简单复合函数的导数
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3 简单的复合函数的导数
复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每 次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为 止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．
课时学案
题型一 明确复合关系
例 1 指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(2－x2)3；
(2)y＝sinx2；
(3)y＝cosπ4－x； (4)y＝lnsin(3x－1)．
2．若可导函数 f(x)满足 f′(3)＝9，则 f(3x2)在 x＝1 处的导数 值为_____54___．
解析 ∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)， ∴f(3x2)在 x＝1 处的导数值为 6×1×f′(3)＝54.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝sin22x＋π3； (2)y＝cos22x；
【解析】 (1)设 y＝u2，u＝－2x＋1，则 y′x＝y′u·u′x＝2u·(－ 2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设 y＝eu，u＝x－1，则 y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
(3) 设
y ＝ log2u ， u ＝ 2x ＋ 1 ， 则
y′x
＝
y′u
·
u
′
x
＝
2 uln2
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－12(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－32·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点4，12处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－ 12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156. ∴曲线在点4，12处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x ＋16y－28＝0.
【解析】 (1)函数的导数 f′(x)＝12· 3x12＋1·6x＝ 3x32x＋1， 则曲线在点(1，2)处的切线斜率 k＝f′(1)＝ 33＋1＝32，则对应 的切线方程为 y－2＝32(x－1)， 即 3x－2y＋1＝0. (2)y′＝x(1－x2)－32，令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1.
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。
在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。
简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。
例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。
我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。
链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。
链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。
首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。
复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。
与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。
下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。
比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。
然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
新人教版高中数学选择性必修第二册第五章简单复合函数的导数
8.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__2___.
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)， 则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)， 又曲线的导数为 y′＝x＋1 a， ∴y |x＝x0 ＝x0＋1 a＝1，即 x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
课堂小结
1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分 清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
随堂演练
1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是
√A.y＝un，u＝x2－1
内容索引
一、复合函数概念的理解 二、求复合函数的导数 三、复合函数的导数的应用
随堂演练
课时对点练
一、复合函数概念的理解
问题1 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示 y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位 置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则 函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数 函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它 只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思.
1234
3.设 f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则 f′(0)等于
A.1
√B.32
C.－1
D.－2
解析 f′(x)＝3x＋3 2－6x，故 f′(0)＝32－0＝32.
复合函数的导数 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x ) = c , 则 f' ( x ) = 0;
n
n -1
公式 2.若f ( x ) = x , 则 f' ( x ) = nx ;
公式 3.若f ( x ) = sinx , 则 f' ( x ) = cosx;
公式4.若f ( x ) = cosx , 则 f' ( x ) = -sinx;
x
1
x2, 由题意知, e = + =1,
∴x1=0, x2=1−b, 两切点分别为(0, 1+a), (1-b, a2);
两切点处的切线方程分别为y−(1+a)=x和y−a2=x−(1−b),
2
2
2
故a+1=a −1+b, 则b=−a +a+2=−(a−) + ≤ ,
∴b的取值范围是 −∞, .故选D.
=2e2xcos3x−3e2xsin3x
∴曲线在点(0, 1)处的切线的斜率为y′|x=0=2,
∴切线方程为y-1=2x，即y=2x+1.
−
设l的方程为y=2x+m, 则 = , 解得m=−4或m=6.
当m=−4时, l的方程为y=2x−4; 当m=6时, l的方程为y=2x+6.
所以l的方程为y=2x−4或 y=2x+6.
=2[cosx∙cosx+sinx∙(−sinx)]
=2(cos2x−sin2x) =2cos2x
另一方面，y′u＝(sinu)′＝cosu ，u′x＝(2x)′=2 ,
可以发现 y′x＝2cos2x=cosu×2=y′u×u′x .
