晶体学基础 3
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晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号
晶体定向的几个基本概念：
（1）结晶轴：晶体坐标系中的坐标轴，需满足晶体对称性 特征。用x轴、y轴、z轴或X轴、Y轴、Z轴表示。 （2）轴角：两个结晶轴正向之夹角。用a，b，g 表示。
（3）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴位之连比。用a:b:c 表示。
（5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
第三章 晶体的定向和晶体学符号
➢ 晶体学坐标系 ➢ 各晶系的定向方法 ➢ 晶胞与原子坐标 ➢ 晶面指数 ➢ 晶向指数 ➢ 晶带指数
3.1 晶体学坐标系
晶体定向的目的：
建立坐标系，简单明确地描述晶体中晶面、晶列的 空间方位。为研究晶体的结构特性提供定量标记。
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数 一致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安 置。
《结晶学基础》
在离子晶体结构中，每个正离子周围都形成 一个负离子配位多面体；正负离子间距离取决 于离子半径之和，正离子配位数取决于正负离 子半径之比，与离子电价无关。
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
.
1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
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1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
(完整版)1《材料科学基础》第一章晶体学基础
一、晶向指数 二、晶面指数 三、六方晶系的晶向指数和晶面指数 四、晶带 五、晶面间距
晶向、晶
钯的PDF卡片-----Pd 89－4897
crystal system,space
图 2 CdS纳米棒的TEM照片（左）和 HRTEM照片（右）
图2 选区电子衍射图
图1. La(Sr)3SrMnO7的低 温电子衍射图
晶向、晶面、晶面间距
晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排 列的方向，称为晶向。
晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表 晶体中的原子平面，称为晶面。
L M
P点坐标?
(2,2,2)或222
N
一、晶向指数
1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的 坐标值决定。
2、求法 1）建立坐标系。 以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，
联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是 一致的，可由同一组晶格常数来表示。
不区分 图示
晶 胞
空间点阵
单
胞
•NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子 •晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°
大晶胞
大晶胞：是相对 于单位晶胞而言 的
例：六方原始格子形式的晶胞就是常见的大晶胞
① 所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的对称性； ② 在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多； ③ 在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。
具有L44P的平面点阵
单胞表
3、单胞的表征
原点：单胞角上的某一阵点 坐标轴：单胞上过原点的三个棱边 x，y，z 点阵参数：a，b，c，α，β，γ
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有 序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有 晶体所不允许的宏观对称性。
晶向、晶
钯的PDF卡片-----Pd 89－4897
crystal system,space
图 2 CdS纳米棒的TEM照片（左）和 HRTEM照片（右）
图2 选区电子衍射图
图1. La(Sr)3SrMnO7的低 温电子衍射图
晶向、晶面、晶面间距
晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排 列的方向，称为晶向。
晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表 晶体中的原子平面，称为晶面。
L M
P点坐标?
(2,2,2)或222
N
一、晶向指数
1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的 坐标值决定。
2、求法 1）建立坐标系。 以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，
联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是 一致的，可由同一组晶格常数来表示。
不区分 图示
晶 胞
空间点阵
单
胞
•NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子 •晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°
大晶胞
大晶胞：是相对 于单位晶胞而言 的
例：六方原始格子形式的晶胞就是常见的大晶胞
