《函数的极值》ppt课件

单调性的关系呢?
函数的极值有助于分析函数的最值或值域,其实质就是函数
单调性的升华.
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1
已知f'(x0)=0,则下列结论中正确的是( B ).
A.x0一定是极值点 B.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0) 是极大值 C.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)
是极小值
D.如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0) 是极大值
【解析】直接根据极值概念判断,也可画出图像进行分析.
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2
函数 y=ax3+bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 , 3 则( D ). A.a-2b=0 C.2a+b=0
【解析】∵f(x)= x -bx +c,∴f'(x)=x -2bx.
3 1
3 2 2
1 3
3
2
∵x=2 时,f(x)取得极值,∴2 -2b×2=0,解得 b=1, ∴f(x)= x -x +c,∴f'(x)=x -2x=x(x-2),
3 1
3 2 2
2
∴当 x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增; 当 x∈(0,2)时,f(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增. f(0) = c > 0, 4 若 f(x)=0 有 3 个实根,则 解得 0<c< , 1 3 f(2) = × 23 -22 + c < 0,
【解析】(法一)因为 f'(x)=x -(2a+1)x+(a +a)=(x-a)[x-(a+1)].令 f'(x)=0,得 x1=(a+1),x2=a,所以 f'(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (-∞,a) + 递增 a 0 极大值 (a,a+1) 递减 a+1 0 极小值 (a+1,+∞) + 递增
利用函数的极值和极值点求函数的相关系数
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值7;当x=3时,
取得极小值,求f(x)的极小值及a、b、c的值.
【解析】f'(x)=3x +2ax+b,据题意知-1,3 是方程 3x +2ax+b=0 的两 个根, ∴ -1 + 3 = b
2 2 2
.
1 2 1 2
>0,解得 x> ,∴f(x)在(0, )上是
减函数,在( ,+∞)上是增函数. ∴f(x)的极小值为 f( )=2-2ln 2,无极大值.
2 1
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已知函数 f(x)= x - (2a+1)x +(a +a)x.若 f(x)在 x=1 处 取得极大值,求实数 a 的值.
第2课时
函数的极值
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1.理解求函数极大值与极小值的方法.
2.极小值点与极大值点的概念. 3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断函数零点的 个数,证明不等式等问题.
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若函数f(x)的定义域为区间(a,b),导数f'(x)在(a,b)内的图
像如图所示,用极值的定义你能判断函数f(x)在(a,b)内的极 小值点有几个吗?
2
1
B.2a-b=0 D.a+2b=0
1 3
2
【解析】y'=3ax +2bx,据题意,0、 是方程 3ax +2bx=0 的两根, ∴- = ,∴a+2b=0.
3a 3 2b 1
3
若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m= -19 .
【解析】y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4 时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.
问题2
用导数求函数极值的方法和步骤
如果y=f(x)在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值.
第一步,求导数f'(x). 第二步,求方程
f'(x)=0
的根x=x0.
第三步,判断x=x0是不是函数的极值点,若是,则求f(x0)的值,即 为
极值 ,若不是,ຫໍສະໝຸດ Baidu 无极值 .
问题3
函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗?与函数
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x
(-∞,-2) -2 0
(-2,2) -
2 0
(2,+∞) + 单调递增
f'(x) + f(x) 单调递增
28 4 单调递减 3 3
因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-2)= ;当 x=2 时,f(x)有
3
28
极小值,且极小值为 f(2)=- .
3
4
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若y=x3+kx在R上无极值,求k的取值范围.
【解析】y'=3x2+k,∵y=x3+kx在R上无极值, ∴y'≥0恒成立,∴k∈[0,+∞).
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利用导数求函数的极值 求函数
1 3 f(x)= x -4x+4 3
1 3
3
的极值.
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【解析】因为 f(x)= x -4x+4,所以 f'(x)=x -4=(x-2)(x+2), 令 f'(x)=0,解得 x=2 或 x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)当 f'(x)>0 时, x>2 或 x<-2; (2)当 f'(x)<0 时,-2<x<2. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
3
∴实数 c 的取值范围为(0, ).
3
4
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已知函数 f(x)=2ln
1 x
1 x+ ,求 x
f(x)的极值.
【解析】f(x)=2ln x+ ,且函数 f(x)的定义成为(0,+∞), f'(x)= - 2 = 由 f'(x)=
2 1 2x -1 x x x2 2x -1 x2 1 2
2a 3
-1 × 3 = ,
3
3
, ∴a=-3,b=-9.
∴f(x)=x -3x -9x+c. ∵f(-1)=7,∴c=2. 3 2 极小值 f(3)=3 -3×3 -9×3+2=-25. ∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2.
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函数的极值与零点问题 已知函数 f(x)= x -bx +c(b,c 为常数).当 x=2 时,函数 f(x)取得 极值,若函数 f(x)只有三个零点,求实数 c 的取值范围.
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问题1
判断函数y=f(x)的极值的一般方法
解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是
极大值 ;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是
极小值 .
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