【结构设计】对于结构机算缺少约束时的处理方法
第四章常用的无约束优化方法
教学重点
1．鲍威尔法 2．梯度法 3．牛顿法
2
机械优化设计
概述
一、无约束优化方法的数学模型 有约束优化问题模型
L min F ( X * ) = F ( x1，x2， ，xn ), X ∈ R n D : g j ( X ) ≥ 0 j = 1,2,L, m hk ( X ) = 0 k = 1, 2,L, l
12
机械优化设计
一、Powell基本算法 Powell基本算法 1）开始采用坐标轴方向； 开始采用坐标轴方向； 2）每轮迭代产生一个新方向取代原来的第一 方向， 轮迭代后可产生n个彼此共轭的方向； 方向，n轮迭代后可产生n个彼此共轭的方向； 若目标函数为正定二次函数， 3）若目标函数为正定二次函数，n轮结束后 即可到达最优点。 即可到达最优点。
r (k ) r (k ) r (k ) r (k ) r (k ) r (k ) S 1 , S 2 , . . . , S m -1 , S m + 1 , . . . , S n , S n + 1 ,
22
第k+1环的方向组为：
机械优化设计
给定X 给定 0,Si=ei i=1,2,…n, ε
Powell 修正算法
K=0 i=1 方向搜索得一维最优点X 自Xi-1始，沿Si方向搜索得一维最优点 i
N
若powell法中不 需要换向，则 是否仍为共轭 方向法？ 检查两次前后 sn+1是否对函数 的海塞矩阵共 轭即可。
Y
i< n Xn-X0 ≤ε
i=i+1
Y
输出X*=Xn 输出 F*=F（X*） （ ）
x2
x2
o
x1
(2)等值线为如图脊线时--无效 (2)等值线为如图脊线时--无效 -o
第8章 无约束问题最优化方法
8 ． 1 ． 3 计算举例
例 8-1 用变量轮换法求解
2 2 min f ( x) 3x12 2x2 x3 ，
( n 1) （1） T x (1) 0.01 时停止 已知初始点 x (1, 2, 3) ，当 x
迭代．
8.2
模式搜索方法
模式搜索方法 ( Pattern Search Method ) 是 R.Hooke 和 T.A.Jeeves 于 1961 年提出的 , 因此也称为 Hook-Jeeves 方法 , 此方法有明显的几何意义 , 为介绍这种方法 , 从求一个二元函 数的极小点谈起．这相当于寻找某个曲面的最低点 , 或者形象 地说 , 相当于从一座山岭的某处出发 , 设法走到附近某一盆地 的最低点 , 怎样才能尽快达到这一目标呢 ? 很显然 , 如果能找 到一条山谷 , 沿山谷行进是最好的方法． 模式搜索方法就是根据上述思想设计的．它由两部分组成 , 包括探测移动和模式移动． 利用这种算法建立的迭代点移动 不需要使用一维搜索技巧．
(1) (1) (1) (1) (1) (1) e2 ) f (t 2 ) , 则 置 t3 t3 t2 e2 ； 否 则 若 f (t 2 t2 e2 ； 否 则
置 t 3 (1) = t 2 (1) ．
(1) 重复以上过程， 最后得到 t n 1 ．
8 ． 2 ． 2 模式移动
8.3 可变单纯形法
可变单纯形法的基本思想是， 给定 R n 中的一个单纯 形， 求出 n +1 个顶点的函数值 , 并确定这些函数值中的 最大值、 次大 值和最小 值， 然后通过 反射 、扩张、 内 缩、缩边 等方 法（几种 方法 不一定同 时使 用）求出 一 个较好点，用它取代最大值的点，以构成新的单纯形， 通过多次 迭代 逼近极小 点， 迭代过程 中逐 渐地把单 纯 形向最优点移动．
无约束常用优化方法
步长 ，作前进（或后退）试探．如试探成功（目
标函数值有所减小），则按步长序列
，加
大步长（注意每次加大步长都是由初始点算起），直
至试探失败（目标函数值比前一次的有所增加）时，
则取其前一次的步长作为沿这个坐标轴方向搜索的最
优步长，并计算出该方向上的终止点，而后以这个终
止点为始点再进行下一坐标轴方向的搜索，并重复上
处
显然 是二次函数，并且还是正定二次函数，所以 是凸函数且存在唯一全局极小点．为求此极小点，令
即可解得
即
（5.9）
对照基本迭代公式,易知，式（5.9）中的搜索方向
步长因子
方向
是直指点 处近似二次函数
的极小点的方向．此时称此方向为从点 出发的
