八年级数学上册 轴对称 重难点突破训练
八年级数学上册第十三章轴对称考点专题训练(带答案)
八年级数学上册第十三章轴对称考点专题训练单选题1、如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1= 140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°答案：B分析：根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1=140°，∴∠AEF=∠1-∠A=80°，∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，∵m∥n，∴∠2=∠BEF=100°．故选：B小提示：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．2、山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．小提示：本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．3、下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．圆C．长方形D．正方形答案：B分析：分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．小提示：此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．4、如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于1BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，2交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．18答案：C分析：由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∵AB=7，AC=12，∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C小提示：此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．5、下列说法正确的是（）A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）D．点C（﹣3，2）在第一象限内答案：C分析：分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C．小提示：本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．6、如图所示，有三条道路围成RtΔABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了700m，到达D 处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（）A．1000m B．700m C．300m D．1700m答案：C分析：据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案．解：如下图，过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．∵AD平分∠CAB，AC⊥BC∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．故选：C．小提示：本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短”．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离．7、图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点答案：B分析：根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：由图可得MN是法线，∠PNM为入射角因为入射角等于反射角，且关于MN对称由此可得反射角为∠MNB所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B．小提示：本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．8、如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（）A．57°B．60°C．63°D．70°答案：C分析：根据折叠的性质可知：∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，根据三角形外角性质可得：∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE＝∠A'BE＝21°，∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°．解：由折叠性质可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，∵∠BDC是△BDA的外角，∴∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，∴∠ABE＝∠A'BE＝21°，∴∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°，故选：C．小提示：此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC是解答此题的关键．9、下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据轴对称图形的定义分析即可求解，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．10、如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y=−x+4，E是AB的中点，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是( )A．4√2B．2√2C．2√5D．√5答案：C分析：作点B关于AC的对称点B′，连接B′E，与AC的交点，即符和条件的P点，再求出B′，E的坐标，根据勾股定理求出B′E的值，即为P′B+P′E的最小值．作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P′，此时，PB+PE=P′B+P′E的值最小，最小值为B′E的长，∵线段AC所在直线的解析式为y=−x+4，∴A(0,4)，C(4,0)，∴AB=4，BC=4，∵E是AB的中点，∴E(0,2)，∵B′是点B关于AC的对称点，∴BB′⊥AC，OB=OB′=1AC，AO=CO，2∴四边形ABCB′是正方形，∴B′(4,4)，∴PB+PE的最小值是B′E=√42+(4−2)2=2√5．故选：C．小提示：本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称−最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称−最短路径的确定方法是解题的关键．填空题11、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．答案：10分析：根据三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，进而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，进而利用已知求出即可．解：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠EDC+∠C=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADE，又∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，∵∠B=∠C．∴2∠EDC=20°，∴∠EDC=10°．所以答案是：10．小提示：本题主要考查了三角形外角定理以及角之间等量代换，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解决问题的关键．12、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC 的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____．答案：(0,34)，(0,−34)或(0,12)分析：设AE=m ，根据勾股定理求出m 的值，得到点E （1，54），设点P 坐标为（0，y ），根据勾股定理列出方程，即可得到答案．∵对角线 AC 的垂直平分线交AB 于点E ，∴AE=CE ，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m ，则BE=2-m ，CE=m ，∴在Rt∆BCE 中，BE 2+ BC 2=CE 2，即：（2-m ）2+12=m 2， 解得：m=54，∴E （1，54）， 设点P 坐标为（0，y ），∵△AEP 是以为 AE 为腰的等腰三角形，当AP=AE ，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-54)2，解得：y=±34，当EP=AE ，则(1-0)2+(54-y)2= (1-1)2+(0-54)2，解得：y=12， ∴点 P 的坐标为(0,34)，(0,−34)，(0,12)，故答案是：(0,34)，(0,−34)，(0,12)． 小提示：本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．13、把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠成图①，再沿HF 折叠成图②，若∠DEF ＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C ''FE ，则∠C ''FE ＝_______．答案：180°−3β分析：先利用平行线的性质得到∠EFH =∠DEF =β，∠EFC =180°−β，再根据折叠的性质得到∠EFC′=180°−β，所以∠HFC′=180°−2β，接着再利用折叠的性质得到∠C′′FH =∠C′FH =180°−2β，然后计算∠C ″FH −∠EFH 即可．∵四边形ABCD 为长方形，∴AD//BC ，∴∠EFH =∠DEF =β，∠EFC =180°−β，∵方形纸条ABCD 沿EF 折叠成图①，∴∠EFC′=∠EFC =180°−β，∴∠HFC′=∠EFC′−∠EFH =180°−β−β=180°−2β，∵长方形ABCD 沿HF 折叠成图②，∴∠C′′FH =∠C′FH =180°−2β，∴∠C ″FE =∠C ″FH −∠EFH =180°−2β−β=180°−3β．所以答案是：180°−3β． 小提示：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．14、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．答案：7分析：△APC周长=AC+AP+CP，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论．∵直线EF垂直平分AB，∴A，B关于直线EF对称，设直线EF交BC于E，∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长，∴△APC周长的最小值=AC+AP+CP=3+4=7，所以答案是：7．小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置．15、小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．答案：∠A=60°（答案不唯一）分析：利用等边三角形的判定定理即可求解．解：添加∠A=60°，理由如下：∵△ABC为等腰三角形，=60°，∴∠B=∠C=180°−∠A2∴△ABC为等边三角形，所以答案是：∠A=60°（答案不唯一）．小提示：本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．解答题16、如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；BF．(3)求证：CE=12答案：(1)见解析(2)见解析(3)见解析分析：（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DCA+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；BF．（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=12（1）在等腰Rt △DBC 中，BD =CD ，∵∠BDC =90°，∴∠BDC =∠ADC =90°，∵在△FBD 和△ACD 中，{DA =DF∠BDC =∠ADC BD =CD，∴△FBD ≌△ACD （SAS ）；（2）∵△FBD ≌△ACD ，∴∠DBF =∠DCA ，∵∠ADC =90°，∴∠DCA +∠A =90°，∴∠DBF +∠A =90°，∴∠AEB =180°-（∠DBF +∠A ）=90°，∵BF 平分∠DBC ，∴∠ABF =∠CBF ，∵在△ABE 和△CBE 中，{∠AEB =∠CEB =90°BE =BE∠ABF =∠CBF， ∴△ABE ≌△CBE （ASA ），∴AB =CB ，∴△ABC 是等腰三角形；（3）∵△FBD ≌△ACD ，∴BF =AC ，∵△ABE ≌△CBE ，∴AE =CE =12AC ，∴CE =12BF ．小提示：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．