->，解得234k >，由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ 22164041k k -=>+，解得204k <<，所以，2344k <<，解得322k -<<-或322k <<，所以实数k 的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x ax a =-+.（1）若()f x a ≤，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在唯一的极小值点0x ，求a 的取值范围，并证明()0210a f x -<<.【答案】（1）1[,)e +∞（2）12a <；证明见解析；【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为ln x a x ≥恒成立，然后研究ln ()x g x x=的单调性，求出最大值；（2）通过研究()f x '在()0,∞+内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定()f x '的零点范围及单调性，可以通过研究()g x '的零点、符号来确定()f x '的单调性，和特殊点（主要是能确定()f x '符号的点）处的函数值符号，从而确定()f x 的极值点的存在性和唯一性．【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.由()f x a ≤，得ln x a x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，转化为max ln ()x a x ≥令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，∴ln ()x g x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，∴()g x 的最大值为1(e)g e=，∴1a e ≥.∴a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)设()()g x f x '=，则()ln 12g x x ax =+-，1()2g x a x'=-，0x >.①当a<0时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+单调递增，又()1120g a =->，212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以()g x 存在唯一零点()10,1x ∈.当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=<，当()1,1x x ∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x x =.②当0a =时，()ln 1g x x =+，()g x 在()0,∞+单调递增，1()0g e =，所以()g x 在()0,∞+有唯一零点1e.当1(0,)∈x e时，()()0f x g x '=<，当1(,1)x e∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x e =.③当0a >时，令()0g x '>，得1(0,)2x a ∈；令()0g x '<，得1(,)2x a ∈+∞，∴()g x 在1(0,)2a 单调递增，在1(,)2a+∞单调递减，所以()g x 的最大值为1()ln(2)2g a a =-④当102a <<时，1()0g e<，()1120g a =->，1()02g a >，21212()212(1)10l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用11111()20a a g eae a --=-<)由函数零点存在定理知：()g x 在区间()0,1，()1,+∞分别有一个零点2x ，3x 当()20,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()23,x x x ∈时，()()0f x g x '=>；所以()f x 存在唯一的极小值点02x x =，极大值点3x .⑤当12a ≥时，102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()0f x g x '=≤所以()f x 在()0,∞+单调递减，无极值点.由①②④可知，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<；所以()f x 在()00,x 单调递减，()0,1x 单调递增.所以()0(1)0f x f <=.由()000ln 120f x x ax '=+-=，得00ln 21x ax =-.所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+[]00(1)(1)1x a x =-+-，因为0(0,1)x ∈，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，所以010x -<，()01112102a x +-<⨯-=所以()0(21)0f x a -->，即()021f x a >-；所以()0210a f x -<<.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。
高二数学下学期期中理试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校安平二零二零—二零二壹第二学期期中考试高二数学(理科)试题一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕..假设随机变量ξ的分布列如下表所示，那么p1＝()ξ－1 2 4P p1A.0B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由分布列的性质：所有随机变量对应概率的和为列方程求解即可.【详解】因为所有随机变量对应概率的和为，所以，，解得，应选B.【点睛】此题主要考察分布列的性质，意在考察对根本性质的掌握情况，属于简单题.2.假设随机变量X～B〔n，0.6〕，且E〔X〕=3，那么P〔X=1〕的值是〔〕A.4B.2×5C.4D.4【答案】C【解析】试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值．解：∵随机变量X服从，∵E〔X〕=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P〔X=1〕=C51〔0.6〕1〔0.4〕44应选C．考点：二项分布与n次HY重复试验的模型．.以下说法正确的选项是()A.相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B.HY性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以HY性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C.相关关系可以对变量的开展趋势进展预报，这种预报可能是错误的D.HY性检验假设得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的【答案】C【解析】相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的开展趋势进展预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对消费与生活起到一定的指导作用；HY性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义，故正确答案为C..回归直线方程，其中且样本点中心为，那么回归直线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程，将样本点的中心坐标代入，即可求得回归直线方程.【详解】回归直线方程为，样本点的中心为，，，回归直线方程，应选C.【点睛】此题主要考察回归方程的性质以及求回归方程的方法，属于简单题.回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势..随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826.假设μ＝4，σ＝1，那么P(5<X<6)＝()A.0.1359B.0.1358C.0.2718D.0.2716【答案】A【解析】【分析】根据变量符合正态分布和所给的和的值，结合原那么，得到，两个式子相减，根据对称性得到结果.【详解】随机变量符合正态分布，，，，，，应选A.【点睛】此题主要考察正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考察知识点较为明晰，只要纯熟掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解..如下列图，表示3种开关，假设在某段时间是内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为〔〕A.0.504B.0.994 C【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作的概率为，即可靠性为0.994．应选B．考点：互相HY事件同时发生的概率．【名师点睛】1．对于事件A，B，假设A的发生与B的发生互不影响，那么称A，B互相HY；2．假设A与B互相HY，那么P(B|A)＝P〔B〕，P(AB)＝P(B|A)×P(A)＝P〔A〕×P〔B〕3．假设A与B互相HY，那么A与，与B，与也都互相HY．4．假设P(AB)＝P(A)P(B)，那么称A，B互相HY．.如下列图的5个数据，去掉后，以下说法错误的选项是〔〕A.相关系数变大B.残差平和变大C.变大D.解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】分析：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项．详解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，变大，残差平方和变小．应选B．点睛：此题考察刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属根底题.8.随机变量X～B(6,0.4)，那么当η＝－2X＋1时，D(η)＝()A.－8B.－2.88 C【答案】C【解析】试题分析：因为随机变量X～B(6,0.4)，所以，.应选C.考点：1、离散型随机变量的分布列〔二项分布〕；2、离散型随机变量函数的方差.9.9.一名篮球运发动投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为bc(a，b，c∈(0,1))2()，那么ab的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤〔当且仅当a=，b=时取等号〕∴ab的最大值为．故答案：D．考点：离散型随机变量的期望与方差．10.10.以下说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在程度的带状区域内，说明选用的模型比较适宜；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中说法正确的选项是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】①在残差图中，残差点比较均匀地落在程度的带状区域内，说明选用的模型比较适宜，正确．②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．故答案为C11.将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不一样〞，“至少出现一个6点〞，那么概率等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵P〔A|B〕=P〔AB〕÷P〔B〕，P〔AB〕=P〔B〕=1-P〔.B〕=1-∴P〔A/B〕=P〔AB〕÷P〔B〕=考点：条件概率与HY事件12.同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，那么X的均值是()A.20B.25C.30D.40【答案】B抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为，所以X～B.故E(X)＝80×＝25.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分).13.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，假设两人同时射一个目的，那么他们都中靶的概率是.【答案】【解析】试题分析：依题意可知甲中靶与乙中靶是互相HY事件，且他们中靶的概率分布为0.8，0.7。
