华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训
2024—2025学年华东师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》基础复习
第13章基础复习知识点1命题、定理与证明1.一般地，判断某一件事情的语句叫做命题.命题一般由条件和结构两部分组成，可以写成“如果……,那么……”的形式.2.基本事实是在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据.3.定理：有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.4.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.1.下列命题中，是真命题的是()A.无限小数是无理数B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C.平行于同一条直线的两条直线平行D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.判断命题“如果n<1，那么W−1<0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为()A.-2u−12 C.0D123.把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：.4.填写下列证明过程中的推理根据：已知:如图所示,AC、BD相交于点O,DF平分∠CDO与AC相交于点F,BE平分∠ABO与AC相交于点E,∠A=∠C.求证:∠1=∠2.证明:∵∠A=∠C(),∴AB∥CD(),∴∠ABO=∠CDO(),又∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO,∴∠1=12∠Cs∠2=12∠B(),∴∠1=∠2().知识点2三角形全等的判定1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形，相互重合的顶点是对应顶点，相互重合的边是对应边，相互重合的角是对应角，全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定条件：①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写为S. A.S.(或边角边).②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写为A.S. A.(或角边角).③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写为A. A.S.(或角角边).④三边分别相等的两个三角形全等.简写为S.S.S.(或边边边).⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写为H.L.(或“斜边直角边”).5.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=32°,∠BAD=72°,则∠ACD的度数是()A.102°B.112°C.114°D.1226.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A.∠A=∠DB.AC=DFC.AB=EDD.BF=EC7.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.28.图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的()A.点DB.点CC.点BD.点A9.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙10.如图所示,在Rt△ACD和Rt△BCE中,若AD=BE,DC=EC,则不正确的结论是()A.Rt△ACD≌Rt△BCEB.OA=OBC.E是AC的中点D.AE=BD11.如图,点D在线段BC上,若BC=DE,AC=DC,AB=EC,且∠ACE=180°-∠ABC-2x°,则下列角中，大小为x°的角是()A.∠EFCB.∠ABCC.∠FDCD.∠DFC12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且C B=14,点E、F在线段AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC,若△B=20,则.△B+△C=()A.18B.15C.12D.913.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,结论:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件:,使得△ABC≌△DEC.15.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,,则全等三角形有对.16.如图,已知△ABC中,F是高AD和BE的交点,且AD=BD,CD=4,则线段DF的长度为.17.(南通中考)如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连结AC并延长到点D，使CD=CA.连结BC并延长到点E，使CE= CB.连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么?18.如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,求边AB的取值范围.19.如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.(1)求证:△AOD≌△OBC.(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.20.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC，∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合.(1)求证:△ADC≌△CEB.(2)求两堵木墙之间的距离.21.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE.(2)求∠FAE的度数.(3)求证:CD=2BF+DE.。
华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(提高)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（）．A．150° B．210° C．105° D．75°2.（2016•济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF3. 下列四个命题中，属于真命题的是（）．A.互补的两角必有一条公共边B.同旁内角互补C.同位角不相等，两直线不平行D.一个角的补角大于这个角4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）． A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定5. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的12AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）．A.7B.14C.17D.206. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1 B．1.5 C．2 D．2.57.如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形 B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）．A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11.如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，则∠A的度数为________．13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是 .15.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．