复合函数的导数教案
学案2：5.2.3 简单复合函数的导数
5.2.3 简单复合函数的导数【课标要求】课程标准：理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则，能求简单复合函数的导数． 学习重点：复合函数的求导．学习难点：分清函数的复合关系，选好中间变量.【新知拓展】复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x .(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导法则运用熟练后，中间步骤可省略不写．【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝ln x ＋e x ＋x 3＋3x是复合函数．( ) (2)函数y ＝sin 23x 可以看作函数y ＝u 2，u ＝sin t 和t ＝3x 的复合函数．( )(3)函数y ＝ln 1x的导数为y ′＝x .( ) 2．做一做(1)下列结论中正确的是( )A ．若y ＝cos 1x ，则y ′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y ′＝2x cos x 2C ．若y ＝cos5x ，则y ′＝－sin5xD ．若y ＝12x sin2x ，则y ′＝12cos2x (2)已知某函数的导数为y ′＝12(x －1)，则这个函数可能是( )A．y＝ln 1－x B．y＝ln11－xC．y＝ln (1－x) D．y＝ln1 x－1(3)函数y＝sin2x cos3x的导数是________.(4)若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.【题型探究】题型一简单复合函数求导问题例1求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝3x＋5.[规律方法]1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构；(3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；(5)善于把一部分表达式作为一个整体；(6)最后要把中间变量换成自变量的函数．[跟踪训练1]求下列函数的导数：(1)y ＝e 2x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (3)y ＝5log 2(2x ＋1)；(4)y ＝13－3x －1.题型二 较为复杂函数的求导例2 求下列函数的导数：(1)y ＝x e 5x ＋2；(2)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.[规律方法]对于复杂函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量，同时要注意复合函数的复合关系，选好中间变量．[跟踪训练2] 求下列函数的导数：(1)f (x )＝sin2x ＋e 2x ；(2)f (x )＝53x ln (2x ＋1)；(3)f (x )＝sin(1－2x )a 4x －1.题型三 导数的综合应用例3 已知曲线y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在点⎝⎛⎭⎫π2，0处的切线斜率为k ，若|k |<1，求ω的值．[规律方法]高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合，如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．[跟踪训练3] (1)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________；(2)曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是________.【随堂达标】1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A ．12(e x －e －x ) B ．12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x 3．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)等于( )A ．0B ．60C ．－1D ．－604．函数y ＝x ln (2x ＋5)的导数为________.5．求出下列函数的导数：(1)y ＝e x tan x ；(2)y ＝ln (4x ＋5)3；(3)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (4)y ＝sin x x n ；(5)y ＝e －x ＋2(2x ＋1)5.【参考答案】【评价自测】1．【答案】(1)× (2)√ (3)×2．【答案】(1)B (2)A (3)2cos2x cos3x －3sin2x sin3x (4)1【题型探究】题型一 简单复合函数求导问题例1[解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2. (3)函数y ＝sin(2x ＋1)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·(2x ＋1)′＝2cos u ＝2cos(2x ＋1)．(4)函数y ＝3x ＋5可以看作函数y ＝u 和u ＝3x ＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u )′·(3x ＋5)′＝32u ＝323x ＋5. [跟踪训练1]解 (1)设u ＝2x ，则y ＝e u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·2＝2e 2x .(2)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3， 则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (3)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′u (2x ＋1)′x ＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. (4)设u ＝－3x －1，则y ＝u －，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－13u －·(－3)＝(－3x －1) －＝3(－3x －1)2(－3x －1)2. 题型二 较为复杂函数的求导例2[解] (1)y ′＝x ′e 5x ＋2＋x (e 5x ＋2)′＝e 5x ＋2＋x e 5x ＋2·5＝(5x ＋1)e 5x ＋2.