Newton方向．从初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，
沿Newton方向并取步长 的算法称为Newton法．
另外，共轭梯度法不要求精确的直线搜 索．但是，不精确的直线搜索可能导致迭代 出来的向量不再共轭，从而降低方法的效 能．克服的办法是，重设初始点，即把经过 n次迭代得到的Xn作为初始点重新迭代．
五、坐标轮换法
在坐标轮换法中，沿各个坐标轴方向进行一维搜索
时，常选用最优步长法或加速步长法．加速步长法从
初始点出发，沿搜索（坐标轴）方向先取一个较小的
三、共轭方向法
1、概念
通常，我们把从任意点
出发，依次沿某组共轭
方向进行一维搜索的求解最优化问题的方法，叫做共
轭方向法．
2、特点
• 一般地，在n维空间中可以找出n个互相共轭的方向，对于n元正 定二次函数，从任意初始点出发，顺次沿这n个共轭方向最多作n 次直线搜索就可以求得目标函数的极小点．这就是共轭方向法的 算法形成的基本思想．
无约束优化法
第三章 无约束优化法● 概述 ● 梯度法 ● 牛顿法 ● 共轭梯度法 ● 坐标轮换法 ● 鲍威尔法概述无约束优化问题的一般形式： 求设计变量12[,,...]T n X x x x =使目标函数()min F x →，对X 没有任何约束条件。
工程实际问题中，无约束结构优化问题很少，多数是有约束条件的。
学习无约束结构优化原因：1）工程也有少量无约束结构优化问题，其数学模型就是无约束优化问题，除了在非常接近最小点的情况下，可以按无约束问题处理；2）为研究约束优化问题打下基础；3）约束优化问题可以通过一系列无约束方法达到。
无约束优化问题的求解，可以直接应用函数极值问题的求解方程：0F ∇= 的问题，即求X ，使其满足：1200...F x F x ∂⎫=⎪∂⎪∂⎪=⎬∂⎪⎪⎪⎭n 个方程组，一般为非线性的，很难用解析方法求解，一般采用数值方法。
与其用数值方法求解非线性方程组，倒不如用数值方法直接求解无约束极值问题。
数值方法最常用的就是搜索法，其基本思想：从给定的初始点0x 出发，按照一定原则寻找搜索方向0S ，沿方向0S 进行搜索，确定最佳步长0α，使得函数沿方向0S 下降最快，依次形成迭代公式： 1k k k k XX S α+=+ 0,1,2,...k =各种无约束优化方法的区别在于确定搜索方向kS 的方法，这是无约束优化方法的关键。
根据构成搜索方向所使用的信息不同分为：（1） 间接法 利用目标函数的一阶或二阶导数，如梯度法（最速下降法）、牛顿法、共轭梯度法和变尺度法；（2） 直接法 直接利用目标函数， 如坐标轮换法、鲍威尔法和单形替换法。
梯度法最早由1847年柯西提出，是无约束优化的基本方法。
其基本思想：取目标函数的负梯度方向作为迭代的搜索方向，必使函数值下降的速度最快。
设在第k 次迭代中取得迭代点kx ，从该点出发，取负梯度方向: ()k k S F X =-∇ 为搜索方向，式中：12()()()(),,....Tk k k kn F X F X F X F X x x x ⎡⎤∂∂∂∇=⎢⎥∂∂∂⎣⎦第1k +次得到的新点：1()k k k k X X F X α+=-∇ 一般步长1kα=常采用沿负梯度方向做一维搜索：1()min ()k k k k F X F X S α+=- 算法特点：初始阶段改进较快，最优解附近改进较慢。
3D3S结构约束不足解决方法
63D3S 软件园地Building StructureWe learn we go3D3S 模型约束不足的解决方法上海同磊土木工程技术公司3D3S 研发组在3D3S 建模的过程中，除一些基本的问题可以在使用模型检查命令中发现以外，在计算过程中，有时会出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”的提示。
这表示结构为可变体系或模型为机构，要找出这些地方并作出修改，才能顺利地进行下面的计算，下面来看一个网壳模型:图1 模型 基本思路：1， 大致了解模型的组成部分，比如，本模型为直径大约125米的空间双层网壳结构，结构包括：帽顶、马道、开口、混凝土小短柱。
