八年级数学上册 第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第4课时“斜边直角边”11-15
12.2三角形全等的判定第4课时斜边、直角边(HL)教案2021-2022学年人教版数学八年级上册
12.2 三角形全等的判定第4课时斜边、直角边（HL）一、教学目标1.掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”（即“HL”）．2.会运用“HL”解决一些简单的实际问题和推理证明问题.二、教学重难点重点“斜边、直角边”的探究及其运用.难点灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，并注意“HL”与其他判定方法的区别与联系.重难点解读“HL”是直角三角形特有的判定方法，对于一般三角形不适用.“HL”实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不适用，因此在“HL”使用过程中要突出直角三角形这个条件.三、教学过程活动1 旧知回顾1.如图，在Rt△ABC中，直角边是________，________，斜边是________.2.我们学过的判定两个三角形全等的方法有：________，________，________，________.活动2 探究新知1.教材第41页思考.提出问题：（1）判定一般三角形全等的依据是什么？请说出它们的共同点.（2）对于两个直角三角形，除了直角相等外，还需要满足几个条件，就能证明这两个直角三角形全等？2.教材第42页 探究5.提出问题：（1）你能画出Rt △A ′B ′C ′吗？怎么画？用什么方法？（2）将画好的Rt △A ′B ′C ′剪下，比一比，看一看，它能否与Rt △ABC 重合？（3）根据上面的探究，你能否得出判定两个直角三角形全等的条件？ 活动3 知识归纳提出问题：（1）判定两个直角三角形全等的特殊方法是什么？它对一般的三角形是否适用？（2）归纳判定两个直角三角形全等的方法.1． 斜边 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ HL ”.2.判定两个直角三角形全等的方法有 SSS ， SAS ， ASA ， AAS ，HL .HL 只适用于 直角三角形 ，对于一般三角形不适用.活动4 典例赏析及练习例 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD=CB.求证：AD ∥BC.【答案】证明：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD=∠CDB=90°（垂直的定义）.在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，,,AD CB BD DB ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）.∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.练习：1.下列语句中不正确的是（ C ）A.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等B.有两边对应相等的两个直角三角形全等C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等D.有一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF，下列结论错误的是（ D ）A.DF∥AEB.∠C=∠BC.CF=BED.∠A+∠D=90°活动5 课堂小结1.“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形.2.证明两个直角三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意SSA 和AAA不能判定两个三角形全等.四、作业布置与教学反思。
12.2 第4课时 用“HL”判定两个直角三角形全等课件2024—2025学年人教版数学八年级上册
夯实基础 能力提升
夯实基础 能力提升 思维拓展
(3)如图3，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°. ∵点A(2,2)，∴AN＝AM＝2. ∵AB＝AC，由(1)知BN＝MC， ∴OC－OB＝OM＋MC－(BN－ON)＝OM＋ON＝4.
夯实基础 能力提升 思维拓展
解：(1)证明：如图1，在Rt△ADB和Rt△AEC中，AB＝AC， AD＝AE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC(HL)，∴EC＝DB. (2)证明：如图2，连接AF.由(1)知EC＝DB. ∵∠AEF＝∠D＝90°，AF＝AF，AD＝AE， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)， ∴DF＝EF，∴CF＝EF＋CE＝DF＋DB.
夯实基础 能力提升 思维拓展
5．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE.求证：BF＝ EC.
证明：∵∠B＝∠E＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AACB＝＝DDEF，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)， ∴BC＝EF， ∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝EC.
夯实基础 能力提升 思维拓展
2 直角三角形全等的判定方法综合
思维拓展
7．下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是
( D) A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等
夯实基础 能力提升 思维拓展
人教版八年级数学上册第12章《全等三角形：12.2.3 三角形全等的判定(ASA,AAS)》
A
C
B
E
D F
第十二章 全等三角形
证明：在△ABC和△DEF中,
∠A +∠B +∠C＝1800,
∠D +∠E +∠F =1800,
∵ ∠A ＝∠D, ∠B＝∠E,
∴ ∠C＝∠F,
在△ABC和△DEF中
B
∴ ∠B＝∠E,
符号语言表示
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D （已知 ） AB=DE（已知 ）
B
C
D
∠B=∠E（已知 ）
∴ △ABC≌△DEF（AS等三角形
例3 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交 于
点O，AB=AC，∠B=∠C.
求证：AD=AE BD=CE
A
A
A
ED
D
E
B
C
O
B
C
D
E
F
第十二章 全等三角形
已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
D
证明： 在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知） ∠D=∠C（已知） AB=AB（公共边）
1
A2
B
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
C
BC＝EF,
∠C＝∠F,
∴ △ABC ≌△DEF （ASA） E
A C
D F
第十二章 全等三角形
有两角和它们中的一边对应相等的两个三
角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
符号语言：
A
在△ABC和△DEF中
河北省八年级数学上册12-2三角形全等的判定第4课时用“HL”判定三角形全等新版新人教版
行探究.