(2)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4 ＝－12sin4x －2x cos4x . [跟踪训练2]解 (1)因为f (x )＝sin2x ＋e 2x ，所以f ′(x )＝2cos2x ＋2e 2x .(2)因为f (x )＝53x ln (2x ＋1)， 所以f ′(x )＝53ln (2x ＋1)＋53x ·22x ＋1＝53ln (2x ＋1)＋10x 3(2x ＋1). (3)因为f (x )＝sin(1－2x )a 4x －1， 所以f ′(x )＝－2cos(1－2x )a 4x －1－sin(1－2x )a 4x －14ln a (a 4x －1)2＝－2cos(1－2x )－4sin(1－2x )ln a a 4x －1. 题型三 导数的综合应用例3[解] ∵曲线y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3过点⎝⎛⎭⎫π2，0，∴cos ⎝⎛⎭⎫ω·π2＋π3＝0， ∴ω·π2＋π3＝n π＋π2(n ∈Z )，∴ω＝2n ＋13(n ∈Z )， 又y ′＝－ωsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴k ＝y ′|x ＝π2＝－⎝⎛⎭⎫2n ＋13sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2n ＋13×π2＋π3 ＝－⎝⎛⎭⎫2n ＋13sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π2＝±⎝⎛⎭⎫2n ＋13. ∵|k |<1，∴|2n ＋13|<1，∴ω＝13. [跟踪训练3]【答案】(1)5x ＋y －3＝0 (2)5【解析】(1)y ′＝－5e －5x ，曲线在点(0,3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.(2)设曲线y ＝ln (2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1， ∴y 0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5， 即曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.【随堂达标】1．【答案】A 【解析】A 中的函数是一个多项式函数；B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数；C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数；D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数．故选A ．2．【答案】A【解析】y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 3．【答案】B【解析】f ′(x )＝10(1－2x 3)9(－6x 2)，所以f ′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60.4．【答案】ln (2x ＋5)＋2x 2x ＋5【解析】y ′＝[x ln (2x ＋5)]′＝x ′ln (2x ＋5)＋x [ln (2x ＋5)]′＝ln (2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln (2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．解 (1)由于y ＝e x tan x ，则y ′＝(e x )′tan x ＋e x (tan x )′＝e xtan x ＋e x cos 2x ，即y ′＝e x tan x ＋e x cos 2x . (2)由于y ＝ln (4x ＋5)3，则y ′＝124x ＋5. (3)由于y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋x －2，则y ′＝3x 2－2x 3. (4)由于y ＝sin x x n ，则y ′＝x cos x －n sin x x n ＋1. (5)由于y ＝e －x ＋2(2x ＋1)5，则y ′＝(9－2x )(2x ＋1)4e －x ＋2.。
《复合函数的导数》教案
《复合函数的导数》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解复合函数的概念，记住复合函数的求导公式，以及会利用基本初等函数的求导公式求复合函数的导数。
【过程与方法】
通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备简单的形如的复合函数的导数的能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
二、教学重难点
【重点】
会分解简单的复合函数及会求导。
【难点】
正确分解复合函数的复合过程。
三、教学过程
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，求复合函数的导数，关键在于搞清楚
复合函数的结构，明确复合次数，由外向内层逐层求导，直到关
于自变量求导，同时注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果。
作业：想一想，生活中还有哪些量是成正比例的量?
四、板书设计
五、教学反思。
《简单复合函数的求导法则》参考教案
§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。
泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。
油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。
∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。
又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。
人教版高一数学教案-复合函数的导数
§1.2.3複合函數的導數
【學情分析】：
在學習了用導數定義這種方法計算常見函數的導數,而且已經熟悉了導數加減運算法則後.本節將繼續介紹複合函數的求導方法.
【教學目標】：
(1)理解掌握複合函數的求導法則.
(2)能夠結合已學過的法則、公式，進行一些複合函數的求導
(3)培養學生善於觀察事物，善於發現規律，認識規律，掌握規律，利用規律．
【教學重點】：
簡單複合函數的求導法則，也是由導數的定義匯出的，要掌握複合函數的求導法則，須在理解複合過程的基礎上熟記基本導數公式，從而會求簡單初等函數的導數並靈活應用.