16. （2016•抚顺）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD 时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．19．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等 B．不全等 C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°，求证：△ABC≌△DEF．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°．2. 【答案】D；【解析】（1）△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；（2）△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；（3）△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误.3. 【答案】C；【解析】答案A是假命题，因为互补的两角不一定有一条公共边；答案B是假命题，同旁内角不一定互补，在两直线平行的前提下，同旁内角互补；答案C是真命题；答案B是假命题，一个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角.4. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可.5. 【答案】C；【解析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．6. 【答案】A；【解析】延长BD交AC于E，由题意，BC＝CE＝3，AE＝BE＝5－3＝2，且BD＝DE＝12BE＝1.7. 【答案】D；【解析】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；C、在AB上截取AE=AC，连接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本选项正确；故选D．8. 【答案】A；解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，故S＝12（6＋4）×16－3×4－6×3＝50．二.填空题9. 【答案】20；【解析】过M作MD⊥AB于D，可证△ACM≌△ADM，所以DM＝CM＝20cm.10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】1；【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.12．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．13.【答案】135°；【解析】点O 为角平分线的交点，∠AOC ＝180°－12（∠BAC ＋∠BCA ）＝135°. 14. 【答案】30°或75°或15°；【解析】根据不同边的高分类讨论.15.【答案】15；【解析】因为六边形ABCDEF 的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF ＝x ，EF ＝y ，则有x ＋1＋3＝x ＋y ＋2＝3＋3＋2＝8所以x ＝4，y ＝2，六边形ABCDEF 的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.16.【答案】（2，4）或（4，2）；【解析】①当点P 在正方形的边AB 上时，Rt △OCD ≌Rt △OAP ，∴OD=AP ，∵点D 是OA 中点，∴OD=AD=OA ，∴AP=AB=2，∴P （4，2），②当点P 在正方形的边BC 上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P （2，4）．三.解答题17.【解析】证明：如图所示，在AC 上取点F ，使AF ＝AE ，连接OF ，在△AEO 和△AFO 中，,12,AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEO ≌△AFO （SAS ）．∴ ∠EOA ＝∠FOA ．∵ ∠B ＝60°，∴ ∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC ＋∠BCA) ＝180°－12(180°－60°) ＝120°．∴ ∠AOE ＝∠AOF ＝∠COF ＝∠DOC ＝60°．在△COD 和△COF 中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COD ≌△COF （ASA ）．∴ CD ＝CF ．∴ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．18．【解析】解：（1）如图．∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝(18030)2-÷＝75°．∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴∠1＝∠ABC －∠DBC ＝75°－30°＝45°．∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ．∴AD 平分∠BAC ．∴∠2＝21∠BAC ＝ 3021⨯＝15°． ∴∠ADE ＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．（2）证明：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．∵△ADM 中，DM ＝DA ，∠ADE ＝60°，∴△ADM 为等边三角形．∵△ABE 中，AB ＝AE ，N 为BE 的中点，∴BN ＝NE ，且AN ⊥BE ．∴DN ＝NM ．∴BN －DN ＝NE －NM ，即 BD ＝ME ．∵DB ＝DC ，∴ME ＝DC ．19.【解析】解：第二种情况：如图1所示：以F 为圆心，AC 长为半径画弧，交射线EM 于D 、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF 和△ABC 不全等； 故选：C ；第三种情况：证明：如图2所示：过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH⊥DE 交DE 的延长线于点H ，∵∠B=∠E，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG 和△FEH 中，，∴△CBG≌△FEH（AAS ），∴CG=FH，在Rt△ACG 和Rt△DFH 中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL ），∴∠A=∠D，在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC≌△DEF（AAS ）．20．【解析】证明：问题1：21，2 ； 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG ＝AC ，连接GD ．（如图） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2．在△AGD 和△ACD 中，AG AC 12 A D AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AGD ≌△ACD ．∴DG ＝DC ．∵△BGD 中，BD －DG ＜BG ，∴BD －DC ＜BG ．∵BG ＝ AB －AG ＝ AB －AC ，∴BD －DC ＜AB －AC ．（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD ＝CD ，∠4 ＝∠3＝60°．∴∠5 ＝180°－∠3－∠4＝180°－60°－60°＝60°． ∴∠5 ＝∠3．在△BGD 和△ECD 中，53DB DE DG DC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△BGD ≌△ECD ．∴∠B ＝∠6．∵△BFC 中，∠BFC ＝180°－∠B －∠7 ＝180°－∠6－∠7 ＝∠3， ∴∠BFC ＝60°．。