四川高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．设命题，,则为（ ） :0p x ∀>x x =p ⌝A ．， B ．， 0x ∀>x x ≠00x ∀≤00x x =C ．， D ．，0x ∀≤x x =00x ∃>00x x ≠【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以：，. p ⌝00x ∃>00x x ≠故选：D.【点睛】本题考查命题的否定，考查特称命题和全称命题，考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.2．已知函数可导，且满足，则函数在x ＝3处的导数为()f x 0(3)(3)lim 2x f x f x∆→-∆-=∆()y f x =（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】由题意，，所以.()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3lim lim3ΔΔx x f x f f x f f xx→→----=--'=-()32f '=-故选：D.3．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） 2()1f x x =-x A ．2.1 B ．0.21 C ．1.21 D ．0.121【答案】A【解析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解】， 1.110.1x ∆=-=22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---=所以函数在区间上的平均变化率为. 2()1f x x =-[1,1.1](1.1)(1)0.21 2.10.1y f f x x ∆-===∆∆故选：A4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ） 222kx y +=x k A ． B ．C ．D ．()1,+∞()1,21,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1【答案】D【分析】将椭圆方程化为标准形式，然后利用焦点在轴上列出不等式，求出实数的取值范围. x k 【详解】由方程，可得， 222kx y +=22222x y k+=因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得. 222kx y +=x 22k>01k <<所以实数的取值范围是. k ()0,1故选：D5．函数的单调减区间是（ ） ()ln f x x x =A ． B ．C ．D ．(,)e -∞-1(,e-∞1(0,)e(0,)e 【答案】C【分析】求导得到，取解得答案.()'ln 1f x x =+()'0f x <【详解】，则，取，解得. ()ln f x x x =()'ln 1f x x =+()'ln 10f x x =+<10x e<<故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6．已知非零向量，则“”是“”的（ ）,,a b c a c b c ⋅=⋅ a b =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，,,,OA a OB b OCc BA a b ====-AB OC ⊥a b - c，所以成立，此时，a b ≠∴不是的充分条件，a b =当时，，∴,∴成立，a b =0a b -= ()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r∴是的必要条件，a b =综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.7．已知F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为，则22:143x y C +=(1,1)的最大值为（ ）||||PQ PF +A ．3B ．5C D ．13【答案】B【分析】由，结合图形即得.22PQ PF PQ a PF QF a ''+=+-≤+【详解】因为椭圆，22:143x y C +=所以，， 2,1a b c ===()1,0F -则椭圆的右焦点为，()1,0F '由椭圆的定义得：， 225PQ PF PQ a PF QF a ''+=+-≤+=当点P 在点处，取等号， P '所以的最大值为5， PQ PF +故选：B.8．已知分别是双曲线的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且12,F F 22144x y C :-=，则的面积为（ ） 210PF PF ⋅=12PF F △A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.12PF PF ⋅【详解】因为，所以，120PF PF ⋅= 222121232PF PF F F +==由双曲线的定义可得， 124PF PF -=所以，解得，()2221212122PF PF PF PF PF PF ⋅=+--128PF PF ⋅=故的面积为． 12PF F △12142PF PF ⋅=故选：B.9．抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足M 24y x =x A F M P PA PF ⊥，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为( )） F P y 2.2≈A B C D 【答案】A【详解】∵，又，所以点P 在以AF 为直径的圆上， ()()1,01,0A F -，PA PF ⊥221x y +=设点P 的横坐标为m ，联立与得. 221x y +=24y x =2410x x +-=∵，∴，∴0m >2m =-112pPF m m =+=+=-+故所求弦长为.=≈故选:A10．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） 212,0x x a ∀≤≤-≤A ． B ． C ． D ．4a ≥5a ≥4a ≤5a ≤【答案】B【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解. 12x ∀≤≤2a x ≥【详解】因为命题“，”是真命题， 12x ∀≤≤20x a -≤所以，恒成立， 12x ∀≤≤2a x ≥所以，4a ≥结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是， 5a ≥故选：B11．双曲线的右焦点为，设为双曲线上关于原点对称的两点,的22221(0,0)x y a b a b-=>>()2,0F AB 、AF中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线M BF N O MN AB曲线的离心率为（ ）A． B ．C D 42【答案】B【分析】设出点的坐标，根据已知条件求得点，再根据点的坐标满足双曲线方程，整理化简A A A 即可求得，再求离心率即可. ,,a b c 【详解】根据题意，作图如下：设点在第一象限，因为原点在以为直径的圆周上，(),A m n MN 所以又因为、分别是、的中点，所以， OM ON ⊥M N AF BF AF BF ⊥则在直角三角形中，，即， ABF 2OA OF ==224m n +=因为直线，AB nm =解得：，，即点的坐标为， m =32n =A 32⎫⎪⎪⎭代入双曲线方程得，又， 2279144a b-=224a b +=解得，则离心率为. 2221,3,4a b c ===2故选：.B 12．若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记R ()f x (0)0f =()f x ()f x '，，则（ ）|(1)|(1)f f α'=-+|(1)|(1)f f β'=+-A ．B ．C ．D ．αβ=αβ>αβ<2αβ=【分析】根据导函数的图象为直线，且，得到函数为过原点的二次函数，设(0)0f =()f x ，利用导函数图象，通过原函数的单调性得到，，再去绝对值分2()(0)f x ax bx a =+≠a<012ba->别求得，再比较大小.,αβ【详解】因为导函数的图象为直线，且， (0)0f =所以函数为过原点的二次函数， ()f x 设，2()(0)f x ax bx a =+≠所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，()f x ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭则， a<0又由，得， 12ba->2b a >-则， (1)20,(1)0f a b f a b a '=+>=+>->，(1)20,(1)0f a b f a b '-=-+>-=-<所以，， |(1)|(1)2f f a b α'=-+=+|(1)|(1)2f f a b β'=+-=-+所以， (2)(2)20a b a b a αβ-=+--+=<故选：C【点睛】本题主要考查导数与原函数的关系，还考查了数形结合的思想和转化求解的能力，属于中档题.二、填空题13．抛物线的焦点坐标是______. 22y x =【答案】10,8⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，212x y =0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭14p =所以焦点坐标为，10,8⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.10,8⎛⎫⎪⎝⎭14．在函数的图象上，点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()2f x x=()()000,0P x y x >___________.【分析】根据已知条件，结合导数的几何含义和三角形面积公式，即可求解. 【详解】解：∵， ()2f x x=∴， ()22f x x '=-∴函数在点处的切线为，化简为， ()f x ()()000,0P x y x >()020022y x x x x =--+20024y x x x =-+令，，，， 0x =04y x =0y =02x x =故点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. ()()000,0P x y x >0014242S x x ==故答案为：4.15．有限集S 中的元素个数记作，设A 、B 是有限集合，给出下列命题： ()n S （1）的充分不必要条件是； A B ⋂=∅()()()n A B n A n B =+ （2）的必要不充分条件是； A B ⊆()()n A n B ≤（3）的充要条件是 A B =()()n A n B =其中假命题是（写题号）________________. 【答案】(1)(3)【分析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可. (3)根据集合相等的定义判断即可.【详解】(1)当时,即为集合的元素个数之和,即为. A B ⋂=∅()n A B ,A B ()()n A n B +又当时,中的元素个数和等于中的元素个数,故. ()()()n A B n A n B =+ ,A B A B ⋃A B ⋂=∅故是的充要条件.故(1)错误.A B ⋂=∅()()()n A B n A n B =+ (2)当时,中的元素个数小于等于中的元素个数,故, A B ⊆A B ()()n A n B ≤但当时也可能有不属于的元素.()()n A n B ≤A B 故是的充分不必要条件,即的必要不充分条件是. A B ⊆()()n A n B ≤A B ⊆()()n A n B ≤故(2)正确.(3)当意为中的元素个数相等,并不一定有.故(3)错误. ()()n A n B =,A B A B =故答案为：(1)(3)【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题.16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点22221(0,0)x y a b a b-=>>()()12,0,,0F c F c -使得，则离心率的取值范围为_______.P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=【答案】()1【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点12PF F △122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠12PF c PF a =在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.P e e 【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义.P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=在中，由正弦定理得.12PF F △122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠因为，所以，所以. 1221sin sin a c PF F PF F ∠∠=12PF c PF a =12cPF PF a =⋅因为点在双曲线右支上，所以，P 122PF PF a -=所以，得. 222c PF PF a a -=222a PF c a =-由双曲线的性质可得，2PF c a >-所以，化简得， 22a c a c a>--2220c ac a --<所以，解得. 2210e e --<11e +<因为， 1e>所以.11e <<即双曲线离心率的取值范围为. ()1故答案为：.()1三、解答题17．已知函数.()31f x x ax =--（1）若在区间上为增函数，求a 的取值范围. ()f x (1,)+∞（2）若的单调递减区间为，求a 的值. ()f x (1,1)-【答案】（1）；（2）3.(],3-∞【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等()0f x '≥(1,)+∞23a x ≤(1,)+∞式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根0a >()f x R ()f x (据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，()23f x x a '=-()f x (1,)+∞所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， ()0f x '≥(1,)+∞230x a -≥所以在上恒成立，所以，即a 的取值范围是23a x ≤(1,)+∞3a ≤(],3-∞（2）由题意知.因为，所以.0a >()31f x x ax =--()23f x x a '=-由，得 ()0f x '<x <<所以的单调递减区间为， ()f x (又已知的单调递减区间为， ()f x (1,1)-所以， (=(1,1)-，即. 1=3a =【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递[,]a b 减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.[,]a b 18．设：，：.p ()224300x ax a a -+<>q 211180x x -+≤(1)若命题“，是真命题”，求的取值范围； ()1,2x ∀∈p a (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. p q a 【答案】(1)2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) []2,3【分析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等a 式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围. (,3)a a []2,9a 【详解】（1）因为，由可得：， 0a >22430x ax a -+<3a x a <<因为“，”为真命题， ()1,2x ∀∈22430x ax a -+<所以，()()1,2,3a a ⊆即，解得：.1,32,a a ≤⎧⎨≥⎩213a ≤≤即的取值范围是.a 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）因为，由可得：，0a >22430x ax a -+<3a x a <<，21118029x x x -+≤⇔≤≤因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，p q (,3)a a []2,9所以（等号不同时取），解得：，2,39,a a ≥⎧⎨≤⎩23a ≤≤即的取值范围是.a []2,319．