17、已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）结合题干的∠BAC＝∠EDF＝60°，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解；（2）由第（1）小问的解题思路和∠BAC＝∠EDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FM＝AE，求证△AED≌△MFD，再由全等的性质可得DA＝DM＝AB＝AC，即可证△ABC≌△DAM，最后由全等的性质得AM＝BC即可求解．（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF∴∠BCE=∠DCA∵BC=AC、CE=CD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∵AB＝AE+BE∴AF＝AE+AD；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G∵∠BAC＝∠EDF，∠AGE=∠DGF∴∠AED＝∠MFD，∵AE=MF，ED=DF∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，∵AC=DM∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC．小提示：本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题．其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线．18、如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．答案：（1）1；（2）见解析；（3）不改变，94分析：（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MO D．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，在△OAP和△OBC中，{∠AOP=∠BOCAO=BO∠OAP=∠OBC，∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．在△COM与△PON中，{∠COM=∠PON∠OMC=∠ONPOC=OP，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=12∠AHC＝45°；（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于94．理由如下：连接OD，如图2所示：∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD∴∠OAD ＝45°，∠MOD ＝90°+45°＝135°，∴∠DAN ＝135°＝∠DOM ．∵MD ⊥ND ，即∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ＝90°﹣∠MD A ．在△ODM 和△ADN 中，{∠MDO =∠NDAOD =AD ∠DOM =∠DAN，∴△ODM ≌△ADN （ASA ），∴S △ODM ＝S △ADN ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BOD =12S △AOB=12×12AO •BO =12×12×3×3=94．小提示：本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．。
八年级数学轴对称画图题专题难点训练
八年级数学轴对称画图题专题难点训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，点P是线段AB上的一点，请在图中完成下列操作．（1）过点P画BC的垂线，垂足为H；（2）过点P画AB的垂线，交BC于Q；（3）线段的长度是点P到直线BC的距离．2．作图题:（1）过点A画高AD；（2）过点B画中线BE；（3）过点C画角平分线CF．3．在下面的方格纸中，（1）先画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；再画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称；（2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向平移格．4．如图，在正方形网格上有一个△DEF．（1）画出△DEF关于直线HG的轴对称图形（不写画法）；（2）画EF边上的高（不写画法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF的面积为．5．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A、B、M、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C．6．已知：如图，已知△ABC(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是，点A关于y轴对称的点A2的坐标是；(2)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．7．如图所示的点A、B、C、D、E．（1）点和点关于x轴对称；（2）点和点关于y轴对称；（3）点A和点D关于直线l成轴对称，请画出直线l．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）8．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A’的坐标是；点B关于y轴对称点B’的坐标是；（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A’B’C’（不要求写作法）（3）求△ABC的面积是9．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A′的坐标是；点B关于y轴对称点B′的坐标是（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′（不要求写作法）（3）求△ABC的面积．10．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别作出△ABC关于x轴和y轴对称的图形．11．如图，（1）在网格中画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出ABC 关于x 轴对称的222A B C △的各顶点坐标2A （ ）2B （）2C （ ）参考答案1．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）PH．【解析】【分析】利用尺规作出过一点作已知直线的垂线即可解决问题.【详解】解：（1）过点P画BC的垂线，垂足为H，如图所示；（2）过点P画AB的垂线，交BC于Q，如图所示；（3）线段PH的长度是点P到直线BC的距离．故答案为PH．【点睛】本题考查作图-基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.2．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）从A点向CB的延长线作垂线．垂足为D，线段AD即所求作的高；（2）作AC的垂直平分线找到中点E，连接BE．BE就是所求的中线；（3）作∠ACB的角平分线，与AB交于点F，CF就是所求的角平分线．【详解】解：（1）如图，用圆规以点A为圆心，大于点A与BC的距离长为半径画弧，与直线CB交于点G，H，分别以G、H为圆心，大于GH的一半为半径画弧，两弧的交于点O，连接AO，交CB的延长线于点D，线段AD即所求作的高；（2）如图，分别以A、C为圆心，大于AC的一半为半径画弧，两弧的交于点J、K，连接JK，与AC交于点E，连接BE，BE就是所求的中线；（3）如图，用圆规以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以弧与∠ACB两边的交点M，N 为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧的交点为P，连接CP并延长，与AB交于点F，CF就是所求的角平分线．【点睛】本题考查作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．(1)详见解析;(2)10.【解析】【分析】(1)根据平移性质即可画出图形.(2)由图象格子数即可判断.【详解】(1)由题意画图如下:(2)由图上可得出:若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向左平移10格.【点睛】本题考查平移和对称,关键在于熟练掌握定义.4．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构以及EF的位置，过点D作小正方形的对角线，与FE的延长线相交于H，DH即为所求作的高线；（3）DE为底边，点F到DE的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）如图所示，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；（2）如图所示，DH为EF边上的高线；（3）△DEF的面积＝12×3×2＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查轴对称作图，熟记相关概念是解题关键.5．图详见解析【解析】【分析】过点A作垂线使AO=DO，过点B作垂线使BP=CP找到点D和点C即可.【详解】如图过点A作垂线使AO=DO，过点B作垂线使BP=CP，依次连接ABCD即可.【点睛】本题考查了图形的对称，解题关键在于对称图形的对应点的连线垂直于对称轴，且对应点距离对称轴的距离相等.6．(1) (－4，－2)，(4，2)； (2)图形见解析(3)图形见解析【解析】试题分析：（1）分别利用关于x轴以及y轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（3）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标即可．试题解析：(1) (－4，－2)，(4，2)；(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(3)如图所示：△A2B2C2，即为所求．7．（1）A，E；（2）B，C；（3）详解见图．【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（3）直接利用线段垂直平分线的作法分析得出答案．【详解】解：（1）点A和点E关于x轴对称；故答案为A，E；（2）点B和点C关于y轴对称；故答案为B，C；（3）如图所示：直线l即为所求．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及线段垂直平分线的作法，正确得出对应点位置是解题关键．8．（1）（3，2），（4，-3）；（2）见解析；（3）13 2【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论；（2）在坐标系内描出A′，B′，C′三点，再顺次连接即可；（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标为相反数，∵A（-3，2），B（-4，-3），∴A′（3，2），B′（4，-3）．故答案为：（3，2），（4，-3）；（2）如图所示；（3）ABC111 35512323 222S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯513153322=---=．【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．9．（1）（3，2），（4，﹣3）；（2）图形见解析（3）13 2【解析】试题分析：（1）对照图形可知点A、B的坐标分别：（-3，2）、（-4，-3），由此写出点A′、B′的坐标即可；（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′，再顺次连接这三点即可得到所求三角形；（3）如图，由S△ABC=S矩形DBEF-S△ADB-S△BEC-S△AFC，计算出△ABC的面积即可.试题解析：（1）由图可知：点A、B的坐标分别：（-3，2）、（-4，-3），∴点A、B关于y轴的对称点A′和B′的坐标分别为：（3，2），（4，﹣3）；（2）如下图所示；△A′B′C′为所求的图形；（3）如图：S △ABC =S 矩形DBEF -S △ADB -S △BEC -S △AFC =11135512323222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =515332--- =132． 10．见解析【解析】【分析】根据题意，分别找出三角形各顶点与y 轴、x 轴的对应点，再连接即可.【详解】关于y 轴对称：△A’B’C’为所求；关于x 轴对称：△A’’B’’C’’为所求；11．（1）见解析；（2）32--，；4,3-；1,1-；【解析】【分析】（1）在网格中画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1即可；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2的各顶点坐标即可；【详解】解：（1）如图△A 1B 1C 1即为所求作的图形；∴111A B C 即为所求；（2）∵A （-3，2），B （-4，-3），C （-1，-1），∴△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2的各顶点坐标为：A 2（-3，-2），B 2（-4，3），C 2（-1，1）．故答案为：-3，-2；-4，3；-1，1；【点睛】本题考查了轴对称变换、坐标与图形、以及画轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称性质．。