【教學難點】：
複合函數的求導法則的導入,複合函數的結構分析,可多配例題,讓學生對求導法則有一個直觀的瞭解.
【教學過程設計】：
32(32)31812u x x =-=-，x u u y ''⋅
對於一般的複合函數，結論也成立，以y ′x 時，就可以轉化為求y u ′和的乘積，關鍵是找中間變數，隨著中間變數的不同，難易程度不同.。
《简单复合函数的导数》教学设计
3
所以
3
所以曲线 y 3 x 1 在点(2/3，1)处的切线斜率
k y
x
2
3
1
所以曲线在点(2/3，1)处的切线方程为 y-1=1×(x-2)即 3x 3 y
1 0
例 4.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的
【设计意图】：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数
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学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
二、新知探究
探究 1： y ln( 2 x 1) 函数的结构特点.
1
若设 u = 2x − 1 (x > ) , 则 y = lnu 从而 y = ln(2x − 1) 可以看成是由 y = lnu 和 u
2.(1)-2
1
3.a=-4
2 ax
3
2
在点（0，1）处与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值
( 2) 6(1 2 x ) 2
5
(2）7
(3)
2
( 2 x 1) ln 2
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2.运用复合函数的导数运算法则求函数的导数，要关注中间变量的作用.
（1）运算过程中依靠中间变量识别构成复合函数的基本初等函数的结构.
（2）运算结果应表示为原来自变量的函数.
【设计意图】：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、作业布置
基础训练：1.求下列函数的导数：
(1) y
2
2.掌握复合函数的求导法则，能够利用求导法则求复合函数 的导数，提升数学运算的素养.
教学内容
复合函数求导法-教案
2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。
但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。
二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。
错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。
我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。
x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。
第二步：逐一分步求导。
复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。
简单复合函数求导教案高中
简单复合函数求导教案高中高中数学教学中，简单复合函数求导是一个重要的知识点。
本文将介绍简单复合函数求导的相关概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、简单复合函数的概念。
1.1 复合函数。
在数学中，复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x)= f(g(x))。
其中，g(x)的输出作为f(x)的输入，得到新的函数(f∘g)(x)。
1.2 简单复合函数。
简单复合函数是指由两个简单函数复合而成的函数。
简单函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。
二、简单复合函数求导的方法。
2.1 复合函数求导法则。
设有两个函数u(x)和v(x)，它们的复合函数为y = u(v(x))。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为dy/dx = u'(v(x)) v'(x)，其中u'(v(x))表示u(x)对v(x)的导数，v'(x)表示v(x)对x的导数。
2.2 简单复合函数求导的具体步骤。
对于简单复合函数y = f(g(x))，求导的具体步骤如下：（1）首先求出g(x)的导数g'(x)；（2）然后求出f(u)的导数f'(u)，其中u = g(x)；（3）最后将g'(x)和f'(u)相乘，即得到复合函数y = f(g(x))的导数。
三、简单复合函数求导的例题。
为了更好地理解简单复合函数求导的方法，我们通过例题来进行具体的讲解。
例题1，已知y = (3x^2 + 1)^4，求dy/dx。
解，将y = (3x^2 + 1)^4表示为y = u^4，其中u = 3x^2 + 1。
根据链式法则，有dy/dx = 4u^3 6x = 24x(3x^2 + 1)^3。
例题2，已知y = sin(2x + 1)，求dy/dx。
解，将y = sin(2x + 1)表示为y = sin(u)，其中u = 2x + 1。
【教案】简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计 1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数PPT 课件． 【新课导入】 问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习简单复合函数的导数；（函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标问题3：如何求函数y ＝ln （2x -1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) ．【说一说】（1）函数y ＝ln （2x -1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y ＝sin2x 是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y ＝ln （2x -1）是由y ＝ln u 和u ＝2x -1复合而成．（2）函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成．问题5：如何求函数y ＝sin2x 的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：(sin 2)(2sin cos )2(sin cos )y x x x x x ''''===2[(sin )cos sin (cos )]x x x x ''=+2[cos cos sin (sin )]2cos2x x x x x =⋅+-=追问：函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成的，如果以x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对u 的导数，x u '表示u 对x 的导数，那么x y '与u y '及x u '有什么关系呢？