简单复合函数的导数 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
复合导函数公式
复合导函数公式在我们学习数学的过程中，复合导函数公式可是个相当重要的家伙！它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多复杂问题的大门。
还记得我之前教过的一个学生小明，他在学习复合导函数公式的时候，那叫一个头疼。
一开始，他看到那些复杂的式子，眼睛瞪得老大，完全不知所措。
咱们先来说说复合导函数公式到底是啥。
简单来讲，复合函数的求导法则就是“链式法则”。
假设我们有一个复合函数 y = f(g(x))，那么它的导数就是 y' = f'(g(x)) * g'(x)。
比如说，有个函数 y = (2x + 1)^2 ，这就是个复合函数。
我们令 u =2x + 1 ，那原函数就变成了 y = u^2 。
先对 u 求导，u' = 2 ；再对 y 求导，y' = 2u 。
然后把 u = 2x + 1 带回去，得到 y' = 2(2x + 1) * 2 = 4(2x + 1) 。
再看一个例子，y = sin(3x) 。
令 u = 3x ，原函数变成 y = sin u 。
u' = 3 ，y' = cos u 。
所以 y' = cos(3x) * 3 = 3cos(3x) 。
回到小明这儿，我发现他最大的问题就是一看到式子就慌，根本不知道从哪儿下手。
我就告诉他，别着急，先把复合函数一层一层剥开，找到最里面的那个“芯”，然后从外到内一步一步求导。
我让他多做几道练习题，刚开始他做得磕磕绊绊，不是这儿错就是那儿错。
但慢慢地，他找到了感觉，做得越来越顺。
复合导函数公式在很多实际问题中都有大用处呢！比如说，在研究物理中的运动问题时，位移和时间的关系可能就是个复杂的复合函数，这时候就得靠复合导函数公式来求出速度。
总之，复合导函数公式虽然看起来有点复杂，但只要我们掌握了方法，多练习，就一定能把它拿下。
就像小明一样，只要不放弃，总会有突破的那一天。
希望大家在学习复合导函数公式的时候，都能有耐心，有信心，把这个难题变成自己的得分利器！。
复合函数求导举例
复合函数求导举例
复合函数求导是微积分中的重要概念之一。
当一个函数中包含另一个函数时，我们可以利用复合函数求导法则来求导。
举个简单的例子来说明这个概念：
假设我们有一个函数y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是可导的函数。
我们想要求这个复合函数关于自变量x的导数。
首先，我们根据复合函数求导的法则，可以得到dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
也就是说，复合函数的导数等于外函数对内函数求导后再乘以内函数对自变量求导。
举一个具体的例子来理解这个概念。
假设f(x) = x^2，g(x) = 2x。
那么，y = f(g(x)) = (2x)^2 = 4x^2。
现在我们来求y关于x的导数。
首先，f'(x) = 2x，g'(x) = 2。
根据复合函数求导法则，dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2(2x) * 2 = 8x。
所以，这个例子中复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数就是
8x。
复合函数求导在微积分中具有广泛的应用，尤其在物理、经济等领域中能够帮助我们分析问题和解决实际的数学模型。
因此，了解并掌握复合函数求导的方法对于学习和应用微积分都是非常重要的。
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简单复合函数的导数
1. 函数f(x)=cos(−2x)的导函数是( )
A.2cos2x
B.−2cos2x
C.2sin2x
D.−2sin2x
2. 已知函数f(x)=e2x+1−3x，则f′(0)=( )
A.0
B.−2
C.2e−3
D.e−3
3. 设函数f(x)=−cos x−x4的导函数为g(x)，则|g(x)|的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4. 设f(x)=sin x cos x，则f(x)在点(π
6,f(π
6
))处的切线的斜率为( )
A.1
2B.√3
2
C.−1
2
D.−√3
2
5. 函数f(x)=ln x
x
，则f′(e)值为( )
A.0
B.1
C.1
e D.1
e2
6. 若函数f(x)=(2x−x2)e x的导数为f′(x)，则f′(x)=（）
A.2(x+1)e x
B.(2−x2)e x
C.(2+x−x2)e x
D.2(x−1)e x
7. 已知函数f(x)=x3−2x2+x−3，则f′(2)=( )
A.−1
B.5
C.4
D.3
8. 已知函数，则的导函数()
A. B. C. D.
9. 函数y=x2sin x的导函数为________.
10. 函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x2+2f′(0)x+tan x，则f′(0)+f(0)=________.
11. 设函数f(x)=x2+1
e x
.
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．
12. 求下列函数的导数：
(1)f(x)=x3+6x−2
；
x
(2)f(x)=cos x
；
e x
x.
(3)f(x)=(x−1)2log
2
13. 已知函数f(x)=(2x−1)2+5x．
(1)求f′(x)；
(2)求曲线y=f(x)在点(2,19)处的切线方程．14. 分别求下列函数的导数.
(1)y=e x
；
x
(2)y=(2x2−1)(2x+1)+2sin x⋅cos x.
参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3.D
4.A
5.A
6.B
7.B
8.B
二、填空题
9. y′=2x sin x+x2cos x
10.−1
三、解答题
11.解：(1)∵f(x)=x2+1
e x
，x∈R，
∴f′(x)=(x2+1)′e x−(x2+1)(e x)′
(e x)2
=2xe x−(x2+1)e x
(e x)2=−x2+2x−1
e x
.
(2)因为f′(0)=−1，f(0)=1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=−x，即y=−x+1.
12.解：(1)f′(x)=(x3)′+(6x)′−(2
x )
′
=3x2+6+2
x2
．
(2)f′(x)=(cos x)′e x−(e x)′cos x
(e x)2
=−sin x⋅e x−e x⋅cos x
e2x
=−sin x+cos x
e x
.
(3)∵f(x)=(x2−2x+1)log
2x，
∴f′(x)=[(x2−2x+1)log
2
x]′
=(x2−2x+1)′⋅log
2x+(x2−2x+1)⋅(log
2
x)′
=2(x−1)log
2x+x2−2x+1
x ln2
.
13.解：(1)f′(x)=4(2x−1)+5=8x+1.
(2)f′(2)=17，
故切线方程是：y−19=17(x−2)，
即17x−y−15=0．
14.解：(1)y′=(e x)′⋅x−e x⋅x′
x2=e x⋅x−e x
x2
.
(2)y=(2x2−1)(2x+1)+2sin x⋅cos x =4x3+2x2−2x−1+sin2x，
∴y′=(4x3+2x2−2x−1+sin2x)′=12x2+4x−2+2cos2x.。