部编数学八年级上册【满分秘诀】专题06轴对称(满分突破)(解析版)含答案
【满分秘诀】专题06 轴对称（满分突破）1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．2.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：故选：B．3.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（ ）A．（）n•75°B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°【答案】C【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．4.如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选：C．5.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故选：B．6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．7.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）A．B．C．D．不能确定【答案】B【解答】解：过P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝，故选：B．8.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，∴∠DAB＝130°，∴∠HAA′＝50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故选：D．9.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．故选：D．10.的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 15 ．【答案】15【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．故答案为：1511.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．【答案】63°或27°【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．12.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）【答案】 ①②③⑤【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正确）；②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP＝CQ，∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，∴∠QPC＝∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP＝QE，∵△ADC≌△BEC∴AD＝BE，∴AD﹣DP＝BE﹣QE，∴AP＝BQ，（故③正确）；④∵DE＞QE，且DP＝QE，∴DE＞DP，（故④错误）；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．故答案为：①②③⑤．13.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为 ．【答案】6【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．14.如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根．【答案】8【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），又∵BE⊥AF，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC+AD（等量代换）．16.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．17.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．18.已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝19.（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．。
轴对称与坐标变化(分层练习)(培优练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题3.11轴对称与坐标变化（分层练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023秋·九年级课前预习）台风“纳沙”来袭，气象台需要确定台风中心位置，下列说法能确定台风中心位置的是（）．A ．北纬19︒，东经115.4︒B ．距离三沙市235nmileC ．海南省附近D ．北纬19︒，偏东2．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）已知点(2,1)A ，(2,4)-B ，点(,)C x y 在线段AB 上运动，当OC OA >时，y 的取值范围为（）A ．41y -≤<-B ．11y -<<C ．1y <-D ．41y -≤≤-3．（2023·全国·九年级专题练习）点()3,5P 关于第一、三象限的角平分线对称的点为点1P ，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点2P ，则点1P ，2P的坐标分别为（）A ．()3,5，()5,3B ．()5,3，()5,3--C ．()5,3，()3,5D ．()5,3--，()5,34．（2022·四川绵阳·校考二模）已知点P 的坐标为(),m n 2440n n ++=，则点P 关于x 轴的对称点坐标为（）A ．()4,2-B ．()4,2-C ．()4,2D ．()2,4-5．（2022秋·全国·八年级期中）已知点B （1，0）与点B '关于y 轴对称，直线m 过点B （1，0）且与y 轴平行，点C （4，2）与点C '关于直线m 对称，则B 'C '的长为（）A B ．C D ．6．（2022秋·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，P 点坐标为（m ，n ），P '点坐标为（m ，n ），两点关于y 轴对称，则下列选项正确的是（）A ．m ＞0，n ＜0B ．m ＜0，n ＞0C ．m ＞0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜07．（2023春·四川内江·七年级统考阶段练习）如图，在锐角三角形ABC 中5AB =，ABC 的面积15，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若M N 、分别是BD BC 、上的动点，则CM MN +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．（2023春·河北邢台·七年级校考期中）有甲、乙、丙三人，他们所在的位置不同，三人都以相同的单位长度和方向建立不同的坐标系．根据甲、丙两人的描述，如果以乙为坐标原点，甲和丙的位置分别是（）甲：“以我为坐标原点，乙的位置是()4,3．”丙：“以我为坐标原点，甲的位置是()7,5--．”A ．()4,3--，()2,1B ．()4,3--，()3,2C ．()3,4--，()2,3D ．()3,4，()1,4--9．（2023春·全国·七年级期中）下列说法中正确的有（）个①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②点()22,y --位于第三象限；③点(),N m n 到y 轴的距离为m ；④点()2,A a 和点(),3B b -关于x 轴对称，则+a b 的值为5；⑤若+=0x y ，则点(),P x y 在第一、三象限角平分线上．A ．1B ．2C ．3D ．410．（2021秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，第一次将△ABC 作原点的中心对称图形得到△A 1B 1C 1，第二次在作△A 1B 1C 1关于x 轴的对称图形得到△A 2B 2C 2，第三次△A 2B 2C 2作原点的中心对称图形得到△A 3B 3C 3，第四次再作△A 3B 3C 3关于x 轴的对称图形得到△A 4B 4C 4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A 2021B 2021C 2021的图形，若点C （3，2），则C 2021的坐标为（）A ．（3，-2）B ．（-3，2）C ．（3，2）D ．（-3，-2）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，货轮A 正驶向此刻与它相距10海里的港口B ，如要将港口B 相对于货轮A 的位置表示为(北偏东30︒，10)，那么货轮A 相对于港口B 的位置可表示为．12．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，(20)A -，，()2B m m -，，则AB OB +的最小值是．13．（2020秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知a 、b 为整数，a b <<，则(),P a b 关于y 轴对称点的坐标为．14．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期末）如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，点D 是BC 边上一点，连接AD ，M ，N 是线段AD 上两点，8AM =，15AN =，点P ，Q 分别是AB ，AC 边上的动点，连接PM ，PQ ，NQ ，则PM PQ NQ ++的最小值为．15．（2023春·河南周口·，3行排列：36……的位置记为()1,4的位置记为()2,3，则这组数中最大的有理数的位置记为．16．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点()2,3A 、()10B ,在y 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小，则点P 的坐标是．17．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点()66A -，的对称点A ′坐标为(06)，，点()M m n ，为图象上的一点，则点M 在图象上的对称点坐标为．18．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在ABC 中，AD 为BC 边上的高线，且AD BC =，点M 为直线BC 上方的一个动点，且ABC 面积为MBC 的面积2倍，则当MB MC +最小时，MBC ∠的度数为°．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2022秋·山西太原·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()2,5A -，()5,1B -，()1,2C -．（1）将点A ，B ，C 的横坐标乘1-，纵坐标不变，依次得到点D ，E ，F ．请在图中画出DEF ；（2）上面所画DEF 与ABC 的位置关系为______．（3）若DEF 与D E F '''△关于x 轴对称，请画出D E F '''△，此时C ，F '两点之间的距离为______．20．（8分）（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）如图所示，平面直角坐标系中网格小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 、D 是四边形ABCD 的四个顶点．（1）请你画出四边形ABCD 关于y 轴对称的图形．（2）若点(22,5)P a a -+，且PC //y 轴，求P 点的坐标．（3）若点(22,5)P a a -+在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，求32022+a 的值．21．（10分）（2022秋·辽宁抚顺·八年级校考期中）如图，ABC 三个顶点的坐标是()1,0A ，()3,2B ，()1,1C -，点D 的坐标是()3,2-，E 在坐标平面内，ADE V 与ABC 全等．（1）画出满足条件的所有的ADE V ；（2）写出点E 的坐标．22．（10分）（2022秋·山东东营·七年级校联考期中）如图，是一个简单的平面示意图，已知OA ＝2km ，OB ＝6km ，OC ＝BD ＝4km ，点E 为OC 的中点，回答下列问题：（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km 处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？（3）若小强家在小明家北偏西60°方向2km 处，请在图中标出小强家的位置．23．（10分）（2023秋·山东德州·八年级统考期末）如图，ABC 的顶点分别为(1,3),(4,5),(1,5)A B C ，先将ABC 以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到A B C ''' ，再将A B C ''' 以x 轴为对称轴通过轴对称得到A B C ''''''．（1）画出A B C ''''''△；（2）写出,,A B C ''''''三点的坐标；（3）一般地，某一点(,)P x y 经过这样的两次轴对称变换后得到的点P ''的坐标为__________．