① 所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的对称性； ② 在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多； ③ 在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。
具有L44P的平面点阵
单胞表
3、单胞的表征
原点：单胞角上的某一阵点 坐标轴：单胞上过原点的三个棱边 x，y，z 点阵参数：a，b，c，α，β，γ
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有 序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有 晶体所不允许的宏观对称性。
2-1晶体学基础--西安交大材料科学基础
1
13
c
c1
（463）
O a a1
b1
b
图2-6 晶面指数的确定 1 Oa1=1/2a Ob1=1/2b Oc1=1/2c
14
在确定密勒指数时，还需规定几点： 在确定密勒指数时，还需规定几点： （1）该晶面不能通过原点，因为这时截距为零，其倒数 ）该晶面不能通过原点，因为这时截距为零， 是无意义的， 是无意义的，这时应选择与该晶面平行但不过原点的面来 确定晶面指数或把坐标原点移到该面之外； 确定晶面指数或把坐标原点移到该面之外； （2）当晶面与某晶轴平行时，规定其截距为 ，则截距 ）当晶面与某晶轴平行时，规定其截距为∞， 的倒数为零； 的倒数为零； ( 3)当晶面与坐标轴的负方向相交时，截距为负，该指数 当晶面与坐标轴的负方向相交时， 当晶面与坐标轴的负方向相交时 截距为负， 的负号最后标在数字的上方。 的负号最后标在数字的上方。 （4）由于任一晶面平移一个位置后仍然是等同的晶面， ）由于任一晶面平移一个位置后仍然是等同的晶面， 因此指数相同而符号相反的晶面指数是可以通用的。 因此指数相同而符号相反的晶面指数是可以通用的。
相同,还要看晶面的面间距和原子密度是否相等 如果它们 相同 还要看晶面的面间距和原子密度是否相等.如果它们 还要看晶面的面间距和原子密度是否相等 不相等,尽管晶面指数的数字相等 尽管晶面指数的数字相等,也不是性质相同的等同 不相等 尽管晶面指数的数字相等 也不是性质相同的等同 晶面,而不属于同族晶面 而不属于同族晶面。 晶面 而不属于同族晶面。
1
9
●确定晶向指数时，坐标原点不一定非选在晶向上，若 确定晶向指数时，坐标原点不一定非选在晶向上， 原点不在待标晶向上， 原点不在待标晶向上，那就需要找出该晶向上 ( x 1 , y 1 , z 1 )和 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 两点的坐标 标 (x 1 − x 2 ) ( y 1 − y 2 ) (z 1 − z 2 ) 并使之满足： 质整数 uvw ，并使之满足： ,然后将三个数化成互 然后将三个数化成互
晶体学基础
2020/3/3
3
1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2020/3/3
4
空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
2020/3/3
5
空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl
r rhkl
r .rhkl
h
k
av*
l
r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k
l
h
h
k
l
G
*
k
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3
c
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倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
2-3晶体学基础
• • • • 对照片中各对弧对进行编号、标注。 测量有效周长（半周长L）。 测量并计算各弧对的间距（S/2）。 S 90 1 计算 和 d。 d
2 L
2 sin i
• 指数标定，计算晶胞参数。
a d ( HKL ) H 2 K 2 L2
2 sin
Fhkl = fa e2i(h0+k0+l0) = fa [cos2(0)+isin2(0)] = fa
讨论点阵消光的时候，只考虑每个 点阵点对应一个原子的最简单情况。 讨论结构消光的时候，考虑到一个 点阵点对应多个原子的情况。
欧拉公式： e+ix = cos(x) +isin(x) e-ix = cos(x) -isin(x).
4
面心点阵
(相同)
cos2n+isin2n = 1
cos(2n+1)+isin(2n+1) =-1
结论：在面心点阵情况下，hkl 为全奇或全偶时，都 能产生衍射。奇偶混合时出现消光。
5
• 底心点阵
– 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为0,0,0 和1/2,1/2,0。 – 在底心点阵中，h + k 为奇数时出现消光。
H 2 K 2 L2
33
f. •
•
34
衍射角为 7.5
35
2. 聚焦法
利用发散度较大的入射 X 射线束，照射试样上较大区域，由多晶体试 样中某一组 (hkl) 晶面族所发生的衍射线束在照相底片上仍然聚焦到一 点 (或一条细线) 的衍射方法，称为聚焦法。该方法比德拜-谢乐法具有 更高的灵敏度。
不对称装片法计算 时，不需要相机半径 数据，可减少误差来源。
2 L
2 sin i
• 指数标定，计算晶胞参数。
a d ( HKL ) H 2 K 2 L2
2 sin
Fhkl = fa e2i(h0+k0+l0) = fa [cos2(0)+isin2(0)] = fa
讨论点阵消光的时候，只考虑每个 点阵点对应一个原子的最简单情况。 讨论结构消光的时候，考虑到一个 点阵点对应多个原子的情况。
欧拉公式： e+ix = cos(x) +isin(x) e-ix = cos(x) -isin(x).