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点C 22221x y a b-=0a >0b>22142-=y x .M（1）求双曲线的方程；C （2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆0x y m -+=C A B AB 2220x y +=上，求实数的值.m 【答案】（1）；（2）.2212y x-=2m =±【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双M曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方x AB 程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，22(0)42λλ-=≠y x M，所以双曲线的方程为：221422λ=-=-2212y x -=（2）由得2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩22220x mx m ---=设，则，，所以()11,A x y ()22,B x y 122x x m +=2122x x m ⋅=--124y y m +=则中点坐标为，代入圆 AB (),2m m 2220x y +=得，所以.2520=m 2m =±20．设命题：实数使曲线表示一个圆；命题：直线p m 222426120x y x y m m +---++=q的倾斜角为锐角；(1)10m x my --+=（1）若为真命题，求的取值范围；p q ∧m （2）是否存在使得为假命题，若存在求的取值范围，若不存在说明理由.m p q ⌝∨m 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. ()(),17-∞-+∞ ，m 【分析】（1）求得命题、为真时，实数的范围，再为真命题，求得的取值范围； p q m p q ∧m （2）要使为假命题，则为真命题，为假命题，可判断是否存在m .p q ⌝∨p q 【详解】（1）命题：实数使曲线表示一个圆，即p m 222426120x y x y m m +---++=表示圆，()()2222167x y m m -+-=--则需，解得或，设集合， 267>0m m -->7m 1m <-()(),17A =-∞-+∞ ，命题：直线的倾斜角为锐角，则，解得或，设集合q (1)10m x my --+=1>0m m-0m <>1m ；()(),01B =-∞+∞ ，因为为真命题，所以，所以的取值范围为p q ∧()()(),17m A B ∈=-∞-+∞ ，m ()(),17-∞-+∞ ，；（2）要使为假命题，则需都为假命题，即为真命题，为假命题，由（1）得p q ⌝∨p q ⌝，p q ，而，[]U 01B =，ð()U A B =∅ ð所以不存在使得为假命题.m p q ⌝∨21．已知函数.()1x f x e ax =--（1）当时，求曲线在处的切线方程；2a =()()1,1f （2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.()()2g x f x x =-()g x [)0,∞+a 【答案】（1）；（2）.()210e x y ---=2a e ≤-【解析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用()g x [)0,∞+21x e x a x --≤()21x x e xh x --=导数求得最小值即可求得结果.【详解】解：（1）当时，，2a =()21x f x e x =--()13f e =-∴，，()2x f x e '=-()12f e '=-∴切线方程为，()()()321y e e x --=--即()210e x y ---=（2）∵，()()0000g f =-=∴原条件等价于：在上，恒成立.()0,∞+()210x g x e x ax =---≥化为 21x e x a x--≤令， ()21x x e xh x --=则 ()()()()()2222111x x x x e x e x x e x h x x x -------'==令，则()1x m x e x =--()1x m x e '=-在上，，()0,∞+()0m x '>∴在上，()0,∞+10x e x -->故在上，；在上，()0,1()0h x '<()1,+∞()0h x '>∴的最小值为，∴()h x ()12h e =-2a e ≤-22．已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆⎛ ⎝1,⎛ ⎝1,⎛- ⎝2222:1(0)x y C a b a b +=>>C的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时A l C M N l x MN =(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得AM y P AN y Q x S 0PS QS ⋅= ，若存在，求出点，若不存在，说明理由.S 【答案】(1) 2212x y +=(2)在轴上存在定点或，使得 x 1,0)S (1,0)S -0PS QS ⋅=【分析】（1）根据对称性可得点，在椭圆上，再由得到方程组，解⎛ ⎝1,⎛- ⎝22b MN a =得、，即可得解；a b （2）设存在定点，过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为(,0)S t ()1,0l 1x my =+C ，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线()11,M x y ()22,N x y，求出点坐标，同理可得点坐标，根据求出的值，即可得:AM l y x =P Q 0PS QS ⋅= t 解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性可知，点，在椭圆上，⎛ ⎝1,⎛- ⎝对于，令得，解得，所以， 22221x y a b +=xc =22221c y a b +=2b y a =±22b MN a=则， 222111221a a b b b a⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩∴椭圆的方程为. C 2212x y +=（2）解：设存在定点，设过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分(,0)S t ()1,0l 1x my =+C 别为，，()11,M x y ()22,N x y 联立， ()22221221012x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则由韦达定理有：，， 12222m y ym +=-+12212y y m -⋅=+由的标准方程得， C)A设直线，当时，， :AM l yx =0x =P ⎛ ⎝同理，设直线，当时，， :AN l y x =0x=Q ⎛ ⎝∴，，PS t ⎛= ⎝QS t⎛= ⎝ ∴22PS PQ t t ⋅== 2t=+，解得，22(30t t =+=-+=(1t =±故在轴上存在定点或，使得. x 1,0)S (1,0)S 0PS QS ⋅=。
高二数学(理)第二学期期中测验试卷
高二数学(理)第二学期期中测验试卷第Ⅰ卷(选择题；共40分)一、选择题：本大题共有8小题；每小题5分；共40分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的。
(注：答案请填涂在答题卷里) 1、复数i 43+的共轭复数是（ ）。
（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 34+ （D ）i 34- 2、复数2i i +在复平面内表示的点在（ ）。
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、“因指数函数x a y =是增函数（大前提）；而xy )31(=是指数函数（小前提）；所以xy )31(=是增函数（结论）”；上面推理的错误是（ ）。
（A ）大前提错导致结论错 （B ）小前提错导致结论错 （C ）推理形式错导致结论错 （D ）大前提和小前提错都导致结论错 4、若)(12131211)(*∈+++++=N n n n f ；则1=n 时；)(n f 是（ ）。
（A ）1 （B ）31 （C ）31211++ （D ）非以上答案5、函数14)(2+-=x x x f 在[]5,1上的最大值和最小值分别是（ ）。
（A ）)5(f ；)2(f （B ）)3(f ；)5(f （C ）)1(f ；)3(f （D ）)1(f ；)5(f 6、()1021x +的展开式中系数最大的项是（ ）。
（A ）第5项 （B ）第6项 （C ）第7项 （D ）第8项7、不同的五种商品在货架上排成一排；其中a ；b 两种必须排一起；而c ；d 两种不能排在一起；则不同的排法共有（ ）。
（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种 8、设443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=-；则3210a a a a +++的值为（ ）。
（A ）1 （B ）16 （C ）15 （D ）-15第Ⅱ卷（非选择题；共110分）二、填空题：本大题共需要做6小题（第13、14、15三小题；学生只需要选做其中两小题；三小题都做的只计算第13、14小题的得分）；每小题5分；共30分。
高二第二学期期中考试理科数学试卷含答案
高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<，若()R C A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)4-+∞ B ．1(,]4-∞- C ．1[,)4-+∞ D ．1(,)4-∞- 2.设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知a ，b 都是实数，则“4a b +≥”是“224a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4.设1sin cos 2x x +=-（其中(0,)x π∈），则cos 2x 的值为（ ）A B ．5.已知l 、m 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ，l α，则m α B ．若αβ⊥，l α，则l β⊥ C.若l β⊥，αβ⊥，则l α D ．若l m ⊥，l α⊥，且m β⊥，则αβ⊥6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．36128π+B ．128π C.36 D ．3664π+7.某程序框图如图所示，若输入的100N =，该程序运行后输出的结果为（ ）A ．50B ．1012 C.51 D ．10328.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） A ．8 B ．16 C.24 D ．609.定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，(2)3f -=-，数列{}n a ，满足11a =-，且2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a +=（ ） A ．-2 B ．3 C.-3 D ．210.如图为函数()f x =01x <<）的图象，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l 与y 轴和直线1y =分别交于点P 、Q ，点(0,1)N ，若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为（ ）A ．110,427⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．110(,]227 C.110(,]227 D ．18(,)427 11.设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，l 为12PF F ∆的内心，若11122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12 B．2C.2 D ．14 12.在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ） A．,1)5 B．5C.(5 D．[5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ，则A = ．14.设a ，b 为两非零向量，且满足||||2a b +=，222a b a b ⋅=⋅，则两向量a ，b 的夹角的最小值为 ．15.已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +的最大值为 ． 16.设点(,)M x y 的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点(,)m n 在点(,)M x y 所在的平面区域内，若点(,)N m n m n +-所在的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ．三、解答题 ：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c，且a =3b =，sin 2sin C A =. （I ）求c 的值； （II ）求sin(2)3A π-的值.18. 设函数()kx f x x e =⋅（0k ≠）（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （I ）求n a 及n S ； （II ）令211n n b a =-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图（1）在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠=︒，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(如图（2）)（I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 是否存在一点P ，但AP DE ⊥？