华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(基础)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1. 下列说法中不正确的是（ ）．A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称 △C.若 ABC ≌ △A 1B 1C 1 ,则这两个三角形一定关于一条直线对称 D.直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，若 P 点使 PA ＝PB ，则点 P 在 MN 上，若 P 1A ≠P 1B ，则 P 1 不在 MN 上2. 下列语句中，属于命题的是（ ）．A.直线 AB 和 CD 垂直吗B.过线段 AB 的中点 C 画 AB 的垂线C.同旁内角不互补，两直线不平行D.连结 A ，B 两点 3．（2016•新疆）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ，AB=DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A=∠DB ．BC=EFC ．∠ACB=∠FD ．AC=DF 4. 在下列结论中, 正确的是( ) ．A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等 5. 图中的尺规作图是作（ ）．A. 线段的垂直平分线B. 一条线段等于已知线段C. 一个角等于已知角D. 角的平分线 6．如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（）．A. AB 垂直平分 CDB. CD 垂直平分 ABC. AB 与 CD 互相垂直平分D. CD 平分∠ACB7. 如图，△ABC 中∠ACB ＝90°,CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的角平分线 AF 交 CD 于 △E ，则CEF 必为（ ）． A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（1）DA平分∠EDF；（△2）EBD≌FCD；（△3）AED≌AFD；（△4）AD垂直BC．（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题9．“直角三角形两个锐角互余”的逆命题是：如果_________，那么_________．10.△ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．13.如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________．14．（2016秋•扬中市月考）如图，AC⊥AB，AC⊥△C D，要使得ABC≌△CDA．（1）若以“SAS”为依据，需添加条件；（2）若以“HL”为依据，需添加条件．15.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16.如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．三.解答题17.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到∠MON两边的距离也相等．19.（1）如图△1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+=2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．20．已知：如图，△ABC中，∠ACB=45︒，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF 并延长交AC于点E，∠BAD=∠FCD．求证：（△1）ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.2.【答案】C；【解析】根据命题的定义作出判断.3.【答案】D；【解析】∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．4.【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5.【答案】A；【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线.6.【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．7.【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.8.【答案】D；【解析】解：（1）如图，∵AB=AC，BE=CF，∴AE=AF．又∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，∴在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；∵如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴△ABD≌△ACD．又由（△1）知，AED≌△AFD，∴EBD≌FCD．故（△2）正确；（3）由（△1）知，AED≌AFD．故（△3）正确；（△4）∵如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，即AD垂直BC．故（4）正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D．二.填空题9.【答案】一个三角形的两个锐角互余；这个三角形是直角三角形；【解析】本题主要考查了互逆命题的知识，根据概念即可得出答案.10．【答案】①②③；11.【答案】6；【解析】∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=612.【答案】60°或120°；【解析】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．13.【答案】1ab；21【解析】由三角形全等知D点到AB的距离等于CD＝b，所以△ADB的面积为ab.2 14.【答案】AB=CD；AD=BC【解析】（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；△ABC≌△CDA（SAS）；（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；△R t ABC≌△R t CDA（HL）．15.【答案】45°；【解析】△R t BDH≌△R t ADC，BD＝AD.16.【答案】10；【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC.三.解答题17．【解析】证明：延长AB至E，使BE＝BP，连接EP∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°∴∠E＝∠BPE＝802＝40°∵AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，∴∠QBC＝40°，∠BAP＝∠CAP∴BQ＝QC（等角对等边）在△AEP与△ACP中，⎨∠E=∠C⎪A P=AP⎧∠EAP=∠CAP⎪⎩∴△AEP≌△ACP（AAS）∴AE＝AC∴AB＋BE＝AQ＋QC，即AB＋BP＝AQ＋BQ.18.【解析】解：19.【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE=DF，AE=AF；（2）解：AM+AN=2AF；证明如下：由（1）得DE=DF，∵∠MDN=∠EDF，∴∠MDE=∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME=NF，∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠ADN，∴AN=DN，在Rt△CDN中，DN=2CN，∵AC=6，∴DN=AN=×6=4，∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，∴∠CDE=∠MDN，∴DM=DN=4，∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．20．【解析】证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°.∵∠ACB=45︒，∴∠ACB=∠DAC=45︒∴AD＝CD∵∠BAD=∠FCD，∴△ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴BD＝FD.∵∠FDB＝90°，∴∠FBD=∠BFD=45︒.∵∠ACB=45︒，∴∠BEC=90︒.∴BE⊥AC．AEFB D C。
八年级数学上册第13章全等三角形知识点总结华东师大版.