24．（12分）（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）（1）呈现：如图1，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线l 上，分别过点,A B 作AD l ⊥于D ，BE l ⊥于E ，则有ADC △CEB ≌ ．请你证明这个结论；（2）应用：如图2，已知()1,1A ，()3,2B ，把线段AB 绕点A 顺时针方向旋转90︒后得到线段AC ，求点C 的坐标；（3）拓展：如图3，直线l ⊥直线m ，垂足为O ，点A 是直线l 上一定点，且3OA =，点B 在直线m 上运动，以AB 为边作等腰Rt ABC △，90BAC ∠=︒（点,,A B C 呈顺时针排列），当点B 在直线m 上运动时，点C 也随之运动．在点C 的运动过程中，OC AC +的最小值为______．参考答案1．A【分析】根据坐标确定位置的相关知识可直接进行分析即可得解．解：A 、北纬19︒，东经115.4︒表示具体坐标，能确定台风中心位置，故符合题意；B 、距离三沙市235nmile ，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；C 、海南省附近，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；D 、北纬19︒，偏东，范围太广，不能确定台风中心的具体位置，故不符合题意；故选∶A ．【点拨】本题主要考查坐标表示位置，解题的关键是判断是不是利用坐标来表示位置．2．A【分析】作点A 关于x 轴的对称点A '，则()2,1A '-．再结合图象即可直接确定y 的取值范围．解：如图，作点A 关于x 轴的对称点A '，则()2,1A '-．∵OC OA >，∴点C 在A B '上，且不与A '重合．∵(2,4)-B ，∴y 的取值范围为41y -≤<-．故选A ．【点拨】本题考查坐标与图形，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键．3．B【分析】分别利用关于第一、三象限的角平分线和关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标特征解决问题即可．解：点()3,5P 关于第一、三象限的角平分线对称的点1P 的坐标为()5,3，关于第二、四象限的角平分线对称的点2P 的坐标为()5,3--．故选：B ．【点拨】本题考查坐标与图形变化—对称，点(),a b 关于x 轴对称的点的坐标为(),a b -；点(),a b 关于y 轴对称的点的坐标为(),a b -；点(),a b 关于原点对称的点的坐标为(),a b --；点(),a b 关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(),b a ；点(),a b 关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(),b a --．解题的关键是掌握轴对称的性质和点对称的坐标特征．4．A【分析】根据二次根式的非负性和完全平方公式求出m ，n 的值，进而即可求解．2440n n ++=，()220n +=，∴20,20m n n -=+=，解得：4,2m n =-=-，∴P 的坐标为()4,2--，∴点P 关于x 轴的对称点坐标为()4,2-．故选：A ．【点拨】本题主要考查二次根式与平方的非负性，点的坐标，轴对称变换，根据非负数的性质，求出m ，n 的值是关键．5．A【分析】根据轴对称的性质得到点B '、C '的坐标，再根据勾股定理求出B 'C '的长．解：点B （1，0）与点B '关于y 轴对称，∴B '（-1，0），∵直线m 过点B （1，0）且与y 轴平行，∴直线m 的解析式为x =1，∴点C （4，2）关于直线m 对称的点C '的坐标为（-2，2），∴B 'C '故选：A ．【点拨】此题考查了轴对称的性质，勾股定理求线段长度，正确理解轴对称的性质得到点B '、C '的坐标是解题的关键．6．B【分析】根据关于y 轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等，得m =-m ，n =n ，求解即可．解：∵点P 与点P `关于y 轴对称，∴两点横坐标互为相反，纵坐标相等，∴m =-m ,n =n ，即m ＜0，n ＞0，故选：B ．【点拨】本题考查关于y 轴对称点的坐标特征，绝对值的意义，熟练掌握关于y 轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键．7．D【分析】过C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M '，过点M '作M N BC ''⊥于N '，则CE 即为CM MN +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE 的长，即为CM MN +的最小值；解：过C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M '，过点M '作M N BC ''⊥于N '，如图：∵BD 平分,ABC ME AB ∠⊥于点,E M N BC ''⊥于N '，∴MN ME =，∴CE CM M E CM M N '''''=+=+是CM MN +最小值，此时M 与M 重合，N 与N '重合，∵三角形ABC 的面积为15,5AB =，∴15152CE ⨯⋅=，∴6CE =，即CM MN +的最小值为6；故选：D【点拨】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE 的长度即为CM MN +最小值8．B【分析】先根据甲的描述确定甲的位置，再根据丙的描述确定丙和甲的相对位置，进而求出丙的位置．解：以甲为坐标原点，乙的位置是()4,3，则以乙为坐标原点，甲的位置是()4,3--，由“以丙为坐标原点，甲的位置是()7,5--”，可知甲向右移动7个单位长度，再向上移动5个单位长度与丙重合，因此以乙为坐标原点，丙的位置是()47,35-+-+，即()3,2，故选B ．【点拨】本题考查用坐标表示位置，解题的关键是根据丙的描述确定丙和甲的相对位置．9．B【分析】根据直角坐标系的特点可判断①正确；举反例即可判断②错误；根据点到坐标轴的距离为非负数即可判断③错误；关于x 轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此可知④正确；由+=0x y 可得y x =-，可知直线是第二、四象限的角平分线，即可判断⑤错误．解：①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，说法正确；②当20y ＜时，点()22,y --位于第二象限，故原说法错误；③点(),N m n 到y 轴的距离为m ，故原说法错误；④关于x 轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，则有：=2b ，()33a =--=，即5a b +=，故说法正确；⑤由+=0x y 可得y x =-，可知直线y x =-是第二、四象限的角平分线，故原说法错误；即正确的有2个，故选：B ．【点拨】本题主要考查了直角坐标系的相关知识，涉及点到坐标轴的距离、点坐在象限的判断、关于坐标轴对称的点的性质等知识，充分掌握直角坐标系的相关知识，是解答本题的关键．解答此类题目时要善于举反例求证．10．D【分析】根据题意做出前几次的图像，找出规律，根据规律推出C 2021即可解：根据题意做出如图前四次图像如下：由图像知每四次一个循环，则202145051÷=⋯⋯，即第2021次在第三象限，∵点C （3，2），∴C 2021点坐标为：（-3，-2）；故答案选：D【点拨】此题考查坐标变换，属于规律题，根据前几个图像坐标推算出规律是解题关键．11．(南偏西30︒，10)【分析】以点B 为观测点，来描述点A 的方向及距离即可．解：如图，由题意知货轮A 相对于港口B 的位置可表示为(南偏西30︒，10)．故答案为：(南偏西30︒，10)．【点拨】本题考查了用方向角和距离确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．12．25【分析】根据点()2B m m -，的坐标可确定点()2B m m -，在直线2y x =-上，可得Rt OCD △是等腰直角三角形，作点O 关于直线2y x =-的对称点O '，连接OO '与CD 交于点E ，连接AO '，可求出点O '的坐标，当点B 在线段AO '时，O B '的值最小，即OB 最小，由此可得AB OB AB O B AO ''+=+=，在Rt ACO '△中，根据勾股定理即可求解．解：当x m =时，2y m =-，∴点()2B m m -，在直线2y x =-的直线上，如图所示，令0x =时，=2y -；令0y =时，2x =；即直线2y x =-与x 轴的交点为(2,0)，与y 轴的交点为(0,2)-，∴Rt OCD △是等腰直角三角形，且2OC OD ==，如图所示，作点O 关于直线2y x =-的对称点O '，连接OO '与CD 交于点E ，连接AO '，∴OO CD '⊥，∴OE O E ¢=，即CD 是OO '的垂直平分线，∴2CO CO '==，2OD O D '==，∴(2,2)O '-，∵点O 关于直线2y x =-的对称点O '，∴OB O B '=，当点B 在线段AO '时，O B '的值最小，即OB 最小，如图所示，∴AB OB AB O B AO ''+=+=，在Rt ACO '△中，2(2)4AC =--=，0(2)2O C '=--=，∴AO '===∴AB OB +的最小值是故答案为：【点拨】本题主要考查一次函数与对称轴—对短路径的问题，掌握点关于直线对称的性质，对称性与对短路径的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．13．(),a b -【分析】根据无理数的估算求出,a b 的值，再根据关于y 轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可．解：∵a b <<，且a ，b 为整数∴3,4a b ≤≥，且a ，b 为整数∴(),P a b 关于y 轴对称点的坐标为(),a b -；故答案为：(),a b -．【点拨】本题考查无理数的估算，坐标与轴对称．解题的关键是掌握夹逼法估算无理数，以及关于y 轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同．14．17【分析】作点M 关于AB 的对称点M '，作点N 关于AC 的对称点N '，连接M N ''分别交AB ,AC ，于点P ，Q ，此时PM PQ NQ ++有最小值，即M N ''的长度．解：作点M 关于AB 的对称点M '，作点N 关于AC 的对称点N '，连接M N ''分别交AB ,AC ，于点P ，Q ，连接AM '，AN '，∵45BAC BAM CAN ∠=∠+∠=︒，由对称性可知，BAM BAM '∠=∠，CAN CAN '∠=∠，∴45BAM CAN ''∠+∠=︒，∴90M AN ∠=''︒，由对称性可得8AM AM '==，15AN AN '==，由勾股定理得，22289M N AM AN ''''=+=，∴17M N ''=，当M 、N 、P 、Q 共线时，PM PQ NQ ++的值最小，即PM PQ NQ ++的最小值为17．【点拨】本题考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，找出P 点的位置是解题的关键．15．(5,3)【分析】每相邻的二次根式的被开方数是3的倍数，故求90330÷=，一行6个数，得5630=÷解：由题意可知，一行6个数，每个数都为3的倍数，可得90330÷=，5630=÷，位于第五行第五个数，记作()5,5，9=，()5,3，故答案为：()5,3．【点拨】本题考查了算术平方根和数字变化规律，掌握算术平方根的定义，根据数字变化规律找出90位于第五行第五个数是解题关键．16．()01，【分析】如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于D ，作点B 关于y 轴的对称点C ，连接AC 交y 轴于H ，连接CP BP AP DH ，，，，则()10C -，，利用轴对称的性质推出当A 、C 、P 三点共线时，PA PC +最小，即PA PB+最小，此时点P 与点H 重合，根据ADC HDC HDA S S S =+△△△求出1OH =，由此即可得到答案．解：如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于D ，作点B 关于y 轴的对称点C ，连接AC 交y 轴于H ，连接CP BP AP DH ，，，，则()10C -，，∴CP BP =，∴PA PB PA PC +=+，∴当A 、C 、P 三点共线时，PA PC +最小，即PA PB +最小，此时点P 与点H 重合，∵()2,3A 、()10B ,，()10C -，，∴332CD AD OD ===，，，∵ADC HDC HDA S S S =+△△△，∴111222AD CD OH AD OD ⋅=⋅+⋅，∴11133332222OH ⨯⨯=⨯+⨯⨯，∴1OH =，∴()01H ，，即()01P ，，故答案为：()01，．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线是解题的关键．17．()6m n --，【分析】先求出对称轴的表达式，设点M 在图象上的对称点坐标为m n ''（，），根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案．解：∵点()66A -，的对称点A '坐标为(06)，，∴对称轴为：3x =-，设点M 在图象上的对称点坐标为m n ''（，），∴'2m m +=-3，n n '=，∴6m m '=--，∴点M 在图象上的对称点坐标为6m n --（，）．故答案为：6m n --（，）．【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．18．