4
面心点阵
(相同)
cos2n+isin2n = 1
cos(2n+1)+isin(2n+1) =-1
结论：在面心点阵情况下，hkl 为全奇或全偶时，都 能产生衍射。奇偶混合时出现消光。
5
• 底心点阵
– 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为0,0,0 和1/2,1/2,0。 – 在底心点阵中，h + k 为奇数时出现消光。
H 2 K 2 L2
33
f. •
•
34
衍射角为 7.5
35
2. 聚焦法
利用发散度较大的入射 X 射线束，照射试样上较大区域，由多晶体试 样中某一组 (hkl) 晶面族所发生的衍射线束在照相底片上仍然聚焦到一 点 (或一条细线) 的衍射方法，称为聚焦法。该方法比德拜-谢乐法具有 更高的灵敏度。
不对称装片法计算 时，不需要相机半径 数据，可减少误差来源。
材料科学导论-第一章 晶体学基础3
3、六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样， 其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
立方晶系：
d hkl
a h k l
2 2 2
§ 1.6 晶面指数及晶面间距 范例:
m/l
c
a
m/k
b
m/h
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
பைடு நூலகம்
c a
（100）
b
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
d V [h b c sin k a c sin l a b sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2hkabc (cos cos cos )
2
2kla bc(cos cos cos )
2
2hlab c(cos cos cos )]
2
2 2 2
1
2
1 2
V abc(1 cos cos cos 2cos cos cos )
单斜晶系：d＝sinβ(h2/a2＋k2sin2β/b2＋l2/c2－2hlcosβ/ac)-1/2 正交晶系：d＝[h2/a2＋k2/b2＋l2/c2]-1/2 四方晶系：d＝[(h2＋k2)/a2＋l2/c2]-1/2 六方晶系：d＝[4(h2＋hk＋k2)/3a2＋l2/c2]-1/2
晶体学基础 3
η=nv/V
n：晶胞原子数 v：每个原子所占的体积 V：晶胞的体积
一个晶胞内的原子数n
• 这可从晶胞图中直观看出。但要注意，位于晶胞顶点的原子 是相邻的8个晶胞共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/8。 位于晶胞的棱上原子是相邻的4个晶胞共有的，故属于一个 晶胞的原子数是1/4。位于晶胞外表面上的原子是两个晶胞 共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/2。
• 填在四面体间隙的最大间隙原子是和4个顶 点的原子同时相切，故二者半径之和为：
密排六方间隙
八面体间隙
• hcp 晶体的八面体间隙如图所示。其形状与fcc 晶胞的八面体间隙完全相似，而间隙的位置不同 。从图看出，在一个hcp 晶胞内有6个八面体间隙 ，故八面体间隙数与原子数之比为6∶6 = 1∶1。
和
D2 是晶体学上的等
价方向，但其晶向指 数却分别是[100]和 [110]。
• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法 由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的 各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带 来很大的不便。为了克服这一缺点，或者 说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具 有类似的指数，对六方晶体来说，就得放 弃三指数表示，而采用四指数表示。
共3个等价面(Ⅱ型棱柱面)。 •而{0001}只包括(0001) 一个晶面，称为基面。六 方晶体中比较重要的晶面 族还有 ，请读者写 出其全部等价面。
四指数表示晶向指数
• 用四个轴分量来表示一个空间矢量的方法有无穷多种，现在 行走法的方法的困难来自共面的三个轴。 • 看OA矢量，两轴的唯一表示是[-2,-1]。但三轴则有无限多种 • [-1,0,1]，[0,1,2]，[-2,-1,0]，[1,2,3]等。 • 看OB矢量，两轴的唯 • 一表示是[-4,-3]，但三 • 轴则有[-1,0,3]，[-4,-3,0] • 一定要附加一个约束 • 条件，才能是指数唯 • 一。因 • a1 + a2 + a3 = 0 • 所以约束条件是： • u+ v + t = 0 • 这样，正确的指数是 • OA是 [1 0－1] ， • OB是[－5－2 7]
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4
2
6
间
隙