证明你的结论.21. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2，Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知过点5(,0)6-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.22. 已知函数2()ln()f x x ax =（0a >）（1）若2'()f x x ≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，设函数()()f x g x x =，若1x ，21(,1)x e∈，121x x +<，求证41212()x x x x <+.试卷答案一、选择题1-5:CDAAD 6-10:AACBD 11、12：AA 二、填空题 13.6 14.3π15.8 16.1 三、解答题17.解：（I ）∵a =sin 2sin C A =，∴根据正弦定理sin sin c a C A =得：sin 2sin Cc a a A===（II ）∵a =3b =，c =∴由余弦定理得：222cos 2c b a A bc +-==， 又A 为三角形的内角，∴sin 5A ==， ∴4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos 2cos sin 5A A A =-=，则4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=. 18.解：（1）'()(1)kx kx kxf x e kxe kx e =+=+（x R ∈）,且'(0)1f =，∴切线斜率为1， 又(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=.（2）'()(1)kxf x kx e =+（x k ∈），令'()0f x =，得1x k=-， ○1若0k >，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1(,)x k ∈-+∞时，'()0f x >， ()f x 单调递增.○2若0k <，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,)x k∈-+∞时，'()0f x <， ()f x 单调递减.综上所述，0k >时，()f x 的单调递减区间为1(,)k -∞-，单调递增区间为1(,)k-+∞； 0k <时，()f x 的单调递增区间为1(,)k -∞-，单调递减区间为1(,)k-+∞19.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所有有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，所有32(1)21n a n n =+-=+；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （II ）由（I ）知21n a n =+，所以221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++， 所以数列{}n b 的前n 项和11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.20.解：（I ）如图1在ABC ∆中，由E ，F 分别是AC ，AB 中点，得EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面EDF ，∴AB 平面DEF .（II ）∵AD CD ⊥，BD CD ⊥,∴ADB ∠是二面角A CD B --的平面角，∴AD BD ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ， 取CD 的点M ，使EMAD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF⊥于点N ，连接EN ，则EN DF ⊥， ∴MNE ∠是二面角E DF C --的平面角.设CD a =，则2AC BC a ==，AD DB ==， 在DFC ∆中，设底边DF 上的高为h 由Rt EMN ∆中，122EM AD ==，124MN h ==，∴tan 2MNE ∠= 从而cos 5MNE ∠=（III ）在线段BC 上不存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下：在图2中，作AG DE ⊥，交DE 于G 交CD 于Q 由已知得120AED ∠=︒，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线上，过Q 作PQ CD ⊥交BC 于P ， ∴PA ⊥平面ACD ，∴PQ DE ⊥，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP DE ⊥. 但P 在BC 的延长线上.图1图221.解：（I ）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），且222a b c =+.由题意，椭圆C 过点(0,1)1b =，c a =. 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）得(2,0)Q -.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（i ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即64(,)55A -，64(,)55B --（不妨设点A 在x 轴上方）. 则直线AQ 的斜率1，直线BQ 的斜率1-.因为直线AQ 的斜率与直线BQ 的斜率的乘积为1-，所以AQ BQ ⊥，所以2AQB π∠=.（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()5y k x =+（0k ≠）由226()514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.212221222402510014410025100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为11(2,)QA x y =+，22(2,)QB x y =+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以22212121212636(2)(2)(1)(2)()4525QA QB x x y y k x x k x x k ⋅=+++=++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+⨯++-++=++ ∴QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则||||QA QB =. 取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ⊥. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标2224520M k x k =-+，所以点M 的纵坐标26520M ky k=-+. 所以22222222101666660132(,)(,)0520520520520(520)k k k k QM QN k k k k k ++⋅=⋅=≠+++++所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.22.解：（1）'()2ln()f x x ax x =+ 2'()2ln()f x x ax x x =+≤，及2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立 设()2ln()1u x ax x =+-，2'()10u x x=-=，2x =，2x >时，单调减，2x <单调增，所以2x =时，()u x 有最大值(2)u(2)0u ≤，2ln 212a +≤，所以02a <≤（2）当1a =时，()()ln f x g x x x x ==，'()1ln 0g x x =+=，1x e=， 所以在1(,)e +∞上()g x 是增函数，1(0,)e 上是减函数因为11211x x x e<<+<，所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=即121121ln ln()x x x x x x +<+ 同理122122ln ln()x x x x x x +<+ 所以1212121212122121ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x xx x x x x x x x x x +++<++=+++ 又因为122124x x x x ++≥，当且仅当“12x x =”时，取等号11 又1x ，21(,1)x e ∈，121x x +<，12ln()0x x +< 所以12121221(2)ln()4ln()x x x x x x x x +++≤+ 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+ 所以：41212()x x x x <+。
陕西省高二下学期期中数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．为虚数单位，则（ ）i 20231i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ． B ．C ．D ．i i -1-1【答案】B【分析】根据复数除法运算法则和的幂运算的周期性直接求解即可.i 【详解】.()()()202322023202320234505331i 1i 2i i i i i 1i 1i 1i 2⨯+⎡⎤++⎛⎫⎛⎫======-⎢⎥⎪⎪--+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：B.2．用反证法证明命题：“若正整数满足，则中至少有一个是偶数”时，下列假设,,a b c 24b ac =,,a b c 正确的是（ ） A ．假设都是偶数 B ．假设都不是偶数 ,,a b c ,,a b c C ．假设至多有一个偶数 D ．假设至多有两个偶数,,a b c ,,a b c 【答案】B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果. 【详解】“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设都不是偶数.∴,,a b c 故选：B.3．观察下列的图形中小正方形的个数，则第个图中有___个小正方形，第个图中有___个小正方7n 形（ ）A ．，B ．，28()()122n n ++36()()122n n ++C ．，D ．，2822n n+3622n n+【答案】B【分析】根据图形中小正方形个数变化规律，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】设小正方形的个数构成的数列为，{}n a 由图形可知：，，，，以此类推，112a =+2123a =++31234a =+++⋅⋅⋅，， ()()()1212312n n n a n n ++=+++⋅⋅⋅+++=789362a⨯∴==即第个图中有个小正方形，第个图中有个小正方形.736n ()()122n n ++故选：B.4．设函数可导，则等于（ ）()f x 0lim x ∆→(13)(1)3f x f x+∆-∆A ． B ． (1)f '3(1)f 'C ．D ．1(1)3f '(3)f '【答案】A【分析】根据导数的定义，即可求出结果. 【详解】．(13)(1)=(1)l 3im x f x f f x∆→+∆-'∆故选:A. 5．曲线在点处的切线方程是（ ） 2xy x =+()1,1--A ． B ． C ． D ．21y x =+21y x =-23y x =--22y x =--【答案】A 【分析】对求导，利用导数的几何意义求在点处的切线的斜率，进而求出切线方2xy x =+()1,1--程.【详解】，， 2xy x =+ ()222y x '∴=+当时，，=1x -12x k y =-'==在点处的切线方程为：，∴()1,1--()121y x +=+即：. 21y x =+故选：A.6．函数的单调减区间是（ ）()22ln f x x x =-A ．B ． (]0,1[)1,+∞C ．D ．(](],10,1-∞-⋃[)(]1,00,1-⋃【答案】A【分析】依题意，可求得，由即可求得函数的单调减区间．()f x '()0f x '<2()2f x x lnx =-【详解】解：，2()2(0)f x x lnx x =-> ， 22(1)(1)()2x x f x x x x+-∴'=-=令由图得：，()0f x '<01x <<函数的单调减区间是，∴2()2f x x lnx =-(0,1)故选：．A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于基础题． 7．由曲线，直线，所围成封闭的平面图形的面积为（ ） 1xy =y x =3x =A ．B ．C ．D ．1ln 3+2ln 3-4ln 3-4ln 3+【答案】C【分析】分别由和求得交点，画出图形，用定积分求解. 1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩13y x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩【详解】由解得 或，1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩11x y =⎧⎨=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩由解得， 13y x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩133y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩如图所示：所以由曲线，直线，所围成的封闭平面图形的面积为1y x=y x =3x =.332111191ln ln 34ln 3222|S x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰故选：C.8．函数的图像大致是（ ）()()22e xf x x x =-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况()f x ()f x 即可判断作答．