千里之行，始于足下。
八年级数学上册第13章全等三角形知识点总结华东师大版.全等三角形是初中数学中的重要内容，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。
下面是八年级数学上册第13章全等三角形的知识点总结（以华东师大版为例）：1. 全等三角形的概念：两个三角形的对应边和对应角完全相等时，称这两个三角形是全等的。
2. 全等三角形的判定方法：- SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
- SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
- ASA判定法：如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。
- RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. 全等三角形的基本性质：- 三边对应及其夹角相等：若两个三角形是全等的，则它们的对应边分别相等，对应角也相等。
- 各角的对边相等：若两个三角形是全等的，则它们的对应角的对边也分别相等。
- 全等三角形的一些特殊性质（书中详细介绍）第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
4. 全等三角形的画法以及其他几何图形的构造：通过全等三角形的画法，可以进行其他几何图形的构造，如三角形的平分、作等边三角形、作正方形、作平行四边形等等。
5. 全等三角形的应用：- 全等三角形的证明：可以通过全等三角形来证明其他几何定理。
- 解决实际问题：可以利用全等三角形的性质来解决有关长度、角度等问题。
以上就是八年级数学上册第13章全等三角形的知识点总结。
除了理解这些知识点，还需要多做题、多练习，提高解题能力，掌握应用的技巧。
第13章全等三角形-13.2.2全等三角形+课件+++2024—-2025学年华师大版数学八年级上册
巩固练习
1.如图所示，∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC翻折后与
△ADE重合，说明△ABC≌△ADE，则下列结论正确
的是（ D ）
A．AB=AE C．∠ABC=∠AED
B．AC=ED D．∠BAC=∠DAE
巩固练习
2.如图所示，若△ABC沿AB方向平移得到△A′B′C′， 则∠A=∠B′A′C′，∠ABC= ∠A′B′C′，∠C= ∠C′， AB= A′B′，AA′= BB′，AC∥ A′C′．
能否减少一些条件，找到更简便的判定两个三角形 全等的方法呢？
对两个三角形来说，六个元素(三条边、三对角)中至少 要有几个元素对应相等，这两个三角形才会全等呢？
探索新知
探究1 如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出 现几种可能的情况？这两个三角形会全等吗？
两种，一组角或者边对应相等. （1） 画几个有一边长为 8 cm 的三角形，这样得到的三角 形是否全等？
巩固练习
3. 如图，△ABC≌△AED，AB 是△ABC 的最大边，AE 是△AED 的最大边，∠BAC 与∠ EAD 是对应角，且∠BAC = 25°，∠B = 35°，AB = 3 cm，BC = 1 cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段 DE，AE 的长度.
解：∵ △ABC≌△AED(已知)， ∴∠E =∠B = 35°(全等三角形对应角相等)， A
三种，一条边和一个角相等；两个角相等；两条边相等.
按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围 的同学比较一下，所画的图形是否全等.
掌握新知
(1) 三角形的两个内角分别为 30° 和 70°.