• 从晶体原子排列的刚球模型可以看到，在原子球与原子球 之间存在着不同形貌的间隙。主要有两类间隙即：四面体 间隙和八面体间隙。 • 晶体结构中间隙的数量、位置和每个间隙的大小等也是晶 体的一个重要特征，对于了解金属的性能、合金相结构、 扩散、相变等问题很有用处。
面心立方
配位数
CN＝12
八面体间隙
体心立方
bcc 晶体的八面体间隙如图所示，其位置和形状不同于 fcc 晶胞的八面 体间隙。间隙的中心位于晶胞的面心和晶胞棱的中点（对 bcc 晶体，这
些都是等同点），一个晶胞中八面体间隙的数量是6（个），故八面体间 隙数与原子数之比为6∶2 = 3∶1。
间隙原子只和相距它为a/2的两个原子相切，既和体心原子相切。 而不和相距为 2 a 的四个原子（顶点原子）相切。
和
D2 是晶体学上的等
价方向，但其晶向指 数却分别是[100]和 [110]。
• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法 由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的 各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带 来很大的不便。为了克服这一缺点，或者 说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具 有类似的指数，对六方晶体来说，就得放 弃三指数表示，而采用四指数表示。
• 填在四面体间隙的最大间隙原子是和4个顶 点的原子同时相切，故二者半径之和为：
密排六方间隙
八面体间隙
• hcp 晶体的八面体间隙如图所示。其形状与fcc 晶胞的八面体间隙完全相似，而间隙的位置不同 。从图看出，在一个hcp 晶胞内有6个八面体间隙 ，故八面体间隙数与原子数之比为6∶6 = 1∶1。
面心立方致密度
原子直径是a/2<110>的长度，即 面心立方结构的晶胞体积为a3，晶 胞内含4个原子，所以它的致密度η 为
a 2
体心立方
配位数
CN＝8
体心立方致密度
• 原子直径是a/2<111>的 长，即 面心立 方结构的晶胞体积为a3 ，晶胞内含2个原子，所 以它的致密度η为
密排六方
配位数 •• • • • • • •• • •• • • • ••
共3个等价面(Ⅱ型棱柱面)。 •而{0001}只包括(0001) 一个晶面，称为基面。六 方晶体中比较重要的晶面 族还有 ，请读者写 出其全部等价面。
四指数表示晶向指数
• 用四个轴分量来表示一个空间矢量的方法有无穷多种，现在 行走法的方法的困难来自共面的三个轴。 • 看OA矢量，两轴的唯一表示是[-2,-1]。但三轴则有无限多种 • [-1,0,1]，[0,1,2]，[-2,-1,0]，[1,2,3]等。 • 看OB矢量，两轴的唯 • 一表示是[-4,-3]，但三 • 轴则有[-1,0,3]，[-4,-3,0] • 一定要附加一个约束 • 条件，才能是指数唯 • 一。因 • a1 + a2 + a3 = 0 • 所以约束条件是： • u+ v + t = 0 • 这样，正确的指数是 • OA是 [1 0－1] ， • OB是[－5－2 7]
• 4)fcc 和 hcp 中的八面体间隙远大于 bcc 中的八面体或 四面体间隙，因而间隙原子在 fcc 和 hcp 中的溶解度往 往比在 bcc 中大得多。 • (5) fcc 和 hcp 晶体中的八面体间隙大小彼此相等，四 面体间隙大小也相等，其原因在于这两种晶体的原子堆垛 方式非常相像。
复
• 复式点阵
习
• 原胞和晶胞区别 • 晶面三指数标定 • 晶向三指数标定 • 晶面族和晶向族
六方晶系指数表示
上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三 指数表示方法，原则上适用于任意晶系。对六方 晶系，取 a，b，c 为晶轴，而 a 轴与 b 轴的夹 角为120°，c 轴与 a，b 轴相垂直，如图所示。
η=nv/V
n：晶胞原子数 v：每个原子所占的体积 V：晶胞的体积
一个晶胞内的原子数n
• 这可从晶胞图中直观看出。但要注意，位于晶胞顶点的原子 是相邻的8个晶胞共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/8。 位于晶胞的棱上原子是相邻的4个晶胞共有的，故属于一个 晶胞的原子数是1/4。位于晶胞外表面上的原子是两个晶胞 共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/2。
四轴坐标系中，晶向指数的 确定，首先要求出三轴坐标 系的晶向指数[U V W]，然 后利用上述关系，换算成四 轴坐标系中的晶向指数 [u v t w]。
常见晶体结构
一、常见晶体结构在金属晶体中，金属键使原子的排列趋于尽 可能地紧密，构成高度对称性的简单的晶体结构。最常见的金 属晶体结构有以下三类。 面心立方:Al，γ-Fe，Ni，贵金属以及奥氏体不锈钢等。 体心立方：碱金属、难熔金属（V，Nb，Ta，Cr，Mo，W） 、α-Fe 等等。 密排六方 ：α-Be， α-Ti， α-Zr等
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，