师生活动：学生先求出u y '和x u '然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：(sin )cos u y u u ''==，(2)2x u x ''==，又x y '2cos2x =，所以x u x y y u '''=⋅．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( )(2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝1()31f x x '=-． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( )师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×【巩固练习】 例1求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3；（2）y =e -0.05x +1；(3) y =ln(2x -1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y =（3x +5）3可以看作函数y =u 3和u =3x +5的复合函数，根据复合函数求导法则，有322()(35)339(35)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+=⋅=+；（2）函数y =e -0.05x +1可以看作函数y =e u 和u =-0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有0.051()(0.051)(0.05)0.05u u x x u x y y u e x e e -+'''''=⋅=⋅-+=⋅-=-；（3）函数y =ln(2x -1)可以看成是由y =ln u 和u =2x -1的复合函数，根据复合函数求导法则，有11(ln )(21)221x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅-=⋅=-． 设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm)关于时间t (单位:s)的函数满足关系式218sin()32y t ππ=- .求函数在t =3s 时的导数，并解释它的实际意义． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数218sin()32y t ππ=-可以看作函数y =18sin u 和232u t ππ=-的复合函数，根据复合函数的求导法则，有222(18sin )()18cos 12cos()32332t u t y y u u t u t ππππππ'''''=⋅=⋅-=⋅=-， 当t =3时，2312cos(3)12cos 0322t y πππππ'=⨯-==． 它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s ．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P 81练习1、2逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习 知识点1：复合函数的概念例1 知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81习题5.22、5教科书P 81 练习3 【目标检测设计】1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y ＝x 2 sin 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x sin 2x －x 2 cos 2xB ．y ′＝2x sin 2x －2x 2 cos 2xC ．y ′＝x 2 sin 2x －2x cos 2xD ．y ′＝2x sin 2x ＋2x 2 cos 2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f (x )＝ln(3x －2021)，则f ′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f (x )＝x e －x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________． 设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义． 参考答案：1．A2．D y ′＝(x 2)′sin 2x ＋x 2(sin 2x )′＝2x sin 2x ＋x 2(cos 2x )•(2x )′＝2x sin 2x +2x 2cos 2x .3．32018-∵13()33202132021f x x x '=⋅=--，∴3(1)2018f '=-. 4．21e -∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，∴21(2)f e '=-. 根据导数的几何意义知f (x )在x ＝2处的切线斜率为k ＝21e -.。
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高二数学选修2-2复合函数的导数教案
李玲
一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
三、典型例题
1．求复合函数的导数
求函数的
导数 思考一;若x=1求f （1）需要几步骤
1：计算一次函数3x+1=3*1+2=5
2：再计算ln （3*1+2）=ln5
探究1、探究函数的结构特点
因此y=ln （3x+2）是由内函数为一次函数外函数为对数函数复合而成的复合函数 探究:2：求复合函数的导
（由内而外给每一层命名） （由外而内逐层求导再相乘）
小结：分析由内而外。
求导由外向内并保持导外层内层不变原则）
类比于一个洋葱种子由内而外生长，由外向内剥皮，但剥外层不影响内层。
练习提升:
课堂小结：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
;x u x u y y '⋅'='()2x 3ln x f y +==）（2x 3x u +=）（解：令()u ln u y =u y u 1='3x ='u 23332313u 1x +=•+=•='x x y 的导数。
求函数）（4x 3sin e y +=4x 3x V +=）（()sinv v u =()u
e u y =）（4x 3sin x e y +='()43x cos +•3•。