三角函数对称性习题
第64课--求三角函数的对称轴或对称中心
第64课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。
三角函数的对称性测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的对称性（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.函数在上对称轴的条数为( )A.1B.2C.3D.0答案：B解题思路：令，解得，．∴，解得，,∴，即共2条对称轴．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性2.方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：∵，∴．∴方程表示的曲线为：．令，解得，．∴对称轴的方程为．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性3.已知，函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为，则有( )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1答案：A解题思路：由题意，（1），则，解得，．∴可取：（2），则，解得，．∴可取：由题意知，必须同时满足（1）（2），则有最小值2．故选A．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性4.函数（）图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，令，解得．∴对称轴为直线，，∵该对称轴在内，∴，解得，．又，∴当时，，可取，满足题意，故选A．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性5.已知函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有( )个A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：由题意，，作出的大致图象如下：由图知，①，②，由①得，；由②得，．∵，∴．故选D．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性6.设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意，∵两函数对称轴完全相同，∴周期相同，即，解得．令，解得，∴函数的对称轴为直线，．令，解得，∴函数的对称轴为直线，．∵，∴，．∵，∴．故选B．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性7.设点是函数的图象C上的一个对称中心，若点到图象C 的对称轴的距离的最小值为，则为( )A.1B.2C. D.4答案：B解题思路：由题意，最小正周期T满足，∴，即，解得．故选B．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性8.函数（，）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为直线( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意，，∴，．∵，∴．由图象，∵分别为最高点与最低点，且，∴，解得，即，解得．综上，，令，解得，．当时，，故选C．试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性9.设函数（，，）图象的相邻两条对称轴为直线，直线，则( )A.的图象过点B.在区间上是减函数C.的图象的一个对称中心是D.的最大值是答案：C解题思路：由题意，，解得．∴，解得．∴又，∴，解得，．∵，∴．∴．A：当时，，但值不确定，故A错，同理B，D错．C：令，解得，．当时，对称中心为点．故选C．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性10.函数（，，，）的部分图象如图所示，如果，且，则等于( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：∵函数最大值为1，，∴，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．∵，且，∴，∴，∴，故选D．试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性。
三角函数对称性问题ppt课件
x k ,k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
3
余弦函数的图象 y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x L ,0, , 2 L
x k ,k Z
对称中心： L ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)L
2
4
8
4
该函数的对称中心为
( k
2
，0)，k Z
8
.
6
7
8
9
10
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
y
1
C.x
12
D.x 0
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x 为对称轴
【答案】 B
14
三角函数的对称性
15
例3
16
17
作业： 求函数y sin( 1 x )的对称中心和对称轴
23
18
22 2
2
( k ,0) k Z
2
4
六、正弦、余弦函数的对称性
y
y sin x(x R)
1
-4 -3
-2
- o
2
专题05---2014-2024北京三角函数选题真题汇编解析版
专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min π||2x x −=，则ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−，3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ． 【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增，若0<α0<β0<π2，则tanα0<tanβ0， 取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ，则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0，即tanα<tanβ， 令k 1>k 2，则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)， 因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0，则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0，即k 1>k 2，则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3，即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为：9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】（2022北京卷改编）若()sin f x A x x =关于3x π=对称，则A =________．【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0)，∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）. 