【详解】由得，或，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C()0f x =0x =2x =由求导得，()()22e x f x x x =-()()22e xx x f '=-当或， x <x ()0f x ¢>当时，， x <<()0f x '<于是得在和上都单调递增，在上单调递减，()f x (,-∞)+∞(所以在D 不满足，B 满足． ()f xx =x 故选：B9．设直线方程，从中每次取两个不同的数作为的值，则所得不同直线0Ax By +=0,1,2,3,4,5,A B 的条数为（ ） A ． B ． C ． D ．22201918【答案】B【分析】利用任取个不同的数字作为的所有情况，减掉重复直线的条数即可得到结果.2,A B 【详解】从个数字中任取个不同的数字作为，共有种情况；62,A B 26A 30=当时，对应的直线相同，则有条重复直线； 0A ={}1,2,3,4,5B ∈4当时，对应的直线相同，则有条重复直线； 0B ={}1,2,3,4,5A ∈4当或时，对应的直线相同，则有条重复直线； 1224A B ==2412A B ==2不同直线的条数为.∴3044220---=故选：B.10．现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲A B C 乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（ ） A A ．12 B ．14 C ．18 D ．22【答案】D【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可. 【详解】若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3A 12C 人分为两组，再进行排列，有安排种数，故有种；2232C A 12223212C C A =若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，丙丁中一人到市工作，有种选择，其余2人A 12C A 12C 到另外两个地方工作，有种选择，故安排种数有种；22A 112222C C A 8=若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种，A 22A 2=故总共有12+8+2=22种. 故选：D11．函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）()f x ()()20x f x '->A ．B ．C ．D ．()2,∞+(),1-∞-()(),11,2-∞- ()()1,12,-+∞ 【答案】D【分析】原不等式等价于或,然后根据图象分段考察导数的正负区间，即可求()20x f x '<⎧⎨<⎩()20x f x '>⎧⎨>⎩得答案.【详解】不等式等价于或, ()()20x f x '->()20x f x '<⎧⎨<⎩()2x f x '>⎧⎨>⎩由函数的图象可知，在时，函数的单调递减区间为的解集为, 2x <()f x []()1,1,0f x '-<()1,1-在时，的对应区间为,2x >()0f x ¢>[)2,∞+∴的解集为，的解集为()20x f x '<⎧⎨<⎩()1,1-()20x f x '>⎧⎨>⎩()2,∞+不等式的解集为， ()()20x f x '->()()1,12,-+∞ 故选：D.【点睛】本题考查根据函数的图象求与导数有关的不等式的解集问题，涉及导数的正负与函数的单调性的关系，关键是将所求不等式转化为不等式组，结合图象观察导数为正值和负值的区间，体现了数形结合思想.12．已知函数的导函数为，对任意，都有成立，则（ ） ()f x ()f x 'x ∈R ()()f x f x '<A ． B ． ()()e 12f f <()()e 12f f ≤C ． D ．()()e 12f f >()()e 12f f ≥【答案】C【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性即可得解. ()()e xf xg x =【详解】令，则， ()()e x f x g x =()()()0xf x f xg x e'-'=<所以为上的单调递减函数， ()()e xf xg x =R 所以，即，化简可得， (1)(2)g g >2(1)(2)e ef f >()()e 12f f >故选：C二、填空题13．的值等于____________．⎰【答案】94π【分析】根据定积分的几何意义进行求解即可.【详解】表示由曲线，轴围成的封闭图形的面积，⎰y =0x =x即半圆在第一象限内的面积，，33)y x =-≤≤229(33)x y x +=-≤≤所以该半圆的半径为，所以有，即，321193224ππ⋅⋅⋅=094π=⎰故答案为：94π14．如果复数z 满足，那么的最大值是______.11z -=2i z -/11+【分析】根据复数模的几何意义求解．【详解】记复平面上数对应点，复数对应点为，复数对应点为，则在以为圆心，11A 2i B z P P A，点在圆外，=B当点是直线与圆的交点（在之间）时（如图），取得最大值． P AB A ,B P 2i z -BP =1+．1+15．若在上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.21()ln(2)2f x x a x =-++[)1,-+∞【答案】(],1-∞-【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可. 【详解】，2'1()ln(2)()22a f x x a x f x x x =-++⇒=-++因为在上是减函数，21()ln(2)2f x x a x =-++[)1,-+∞所以在上恒成立， '()02af x x x =-+≤+[)1,-+∞即， 2(2)0(2)(1)1x x a a x x x -++≤⇒≤+=+-当时，的最小值为，所以， [)1,-+∞2(1)1x +-1-1a ≤-故答案为：(],1-∞-16．设是边长为的正内的一点，点到三边的距离分别为，则P a ABC ∆P 123h h h 、、；类比到空间，设是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个123h h h ++=P a ABCD P 面的距离之和=___________． 1234h h h h +++.【分析】由平面几何类比到空间几何体，注意式子结构上的变化．【详解】根据等边三角形面积公式 ，因为 2S =点到三边的距离分别为，所以P 123h h h 、、()212312a h h h ⨯⨯++=即 123h h h ++正四面体的体积为 3V =点到四个面的距离为，所以 P 1234h h h h 、、、()23123413h h h h ⨯+++=所以 1234h h h h +++=【点睛】本题考查了类比推理的简单应用，从平面几何到空间几何体，属于基础题．三、解答题17．求下列函数的导数. (1)；()()ln sin f x x x x =+(2).()()521exx f x +=【答案】(1)()ln sin cos 1f x x x x x '=+++(2) ()()()42192e xx x f x +-'=【分析】根据导数四则运算法则和复合函数求导法则直接求解即可.【详解】（1）()()()1ln sin ln sin ln sin cos f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+++=+++ ⎪⎝⎭.ln sin cos 1x x x x =+++（2）()()()()()()454525e 212121e 102121e e x x x xx x x x x f x '++-++-+'==.()()()()442110212192e e xxx x x x +--+-==18．现有9名学生，其中女生4名，男生5名.（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 【答案】（1）26；（2）60；（3）2184 【分析】（1）采用间接法； （2）采用直接法；（3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不同岗位即可.【详解】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种，2510C =所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种.229526C C -=（2）从中选出男、女各2名的不同选法有种.225460C C =（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种，449791C C -=将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法，4424A =故共有种安排方法.()4449742184C C A -=【点睛】本题考查排列与组合的综合问题，考查学生的逻辑思想能力，是一道基础题. 19．已知数列的前项和.{}n a n 2n n S n a =-（1）计算，，，，并猜想的通项公式； 1a 2a 3a 4a {}n a （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1），，，，猜想；（2）证明见解析.11a =232a =374a =4158a =()*1212n n n a n N --=∈【分析】（1）利用递推公式依次求出结果并根据所求结果猜想即可；（2）根据数学归纳法，先证时，然后②假设(且)时，猜想成立，证得1n =n k =1k ≥*k N ∈时，成立即可.1n k =+【详解】解：（1）当时，，∴； 1n =1112a s a ==-11a =当时，，∴； 2n =122222a a s a +==⨯-232a =当时，，∴； 3n =1233323a a a s a ++==⨯-374a =当时，，∴. 4n =12344424a a a a s a +++==⨯-4158a =由此猜想.()*1212n n n a n N --=∈（2）证明：①当时，，猜想成立.1n =11a =②假设(且)时，猜想成立，即，n k =1k ≥*k N ∈1212k k k a --=那么时，， 1n k =+()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-∴. 1112122212222k k k k k ka a +-+-++-===∴当时，猜想成立.1n k =+由①②知猜想成立.()*1212n n n a n N --=∈20．设函数.()32962f x x x x a =-+-(1)对于任意实数x ，恒成立，求m 的最大值； ()f x m '≥(2)若方程有且仅有一个实根，求a 的取值范围. ()0f x =【答案】(1)34-(2)()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，()f x ()f x '()f x m '≥min ()m f x '≤利用二次函数性质，求的最小值即可；()f x '（2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于()f x 0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．【详解】（1）解：已知函数，，则， ()32962f x x x x a =-+-x ∈R 2()396f x x x -'=+因为对于任意实数x ，恒成立，则， ()f x m '≥min ()m f x '≤对称轴，所以， 93232x -=-=⨯2min 3333()()3(962224f x f ''==⨯-⨯+=-可得，即的最大值为.34m ≤-m 34-（2）（2）令，即，解得或，()0f x '=()()23963120x x x x -+=--=1x =2x =当时，；当时，；当时，. 1x <()0f x '>12x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， ()f x (][),1,2,-∞+∞[]1,2当时，取极大值；当时，取极小值， 1x =()f x 5(1)2f a =-2x =()f x (2)2f a =-故当或时，方程仅有一个实根，(2)0f >(1)0f <()0f x =解得或，所以a 的取值范围为. 2a <52a >()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭21．某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”.该县某水果树的单株产量（单ϕ位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：，且单株施用()230,03443,362x x x x x ϕ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克.在国务院关于新时代支持革10x 命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通.记该水果树的单株利润为（单位：元）.()f x (1)求函数的解析式；()f x (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) 21010300,03()4043010,362x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩(2)4千克，370元【分析】(1)根据利润等于总收入减去成本，即可写出函数关系式；(2)分段求出函数的最大值，比较大小，即可确定最大利润.【详解】（1）当时，，03x ≤≤()22()1030101010300f x x x x x =⨯+-=-+当时，， 36x <≤1440()100243243010f x x x x x ⎭--⎛⎫=⨯-=-- ⎪-⎝所以. 21010300,03()4043010,362x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩（2）当时，，03x ≤≤()21010300f x x x =-+在单调递减，在单调递增， ()f x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦则当时，取到最大值为360.3x =()f x 当时，. 36x <≤()4044301041010222f x x x x x ⎛⎫=--=-+- ⎪--⎝⎭因为，所以， 20x ->()410370f x ≤-=当且仅当，即时，取到最大值为370， 422x x =--4x =()f x 因为，370360>所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是370元.22．已知函数.