上下弦以及腹杆之间均为铰接，在显示查询菜单下面按层面显示，对话框如下所示：图2 按层面显示2，进行模型检查，软件对模型进行初步的检查，判断模型是否存在问题，检查的内容包括:截面、材性、方位是否定义、所有相交构件是否打断、是否存在特别短或特别长的单元等；其中判断可能是机构的点的依据如下:平面内相交的四根杆件在相交点都做单元释放的话，软件判断其为机构本模型检查结果如下图：图3 模型检查3， 查看总体信息，包括约束，杆件的基本信息是否有异常，支座约束是否已经加上，构件属性是否都已经定义。
从下图可以看出本模型基本信息无误。
图4 总体信息查询4， 查看模型的支座约束情况以及主要节点连接的形式，本模型中，所有的柱脚都是刚接，上下弦以及腹杆之间均为铰接，混凝土柱顶铰接，帽顶与主体结构铰接。
主体结构基本没问题，在帽顶的地方有几根新加的杆件，两端7Building Structure3D3S 软件园地We learn we go没有释放，对这几根杆件两端进行单元释放。
重新对模型进行计算，依然出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”这个提示。
图5 结构约束不足的提示5， 对模型的结构体系进行检查，使用结构编辑菜单下——结构体系命令，查看本模型的结构体系定义：图6 结构体系的定义桁架表示所有节点都为铰接，框架表示所有节点都为刚接。
3D3S结构约束不足解决方法
63D3S 软件园地Building StructureWe learn we go3D3S 模型约束不足的解决方法上海同磊土木工程技术公司3D3S 研发组在3D3S 建模的过程中，除一些基本的问题可以在使用模型检查命令中发现以外，在计算过程中，有时会出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”的提示。
这表示结构为可变体系或模型为机构，要找出这些地方并作出修改，才能顺利地进行下面的计算，下面来看一个网壳模型:图1 模型 基本思路：1， 大致了解模型的组成部分，比如，本模型为直径大约125米的空间双层网壳结构，结构包括：帽顶、马道、开口、混凝土小短柱。
上下弦以及腹杆之间均为铰接，在显示查询菜单下面按层面显示，对话框如下所示：图2 按层面显示2，进行模型检查，软件对模型进行初步的检查，判断模型是否存在问题，检查的内容包括:截面、材性、方位是否定义、所有相交构件是否打断、是否存在特别短或特别长的单元等；其中判断可能是机构的点的依据如下:平面内相交的四根杆件在相交点都做单元释放的话，软件判断其为机构本模型检查结果如下图：图3 模型检查3， 查看总体信息，包括约束，杆件的基本信息是否有异常，支座约束是否已经加上，构件属性是否都已经定义。
从下图可以看出本模型基本信息无误。
图4 总体信息查询4， 查看模型的支座约束情况以及主要节点连接的形式，本模型中，所有的柱脚都是刚接，上下弦以及腹杆之间均为铰接，混凝土柱顶铰接，帽顶与主体结构铰接。
主体结构基本没问题，在帽顶的地方有几根新加的杆件，两端7Building Structure3D3S 软件园地We learn we go没有释放，对这几根杆件两端进行单元释放。
重新对模型进行计算，依然出现“结构约束不足，迭代求解失败，停止运行”这个提示。
图5 结构约束不足的提示5， 对模型的结构体系进行检查，使用结构编辑菜单下——结构体系命令，查看本模型的结构体系定义：图6 结构体系的定义桁架表示所有节点都为铰接，框架表示所有节点都为刚接。
第三章无约束问题的最优化方法
§3.2 一维搜索方法
二次插值法. 基本原理：
f ( x k 1 ) f x k S k 是的一元函数，
拟用一元二次多项式p a b c 2逼近 f ,即用抛物线p 拟合曲线f ，以p 的极小值 p * 近似f 的最优点 *。
a
a1
b1
b
a
a1
b1 b
a
a1
b1
b
§3.2 一维搜索方法
黄金分割法： • 黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对 函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种 方法的适应面相当广。 • 黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法。 • 在搜索区间内[a,b]适当插入两点，将区间分成三段；利用区间消 去法，使搜索区间缩小，通过迭代计算，使搜索区间无限缩小，从而 得到极小点的数值近似解。 •