45解：如图，作过点M 的直线l ，使得l BC ，作C 关于l 的对称点C '，连接BC '，CC '交l 于点E ，则MB MC +MB MC BC ''=+≥，当,,B M C '三点共线时，取得最小值，过点M 作MN BC ⊥，l BC ∴∥，CC l '∴⊥，∴CC BC '⊥，ABC 中，AD 为BC 边上的高线，ABC 面积为MBC 的面积2倍，AD BC =，1122MN AD BC ∴==，根据平行线间的距离相等，可得CE MN =，则2CC MN '=AD =，∴BCC ' 是等腰直角三角形，45MBC ∴∠=︒．故答案为：45︒．【点拨】本题考查了三角形的高线，等腰直角三角形的性质，平行线的距离，轴对称求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．19．（1）见分析；（2）关于y 轴对称；（3）25【分析】（1）求出D ，E ，F 的坐标，描点连线即可；（2）由图象可知关于y 轴对称；（3）由于DEF 与D E F '''△关于x 轴对称，求出各点坐标，描点连线，再根据勾股定理求得两点之间的距离．（1）解：根据题意，2A x =-，5B x =-，1C x =-∴()12D A x x =⋅-=，()15E B x x =⋅-=，()11F C x x =⋅-=∴D ，E ，F 的坐标为()2,5，()5,1，()1,2；DEF 如下图所示：（2）∵2A x =-，2D x =∴0A D x x +=，∴DEF 与ABC 关于y 轴对称（3）∵DEF 与D E F '''△关于x 轴对称，∴对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，∴5D D y y '=-=-，2E E y y '=-=-，1F F y y '=-=-∴D ¢，E '，F '的坐标为()2,5-，()5,1-，()1,2-；D E F '''△如下图所示：∴()()()()()2222'1122205C F C F CF x x y y ''=-+-=--+--==．【点拨】本题考查了轴对称的特点，用勾股定理求两点之间的距离，根据题意求得对应点的坐标是解题的关键．20．（1）见分析；（2）(4,8)P ；（3）2020【分析】（1）分别画出A ，B ，C ，D 的对应点A ′，B ′，C ′，D ′即可解决问题；（2）确定点C 坐标，根据平行y 轴的直线上点的坐标特征得出方程求解即可；（3）根据点(22,5)P a a -+在第二象限，它到x 轴、y 轴的距离相等，列方程，求出a 的值，再代入计算即可．解：（1）四边形ABCD 关于y 轴的对称图形四边形A ′B ′C ′D ′如图所示；（2）由图知(4,2)C ∵PC //y 轴，∴224a -=解得：3a =∴(4,8)P （3）∵点P 在第二象限，∴220a -<，a +5＞0，又∵点P 到x 轴、y 轴的距离相等∴225a a -+=+，解得：1a =-则2022220222020=-+=【点拨】本题考查作图-轴对称变换，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．21．（1）见分析；（2）()11,1E --，()25,1E -，()32,4E -，()42,2E 【分析】（1）利用关于x 轴对称得到1ADE ABC ≌，画出点1E 关于AD 的垂直平分线的对称点3E ，可得3DAE ABC ≌然后画出点1E 、点3E 关于直线AD 的对称点4E 、2E ，可得4ADE ABC ≌，2DAE ABC ≌，再画图即可；（2）根据（1）的图形，可得E 的坐标．解：（1）如图，利用关于x 轴对称得到1ADE ABC ≌，画出点1E 关于AD 的垂直平分线的对称点3E ，可得3DAE ABC≌然后画出点1E 、点3E 关于直线AD 的对称点4E 、2E ，可得4ADE ABC ≌，2DAE ABC ≌，（2）由（1）得：()11,1E --，()25,1E -，()32,4E -，()42,2E 【点拨】本题考查的是利用轴对称，全等三角形的定义，坐标与图形，熟练的利用轴对称的性质构建全等三角形是解本题的关键．22．（1）学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4km 处；（2）图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院；（3）见分析【分析】（1）由图可知，学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50方向4km 处；（2）观察图形，根据OA ，OE ，OD 的长度及图中各角度，即可得出结论．（3）作北偏西60°角，取OE =2即可．（1）解：学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4km 处；（2）图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院；（3）如图，点F 即为小强家．【点拨】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握运用方位角及确定位置需要两个元素．23．（1）见分析；（2）(3,1),(5,4),(5,1)A B C ''''''---；（3）(,)y x -【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据（1）所作图形写出对应点的坐标即可；（3）根据点A 到A ''的坐标变化情况求解即可．（1）解：A B C ''''''△的位置如图；（2）解：由图可知：(3,1),(5,4),(5,1)A B C ''''''---；（3）∵点A 坐标为（1，3），(3,1)A ''-，∴一点(,)P x y 经过这样的两次轴对称变换后得到的点P ''的坐标为(,)y x -．【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．24．（1）见分析；（2）(2,1)C -；（3）OC AC +的最小值为【分析】（1）根据AD l ⊥，BE l ⊥，三角形ABC 是等腰直角三角形证明即可；（2）过A 点作AD x ⊥轴，分别过B 、C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥，根据（1）中结论即可求解；（3）过A 点作l x ⊥，分别过B 、C 作BE l ⊥，CD l ⊥，作点A 关于CD 的对称点A '，连接CA '，则点A '在直线l 上，当O ，C ，A '三点共线时，OC AC +有最小值．（1）解：∵AD l ⊥，BE l ⊥，三角形ABC 是等腰直角三角形，∴+90ACD DAC ACD CBE ∠+∠∠∠=︒=，AC BC =，∴DAC CBE ∠=∠，∵90ADC CEB ∠=∠=︒，DAC CBE ∠=∠，AC BC =，∴ADC △()AAS CEB ≌；（2）解：过A 点作AD x ⊥轴，分别过B 、C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥，如图，由（1）得：ABE CAF ≌，∵()1,1A ，()3,2B ，设2,1BE AF AE CF ====，∴(2,1)C -；（3）解：过A 点作l x ⊥，分别过B 、C 作BE l ⊥，CD l ⊥，如图，90DCA CAD ∠∠+=︒ ，1809090EAB CAD ∠∠+=︒-︒=︒，DCA EBA ∴∠=∠，∵BE l ⊥，CD l ⊥，AC BC =，∴ADC △()AAS AEB ≌，BE AD ∴=，∵3OA =，3AD BE OA ∴===，作点A 关于CD 的对称点A '，连接CA '，则点A '在直线l 上，3DA DA '==，,AC A C '=OC AC OC A C ∴+'+=，OC A C OA +'≥' ，∴当O ，C ，A '三点共线时，OC AC +有最小值OA ='，∴OA ==='∴OC AC +的最小值为【点拨】本题考查轴对称一最短路线问题、全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识，添加合适的辅助线,构造直角三角形是解题关键．。
2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷《 轴对称》综合能力拔高卷含答案解析
2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元测试】第十三章 轴对称（综合能力拔高卷）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，本选项符合题意；B 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，等腰ABC V 的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM V 周长的最小值为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】D 【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于A．三边相等的三角形是等边三角形B．三个角相等的三角形是等边三角形C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．顶角为60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可．【详解】解：A．三边相等的三角形是等边三角形，故A正确，不符合题意；B．三个角都相等的三角形是等边三角形，故B正确，不符合题意；C．有一个角是60︒的三角形，其他两个角度数不能确定，这样的三角形不一定是等边三角形，故C错误，符合题意；D．顶角为60︒的等腰三角形，即三个角都是60︒的三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法，三条边都相等的三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．4．如图，若△ABC 与'''A B C V 关于直线MN 对称，BB '交MN 于点O ，则下列说法不一定正确的是（ ）A ．AC ＝''ACB ．'BO B O ＝C ．'AB B C ＝D ．'AA MN 【答案】C【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：∵△ABC 与'''A B C V 关于直线MN 对称，∴AC =''AC ，'AA ⊥MN ，'BO B O ＝，故A 、B 、D 选项正确，'AB B C ＝不一定成立，故C 选项错误，所以，不一定正确的是C ．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，解决本题的关键是熟练掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．5．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．13【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质可得BE ＝AE ，根据已知条件求得AE ，即可求解．【详解】解：∵ED 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ，∵AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，∴12+5+AE ＝30，∴AE ＝13，∴BE ＝AE ＝13，故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线是解题的关键．6．如图，等边ABC ∆和等边CDE ∆中，B 、C 、D 共线，且3BC CD =，连接AD 和BE 相交于点F ，则下列结论中：①AD BE =；②60AFB ∠=︒；③连接FC ，则FC 平分BFD ∠；④3BF DF =．正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可证明△ACD ≌△BCE （SAS ）可判断①选项；根据全等三角形的性质得∠CAD =∠CBE ，再利用三角形外角的性质即可判断②选项；过点C 作CG ⊥AD 于点G ，CH ⊥BE 于点H ，过点F 作FM ⊥BD 于点M ，根据全等三角形的性质可得CH =CG ，即可判断③选项；由BC =3CD ，得3BCF DCF S S ∆∆=，结合③可判断④选项．【详解】在等边ABC ∆和等边CDE ∆中，CA CB =，60ACB ∠=︒，CD CE =，60DCE ∠=︒，B 、C 、D 共线，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆与BCE ∆中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ΔΔACD BCE SAS ∴≅，AD BE ∴=，故①选项符合题意；ACD BCE ∆≅∆ ，CAD CBE ∴∠=∠，AFB ∠Q 是FBD ∆的外角，60AFB FBD FDB CAD ADC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，故②选项符合题意；过点C 作CG AD ⊥于点G ，CH BE ⊥于点H ，过点F 作FM BD ⊥于点M ，如图所示：ACD BCE ∆≅∆ ，BE AD =，ACD BCE S S ∆∆∴=，即1122AD CG BE CH ⋅=⋅，CG CH ∴=，7．如图，在△ABC 中，分别以点A 和B 为圆心，大于12AB 和长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ABC 的周长为17，AB ＝7，则△ADC 的周长是（ ）A．7B．10C．15D．17【答案】B【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．【详解】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BC．∵△ABC的周长为17，AB＝7，∴△ADC的周长＝AC+CD+AD=AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，尺规作图-作线段垂直平分线，熟练掌握用尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC＝（ ）A．