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【探索研究】
已知：在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF .
(1)如图①，当∠ B ＝∠ E ＝90°时，根据 HL ，可知
Rt△ ABC ≌Rt△ DEF .
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Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝10， BC ＝5，线段 PQ
＝ AB ， P ， Q 两点分别在线段 AC 和过点 A 且垂直于 AC
的射线 AD 上运动，当 AQ ＝
时，△ ABC 和
5或10
△ PQA 全等.
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11. [2023东莞期中]如图，已知 AD ⊥ BC 于点 D ， BE 交 AD
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【探索研究】
已知：在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF .
(3)如图③，当∠ B ＝∠ E ＞90°时，△ ABC 与△ DEF 是否
全等？若全等，请加以证明；若不全等，请举出反例.
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解：(3)△ ABC ≌△ DEF . 证明如下：如图③，作 AG ⊥
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8Leabharlann 91011
八年级数学上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第4课时利用HL判定两个直角三角形全等习题名
11.如图1，已知点P的坐标为(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA＝PB.(1)求证：PA⊥PB；(2)求OA－OB的值；(3)如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，求OA＋OB的值.
(2)解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF.∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OB＋OF＝OB＋2，∴OA－2＝OB＋2，∴OA－OB＝4.(3)解：过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F.同(1)可得Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF.∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB，∴OA－2＝2－OB，∴OA＋OB＝4.
谢谢大家
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子积极向上的心态，是成功者的最基本要素生活总会给你另一个机会，人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48我们必须在失败中寻找胜利10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
易错点 混淆直角三角形全等的判定方法
5.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
拔尖角度一 分类讨论与“HL”判定方法的综合
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
龙湾区第一中学八年级数学上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第4课时用“HL”证直角三角形
14．阅读下面材料 : 学习了三角形全等的判定方式(即〞SAS”〞ASA”〞AAS”〞SSS”)和直 角三角形全等的判定方式(即〞HL”)后 , 小聪继续対〞两个三角形满足两 边和其中一边的対角対应相等”的情形进行研究． 小聪将命题用符号语言表示为 : 在△ABC和△DEF中 , AC＝DF , BC＝ EF , ∠B＝∠E. 小聪的探究方式是対∠B分为〞直角、钝角、锐角”三种情况进行探 究． 第一种情况 : 当∠B 是直角时 , 如下图1 , △ABC和△DEF中 , AC＝DF , BC＝EF , ∠B＝∠E＝90° , 根据〞HL”定理 , 可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF.
DF , BC＝EF , ∠B＝∠E＞90°.过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M ,
同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于点N , 根据〞AAS” , 可以知道
△CBM≌△FEN , 请补全图形 , 进而证出△ABC≌△DEF.
解：第二种情况选 C.理由：由题意，满足条件的点 D 有两个，故△ABC
解：(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在 AB＝AC，
Rt△ABD 和 Rt△CAE 中，AD＝CE， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠BAD ＝∠ECA.∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∴∠BAC＝ 180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°.∴AB⊥AC.
与同桌同学合作，掷10次硬币，并把10次试验结果记录下来：
(1）计算“正面朝上”和“反面朝上”的频数各是多少，它们之间有什 么关系？ (2）计算“正面朝上”和“反面朝上”的频率各是多少，它们之间有什 么关系？
罗田县第七中学八年级数学上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第4课时斜边直角边教案1新版新
12.2 三角形全等的判定(4).,,AD BC BD AC AD BD BC AC ==⊥⊥求证：如图，例（2）画好后，把Rt △A'B'C'剪下，放到Rt △ABC 上，看它们全等吗? （3）发现了什么结论？（全等）．结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL ”）．注意两点：一是“HL ”是仅适用于Rt △的特殊方法。
二是应用“HL ”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt △的条件 4．讲解教材P42页例5结合图形，先分析已知条件和求证．从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)…… 小组展示自己的成果：AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，又加上AC ＝BD ，我们能找到两个Rt △：Rt △ADB ，Rt △BCA ．又因为AC ＝BD 已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了．从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt △，看看这些Rt △的关系．若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了．的重点．让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件．自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心．让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦．巩固练习教科书第43页练习1、2．小结与作业小结提高 你有什么收获? 你还有什么疑问？ 布置作业 1．必做题： 2．选做题：第2课时 “边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用． 难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？ 2．全等三角形有哪些性质？ 3．“SSS ”具体内容是什么？ 二、新知探究已知△ABC，画一个三角形△A′B′C′，使AB ＝A′B′∠B ＝∠B ′，BC ＝B′C′. 教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法． 操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？ (2)上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB＝AC，点D，E分别是AB和AC上的点，且DB＝EC.求证：∠B＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程．五、小结与作业1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角．2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时异分母分式的加减【知识与技能】理解并掌握异分母分式加减法的法则.【过程与方法】经历异分母分式的加减运算的探讨过程，训练学生的分式运算能力.【情感态度】培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识.【教学重点】异分母分式加减法的计算.【教学难点】异分母分式加减法的计算.一、创设情境，导入新课1.同分母分式是怎样进行加减运算的？2.异分母分数又是如何进行加减？3.那么314a a+=？你是怎么做的？【教学说明】通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时对问题3运用类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章.二、思考探究，获取新知1.类比异分母的分数相加减的法则，异分母的分式如何进行加减呢？【归纳结论】异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．2.思考：从甲地到乙地依次经过1千米的上坡路和2千米的下坡路.已知小明骑车在上坡路上的速度为vkm/h，在下坡路上的速度为3vkm/h，则他骑车从甲地到乙地需要多长时间？【分析】他骑车从甲地到乙地的时间分为2段，即，走上坡路所用时间、走下坡路所用时间.解：根据题意可得，所以，小明骑车从甲地到乙地需要53vh.【教学说明】使学生掌握应用分式的加减法则解决实际问题的方法.三、示例讲解，掌握新知1.见教材P28例5、例6、P29例7.2.计算:【教学说明】让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分母分式加减法法则.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.4”中第3、4题.在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好，但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于计算结果应该为最简分式理解不够，总是无法化到最简的形式，所以对异分母的加减法还要加强练习.。
2022年秋八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 第4课时 直角三角形全
易错点：将“HL”与“AAS”混淆．
自我诊断 3. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别为 E、F，∠B＝∠C，则△BDE 与△CDF 全等的依据是( C )
A．HL C．AAS
B．SAS D．SSS
1．如图，可直接用“HL”判断 Rt△ABC 和 Rt△DEF 全等的条件是( C )
12．如图①，E、F 分别为线段 BC 上两个动点，AB＝CD，AE⊥BC 于点 E， DF⊥BC 于点 F，CE＝BF，AD 交 EF 于点 O. (1)猜想 O 是哪些线段的中点，选择一个结论给出证明； (2)当 E、F 两点移动至如图②所示的位置时，其余条件不变，(1)中的猜想 是否成立？直接写出结论，不需证明．
2018秋季
数学 八年级 上册•R
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定 第4课时 直角三角形全等的判定
用“HL”证明三角形全等 斜边 和 一直角边 对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、 直角边”或“HL”)． 自我诊断 1. 如图所示，BD、CE 是△ABC 的高，且 BD＝CE，则可以判定 Rt△BCD≌Rt△CBE 的依据是 HL .
A．AC＝DF，BC＝EF
B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE
D．∠B＝∠E，BC＝EF
2．如图所示，已知 AB＝CD，AE⊥CD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，AE＝CF，
则图中全等三角形有( C )
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
3．如图所示，AB⊥BC 于 B，AD⊥CD 于 D，若 CB＝CD，且∠BAC＝35°， 则∠BAD＝ 70° . 4．如图，AD⊥BC 于点 D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”来判定，还 需要加条件 AB＝AC ，若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定．
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【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
例5
1.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD.求证：Байду номын сангаас
以剧情介绍为例，发展下去定会成为行业的标杆，起到引领市场的重要作用。 剧情介绍 /
在网络纷纷议论南笙是不是过气了的时候，南笙两耳不闻窗外事，一心打磨演技。未来，国产影视剧要坚持精品化策略、“出海”闯市场，在做大做强行业的同 时，将我国的优秀文化带到世界各地。，
⑴ 作∠MC＇N=90°; M
⑵ 在射线C＇M上截取线段
M
C＇B＇=CB;
B＇
C＇
N
C＇
N
⑶ 以B＇为圆心,BA为半径画 ⑷连接A＇B＇.
弧，交射线C＇N于点A＇; M
M
B＇
B＇
C＇
A＇ N
C＇
A＇ N
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.
【例题】
【例】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
BC=AD.
D
C
【证明】∵AC⊥BC, BD⊥AD,
∴∠C 与∠D都是直角.
A
B
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
又∵AB=BA
AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴BC=AD.
2016年，我国国产电影票房占票房总额的58.33%，全年票房过亿的89部影片中有48部为国产电影。勤奋成就前进的阶梯，作品铺就成长的基石，宋茜在演员的 道路上始终不忘初心刻苦钻研，用角色证明自己。从影片产量的角度来看，我国国产影片制作数量从2007年的451部增长到2016年的944部，年均复合增长率达 到8.55%，其中上映的影片数为415部。
提起由西影出品并于1995年上映的《大话西游》系列电影，无疑是中国电影史上独一无二的存在，时至今日仍让观众回味无穷，成为几代影迷心中永恒的经典