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b =0”是“f (x )为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C解：设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数）， 则“b ＝0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”，“f （x ）为偶函数”⇒()()f x f x =− ，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−，2sin 0b x ∴=对任意x 成立；∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ，即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为22cos β+，224AB sin sin ββ==，扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β，△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是 ． 【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解：法一：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin (θ+α)=−1时，d max ＝1+2√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3．法二： P 点在单位圆221x y +=上动，圆心到直线距离的最大值（圆心到过定点的距离）+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB ̂，CD ̂，EF ̂，GH ̂是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB ̂ B ．CD ̂C ．EF ̂D ．GH ̂ 【答案】C解：A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α＜sin α不成立，故A 不满足条件． B ．在CD 段正切线最大，则cos α＜sin α＜tan α，故B 不满足条件． C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足tan α＜cos α＜sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足cos α＜sin α＜tan α不满足tan α＜cos α＜sin α． 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos (α−β)= ．解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=13，cosβ=−cosα=−2√23， ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得：t =sin π6=12，将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位， 得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）=cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π．则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T 4⇒T ＝π．。
重视直观,学会抽象——以一道三角函数对称性习题拓展学习设计为例
对余弦 函数和正切 函数 ， 讨 论上述 同样 的问题．
分析 ： 该题 的主要意 图， 是引导学生对三角 函数 的对 称性 有一个完整的认识． 教师用书说 明“ 利用三角 函数 的
（ ｋ ≠０ ） 图象 关于 原点 对称 ； 进入 高 中 ， 在 奇偶性 概念 学 习中知道“ 偶 函数 图象关于ｙ 轴对称 ， 奇 函数 图象关 于原
、 ／
图象 与性质 ” 后是 学 习对称性 的最 佳 时机 ： 首先学 生 的 知识技 能 、 研 究方法 的储 备有 了必要 基础 ； 其次 ， 学生思
维、 心智 的发展 水平 ， 使相 对抽象 的对 称性 学 习成为 可
明为什 么没有对称轴 ” ．
（ ２ ） 如何多角度发现 、 描述对称性 ？ 譬如 ， 单位 圆也 可
提供 “ 形” 的支 持 ； 诱 导公式提供 “ 数” 的支持 ； 当然 ， 周 期
性、 奇偶性既可提供思考 的类别参 考 ， 也与对称性本 身存
在内在的联 系．
能． 研 习教 材 ， 不难 发 现专家 们 对此 也给 予 了一定 的思 考， 从 教材必修４ 第４ ６ 页习题 １ ． ４ Ａ 组第１ １ 题、 第７ ０ 页 复习
设计意 图 ： 借助 图象 ， 观察正弦 曲线对称 中心 的不 唯
一
设计 意图 ： 是学生经 历特殊到 一般 、 具 体到抽 象 、 图
象到符号 的思维过程对 函数 的轴对称给 出形式化定义 ， 即 ｙ － ４￣ ｘ ） 关于直线 ＝ 寸 称 ０ ） ａ ＋ ｘ ） ｃ ： ￣ （ ２ ａ － ｘ ） ） ．
的探讨又可促进对 函数概 念和性 态学习 的深化 ． 对称性
教材必修４ 第４ ６ 页习题 １ ． ４ Ａ 组第 １ ｌ 题：
备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：7 三角函数的图象与性质(3)——奇偶性、对称性与周期
y Asin(x ) 的部分图象解析式．本题难点在于每四项的和是一个定值，利用这个周期
性，便可解决前 2016 的项．本题属于中档题．
考向 4 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
【例 12】【2016 届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（文）】已知函数
D．与 b 无关，但与 【难点中心】解答此类问题关键是灵 活选用三角公式进行三角恒等变换化
2
1
【答案】B 【解析】 试题分析：
简函数 f x，再运用三角函数相关
性质解题．
f ( x) sin2 x b sin x c 1 cos 2x b sin x c cos 2x b sin x c 1
x
6
2
cos
x
6
2 sin
2x来自3 y
Asin x
B
，再进一步讨论相
，故最小正周期T 2 ，故选 B． 2
关性质．
III．理论基础·解题原理 考点一 三角函数的周期性
函数 y sin x, y cos x 的最小正周期为 2 ， y tan x 的最小正周期为 ．
称轴是直线
x
kπ
k
Z ，其对称中心是
kπ
π 2
,
0
k
Z
；
y
tan
x
的图像不是轴对
称图形，是中心对称图形，其对称中心是
kπ 2
三角函数对称性习题
一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 )sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，则ωϕπ22)12(-+=k x ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ22)12(-+=k x ； )cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x ，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ-=k x 。