30° 70°
华师大版-数学-八年级上册-直角三角形全等的判定 重难点突破
直角三角形全等的判定重难点突破一、“斜边、直角边”判定方法的理解突破建议：直角三角形的斜边和一直角边确定了，根据勾股定理，可以知道第三边也是确定的，从而可以证明满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．但是勾股定理是后面学习的内容，在这里不能运用勾股定理来证明这个结论，只能通过实验操作、观察得出定理．可参考以下教学设计：前面我们学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”），本节课我们继续研究两个直角三角形全等的判定方法．问题1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足哪几个条件，这两个直角两个直角三角形满足的条件全等依据方法1 两条直角边分别相等“SAS”方法2 一个锐角和一条直角边分别相等“ASA”或“AAS”方法3 一个锐角和斜边分别相等“AAS”追问：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？师生活动：师生共同得出上面的三个判定方法，学生思考猜想：满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等．【设计意图】直接进入本节课学习的内容，培养学生分类讨论的思想．让学生大胆提出猜想．问题2：探究5任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？画法：（1）画∠MC′N=90°；（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交C′N于点A′；（4）连接A′B′．追问：作图的结果反映了什么规律?你能用文字语言和符号语言概括吗?文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．(简写成“斜边、直角边”或“HL”)符号语言：在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．师生活动：师生共同进行尺规作图，学生进行操作，观察是否全等．然后教师引导学生得出“斜边、直角边”判定方法，掌握文字和符号语言．【设计意图】通过作图、剪图、比较图的过程让学生获得“斜边、直角边”的判定方法，培养学生发现问题的能力，锻炼学生用数学语言的能力．二、“斜边、直角边”判定方法的运用突破建议：得到了“斜边、直角边”判定方法以后，安排例5，为学生利用“斜边、直角边”证明三角形全等作出示范．并将题目变式，让学生感受多种方法证明两个直角三角形全等．然后进行习题练习．可参考以下教学设计：问题3：例5如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD．求证：BC=AD．证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角，在Rt△ABC与Rt△BAD′中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC=AD．追问：若图中AC，BD相交于点E，图中还有全等三角形吗?怎样证明?师生活动：学生先口述理由，然后写出完整的证明过程，教师规范步骤．【设计意图】让学生初步熟悉根据“HL”证明两个直角三角形全等的一般程序．同时意识到，除了“HL”，前面所学的判定也可以用来证明两个直角三角形全等．在Rt△ABE与Rt△DCF中，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴AE=DF．师生活动：学生板演，写出完整的证明过程，教师点评．【设计意图】进一步巩固“斜边、直角边”的应用．。
华师大版数学八年级上册13.2 三角形全等的判定 2课题 全等三角形的判定条件
课题全等三角形的判定条件【学习目标】1．让学生掌握寻找两个全等三角形的对应边、对应角的规律；2．探索全等三角形的判定条件，体会如何探索研究问题，培养合作精神，体验分类思想．【学习重点】掌握寻找两个全等三角形的对应边、对应角的规律．【学习难点】寻找全等三角形的判定条件．自学互研生成能力知识模块全等三角形的判定条件阅读教材P59～P61，完成下面的内容：问题：如何判定两个三角形全等？如果两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等．思考：(1)要判定两个三角形全等，能否再减少一些条件？(2)对两个三角形来说，六个元素中至少要有几个元素分别对应相等，两个三角形才会全等呢？探究一：如果只知道两个三角形有一组元素对应相等(边或角)，这两个三角形会全等吗？1．试一试：(1)画一个有一角为60°的三角形，与同桌所画的三角形对比一下，观察它们是否全等？(2)再画一个有一条边为5cm的三角形，结果怎样呢？2．填表：课本P60表格；3．发现：两个三角形只有一组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等．探究二：两个三角形有两组元素对应相等的情况呢？1．试一试：分别画出相应三角形与同桌所画的三角形对比一下，观察它们是否全等？行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．(1)三角形的内角分别为30°和70°；(2)三角形的两边分别是5cm 和3cm ；(3)三角形的一个内角为30°，一边长为3cm .2．填表：课本P 61表格；3．发现：两个三角形只有两组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等． 探究三：两个三角形有三组元素对应相等，有几种可能的情况？解：有4种情形：三个角对应相等；三条边对应相等；两边和一角对应相等；两角和一边对应相等．范例：如图，△ABC ≌△ADE ，且∠CAD ＝10°，∠B ＝∠D ＝25°，∠EAB ＝120°，求∠DFB 和∠DGB 的度数．解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝12(∠EAB －∠CAD)＝12(120°－ 10°)＝55°. ∴∠DFB ＝∠FAB ＋∠B ＝∠FAC ＋∠CAB ＋∠B ＝10°＋55°＋25°＝90°，∠DGB ＝∠DFB －∠D ＝90°－25°＝65°.变例：已知△ABC ≌△ADE ，其中∠CAE ＝40°，∠C ＝50°，则DE 与AC 有何位置关系？请说明理由．。
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》期末复习解答题专题训练(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》期末复习解答题专题训练（附答案）1．如图，点E，C，F，B在同一条直线上，EC＝BF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．2．已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．（1）求证：△ADE≌△ABC；（2）求证：AE＝CE．3．已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．5．已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．6．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．7．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．（1）请说明CD＝BD；（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，求△ACD的周长．9．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：BC＝BD+CE．