()()e ln x f x x m =-+(1)若是的极值点，求的值及的单调区间；0x =()f x m ()f x (2)当时，证明：.2m ≤()0f x >【答案】(1)；单调递减区间为；单调递增区间为1m =()1,0-()0,∞+(2)证明见解析【分析】（1）求导后，由可得，代回验证可得到单调性，知满足题意，()00f '=1m =()f x 1m =并可确定单调区间；（2）由可构造函数，求导后，结合零点存在定理可说明()()ln ln 2x m x +≤+()()e ln 2x g x x =-+单调性，并求得，结合的范围可得到，结合可得结论.()g x ()()0g x g x ≥0x ()0g x >()()f x g x ≥【详解】（1），是的极值点，，解得：； ()1e x f x x m'=-+ 0x =()f x ()1010f m '∴=-=1m =当时，定义域为，， 1m =()f x ()1,-+∞()1e 1x f x x ='-+在上单调递增，在上单调递减， e x y = ()1,-+∞11y x =+()1,-+∞在上单调递增，又，()f x '∴()1,-+∞()00f '=当时，；当时，；∴()1,0x ∈-()0f x '<()0,x ∈+∞()0f x ¢>在上单调递减，在上单调递增；()f x \()1,0-()0,∞+是的极小值点，满足题意；0x ∴=()f x 的单调递减区间为；单调递增区间为.()f x \()1,0-()0,∞+（2）当，时，，2m ≤(),x m ∈-+∞()()ln ln 2x m x +≤+；()()()e ln e ln 2x x f x x m x ∴=-+≥-+令，则定义域为，； ()()e ln 2x g x x =-+()g x ()2,-+∞()1e 2x g x x '=-+在上单调递增，在上单调递减， e x y = ()2,-+∞12y x =+()2,-+∞在上单调递增； ()'∴g x ()2,-+∞，， ()1110eg '-=-< ()1101022g '=-=>，使得，即，， ()01,0x ∴∃∈-()00g x '=001e 2x x =+()0001ln ln 22x x x ==-++且当时，；当时，；()02,x x ∈-()0g x '<()0,x x ∈+∞()0g x '>在上单调递减，在上单调递增，()g x ∴()02,x -()0,x +∞， ()()()000001e ln 2222x g x g x x x x ∴≥=-+=++-+，，，则， ()01,0x ∈- ()021,2x ∴+∈001522,22x x ⎛⎫∴++∈ ⎪+⎝⎭()010,2g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()()00g x g x ∴≥>()()0f x g x ∴≥>即当时，.2m ≤()0f x >23．已知函数． 1()ln f x x a x x=-+（1）讨论的单调性；()f x （2）若存在两个极值点，证明：． ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应a 区间上的符号，即可求得函数的单调区间；（2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到()f x 2a >()=0f x '两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证12,x x 210x ax -+=得结果. 【详解】（1）的定义域为，. ()f x ()0,+∞()222111a x ax f x x x x -+=--+-'=（i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.2a ≤()0f x '≤=2a =1x ()=0f x '()f x ()0,+∞（ii）若，令得，或2a >()=0f x 'xx 当时，； x ⎛⎫∈⋃+∞⎪⎪⎝⎭()0f x '<当时，.所以在单调递x()0f x '>()f x ,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭减，在单调递增. （2）［方法一］：【通性通法】消元由（1）知，存在两个极值点当且仅当.()f x 2a >由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ()f x 12,x x 210x ax -+=121x x =12x x <21>x ， ()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----所以等价于. ()()12122f x f x a x x -<--22212ln 0x x x -+<设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当()12ln g x x x x =-+()g x ()0,+∞()10g =()1,x ∈+∞时，，所以，即. ()0g x <22212ln 0x x x -+<()()12122f x f x a x x -<--［方法二］：【通性通法】消元由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时2a >12,x x 210x ax -+=12x x <121x x ⋅=()()11221212121212121211ln ln ln ln 11x a x x a x f x f x x x x x a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==-----． 11111111ln ln2ln 22211x x x aa a x x x x -=-=⋅-<---欲证不等式成立，只需证．1112ln 11x x x <-因为，所以，只需证． 120x x <<101x <<11112ln 0x x x -+>令， 2222211221(1)()2ln ,()10x x x g x x x g x x x x x x -+-=-+=--+=-=-<'所以，在区间内单调递减，且，所以，即证． ()g x (0,1)(1)0g =11112ln 0x x x -+>［方法三］：硬算因为， 2211()10a x ax f x x x x -+-+'=--==所以有两个相异的正根（不妨设）．210x ax -+=12,x x 12x x >则且即． 1212+==1x x a x x ⎧⎨⎩2>0Δ=4>0a a -⎧⎨⎩2a >所以． ()()1112122121212122lnln 1121ln x x a f x f x x x x a x x x x x x x x x -=--+<-⇔<⇔<----，，所以=12x x -=． 1122ln 0x x xx <-⇔<设()g a=()20g a ==<'．所以在上递减，，问题得证．()g a 2a >()(2)0g a g <=［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用由（1）知，存在两个极值点当且仅当．()f x 2a >由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于()f x 12,x x 210x ax -+=121x x =12x x <21>x ． ()()12121212ln ln 2f x f x x x a x x x x--=-+--由对数平均不等式可得，即． 12121ln ln x x x x -=<-1212ln ln 1x x x x -<-故． ()()12121212ln ln 22f x f x x x a a x x x x --=-+<---【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法；方法二：同方法一，只是消元字母不一样；方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．。
2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．根据偶函数定义可推得“函数2()f x x =在R 上是偶函数”的推理过程是A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非以上答案【答案】C【详解】分析：解决本题的关键是了解演绎推理的含义，演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论．解答：解：根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是：大前提：对于函数y=f （x ），若对定义域内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ），则函数f （x ）是偶函数；小前提：函数f （x ）=x 2满足对定义域R 内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ）；结论：函数f （x ）=x 2是偶函数．它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理，故根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是演绎推理．故选C ．2．若211()f x x x =-，则()f x '=（）A ．2312x x--B ．23112x x+C ．23112x x-D ．2312x x -+【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由函数12211()f x x x x x--=-=-，根据导数的运算法则，可得232312()(2)f x x x x x --'=---⋅=-+.故选：D.3．已知复数1z i =-，则21z z =-A ．2B ．-2C ．2iD ．2i-【答案】A【详解】解：因为1z i =-，所以22(1)21z i z i-==--，故选A4．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x =-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=【答案】D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5．下列等式成立的是（）A ．1110d 2d x x x x-=⎰⎰B ．1d 2ba x x =⎰C ．0d ba xb a=-⎰D ．(1)d d b b aax x x x+=⎰⎰【答案】A【分析】根据微积分基本定理一一计算可得.【详解】对于A ：()10011111d d d d d x x x x x x x x x x---=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰21200111||122x x -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121000112d 2d 2|2122x x x x x ⎡⎤⎛⎫===⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰，所以111d 2d x x x x -=⎰⎰，故A 正确；对于B ：222111d |222b b a a x x x b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰，故B 错误；对于C ：0d 0bax =⎰，故C 错误；对于D ：(1)d d d 1b b b aaax x x x x +=+⎰⎰⎰，其中d |1bb a ax x b a ==-⎰，所以(1)d d b baax x x x +≠⎰⎰，故D 错误；故选：A6．给出下面四个类比结论①实数a ，b ，若0ab =，则0a =或0b =；类比向量a ，b ，若0a b ⋅= ，则0a = 或0b = ②实数a ，b ，有222()2a b a ab b +=++；类比向量a ，b ，有222()2a b a a b b +=+⋅+③向量a ，有22a a =；类比复数z ，有22z z =④实数a ，b 有220a b +=，则0a b ==；类比复数1z ，2z 有22120z z +=，120z z ==，其中类比结论正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【详解】①错误，因为若向量,a b互相垂直，则0a b ⋅= ；③错误，因为z 是复数的模是一个实数，而z 是个复数，比如若1i z =+，则()222211z =+2=，()22221i 1i 2i z =+=++2i =;④错误，若假设复数11z =，2i z =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠．②正确222()2cos ,a b a a b a b b +=+〈〉+222a a b b =+⋅+．故选B ．7．用数学归纳法证明1111112234n n n +++>++ 时，由k 到k+1，不等式左边的变化是（）A ．增加()121k +项B ．增加121k +和122k +两项C ．增加121k +和122k +两项同时减少11k +项D ．以上结论都不对【答案】C【详解】n k =时，左边11112k k k k=++⋯++++，1n k =+时，左边()()()()111111211k k k k =++⋯++++++++，由“n k =”变成“1n k =+”时，两式相减可得11121221k k k +-+++，故选C.点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．8．定义运算：,,x x yx y y x y ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如344,⊗=则下列等式不能成立的是（）.A ．x y y x ⊗=⊗B ．()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗C ．222()x y x y ⊗=⊗D ．()()()c x y c x c y ⋅⊗=⋅⊗⋅（其中0c >）【答案】C【分析】根据定义逐项分析即得.【详解】因为,,x x yx y y x y≥⎧⊗=⎨<⎩，它表示的是x y ⊗的结果为x 和y 中的较大数，对A ，x y ⊗和y x ⊗都是x 和y 中的较大数，故x y y x ⊗=⊗，正确；对B ，()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗是x ，y ，z 中的较大数，正确；对C ，2()x y ⊗表示x 和y 中的较大数的平方，而22x y ⊗表示2x 和2y 中的较大数，例如4,1x y =-=时，2()1x y ⊗=，2216x y ⊗=等式就不成立，故错误；对D ，()c x y ⋅⊗和()()c x c y ⋅⊗⋅都表示c 与x 和y 中的较大数的乘积，故正确.故选：C.9．曲线2e 1x y -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A 【详解】202|2xx y ey -==-⇒'=-'，所以在点()0,2处的切线方程为22y x =-+，它与y x =的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，与0y =的交点为()1,0，所以三角形面积为1211233⨯⨯=故选：A 10．