习题：1、函数)62sin(3π+=x y 图象的对称轴方程为2、函数y=sin （2x+52π）图象的对称轴方程为 3、函数)33cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 4、函数y=cos(2x- π4) 的图象的对称轴方程是 5、y=sin(2x+π4)的一条对称轴为（ ） A.x=-π4 B.x=π8 C.x=-π8 D.x=π36、y=cos(2x-π6)的一条对称轴为（ ） A ．x=π3 B.x=5π12 C.x=π12 D.π47、y=sin(2x+φ)的一条对称轴为x=-π8,则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。
8、f （x ）=sin2x+acos2x 关于x=π8对称，求a 的值 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称；习题：1、函数)62sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是2、函数)821cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 3、y=sin(2x+π6)的一个对称中心为（ ） A.( π3 ,0) B.(5π12 ,0) C.(π12 ,0) D.(π6,0） 4、y=2cos(2x-π3)的一个对称中心为（ ） A.（π,0）B.（π3 ,0）C. (π6 ,0）D. (π12,0) 5、y=cos(2x+φ)的对称中心为(π6,0) 则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。
第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时三角函数的周期性、奇偶性与对称性考点探究——提素养考点一三角函数的周期性例1(1)函数f (x )＝a tan xa的最小正周期是()A ．πaB ．π|a |C ．πa D ．π|a |答案B解析对于函数f (x )＝a tan xa，显然a ≠0，所以函数的最小正周期T ＝π|1a |＝π|a |.故选B.(2)函数f (x )＝cos x ＋2cos 12x 的一个周期为()A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案D解析易知y 1＝cos x ，y 2＝2cos 12x 的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f (x )的一个周期．故选D.【通性通法】求三角函数周期的常用方法【巩固迁移】1．(多选)(2023·山东临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x 答案ABC解析对于A ，y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；对于B ，由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；对于C ，y ＝cos x T ＝2π2＝π；对于D ，y ＝tan x 期T ＝π2.2．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________．答案1解析因为f (x )＝ωx －12cos f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.考点二三角函数的奇偶性、对称性(多考向探究)考向1奇偶性例2(1)下列函数中周期是π的偶函数是()A ．y ＝|cos x |B ．y ＝|cos2x |C ．y ＝－sin xD ．y ＝sin x ＋1答案A解析对于A ，y ＝|cos x |为偶函数，且最小正周期为π，所以A 符合题意；对于B ，y ＝|cos2x |为偶函数，最小正周期为π2，所以B 不符合题意；对于C ，y ＝－sin x 为奇函数，所以C 不符合题意；对于D ，y ＝sin x ＋1为非奇非偶函数，所以D 不符合题意．故选A.(2)(2024·广东茂名模拟)已知f (x )＝2sin(x －α)＋cos x 是奇函数，则tan α＝()A ．1B ．±1C ．3D ．±3答案B解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即2sin(－α)＋cos0＝0，解得sin α＝22，所以cos α＝±22，此时f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x ＝2sin x cos α＝±sin x ，是奇函数，所以tan α＝±1.故选B.【通性通法】三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0，则为奇函数，若y 为最大或最小值，则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．【巩固迁移】3．(2024·北京房山模拟)已知函数f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1，则“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析因为f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1＝cos(2x ＋2θ)，若函数f (x )为奇函数，则2θ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得θ＝π4＋k π2(k ∈Z )，|θ＝π4＋k π2，k ∈|θ＝π4＋k π，k ∈因此“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的充分不必要条件．故选A.4．(2023·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________．答案±22解析f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin由y ＝f (x ＋θ)是偶函数，得f (－x ＋θ)＝f (x ＋θ)，即2sin ＋π4－＝2sin ＋π4＋所以θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 恒成立或θ＋π4－x ＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z 恒成立．显然θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 不恒成立，故由θ＋π4－x＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z ，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ，n ∈Z 时，cos θ＝2n cos π4＝22；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，cos θ＝cos π4＋(2n ＋1)π＝cos 5π4＝－22.所以cos θ＝±22.考向2对称性例3(2023·武汉模拟)已知函数f (x )＝x f (x )的图象关于()A B C ．直线x ＝π6对称D ．直线x ＝π3对称答案C解析由题意，设2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心－π12，k ∈Z )．