80°B．100°C．150°D．160°【答案】D【分析】根据线段垂直平分线上的性质证明DA＝DB＝DC，结合等边对等角的性质证明∠DBA+∠DCA＝∠BAC，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：如图，连接AD，∵点D 为边AB ，AC 的垂直平分线的交点，∴DA ＝DB ＝DC ，∴∠DAB ＝∠DBA ，∠DAC ＝∠DCA ，∴∠DBA +∠DCA ＝∠BAC ，在△ABC 中，∠DBC +∠DCB ＝180°﹣（∠DAB +∠DBA +∠DAC +∠DCA ）＝180°﹣2∠BAC ，在△DBC 中，∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝180°﹣（180°﹣2∠BAC ）＝2∠BAC ，即∠BDC ＝2∠BAC ＝160°．故选D【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．9．如图，点A 的坐标为()2,2，若点P 在坐标轴上，且APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】D【分析】分别分析当OA =OP ，OA =PA ，OP =PA 时的情况即可．【详解】解：当OA =OP 时，如图：以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与坐标轴交于4个点，当OA=PA时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与坐标轴交于2个点，当OA=PA时，作OA的垂直平分线，交坐标轴于2点，综上：满足条件的点P一共有8个．故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形两腰相等的性质是，根据题意进行分类讨论是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣3，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）11．如图的三角形纸片中，AB＝c、BC＝a、AC＝b、沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为AD，则△BDE的周长为_____（用含a、b、c的式子表示）【答案】a-b+c【分析】根据翻折变换的性质得到DC=DE，AC＝AE＝b，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可．【详解】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，AC＝AE＝b，∵AB＝c，∴BE ＝AB ﹣AE ＝c ﹣b ，△BED 的周长为：BD +DE +BE ＝BC +BE ＝a ﹣b +c ，故答案为：a -b +c ．【点睛】题考查的是折叠变换的知识，掌握折叠变换的性质、找准对应关系是解题的关键．12．如图，在等边ABC V 中，BD 是ABC ∠的平分线，点E 是BC 的中点，点P 是BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，当PE PC +的值最小时，EPC ∠的度数为__________．【答案】60°##60度【分析】由题意可知点A 、点C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于点P ，由对称的性质可得，PA ＝PC ，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE +PC 的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB ＝60°，再通过△BPE ≌△CPE 得出∠EPC ＝∠EPB ＝60°．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，BD 是∠ABC 的平分线，∴点D 为AC 的中点，BD ⊥AC ，∴点A 、点C 关于BD 对称，如图，连接AE ，交BD 于P ，线段AE 的长即为PE +PC 最小值，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∵∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠PBE ＝30°，∴∠BPE ＝60°，∵在△BPE 和△CPE 中，90PE PE PEB PEC BE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BPE ≌△CPE （SAS ），∴∠EPC ＝∠BPE ＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．13．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点.D 已知BDC V 的周长为14，6BC =，则AB =______ ．【答案】8【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD BD =，求出BDC V 的周长为AC BC +，代入求出即可．【详解】解：AB Q 边的垂直平分线DE ，AD BD ∴=，BDC V 的周长为14，6BC =，14BC BD DC ∴++=，6614AD DC AC ∴++=+=，8AC ∴=，8AB AC ∴==，故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（3，1），C 的坐标为（4，3），如果存在点D ，要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D 的坐标是_______．【答案】（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）【分析】由条件可以知道要使△ABD与△ABC全等，则点C与点D关于直线AB对称，根据点C的坐标就可以求出D的坐标，再根据点C与点D关于AB的中垂线，中点对称，求出坐标即可．【详解】解：∵点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(3,1)，∴AB是平行于x轴，y＝1的直线．∵△ABD与△ABC全等，∴∠ABD＝∠ABC，点D与点C关于直线AB对称．∵C(4,3)，∴D(4,-1)．当点D与点C关于AB的中垂线对称时，D(-1,3)；当点D与点C关于AB的中点成中心对称时，D(-1,-1)．故案为：(4,-1)，(-1,3)，(-1,-1)．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，坐标与图形的性质的运用，轴对称的性质的运用．注意：多种情况讨论．15．如图，在34 的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处．【答案】7【分析】根据轴对称图形的定义，在方格中进行选择合适的位置即可．【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有①下1；②下2；③中3；④中4；⑤上5；⑥上6；⑦上7．如图：选择的位置共有7处．故答案为：7．【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的定义，找出轴对称图形的对称轴，理解轴对称图形的定义是解题的关键．16．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是______．①线段AD 是△ABC 的角平分线； ②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上； ④12DAC ABD S S =V V ：：．形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD∠=___________度．与AM重合，折痕为AF，则EAF1，使得1MC MB ＝，得到第一个三角形1ABC ；在射线1MC 上取一点2C ，使得121C C BC ＝；得到第二个三角形2ABC △；在射线1MC 上取一点C 3，使得，得到第三个三角形…依次这样作下去，则第2022个三角形中的度数为_____．，，∴，，即，232C C BC ＝3ABC △2022ABC △2022AC B ∠12111211C C BC AC ＝＝1145ABC BAC ∠=∠=︒190AC B ∠=︒【点睛】本题考查图形类规律探究，涉及线段的垂直平分线，等腰三角形、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得出角之间的变化规律是正确解答的前提．三、解答题（本大题共6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23小题8分，第24小题10分）19．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF 交AD于点G.(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积.重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0分米，CE ＝CF ＝18.0分米，BC ＝2.0分米．(1)求AP 长的取值范围；(2)当∠CPN ＝60°时，求AP 的值．【答案】(1)0≤AP ≤10；(2)6分米【分析】（1）根据题意，得AC =CN +PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值范围；（2）由等边三角形的判定和性质得出∆CPN 为等边三角形，CP =CN =PN =6分米，再结合图形求解即可．【详解】（1）解：∵BC =2分米，AC =CN +PN =12分米，∴AB =AC ﹣BC =10分米．∴AP 的取值范围是：0≤AP ≤10；（2）根据题意得CN =PN ，∠CPN ＝60°，∴∆CPN 为等边三角形，∴CP =CN =PN =6分米，∵AC =CN +PN =12分米，∴AP =AC -CP =6分米．【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．21．已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，其中A （1，2），B （3，1），C （4，3），试解答下列各题：ABC V(1)作出△ABC 关于y 轴对称的：(2)写出三个顶点的坐标：（________）﹔（________）﹔（________）﹔(3)=________．【答案】(1)图见详解(2)，2；，1；，3；(3)6【分析】（1）先得出点A 、B 、C 分别关于y 轴对称的点，然后顺次连接即可；（2）由（1）图可进行求解；（3）由图可直接进行求解．【详解】（1）解：如图示：（2）解：由（1）图可得：；；；故答案为，2；，1；，3；（3）解：由（1）图可得：；故答案为6．【点睛】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的求解是解题的关键．22．如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°．A B C '''V A B C '''V A 'B 'C 'BB '1-3-4-(1,2)A '-(3,1)B '-(4,3)C '-1-3-4-6BB '=(1)求出BF的长度；(2)求∠CAD的度数；(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？【答案】(1)BF＝3cm(2)∠CAD＝18°(3)直线MN垂直平分线段EC【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可；（2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可；（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，∴BC＝ED＝4cm，∴BF＝BC﹣FC＝3cm．（2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠BAC＝76°，∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，∵E，C关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点．求证：BD ＝CE ．(2)如图2，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点，点D 、E 均在△ABC 外，求证：∠ABD ＝∠ACE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC =∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，从而得到∠CAE ＝∠BAD ，利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC =∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，从而得到∠CAE ＝∠BAD ，利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质即可得解；【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）证明：∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ，即∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ．AB AC BAD CAEAD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝AB AC BAD CAEAD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义及熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．24．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点、、、、、均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）(1)如图，过点作直线的平行线；(2)如图，点为线段上一动点，连接、，作出当最小时，点位置；(3)如图，在线段上找一点不与点重合，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）取格点D ，作直线CD 即可；（2）作点C 关于AB 的对称点C ′，连接DC ′交AB 于点M ，连接CM ，点M 即为所求；（3）取格点J ，M ，N ，连接EJ 交AB 于点K ，连接MN 交AB 于点P ，点P 即为所求．【详解】（1）如图中，直线即为所求；（2）如图中，点即为所求；55⨯A B C D E F 1C AB 2M AB MD MC MD MC +M 3AB (P A )PE PF ⊥1CD 2M（3）如图中，点即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3P。