即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上
等价的晶面，但其密勒指数（Miller Indices）却分别是
(100)。 •图中夹角为 60°的 两个密排方向 D1 和
• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2， a3 和 c 轴，如图所示，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用四指 数表示的晶面及晶向指数。
四指数表示晶面指数
• 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，步 骤如下： • （1）先找出该面在四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵 常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指数这样得到的 晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。 从图所示的4个轴的几何关系 不难看出，只要晶面在a1和a2 轴上的截距一定，它在a3上的 截距也就随之而定。可见， h,k和i三个指数不是独立的。 事实上，可以证明
此外，以晶胞中部三个原子中的每一个为顶点
，以其上方（顶层）和下方（底层）的三个原
子构成的三角形为底，分别可作一四面体，其 中心就是四面体间隙的中心。这样，一个六方 晶胞内的四面体间隙总数应是 c 轴上的间隙数 、6 条平行于 c 轴的棱上的间隙数以及通过晶 胞中部的三个原子而平行于c 轴的三条竖直线 上的间隙数之和。其值为2＋6×2×1/3＋2×3
• 相邻的原子相互接触，原子中心就是八面体的各个角顶。
根据几何学关系可以求出间隙能够容纳的最大圆球半径。 假设原子半径为 r，间隙中能容纳的最大圆球半径为 rx ，
则可以算出八面体间隙相对大小rx / r。
四面体间隙
fcc 晶胞的四面体间隙位于 4 个 原子组成的正四面体的中间，如 图 所示。如果用(200)，(020)和
2
体心立方四面体间隙
bcc 晶体的四面体间隙如图所示，它是位于由两个相邻晶胞的体心 原子以及它们的公共棱上的两个原子所构成的四面体的中间，图 中的红色三角形表示间隙的中心位置。显然，每个表面（{100}面） 上都有 4 个和中心点等同的点，故一个晶胞中的四面体间隙数为 6×4×1/2 （个），四面体间隙数与原子数之比为12∶2 = 6∶1。
0.127nm，按上式求得γ-Fe的四面体和八面体间隙的球半径
分别为0.028nm和0.052nm。由于碳原子半径为0.077nm，氮 原子半径为0.070nm，虽稍大于 -Fe的八面体间隙的球半径， 但只要将铁原子稍微挤开使间隙扩大一点，碳、氮原子即可 进入八面体间隙之中，因此，γ-Fe中能溶入碳、氮原子形成 间隙固溶体。
i＝－（h＋k）。Fra bibliotek• 六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图 。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价 的晶面）就具有类似的指数。例如：
1010 1010 1100 0110
• 共3个等价面(Ⅰ型棱柱面)。
1120 1120 1210 2110
几何特征：配位数、一个晶胞原子数、紧密系数和间隙
配位数
配位数是指晶体结构中，与任一原子最近邻并且等距离的原子 数。对纯元素晶体来说，任一原子到最近邻原子的距离必然是 相等的。但是，对于多种元素形成的晶体来说，任一原子到不 同元素的最近邻原子的距离不一定相等，这里，“最近”是就 同种元素的原子相比较而言的，而配位数则是一个原子周围的 各元素的最近邻原子数之和。配位数通常用 CN 表示。
单质晶它是每个原子的最近邻数目，晶体中最大的配位数为12 ，但在一些非单质的晶体中CN可以大于12 。因为金属结构一 般有高的对称性，单质金属的CN没有11、10、9等数值 。 CN 顺序分别为12、8、6、4、2、1。金属结构大部分是密堆的，它 们的CN大多是12或8。
致密度
• 致密度又称堆垛密度或空间填充的效率η，它表示原子排 列的密集程度。它定义为晶体结构中单位体积中原子所占 的体积。假如把金属晶体中的原子看成是有一定直径的刚 球，则紧密系数可以用刚球所占空间的体积百分数来表示 。若以一个晶胞来计算，致密度就等于晶胞中原子所占体 积与晶胞体积之比，即： • 致密度 ＝晶胞中原子所占体积之和/晶胞的体积。
• 在原子半径相同的条件下，hcp 晶体的八面体间隙大小与fcc 晶胞的八面体间隙大小相同。
四面体间隙
• hcp 晶体的四面体间隙位置如图所示。其形状与 fcc 晶胞的四 面体间隙完全相似，而间隙的位置不同，位于c 轴上有两个四面 体间隙。由于平行于c 轴的6条棱上的原子排列情况是和 c 轴完 全相同的，故在每条棱上与c 轴上间隙对应的位置也有两个四面 体间隙。
＝12（个），所以四面体间隙数与原子数的比
为12∶6 = 2∶1。
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