设2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，通过对比选项可知，f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．故选C.【通性通法】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【巩固迁移】5．函数f (x )＝x x 23cos 2x 的图象的一个对称中心是()A －π3，B ．(0，33)C D 答案C解析f (x )＝x x 23cos 2x ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋cos2x cos π6－sin2x sinπ6＋23cos 2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32cos2x －12sin2x ＋23cos 2x ＝3cos2x ＋3(1＋cos2x )＝23cos2x ＋3.由2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，此时f (x )＝3，所以f (x )图象的对＋π4，k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )故选C.6．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则()A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案D解析由题意，T 2＝2π3－π6＝π2，不妨设ω>0，则T ＝π，ω＝2πT ＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则＝＝32.故选D.考点三三角函数的图象与性质的综合例4(多选)(2024·厦门模拟)已知函数f (x )＝coscos2x ，则()A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x)C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )D ．f (x )在[0，2π]上有4个零点答案ACD解析f (x )cos2x ＝12＋x ＋32sin2cos2x ＝34sin2x －34cos2x ＋12＝32sin x ＋12，则f (x )的最小正周期为π，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即为f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin x＋12＝0，得x ＝－33，当x ∈[0，2π]时，2x －π3∈－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ∈－π3，，如图所示．由图可知方程x ＝－33在[0，2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0，2π]上有4个零点，D 正确．【通性通法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【巩固迁移】7．(多选)(2024·九省联考)已知函数f (x )＝x x ()A ．函数fB ．曲线y ＝f (x )的对称轴为直线x ＝k π，k ∈ZC ．f (x )D ．f (x )的最小值为－2答案AC解析f (x )＝x x sin2x cos 3π4＋sin 3π4cos2x ＋cos2x cos 3π4－sin2x sin 3π4＝－22sin2x ＋22cos2x －22cos2x －22sin2x ＝－2sin2x ，即f (x )＝－2sin2x .对于A ，－2sinx ＝2cos2x ，易知为偶函数，故A 正确；对于B ，令2x ＝π2＋k π，k ∈Z ，则x＝π4＋k π2，k ∈Z ，故B 错误；对于C ，当x ，2x y ＝sin2x 单调递减，则f (x )＝－2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，因为sin2x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[－2，2]，故D 错误．故选AC.课时作业一、单项选择题1．下列函数中，是周期函数的为()A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案B解析∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数．故选B.2．(2024·广东汕头模拟)函数y ＝tan ()A ．(0，0)BC D ．以上选项都不对答案B解析令x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，y ＝tan 中心．故选B.3．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又＝1＋π2＝4＋2ππ2>1，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.4．给出下列函数：①y ＝sin|x |；②y ＝|sin x |；③y ＝|tan x |；④y ＝|1＋2cos x |，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝sin|x |是偶函数，但不是周期函数，所以排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|sin x |是偶函数，最小正周期为π，所以②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|tan x |是偶函数，最小正周期为π，所以③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|1＋2cos x |是偶函数，最小正周期为2π，所以排除④.故选B.5．函数f (x )＝ω＞0)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，若该函数图象关于点(m ，0)中心对称，则当m ∈0，π2时，m 的值为()A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12答案D解析因为函数f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2×π2＝π(T 为f (x )的最小正周期)，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝x 令f (x )＝0，则2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π12，故m ＝5π12.故选D.6．(2023·安徽校考三模)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12，则下列结论正确的是()A ．|f (x )|的最小正周期为2πB ．直线x ＝－π3是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )D ．若f (x )在－π2，m 上的最大值为1，则m ≥π3答案D解析f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12＝32sin x －1－cos x 2＋12＝所以|f (x )|的最小正周期为π，A 错误；因为＝－12≠±1，所以直线x ＝－π3不是f (x )图象的一条对称轴，B 错误；当0<x <π2时，π6<x ＋π6<2π3，而函数y ＝sin x ，C 错误；当－π2≤x ≤m时，－π3≤x ＋π6≤π6＋m ，因为f (x )在－π2，m 上的最大值为1，所以π6＋m ≥π2，解得m ≥π3，D正确．