高三数学复习教案：简单复合函数的导数
《简单复合函数的求导法则》参考教案
§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。
泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。
油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。
∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。
又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。
高三数学复习教案：简单复合函数的导数
高三数学复习教案：简单复合函数的导数教学目标：学生能够理解和计算简单复合函数的导数。
教学重点：简单复合函数的导数计算。
教学难点：应用链式法则计算复合函数的导数。
教学准备：教材、黑板、白板笔。
教学步骤：Step 1：复习导数的定义和基本计算法则。
复习导数的定义和基本计算法则，例如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
Step 2：引入复合函数的概念。
复习函数和映射的概念，并引入复合函数的概念。
举一个简单的例子，如：设函数f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 f(g(x)) 和 g(f(x))。
Step 3：简单复合函数的导数计算。
解释简单复合函数的导数计算方法，即通过链式法则计算复合函数的导数。
例如，设函数 f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 (f(g(x)))' 和(g(f(x)))'。
讲解计算过程，包括先求出 f'(x) 和 g'(x)，然后代入复合函数的内函数的导数和外函数的导数。
Step 4：课堂练习。
让学生做一些课堂练习题，如计算简单复合函数的导数。
示例题目：1. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x，函数 g(x) = x^2 + 1，计算 (f(g(x)))'。
2. 设函数 f(x) = e^x，函数 g(x) = ln(x)，计算 (g(f(x)))'。
3. 设函数 f(x) = sin(x)，函数 g(x) = x^2，计算 (f(g(x)))'。
Step 5：课堂讨论和总结。
让学生分享自己的解题思路和结果，进行课堂讨论和总结。
总结复合函数的导数计算方法，强调链式法则的应用。
Step 6：作业布置。
布置一些作业题，要求学生练习计算简单复合函数的导数。
参考答案如下：1. (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) = (6x^2 + 3) * (2x) = 12x^3 + 6x。
《简单复合函数的导数》教学设计
3
所以
3
所以曲线 y 3 x 1 在点(2/3，1)处的切线斜率
k y
x
2
3
1
所以曲线在点(2/3，1)处的切线方程为 y-1=1×(x-2)即 3x 3 y
1 0
例 4.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的
【设计意图】：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数
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学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
二、新知探究
探究 1： y ln( 2 x 1) 函数的结构特点.
1
若设 u = 2x − 1 (x > ) , 则 y = lnu 从而 y = ln(2x − 1) 可以看成是由 y = lnu 和 u
2.(1)-2
1
3.a=-4
2 ax
3
2
在点（0，1）处与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值
( 2) 6(1 2 x ) 2
5
(2）7
(3)
2
( 2 x 1) ln 2
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2.运用复合函数的导数运算法则求函数的导数，要关注中间变量的作用.
（1）运算过程中依靠中间变量识别构成复合函数的基本初等函数的结构.
（2）运算结果应表示为原来自变量的函数.
【设计意图】：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、作业布置
基础训练：1.求下列函数的导数：
(1) y
2
2.掌握复合函数的求导法则，能够利用求导法则求复合函数 的导数，提升数学运算的素养.
教学内容
《简单复合函数求导法则》示范公开课教案【高中数学北师大】
简单复合函数的求导法则1．理解复合函数的概念，了解简单符合函数的求导法则 2．会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数重点：简单复合函数的求导法则难点：复合函数的导数应用一、新课导入 复习：常见函数的导数公式1. C ′=________ (x n )′=________ (sinx )′=________ (cosx )′=________2.[u (x )+v (x )]′=________ [u (x )v (x )]′=_________ [u (x )v (x )]′=________二、新知探究问题：海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜油膜的面积 S (单位:m 2)与油膜的半径r (单位:m )的函数关系为S =f (r )=πr 2,油膜的半径r 随着时间t (单位:s )的增加而扩大,设r 关于t 的函数解析式为r =φ(t )=2t +1,油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少?分析:由题意知,时间t 决定油膜的半径r ,进而决定油膜的面积S ,所以可得S 关于t 的函数解析式为S =f(φ(t ))=π(2t +1)2,油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数S =f(φ(t ))的导数.