设1010101111112212221A =++++++- ，则下列结论正确的是（）A ．1A >B ．1A <C ．1A ≥D ．1A ≤【答案】B【分析】利用放缩法可得出结论.【详解】1010101010111010101010211111111121221222122222A =++++<++++=⨯=++-个，故选：B.11．设函数()x f x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．=1x -为()f x 的极大值点D ．=1x -为()f x 的极小值点【答案】D【详解】试题分析：因为()x f x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x xf x e xe e x f x 令得''．又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x 由得由得：所以在，，在，∞'∞'，所以=1x -为()f x 的极小值点．【解析】利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．12．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】B 【分析】令()()xf xg x =e ，利用导数说明函数的单调性，则不等式()2xf x e>，即()()0g x g >，根据单调性解得即可.【详解】令()()xf xg x =e ，则()()()()()2e e 0eex xxxf x f x f x f xg x ''--'==>，()g x ∴在R 上单调递增，()02f = ，()()002e f g ∴==则不等式()2xf x e>，即为()2g x >，即为()()0g x g >，0x ∴>，所以不等式()2x f x e>的解集为()0,∞+.故选：B二、填空题13．20122x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰____________.【答案】5【分析】找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理可求出所求定积分的值.【详解】解：22200112522x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，故答案为：514．已知函数()ln f x a x x =+在区间[]2,3上单调递增，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)-+∞【分析】直接求导，分离参数得max ()2a x ≥-=-.【详解】()ln f x a x x =+ ，()1af x x'=+又∵()f x 在[]2,3上单调递增，∴10ax+≥在[]2,3x ∈上恒成立，∴max ()2a x ≥-=-，∴[2,)a ∈-+∞．故答案为：[2,)-+∞.15．在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式．如从指数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x +=⋅的性质；从对数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x ⋅=+的性质．那么从函数______（写出一个具体函数即可）可抽象出()()()1212f x x f x f x +=+的性质．【答案】()2f x x =（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，不妨令()2f x x =，即可判断.【详解】令()2f x x =，则()()12122f x x x x +=+，()112f x x =，()222f x x =，所以()()()1212f x x f x f x +=+，符合题意.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）16．若点P 是曲线2y x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =+的最小距离是______．【答案】728【分析】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，根据导数的几何意义求得切点为11(,)24P --，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，因为函数2y x =-，可得2y x '=-，所以曲线在点00(,)P x y 处的导数为00|2x x y x ='=-，即切线的斜率为02k x =-令021x -=，解得012x =-，则014y =-，即切点为11(,)24P --，又由点到直线的距离公式，可得切线P 到直线的距离为22112722481(1)d -++==+-，即P 到直线2y x =+的最小距离为728.故答案为：728.三、解答题17．已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？【答案】（1）当m ＝3或m ＝6时，z 为实数；当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）3＜m ＜5【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z 为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z 为纯虚数；（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m 的取值范围即可．【详解】复数22(815)(918)z m m m m i=-++-+（1）当m 2﹣9m +18＝0，解得m ＝3或m ＝6，故当m ＝3或m ＝6时，z 为实数．当2281509180m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得m ＝5，故当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即3536m m <<⎧⎨<<⎩，即3＜m ＜5时，对应点在第三象限．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，属于基础题．18．已知两曲线3()f x x ax =+和2()g x x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线，试求a 、b 、c 的值．【答案】1a =，2b =，1c =-【分析】根据点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，求出a ，再求出两函数的导函数，根据函数在点P 处有公切线求出b ，再根据点()1,2P 在曲线()g x 上求出c .【详解】∵点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，∴21a =+，∴1a =，函数()3f x x ax =+和()2g x x bx c =++的导数分别为()23f x x a '=+和()2g x x b '=+，且在点P 处有公切线，∴23121a b ⨯+=⨯+，解得2b =，又由点()1,2P 在曲线()2g x x bx c =++上可得22121c =+⨯+，解得1c =-．综上，1a =，2b =，1c =-．19．已知()133x f x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()133x f x =+，即可求得()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为33，根据结论的形式将()133x f x =+代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由()133x f x =+，得()()011130133333f f +=+=++,()()121131233333f f --+=+=++,()()231132333333f f --+=+=++.归纳猜想一般性结论为()()313f x f x -++=证明如下：()()11113333x x f x f x -+-++=+=++()111313·313·313313·3333333313·3x x x xx xx x+++++=+==+++++【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20．已知0a >，用分析法证明：221122a a a a+-≥+-【答案】证明见解析【分析】根据分析法证明的步骤，逐步分析，即可求解.【详解】要证明221122a a a a+-≥+-，只需证221122a a a a ++≥++，只需证222211(2)(2)a a a a++≥++，只需证2222221111442222a a a a a a a a ⎛⎫++++≥+++++ ⎪⎝⎭，即221122a a a a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，只需证222211422a a a a ⎛⎫⎛⎫+≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212a a +≥，显然成立，故原不等式成立.21．设函数()()2ln 23f x x x=++(1)讨论()f x 的单调性；(2)求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．【答案】(1)函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；(2)()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式()0f x ¢>求出函数的单调递增区间，解不等式()0f x '<求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【详解】（1）函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，又()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭.令()0f x ¢>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x '<，解得112x -<<-.所以函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而3193171311ln ln ln ln044162162272e f f ⎛⎫⎛⎫--=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.22．设函数()()32e 1x x ax f x =-+.(1)当13a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-(2)[)1,-+∞【分析】（1）当13a =-时，求得()()()2e 1xf x x x '=+-，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分0x =、0x >两种情况讨论，在0x =时，直接验证即可；在0x >时，由()0f x ≥可得出()e 10x g x ax =+-≥，对实数a 的取值范围进行讨论，利用导数分析函数()g x 的单调性，验证()0g x ≥对任意的0x >能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）解：当13a =-时，函数()()231e 13xf x x x =--的定义域为R ，()()()()222e 22e 1x x f x x x x x x x '=+--=+-，当<2x -时，()0f x '<；当2x >-时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，等号成立.因此，当13a =-时，函数()f x 的增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-.（2）解：因为当0x ≥时，()()00f x f ≥=恒成立.①当0x =时，不等式()0f x ≥显然成立，此时a ∈R ；②当0x >时，由()()23e 10x f x x ax =-+≥可得e 10x ax -+≥，令()e 1x g x ax =+-，其中0x >，则()e x g x a '=+，则函数()g x '在()0,∞+上单调递增，且()()01g x g a ''>=+.当10a +≥时，即当1a ≥-时，对任意的0x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，合乎题意；当10a +<时，即当1a <-时，令()0g x '=，可得()ln 0x a =->，当()0ln x a <<-时，()0g x '<，即函数()g x 在()()0,ln a -上单调递减，当()ln x a >-时，()0g x '>，即函数()g x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故当()()0,ln x a ∈-时，()()00g x g <=，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
四川省高二下学期期中考试数学(理)试题