7．(2023·山东济南三模)已知函数f (x )＝sin x ＋sin2x 在(0，a )上有4个零点，则实数a 的最大值为()A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π答案C解析f (x )＝sin x ＋sin2x ＝sin x ＋2sin x cos x ＝sin x (1＋2cos x )，令f (x )＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－12，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图．函数f (x )在(0，a )上有4个零点，则2π<a ≤2π＋2π3＝8π3，故实数a 的最大值为8π3.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f()A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )C ．函数f (x )在3π4，π上单调递增D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－7π12对称答案C解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T＝π，ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为f ，所以x 即直线x ＝π12是函数f (x )图象的对称轴，所以2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 函数f (x )的最小正周期为π，A 错误；因为＝sin 3π2＝－1，f (x )图象的对称中心，B 错误；因为当3π4≤x ≤π时，11π6≤2x ＋π3≤7π3，所以f (x )＝sin x 3π4，π上单调递增，C 正确；因为＝－12，所以直线x ＝－7π12不是函数f (x )图象的对称轴，D 错误．故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知函数f (x )＝3sin x ()A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的最小正周期为πC ．fD ．f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称答案ABD解析因为函数f (x )＝3sin x 所以f (x )的最大值为3，A 正确；f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；＝3sin 2－π3＝3sin x ＝－3cos2x ，为偶函数，C 错误；令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝11π12，所以f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称，故D 正确．故选ABD.10．(2023·广东江门统考一模)已知函数f (x )＝|x ，则下列说法正确的是()A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )C ．f (x )的最小正周期为πD ．f (x )的单调递增区间为k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )答案AD解析因为－1≤x 1，所以0≤f (x )≤1，A 正确；|2×π6－＝0，但f (x )≥0，因此f (x )，B 错误；y ＝sin x是2π2＝π，所以f (x )＝|x 的最小正周期是π2，C 错误；由f (x )＝|x ＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，当x ∈π6，2π3时，x 0，易得x ∈π6，5π12时，f (x )单调递增，x ∈5π12，2π3时，f (x )单调递减，又f (x )的最小正周期是π2，所以f (x )的单调递增区间是k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )，D 正确．故选AD.三、填空题11．若函数f (x )＝|(ω＞0)的最小正周期为π，则________．答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝|，所以|sin2π3|＝32.12．(2024·山东威海模拟)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________．答案π2解析∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴－cos(－π＋φ)＝cos(π＋φ)，∴cos φ＝－cos φ，∴cos φ＝0，又φ∈[0，π]，∴φ＝π2.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos φ＋cos(ωx ＋φ)sin ω>0，0<φ轴之间的距离为π2，且满足φ＝________．答案π6解析由两角和的正弦公式得f (x )＝sin(ωx ＋2φ)，又相邻的两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期为π，所以π＝2πω，解得ω＝2.又所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，所以2×π12＋2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝π6.14．已知函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，且在则f (x )在区间－π2，π3上的最小值为________．答案－2解析因为函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，所以π2ω＋π4＝k π(k ∈N *)，解得ω＝2k －12(k ∈N *)．又f (x )，所以πω≥π2，故0＜ω≤2，所以ω＝32，即f (x )＝当－π2≤x ≤π3时，－π2≤32x ＋π4≤3π4，故f (x )在区间－π2，π3上的最小值为－2.四、解答题15．已知函数f (x )＝sin x －cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝f (x )f (π－x )的单调递增区间；(2)求函数y ＝[f (x )]2＋f x 解(1)∵y ＝(sin x －cos x )[sin(π－x )－cos(π－x )]＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为k π，k π＋π2(k ∈Z )．(2)y ＝(sin x －cos x )2＋sinx x 1－sin2x ＋2sin x 1－sin2x －2cos2x ＝1－3sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴函数的值域为[1－3，1＋3]．16．(多选)(2023·江苏南通如皋调研)已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ，则下列结论正确的是()A ．π为函数f (x )的一个周期B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．函数f (x )在0，π2上为减函数D ．