八年级数学上册第十三章轴对称考点精题训练(带答案)
八年级数学上册第十三章轴对称考点精题训练单选题1、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜2、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．3、如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误．．的是（）A．∠ADC=90∘B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD答案：C分析：根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．解：∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC,BD=CD，∴∠ADC=90∘，故选项A、D结论正确，不符合题意；又AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF，故选项B结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD=BC，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．小提示：本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．4、已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12或15B．12C．13D．15答案：D分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D．小提示：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，－3），点B的坐标为（3，－3），下列说法不正确的是（）A．点A在第三象限B．点B在第二、四象限的角平分线上C．线段AB平行于x轴D．点A与点B关于y轴对称答案：D分析：根据点坐标特征、特殊直线的解析式可以作出判断．解：A、根据点坐标的符号特征，点A在第三象限，正确；B、第二、四象限的角平分线为y=-x，并且点B坐标符合y=-x，正确；C、线段AB为y=-3，平行于x轴，正确；D、与点A关于y轴对称的点为（2，-3），错误；故选D．小提示：本题考查点坐标的应用，熟练掌握点坐标特征及特殊直线的解析式是解题关键．6、某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．答案：B分析：用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．作点A关于直线的对称点A′，连接BA′交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．故选B小提示：本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，则△ABO的周长为（）A．24B．34C．35D．36答案：D分析：平面直角坐标系中点关于y轴的对称点B的坐标为（5，12），到坐标轴的距离分别为5和12，利用勾股定理算出OA和OB的长度，最后加上AB，即可得到△ABO的周长．解：∵点A与点B关于y轴对称，A（﹣5，12），∴B（5，12），∴AB＝10，∵A（﹣5，12），∴OA＝13，∴OB＝13，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝26+10＝36，故选D．小提示：本题考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，本题还考查了勾股定理的运用．明确点到坐标轴的距离是本题的关键．8、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD//AB，则∠BCD=（）A．40°B．50°C．60°D．70°答案：D分析：先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=70°，∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=70°，故选D.小提示：本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.9、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．10、如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（）A．5B．8C．10D．13答案：C分析：根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵EG是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，FA＝FC，∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝10，故选：C．小提示：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．填空题11、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB 的最小值是 ___．答案：4分析：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．解：如图：连结BP，CP，∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴BP=CP，∴AP+BP=AP+CP，根据两点之间相等最短AP+PC≥AC，∴当点P在AC与EF交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的长为4．故答案为4．小提示：本题考查轴对称——最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出P点的位置．12、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D′和点C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，则∠1为______度．答案：70分析：由折叠的性质可以得∠EFC=∠EFC′，从而求出∠C′FG=∠EFC′−∠EFG=70∘，再由平行线的性质得到∠1=∠EGF=∠GFC′=70∘．解：由折叠的性质可知，∠EFC=∠EFC′，∵∠EFG=55°，∴∠EFC=∠EFC′=180∘−∠EFG=125∘，∴∠C′FG=∠EFC′−∠EFG=70∘，∵四边形ABCD是长方形∴AD∥BC，DE∥FC′，∴∠1=∠EGF=∠GFC′=70∘，所以答案是：70．小提示：本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ．答案：6分析：先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.解：∵等边三角形纸片ABC∴∠B=∠C=60°∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形∴DE=EF=DF∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF= DE+EF+DF=6故答案为6．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．14、如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC=BF，∠DAC=24°，∠EBC=32°，则∠ACB=__________．答案：100°分析：延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，如图所示：在△BDM和△CDA中，{DM=DA∠BDM=∠CDABD=CD，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，∵BF=AC，∴BF=BM，∴∠M=∠BFM=24°，∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°，∵∠EBC=32°，∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°，∴∠C=∠DBM=100°，所以答案是：100°．小提示：本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15、如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°)，则∠BCD=__________（用含α的式子表示）．答案：120°−α##−α+120°分析：在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得△BEC≅△ADC，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到△DCE是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有∠BCE=60°−α，即可求解．解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵∠DBC=∠DAC=α，BE=AD，∴△BEC≅△ADC，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠BCD=180°−60°−α=120°−α．所以答案是：120°−α小提示：本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．解答题16、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；(2)求证：BC＝2AB．答案：(1)40°(2)见解析分析：（1）根据角平分线的定义求出∠EBC，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC=20°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）作EF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BC=2BF，证明Rt△ABE≌Rt△FBE，根据全等三角形的性质证明结论．（1）解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，∴∠EBC=1∠ABC=20°，2∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=20°，∵∠DEC是△EBC的一个外角，∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA=EF，在Rt△AEB和Rt△FEB中，∵{EA=EF，EB=EB∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL），∴AB=FB（全等三角形的对应边相等），∵EB=EC，EF⊥BC，∴BC=2FB，∴BC=2AB．小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．17、如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OC为折痕，则OC平分∠AOA′．(1)若∠AOC＝25°，求∠A′OB的度数；(2)若点D在线段BE上，角OBD沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；②如果点B′不在线段A′O上，且∠A′OB′＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．答案：(1)130°(2)①90°；②70°或110°分析：（1）根据折叠的性质，可得∠AOA′=2∠AOC=50°，即可求解；（2）①根据折叠的性质，可得∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，从而得到∠COD=∠A′OC+∠B′OD=12(∠AOA′+∠BOB′)，即可求解；②分两种情况：当OB′在OA′右侧时，当OB′在OA′左侧时，即可求解．