高2级期中考试数学试题（时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，则（ ）{}{}21,2,3,4,60A B x x x ==--<∣A B ⋂=A. B. C. D.{}2{}1,2{}2,3{}1,2,32.如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A.甲所得分数的极差为22B.乙所得分数的中位数为18C.两人所得分数的众数相等D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数3.已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）)(,a b ==- b a A.C.-1D.14.若实数满足约束条件，则的最小值为（ ）,x y 220100x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩2z x y =-A.0 B.2 C.4 D.65.若，且，则（ ） ,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭()sin ααβ=-=sinβ=C. D. 121106.已知函数，则（ ）()sin ,0621,0x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩()()21f f -+=C. D. 72527.中，角的对边分别为，.若向量，，且C AB A,,A B C ,,a b c (),cos m a A =- ()cos n C c =-，则角的大小为（ ）0m n ⋅= A A. B. C. D.6π4π3π2π8.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（） mA.5B.6C.D.879.若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且ABCD O 'O OO '=的表面积的最小值为（ ）OC. D. 32π48π10.已知函数，则“是“函数在处取得极小值”的（ ）()()221x f x x a x e =++a =()f x 1x =-A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知双曲线C ：的左，右焦点分别为，又点22221(0,0)x y a b a b-=>>()()12,0,,0F c F c -.若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值23,2b N c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C M 24MF MN b +>C 范围为（ ）A. B.C. D. )∞⎛⋃+ ⎝()∞⋃+12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为x ln 210x x kx k -++>()2,∞+k （） A.2 B.3 C.4 D.5第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表：y x （单位：万元） x 01 2 3 4 （单位：万元）y 10 15 20 30 35 已知销售额与宣传费用具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则的值为y x ˆˆ9y bx=+ˆb __________.14.已知曲线（为参数）.若点在曲线上运动，点为直线上的2cos C :sin x y θθ=⎧⎨=⎩θP C Q :20l x y +-=动点，则的最小值为__________.PQ15.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，()f x ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),8f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则不等式的解集为__________.()()sin22cos20f x x f x x +>'()sin21f x x <16.已知抛物线的焦点为，准线为.若位于轴上方的动点在准线上，线段2C :2(0)y px p =>F l x A l 与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________.AF C B 1AF AF BF -=C 三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.3()32f x x ax =-+()y f x =1x =30x y m ++=（1）求实数，的值；a m （2）求在区间上的最值.()f x [1,2]18.（本小题满分12分）已知等比数列的前项和为，公比，且为的等差中项，.{}n a n S 1q >21a +13,a a 314S =（1）求数列的通项公式{}n a （2）记，求数列的前项和.2log n n n b a a =⋅{}n b n n T 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，P ABCD －PAD ⊥ABCD PA PD ，＝AB AD PA PD ⊥＝，，分别为的中点.60AD CD BAD ⊥∠︒，＝M N ，AD PA ，（1）证明：平面平面； BMN∥PCD（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.6,AD CD ==BMN BCP 20.（本小题满分12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，且该椭圆过点2222:1(0)x y C a b a b+=>>12(F F 12A ⎫⎪⎭，.（1）求椭圆的标准方程；C （2）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称()40B ，l l C P Q ，P x 的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值.P 'P Q 'x D DPQ A 21.（本小题满分12分）已知函数. ()212x f x axe x x =--（1）讨论在上的单调性；()f x ()0,∞+（2）若时，方程有两个不等实根，，求证：. 0a >()21ln 2f x x x =-1x 2x 21212x x x x e -->22.（本小题满分10分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为xOy ()1,1P l 1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩t O 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.x C 4cos ρθ=（1）求曲线的直角坐标方程；C （2）若直线与曲线相交于两点，求的最小值. l C ,A B 11||||PA PB +高2021级期中考试数学试题参考答案一､选择题1-5BDAAB 6-10СВВСА 11-12CA二､填空题：（每小题5分，共20分）13.6.515. 16. ,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭22y x =三､解答题：共70分.17.解：（1），2()33f x x a '=-∵曲线在处的切线方程为，3()32f x x ax =-+1x =30x y m ++=∴解得，. (1)333(1)333f a f a m =-=-⎧⎨=-=--'⎩2a =0m =（2）由（1）知，，则，3()62f x x x =-+2()36f x x '=-令，解得()0f x '=x =∴在上单调递减，在上单调递增，()f x 又，，，(1)1623f =-+=-3(2)26222f =-⨯+=-3622f =-+=-∴在区间上的最大值为，最小值为()f x [1,2]2-2-18.（1）由题意，得.又，()21321a a a +=+312314S a a a =++=∴，∴，()222114a a +=-24a =∵，∴或， 344414S q q =++=2q =12q =∵，∴.1q >2q =∴.2224·22n n n n a a q --===（2）由（1），知.∴.2n n a =2log 2n n n n b a a n =⋅=⋅∴. ()1231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯∴.()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ∴2341222222n n n T n +-=+++++-⨯ . ()()11212212212nn n n n ++-=-⨯=---∴.()1122n n T n +=-+19.（1）连接60BD AB AD BAD =∠=︒，，为正三角形.ABD ∴∆为的中点，.M AD BM AD ∴⊥平面，,,AD CD CD BM ⊥⊂ ABCD BM CD ∴∥又平面平面，平面.BM ⊄,PCD CD ⊂PCD :BM ∥PCD 分别为的中点， M N ，AD PA ，MN PD ∴∥又平面，平面，平面. MN ⊄PCD PD ⊂PCD MN∴∥PCD 又平面，，,BM MN ⊂BMN BM MN M = 平面平面. ∴BMN∥PCD （2）连接. PM 平面平面，平面平面，平面，， PAD ⊥ABCD ABCD ⋂PAD AD =PM ⊂PAD PM AD ⊥平面PM ∴⊥ABCD 又两两垂直,,,BM AD MB MD MP ⊥∴以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐M ,,MB MD MP x y z 标系M xyz-，则，6,AD CD == (0,0,0),(0,0,3),(0,3,0)M P A-330,,,22N B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭设平面的法向量，平面的法向量 BMN ()111,,m x y z =r BCP ()222,,n x y z =r ，330,,22MB MN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 得 00m MB m MN ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩由111033022y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩(0,1,1)m ∴= 可取，((BC BP =-=- 00n BC n BP ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩由22223030y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩2,3)n ∴= 可取cos,||||m nm nm n⋅∴〈〉====平面与平面∴BMN BCP20.（1）由椭圆的定义可得122a AF AF=+，142==解得.2a=又，2221b a=-=所以椭圆的标准方程为C2214xy+=（2）由题意可设直线的方程为.l4(0)x my m=+≠设，则.()()1122,,,P x y Q x y()11,P x y'-由，消去可得22414x myxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，x()2248120m y my+++=()2216120,12m m∆=->∴>121222812,44my y y ym m-∴+==++，()21212121P Qy y y ykx x m y y'++==--直线的方程为.∴P Q'()()211121y yy y x xm y y++=--令，可得y=()2111214m y y yx myy y-=+++2121221222244444 1.884mmy y mmxmy y mm⋅+∴=+=+=+=-+-+(1,0)D∴DPQ BDQ BDPS S S∆∆∆∴=-121||2BD y y=⋅-==令，(0,)t t=∈+∞则当且仅当，即时等号成立，266316164DPQ t S t t t∆==++…4t =m =±面积的最大值为 DPQ ∴A 3421.（1）由题意得. ()()()()1e 11e 1x x f x a x x x a '=+--=+⋅-因为，所以.0x >10x +>当时，，，所以在上单调递减.0a ≤e 10x a -<()0f x '<()f x ()0,∞+当时，令，则.0a >e 10x a -=ln x a =-①若，则，当时，，所以在上单调递增； 1a ≥ln 0x a =-≤0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+②若，则，当时，，所以在上单调递减；01a <<ln 0x a =->()0,ln x a ∈-()0f x '<()f x ()0,ln a -当时，，所以在上单调递增.(ln ,)x a ∈-+∞()0f x ¢>()f x ()ln ,a -+∞综上，当时，在上单调递减；0a ≤()f x ()0,∞+当时，在上单调递增；1a ≥()f x ()0,∞+当时，在上单调递减，在上单调递增.01a <<()f x ()0,ln a -()ln ,a -+∞（2）证明：方程，即， ()21ln 2f x x x =-e ln 0x ax x x --=因为，则， ()e ln 0x ax x x -+=()e ln e0x x ax x -=令，，所以函数在上单调递增，()e 0x t x x =>()1e 0x t x '=+>e x t x =()0,∞+因为方程有两个实根，，令，，()e ln 0x ax x x -+=1x 2x 111e x t x =222e x t x =则关于t 的方程也有两个实根，，且，ln 0at t -=1t 2t 12t t ≠要证，即证，即证，即证，21212e x x x x -->12212e e e x x x x ⋅>212e t t >12ln ln 2t t +>由已知，，整理可得， 1122ln ln at t at t =⎧⎨=⎩∴()()12121212ln ln ln ln a t t t t a t t t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=--不妨设，即证，即证， 120t t >>12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>-()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++令，即证，其中， 12t s t =()21ln 1s s s ->+1s >构造函数，， ()()()21ln 11s g s s s s -=->+()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立. ∴()g s ()1,+∞1s >()()10g s g >=22.解：（1），.4cos ρθ= 24cos ρρθ∴=由直角坐标与极坐标的互化关系，.222x y ρ=+cos x ρθ=曲线的直角坐标方程为.∴C 2240x y x +-=（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得l C .()22sin 2cos 20t t αα+--=，()22sin 2cos 80αα∆=-+> 可设是方程的两个实数根，∴12,t t 则，. 122cos 2sin t t αα+=-1220t t =-< 11PA PB ∴+=121212121211t t t t t t t t t t +-+==，当时，等号成立.==≥=4πα=的最小值为.11PA PB ∴+。