函数f (x )的值域为[2，2]答案ABD解析因为f (x ＋π)＝1＋cos(x ＋π)＋1－cos(x ＋π)＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以π为函数f (x )的一个周期，故A 正确；因为f (π－x )＝1＋cos(π－x )＋1－cos(π－x )＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故B 正确；因为f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ＝2cos 2x 2＋2sin 2x2，又x∈0，π2，则x 2∈0，π4，故f (x )＝2cos x 2＋2sin x 2＝由于x 2＋π4∈π4，π2，故f (x )＝2sin 0，π2上为增函数，故C 不正确；因为[f (x )]2＝1＋cos x ＋1－cos x ＋21－cos 2x ＝2＋2|sin x |，又2≤2＋2|sin x |≤4，f (x )>0，所以f (x )∈[2，2]，故D 正确．故选ABD.17．(多选)(2024·湖北宜昌模拟)已知定义域为R 的函数f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，且f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，则()A ．f (0)＝g (0)B ．C ．函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数D ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值是24答案BC解析因为f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，则f (x ＋π)＋g (x ＋2π)＝cos(x＋π)，即f (x ＋π)＋g (x )＝－cos x ，又g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，故可得g (x )＝sin x －cos x2，g (x ＋π)＝sin(x ＋π)－cos(x ＋π)2＝－sin x ＋cos x 2，则f (x )＝cos x －g (x ＋π)＝cos x －－sin x ＋cos x2＝sin x ＋cos x 2，综上所述，f (x )＝sin x ＋cos x 2，g (x )＝sin x －cos x 2.对于A ，f (0)＝12，g (0)＝－12，故A错误；对于B ＝－sin x ＋cos x 2，＝cos x －sin x 2，显然故B 正确；对于C ，f (x )－g (x )＝sin x ＋cos x 2－sin x －cos x2＝cos x ，又y ＝cos x 为偶函数，故函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数，C 正确；对于D ，y ＝f (x )g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )4＝－cos2x 4＝－14cos2x ，又y ＝－14cos2x 的最大值为14，故D 错误．故选BC.18．(2023·江苏南京二模)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0.(1)若函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，求f(2)若函数f (x )f (x )在0，π4上单调，求ω的值．解(1)f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝ωx －32cos 因为函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝x所以2×3π2－2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝函数f (x )，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈0，π4，ω>0，则ωx －π3∈－π3，πω4－π3，又函数f (x )在0，π4上单调，－π3≤π2，，解得0<ω≤103，所以当k ＝0时，ω＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k (k Z)，则 x -
，所以函数y Acos(
)的图象的对称轴方程
习题:
最大负值是
n
8、f (x ) =sin2x+acos2x 关于 x= 对称，求 a 的值 8
、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形
y Asin( x )对称轴方程的求法是：令 sin( x ) 1，得
k i (k Z)，则x (2k 2 2 ，所以函数 Asin( x )的图象的 (2k 1) 2 对称轴方程为x
2
y Acos( x
)对称轴方程的求法是：令 cos( x ) 1，得
1、 函数 y 3si n(2x
R 图象的对称轴方程为 2、 函数
5 y=s in (2x+q n) 图象的对称轴方程为
3、 函数
4、 函数 1 f (x) cos(3x 2 n
y=cos(2x-—) 3)的图象的对称轴方程是 的图象的对称轴方程是 5、 n y=sin(2x+ )的一条对称轴为( 4
n n n
A.x=-
B.x= ■
C.x=- 4 8 8
D.x=
6、 n y=cos(2x-—)的一条对称轴为
n 5 n n
x=§ B.x= 了C.x= 12 71 7、 y =sin(2x+ $ )的一条对称轴为
n x=- y ,贝打= ，y 的最小正值是
、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形
y Asin( x )的对称中心求法是：令sin( x ) 0,得x k (k Z), nt k k
则x (k Z)，所以函数y Asin( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称；
y Acos( x )对称中心的求法是：令cos( x ) 0，得
(2k 1) 2
x k -(k Z) ，则x ---------------------------- 扌------ (k Z)，所以函数y Acos( x )的
图象关于点(__ ,0) (k Z)成中心对称；
2
习题：
1、函数y 4sin(2x -)的图象的一个对称中心是_____________________________
6
1
2、函数y 2cos(—x —)的图象的对称中心是____________________________
2 8
n
3、y=sin(2x+ —)的一个对称中心为( )
n 5 n n n
A.( — ,0)
B.( 石,0)
C.( 12 ,0)
D.( ,0)
n
4、y=2cos(2x- ■—)的一个对称中心为( )
3
n n n
A. (n ,0 )
B. (,0 )
C. ( — ,0 )
D.(乜,0)
n
5、y=cos(2x+ $ )的对称中心为(■— ,0) 则$ = ___________ , y的最小正值是___________ , y的最大负值是__________ 。
三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形
k k 2 y Atan( x )对称中心的求法是：令x (k Z)，则x ，所
k 2
以函数y Atan( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称；
y 3ta n(2x —)
1求函数3的对称中心的坐标。
1
2、函数y 3tan(^x —)的一个对称中心是( )
2 「2
A. ( ,0)
B. ( , 3 3)
C. ( ,0)
D. (0,0)
6 3 3。