（1）解：∵OC平分∠AOA′．∠AOC＝25°，∴∠AOA′=2∠AOC=50°，∴∠A′OB=180°−∠AOA′=130°；（2）解：①根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∴∠COD=∠A′OC+∠B′OD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×180°=90°；②如图，当OB′在OA′右侧时，根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∵∠A′OB′＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′=180°−∠A′OB′=140°，∴∠AOC+∠BOD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×140°=70°；如图，当OB′在OA′左侧时，根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∵∠A′OB′＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′=180°+∠A′OB′=220°，∴∠AOC+∠BOD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×220°=110°；综上所述，∠AOC+∠BOD的度数70°或110°．小提示：本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．18、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=32°，∠BAD=42°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝74°分析：根据等边对等角可得∠C＝∠B＝32°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC 的度数．解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∵∠DAB＝42°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝116°﹣42°＝74°．小提示：此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键．。
专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。
适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解： 四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
八年级数学上册重难点分析
F 八年级上册数学重难点分析第一章 轴对称图形知识点:重难点：轴对称与轴对称图形的概念及识别以及轴对称与轴对称图形的区别和联系;考点：轴对称的性质、轴对称图形的折叠问题;易混点：角平分线、垂直平分线的性质、对称轴是一条直线而非线段经典考题：如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,已知该纸片宽AB 为8cm,长BC 为10cm;当小红折叠时,顶点D 落在BC 边上的点F 处折痕为AE,想一想,此时EC 有多长 用你学过的方法进行解释. 提示：AF 多长BF 呢FCEF第二章 勾股定理与平方根知识点：勾股定理、实数的概念及分类、平方根、算数平方根和立方根、实数大小的比较、实数的运算重 难点:勾股定理的应用、平方根与立方根的计算学上第一次接触根式难 点:勾股定理的应用易混点：平方根与立方根的区别实数、有理数、无理数概念问题经典考题：一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.1这个梯子的顶端离地面有多高2如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米第三章 中心对称图形一知识点:平移、旋转、四边形的相关概念、平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、梯形的性质、中心对称图形的概念及性质重难点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定平行四边形、矩形、菱形、正方形考点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定、图形的旋转易混点：平行四边形的判别；特别平行四边形的判别;经典考题：下列几组几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形,完全正确的一组是．A．正方形、菱形、矩形、平行四边形 B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．正方形、矩形、菱形 D．平行四边形、正方形、等腰三角形第四章数量、位置变化知识点：平面直角坐标系及有关概念、坐标变化与图形变化的规律重难点：平面直角坐标系的引入及有关概念的认识象限、点的坐标等、坐标变化与图形变化的规律学生第一次接触直角坐标系考点：关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征易混点：平面直角坐标系中坐标的表示；坐标变化的情况;下表为坐标变化与图形变化的规律坐标变化与图形变化的规律坐标 x , y 的变化图形的变化x × a或y × a 被横向或纵向拉长压缩为原来的 a倍x × a, y × a 放大缩小为原来的 a倍x × -1或y × -1 关于 y 轴或 x 轴对称x × -1, y × -1 关于原点成中心对称x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位x +a, y+ a 沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单经典考题：点P-5,1沿x轴正方向平移2个单位,再沿y轴负方向平移4个单位,所得到的点的坐标为_______;第五章一次函数知识点：函数的概念、自变量取值范围、函数的三种表示法、由函数关系式画其图像的一般步骤、正比例函数和一次函数概念及性质重难点：函数概念的引入、一次函数与正比例函数的性质及图像、一次函数与一元一次方程的关系考点：一次函数与正比例函数的性质、一次函数图像的应用易混点：一次函数的表达式及用待定系数法确定一次函数的表达式;经典考题：如图,直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6,动点Px,0在OB上运动0<x<3,过点P作直线m与x轴垂直．1求点C的坐标,并回答当x取何值时y1>y22设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s,求出s与x之间函数关系式． 3当x为何值时,直线m平分△COB的面积第六章数据的集中度知识点：平均数、众数、中位数的概念及算法重难点：平均数、中位数与众数概念的理解；计算器求平均数；考点：加权平均数、中位数的理解;易混点：中位数、平均数的计算；用计算器求平均数;经典考题：有10个数据的平均数为6,另有20个数据的平均数为3,那么所有这30个数据的平均数是________;。
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轴对称重难点突破训练
班级姓名
一、填空题（每题2分，共32分）
1．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有
条．
2．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一．
个．与其他三个
．．不同？请指出这个图形，并说明理由．
答：这个图形是：（写出序号即可），理由是
．
3．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
4．△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC=__ __．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．
6．判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.
7．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．8．如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，且△ABC的周长为24，则AB+BD = ；又若∠CAB=60°，则∠CAD = ．
9．如图，△ABC 中，EF 垂直平分AB ，GH 垂直平分AC ，设EF 与GH 相交于O ，
则点O 与边BC 的关系如何？请用一句话表示： ．
10．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =6，AD =5，BC =8，且AB ∥DE ，则
△DEC 的周长是____________．
11．请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上
的空白处填上恰当的图形.
12．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的
两底长分别为____________．
13．等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则
此三角形的底边长为__ ___.
14．如图，三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴．
15．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 恰好落在如图C 1的位置，
若∠DBC =30º，则∠ABC 1=________．
A
B
C
D
B H
F
A
E
C
G
O
第8题图 第9题图 第10题图
第14题图 第15题图 第16题图
16．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC 是对称
轴，∠A =35º，∠BCO =30º，那么∠AOB =____ ___．
二、解答题（共68分）
17．（5分）已知点M )5,3(b a -，N )32,9(b a +关于x 轴对称，求a b 的值．
18．（5分）已知AB =AC ，BD =DC ，AE 平分∠FAC ，问：AE 与AD 是否垂直？为什么？
19．（5分）如图，已知：△ABC 中，BC ＜AC ，AB 边上的垂直平分线DE 交AB
于D ，交AC 于E ，AC =9 cm ，△BCE 的周长为15 c m ，求BC 的长．
A
B
C
D
E
F
20．（5分）如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕
迹）
21．（5分）如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
.B
A .
22．（5分）如图，在∆ABC 中，AB =AC ，∠A =92︒，延长AB 到D ，使BD =BC ，连结DC ．
求∠D 的度数，∠ACD 的度数．
23．（5分）有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD =30cm,BE =20cm ，
∠BEG =60°，求折痕EF 的长．
24．（8分）如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ．
（1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数； （2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数；
A
D
B
C
（3）已知∠A = x ，求∠ACB 的度数； （4）请你根据解题结果归纳出一个结论．
25．（6分）如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，
OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．
26．（7分）已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的
延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．
B A
B
O E F
C
A
F
B
C
D
E
27．（7分）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
28．（5分）如图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③．
（1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中．
（2）在折叠后的图形③中，沿直线l剪掉标有A的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来．
八年级数学（上）自主学习达标检测（二）
一、填空题
1．2，3 2．④，不是轴对称图形3．75度或30度4．3 5．4 6．（1）（3）（6）是轴对称图形，（2）（4）（5）不是轴对称图形 7．5 8．12 9．点O 到BC 两
端的距离相等 10．15 11．正反写的4和6 12．4，6 13．353
cm 或5cm 14．2、
4，2 15．30度 16．130度 二、解答题
17．9 18．垂直 19．BC=6cm 20．略 21．略 22．22度，66度 23．20cm 24．（1）90度；（2）90度；（3）90度；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90度 25．略 26．略 27．是等边三角形 28．略。