③． 缩短区间
• 若f(x)本身为二次函数，则在理论上按前式一次求值就可找到最优点 ；
•
若f(x)为高于二次的函数或为其他函数 ,可采用区间消去法逐步缩小区间 。 根据xp* ，x2，f(xp* )和f(x2)的相互关系，分4种情况进行区间缩小。
在已有的四x1,x2,x3,xp* 中选择新的三个点x1,x2,x3，再进行二次插值。
2 2 2 2
§3.2 一维搜索方法
②
令 dp b 2c 0 d b 1 c 得 * (1 2 1 ) 2c 2 c2
f 2 f1 c f3 f 1 2 1 1 其中 c1 , c2 3 1 2 3
确定初始单谷区间进退法示意图
y1←y2 y1 y2→y1 y3 y1←y2←y1 y2←y3
结构静力分析边界条件施加方法与技巧—约束条件
在结构的静力分析中载荷与约束的施加方案对计算结果有较大的影响，甚至导致计算结果不可信，笔者在《结构设计CAE主业务流程》的博文中也提到这一点。
那么到底如何施加载荷与约束呢？归根到底要遵循一个原则——尽量还原结构在实际中的真实约束和受力情况。
本文着重介绍几种约束的施加方法与技巧，并通过具体例子来进一步说明。
1 销轴约束销轴连接在结构中是很常见的一种形式，其约束根据具体的结构形式有所不同，下面以一个走行装置为例具体介绍一下。
走行装置是连接平动轨道与上部结构的，其约束应是轨道通过车轮对走行装置的约束，但是通常对于车轮只要验证其轮压满足要求即可，因此在模型中往往将车轮简化掉，因此对于走行装置的约束就变为销轴约束。
图1 某走行装置图1 中1-10是与车轮相连接的轴孔，车轮行驶于轨道上，约束位置在10对轴孔处，如果把整个轴孔都约束则约束刚度太大，结果会导致圆孔周围应力过大，因此应简化为约束轴孔中心点，将中心点与轴孔边缘通过刚性单元连接，简化为点约束。
首先y方向（竖直向上）是应该约束的（此处假设车轮及轴为刚体），其次由于轨道与轮缘的相互作用，z方向（侧向）也应该是约束的，然后由于走行装置在向下的压力下会产生沿x方向（运行方向）的位移，因此x方向约束应放开，但是如果10对轴孔中心x方向的约束全放开则会导致约束不全无法计算，因此应在1轴孔或10轴孔中心处施加x方向的约束，这样实现全自由度约束。
2 转动轨道约束图2是一个翻车机模型，该结构通过电机驱动，托辊支撑，2个端环在轨道上转动来实现翻卸功能。
图2 翻车机由于翻车机托辊支撑端环，由电机驱动不断地翻转卸车，造成其约束位置方向不断变化，针对一个具体翻转角度，翻车机端环在与托辊接触处（线接触）应约束沿翻车机端环径向，另外，由于翻车机在荷载作用下会产生沿翻车机轴向的位移，所以两端环中要约束一个端环的轴向自由度。
3 对称面约束图3是某钢水罐模型，该模型关于y-z面对称，下面介绍一下该结构的约束处理。
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对于结构机算缺少约束时的处理方法
一、问题
计算过程中计算出错，打开出错日志后，显示很多缺少约束的提示。
根据提示查找对应的位置，查找方法有两种，一种是根据提示的节点或构件编号查找，一种是根据提示的坐标位置查找。
二、位置的定位
方法一，根据节点编号查找
进入前处理的轴侧简图，切换到对应的楼层号，切换到平面视图，勾选上左侧菜单的节点，然后输入复制好的节点编号，点击右侧的图标“》”，程序会自动定位该节点编号，定位后可以切换到三维方式查看该节点在立面上的位置。
如图所示，该节点是梁的一端节点，且该梁悬空，超出于层高。
方法二，根据坐标进行查找
复制该节点的坐标号，删除数值中的小数点号，因为输出的坐标是以米为单位，程序是以mm 为单位，删除后节点坐标-54239,71292,-0600，点击测量按钮，在左下角的命令栏输入“!-54239,71292,-0600”，然后点回车，即可定位。
定位后可以切换视角查看。
坐标前的感叹号需要在英文输入状态下输入。
从图上看，该节点未见明显异常。
记住该位置，等会回到建模中看看是否有异常。
三、修改模型，并计算
回到建模的位置，找到提示缺少约束的位置，修改模型。
如本题中根据节点编号查找到的高出层高的梁，删除该梁（层高处有该梁）或调整梁的标高。
根据坐标查找的位置，建模中也为发现异常，暂时先不管。
删除标高不对的梁后重新计算，就能顺利完成计算。
四、常缺少约束导致无法计算可能的原因。