三角函数对称性问题ppt课件
高三数学三角函数的最值、对称性与周期性》课件.ppt
湖南省江华一中高三数学组
【基础训练】
5．函数 y = log0.5(3sinx +1)的值域为 （B ） A．(–∞,–2] B．[–2,+∞) C．[–2, 0 ) D．(0, 2]
1 6．函数 y = 的定义域为 1 tan 2 x
.
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【基础训练】
5．函数 y = log0.5(3sinx +1)的值域为 （B ） A．(–∞,–2] B．[–2,+∞) C．[–2, 0 ) D．(0, 2]
中心是 （
）
A. ( ,0)
B. ( ,0) C. ( ,0) 2 4
D. ( ,0) 8
湖南省江华一中高三数学组
【基础训练】
1．函数 y = sin2xcos2x 的最小正周期是 （ D） A. ．函数 y sin( 2 x )的图象的一个对称 2
（3）若函数 f ( x )
1 cos 2 x 4 sin(
2
2
x)
x x a sin ( ) 2 2
的最大值为 2，试确定常数 a 的值.
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2．三角函数的周期性问题
例2 已知函数 f (x ) =
3 sin( 2 x
6
) 2 sin ( x
3．研究复合函数 f (sinx)，f (cosx)的值域时， 不能忽视定义域. 另外要注意 sinx、cosx 的有界性.
湖南省江华一中高三数学组
【知识要点】 4．对称性
（1）y = sinx 的对称中心为( k ,0)( k Z )； 对称轴为 x k
三角函数图像的对称轴与对称中心
函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈．2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+k Z ∈．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈．3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心：渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k πk Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+= ()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________．解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．-----精心整理，希望对您有所帮助!。
三角函数的对称性、中心对称
4.已知函数
π
x＝6对称，则 φ＝(
C
)
π
A．－6
π
B.6
π
C．－3
π
D.3
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
解析：函数
π
π
f(x)＝cos(2x＋φ)－2＜φ＜2的图象关于直线
π
x＝6对称，则
法一：由2
（x ） k，k Z
法二 : f (0) sin 2 0
k
对称中心( ,0)
2
2 k，k Z
k
由 0，
0
2
2
2
[变式]若函数y sin(2 x )( 0 )是R上的偶函数, 则 ___ .
3 4
2------------
3
2w
3
得w .
2
2w
...........-2
2w
融会贯通：
函数f ( x) 2 cos wx( w 0)在[0, ]上单调, 求w的范围.
3
7 1
k＝1 时，m＝14＝2，
13
k＝2 时，m＝14.
求三角函数对称轴和对称中心的方法
对于函数 y＝sin(ωx＋φ)(或 y＝cos(ωx＋φ))的图象的对称性，应将 ωx＋φ
看成一个整体，利用整体代入思想，令 ωx＋φ 等于
π
三角函数的对称性
三角函数的对称性
三角函数具有一种独特的对称性，也就是说它们在一定坐标系中具有一定的对称行为或特征。
三角函数的这种对称性由若干基本原则统一起来，这些基本原则主要是指三角函数的弧度值，坐标系中的极限值和间隔，以及它们在无穷远处取得的值。
首先，三角函数弧度值具有对称性，由于每个角度和它的对称点(例如对应180度的角度)对应相同的角度值，所以说三角函数在弧度值上具有“自反”的特性。
其次，三角函数在坐标系中具有“极限”和“间隔”的对称性。
三角函数在无穷小和无穷大状态中取得的值也是相等的，即极限的值也具有对称性的特征。
另外，三角函数的“间隔”也具有特定的对称性，即多次取值之后，会得到完全相同的值，如 pi/2 和3*pi/2 一样，它们分别为90度和270度，这也是一种间隔的对称性。
因此可以看出，三角函数具有特殊的对称性特征，被认为是数学中一种古老而重要的性质。
数学家们因而提出了若干准则，来描述其对称性特征，以实现更加精密地对三角函数的推导和分析。
至此，这一重要的性质得以真正被人们所理解和应用，海瑞拉斯也由此获得了丰厚的回报。
函数的周期性和对称性PPT课件
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
上海高中三角函数的周期性奇偶性和对称性PPT课件
tan1
【 例 4 】 求 下 列 函 数 的 最 小 正 周 期 ：
(1)y 3sin2xcos2x
解：y2sin(2x) T 2
6
2
y a sinx b cosx 的周期T 2
【例4 】求下列函数的最小正周期：
(2)ysin2(2x)1
3
1cos(4x2)
解：y
3 1
2
1cos(4x2)3
f(x)sin2x(sin2x)sin2x
f(x)f(x)
该 函 数 是 奇 函 数
【例 1 】判断下列函数的奇偶性：
(2)yxcos(x)
解 ： 定 义 域 R 关 于 原 点 对 称
f(x)x(cosx)xcosx f(x)xcos(x)xcosx
f(x)f(x) 该 函 数 是 奇 函 数
(1)当f (x) 是奇函数时 f (x) f (x) 0
2cos2xsin0
sin 0
k,kZ
【例2】已知函数f xsin2x (1)取何值时，f x是奇函数？ (2)取何值时，f x是偶函数？
解 ： fx s i n 2 x c o s c o s 2 x s i n f x s i n ( 2 x ) c o s c o s ( 2 x ) s i n
当 y取 得 最 大 值 或 最 小 值 时 sin(x)1
一 、 y s i n x 的 奇 偶 性 、 周 期 性 和 对 称 性 :
y 1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y sin x
周期性 sin(x2)sinx T 2
奇偶性 对称轴 对称中心
sin(x)sinx 奇 函 数
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的对称性(课堂PPT)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
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x k ,k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
3
余弦函数的图象 y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x L ,0, , 2 L
x k ,k Z
对称中心： L ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)L
2
4
8
4
该函数的对称中心为
( k
2
，0)，k Z
8
.
6
7
8
9
10
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
y
1
C.x
12
D.x 0
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x 为对称轴
【答案】 B
14
三角函数的对称性
15
例3
16
17
作业： 求函数y sin( 1 x )的对称中心和对称轴
23
18
22 2
2
( k ,0) k Z
2
4
六、正弦、余弦函数的对称性
y
y sin x(x R)
1
-4 -3
-2
- o
2
3
4
5
-1
y=sinx的图象对称轴为：
x k
，k Z；
2
6 x
y=sinx的图象对称中心为： ( k ，0 )， k Z .
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
正弦、余弦函数的对称性
1
中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。
轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。
2
正弦、余弦函数的对称性
正弦函数的图象 y
1P
3 5
2
2 3
2
O
P' 2 1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴：x L 5 , 3 , 1 , 1 , 3 L
12
11
练习
•
求
y sin(2x )
3
函数的对称轴和对称中心
解（1）令 z 2x
则
y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
12
练习
•
求
y
1 cos(
x
)
函数的对称轴和对称中心
24
13
1．(教材改编题)y＝sin(x－π4)的图象的一个对称中心是( )
A．(－π，0)
B．(－34π，0)
C．(34π，0)
D．(π2，0)
【解析】 令 x－π4＝kπ，∴x＝kπ＋π4，k∈Z. 令 k＝－1，得 x＝－43π，y＝0.
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为： x k ， k Z ；
y=cosx的图象对称中y 心为：(k
2
，0 )， k
Z.
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
5
例5、y sin(2x 5 )的一条对称轴是（ C ）
4
A、x B、x C、x D、x 5