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．（1）求证：△ADC≌△CEB．（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．12．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E在BD的延长线上，连接AE，∠BAE ＝∠BEA，连接CE．求证：（1）△ABD≌△EBC；（2）∠BCE+∠BCD＝180°．13．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，AF＝DE，CF＝BE．求证：AF ∥DE．14．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．（1）求证：AF＝DE；（2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB 于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．17．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF ⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）求证：DF＝DG．18．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．19．如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：（1）△ABC≌△AED；（2）OB＝OE．20．如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．（1）求证：△AOD≌△COB；（2）求∠APC（用含α的式子表示）；（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON 的数量关系．参考答案1．证明：∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，即EF＝BC，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB＝DE．2．（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）；（2）证明：由（1）得△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵∠2＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．3．证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，∵∠ACD＝∠B，∴∠D＝∠B，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△CDE（AAS）．4．证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°．5．证明：（1）∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF．∵AB∥DE，∴∠A＝∠D．∵AB＝DE，∴在△ABC和△DEF中．∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）∵△ABC≌△DEF（已证），∴∠ACB＝∠DFE．∴EF∥BC．6．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF．7．解：（1）∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED＝∠CFD，∵D是EF的中点，∴ED＝FD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴CD＝BD；（2）由（1）得：CF＝EB＝6，∵AF＝CF，∴AF＝6，∵D是EF的中点，∴DF＝DE＝3，∴AD＝9，∴△ACD的面积：AD•CF＝×9×6＝27．8．（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC＝13，∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．9．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（ASA）；（2）∵△DAB≌△DGC，∴AB＝CG，DA＝DG，∵BD＝CD．∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DF∥BC，∴∠FDA＝∠FDG＝45°，在△DF A和△DFG中，，∴△DF A≌△DFG（SAS），∴F A＝FG．∴CG＝AB＝FB+F A＝FB+FG．10．解：（1）∵BE，CD是△ABC的角平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠A＝60°，∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°；（2）证明：在BC上取点G使得CG＝CE，∵∠BPC＝120°，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，在△CPE和△CPG中，，∴△CPE≌△CPG（SAS），∴∠CPG＝∠CPE＝60°，∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPD，在△BPD和△BPG中，，∴△BPD≌△BPG（ASA），∴BD＝BG，∴BD+CE＝BG+CG＝BC．11．（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），在△ADC与△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．∵CD＝CE﹣DE，∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），即BE的长度是2cm．12．证明：（1）∵∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS）；（2）由（1）得：△ABD≌△EBC，∴∠ADB＝∠BCE，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，又∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠BCE+∠BCD＝180°．13．证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△ACF和△DBE中，，∴△ACF≌△DBE（SSS），∴∠A＝∠D，∴AF∥DE．14．证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AF＝DE；（2）由（1）得：Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∵OM平分∠EOF∴OM⊥EF．15．证明：连接AC，在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．16．（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝217．证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，∴∠AED＝∠CED，∵DF⊥AE，DG⊥CE，∴FD＝DG．18．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD，在△ABD和CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．19．证明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC和△EAD中，，∴△BAC和≌EAD；（2）∵△BAC≌△EAD，∴∠ABC＝∠AED，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE．20．解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，∴∠AOD＝∠COB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（SAS）；（2）由（1）可知△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，令AD与OC交于点E，则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC，∴∠AOC＝∠APC，∵∠AOC＝α，∴∠APC＝α；（3）∵△AOD≌△COB，∴∠P AO＝∠BCO，即∠MAO＝∠NCO，∵OM⊥AD，ON⊥BC，∴∠AMO＝∠CNO＝90°，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴OM＝ON．。
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华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训
专训一：命题与定理
名师点金：命题贯穿于数学始终，是数学的基础知识，学习时，要会判断一句话是不是命题，能找出命题的条件和结论，会判断命题的真假，会用证明的方法去证明一个真命题．
命题的定义及结构
1．下列句子是命题的有()
①一个角的补角比这个角的余角大多少度？
②垂线段最短，对吗？
③等角的补角相等；
④两条直线相交只有一个交点；
⑤同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．写出下列命题的条件和结论．
(1)平行于同一条直线的两直线平行；
(2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
(3)两点确定一条直线．
命题的真假
3．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请说明理由．
(1)一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；
(2)如果a是有理数，那么a2＋1＞0；
(3)如果AC＝BC，那么点C是AB的中点；
(4)如果等腰三角形的两条边长分别为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17.
命题的证明
类型1 证明真命题
4.如图所示，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，∠BMN 与∠DNM 的平分线相交于点G.
求证：MG ⊥NG.
请补全下面的证明过程：
证明：∵MG 平分∠BMN(____________)，
∴∠GMN ＝12∠BMN(____________________)．
同理∠GNM ＝12∠DNM.
∵AB ∥CD(____________)，
∴∠BMN ＋∠DNM ＝________(____________)，
∴∠GMN ＋∠GNM ＝________(____________)，
∵∠GMN ＋∠GNM ＋∠G ＝________(________)，
∴∠G ＝________，
∴MG ⊥NG(____________)．
类型2 证明假命题
5．已知命题：“一个锐角与一个钝角的度数之和一定等于180°”，请你判断这个命题的真假，如果是假命题，请你用举反例的方法说明它是假命题．
专训二：全等三角形判定的三种类型
名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：S .S .S .，S .A .S .，A .S .A .，A .A .S .；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“H .L .”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．
已知一边一角型
题型1 一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
题型2 两次全等型
2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.
已知两边型
题型1 一次全等型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性．
题型2 两次全等型
4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.
已知两角型
题型1一次全等型
5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
题型2两次全等型
6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB ＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
专训三：活用“三线合一”巧解题
名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
利用“三线合一”求角
1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
利用“三线合一”求线段的长
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E，若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长．
利用“三线合一”证线段相等
3．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：DE＝DF.
利用“三线合一”证垂直
4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.
利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.
专训四：轴对称图形性质的应用
名师点金：本章中除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线段和角，灵活运用它们的轴对称性可以求线段的长度，求角的度数，证明数量关系等．
求线段的长
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12 cm，则BC＝________.
2．如图，AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14 cm，分别求AB和AC的长．
求角的度数
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB 于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．
证线段相等(作垂线段法)
4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证明：PC＝PD.
证倍分关系(延长线段法)
5．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD交BD 的延长线于点E，求证：BD＝2AE.
证不等关系(截取法)
6．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，求证：BE＋CF>EF.。