因为f(φ(t ))=π(2t +1)2=π(4t 2+4t +1) ,根据导数公式表和导数的四则运算法则,可得[f(φ(t ))]′=π(8t +4)=4π(2t +1),所以油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率为4π(2t +1).另外,f ′(r )=2πr , φ′(t )=2我们可以观察到4π(2t +1)=2πr ∙2即[f(φ(t ))]′=f ′(r )φ′(t ). 新知：一般地,对于两个函数y =f (u )和u =φ(x )=ax +b ,如果给定x 的一个值,就得到了u 的值,进而确定了y 的值,那么y 可以表示成x 的函数,称这个函数为函数x 和u =φ(x ) 的复合函数,记作y =f(φ(x )),其中u 为中间变量.复合函数y =f(φ(x ))对x 的导数为y x ′=[f(φ(x ))]′=f ′(u )φ′(x ),其中u =φ(x ). 三、应用举例例1求函数y =√3x +1的导数.◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程分析：引人中间变量u =μ(x )=3x +1,则函数y =√3x +1是由函数f (u )=√u =u 12与u =φ(x )=3x +1复合而成的.解：由复合函数的求导法则,可得y x ′=(√3x +1)′=f ′(u )φ′(x )=(√u)′(3x +1)′=2√3x+1 设计意图：内层为一次函数，外层为12幂的幂函数的复合函数，运用复合函数求导法则. 例2 求函数y =(2x −1)30的导数.分析：引人中间变量u =φ(x )=2x −1,则函数y =(2x −1)30是由函数f (u )=u 30与u =φ(x )=2x −1复合而成的.解：由复合函数的求导法则,可得y x ′=[(2x −1)30]′=f ′(u )φ′(x )=(u 30)′(2x −1)′=30u 29∙2=60(2x −1)29设计意图：内层为一次函数，外层为30幂的幂函数的复合函数，运用复合函数求导法则.例3一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中,水面高度ℎ (单位:cm )关于时间t (单位:s )的函数解析式为ℎ=ℎ(t )=1002t+1,求函数在t =3时的导数,并解释它的实际意义分析：函数ℎ(t )=1002t+1是由函数f (u )=100u 和函数u =φ(t )=2t +1复合而成的,其中u 是中间变量. 解：由复合函数的求导法则,可得ℎt ′=f ′(u )φ′(t )=(100u )′(2t +1)′=−100u 2∙2=−200(2t +1)2 将t =3代人ℎ′(t ),得ℎ′(3)=−20049(cm/s)设计意图：内层为一次函数，外层为反比例函数的复合函数，运用复合函数求导法则.方法总结：复合函数求导的关键在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆.四、课堂练习1.下列函数求导数,正确的是___.（1）(e2x)′=e2x（2）[(x2+3)8]′=8(x2+3)7∙2x（3）(ln2x)′=2x（4）(a2x)′=2a2x2.设f(x)=ln(2−3x),则f′(13)=________3.若y=(1−2x)2,则y′=________；(e1−2x)′=________.4.求下列函数的导数:(1)y=(1−3x)3（2）y=e2x(3)y=ln1x y=1(3x−1)2答案：1.（2）2. −3 3.y′=8x−4；−2e1−2x4.(1)y′=−9(1−3x)2 (2)y′=2e2x (3) y′=−1x(4) y′=−6(3x−1)−2五、课堂小结1.复合函数求导的关键在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；2.弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆;六、布置作业教材第70、71页练习。
简单复合函数求导教案高中
简单复合函数求导教案高中高中数学教学中，简单复合函数求导是一个重要的知识点。
本文将介绍简单复合函数求导的相关概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、简单复合函数的概念。
1.1 复合函数。
在数学中，复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x)= f(g(x))。
其中，g(x)的输出作为f(x)的输入，得到新的函数(f∘g)(x)。
1.2 简单复合函数。
简单复合函数是指由两个简单函数复合而成的函数。
简单函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。
二、简单复合函数求导的方法。
2.1 复合函数求导法则。
设有两个函数u(x)和v(x)，它们的复合函数为y = u(v(x))。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为dy/dx = u'(v(x)) v'(x)，其中u'(v(x))表示u(x)对v(x)的导数，v'(x)表示v(x)对x的导数。
2.2 简单复合函数求导的具体步骤。
对于简单复合函数y = f(g(x))，求导的具体步骤如下：（1）首先求出g(x)的导数g'(x)；（2）然后求出f(u)的导数f'(u)，其中u = g(x)；（3）最后将g'(x)和f'(u)相乘，即得到复合函数y = f(g(x))的导数。
三、简单复合函数求导的例题。
为了更好地理解简单复合函数求导的方法，我们通过例题来进行具体的讲解。
例题1，已知y = (3x^2 + 1)^4，求dy/dx。
解，将y = (3x^2 + 1)^4表示为y = u^4，其中u = 3x^2 + 1。
根据链式法则，有dy/dx = 4u^3 6x = 24x(3x^2 + 1)^3。
例题2，已知y = sin(2x + 1)，求dy/dx。
解，将y = sin(2x + 1)表示为y = sin(u)，其中u = 2x + 1。
简单复合函数的导数(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：简单复合函数的导数.内容解析：要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构，教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数地复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.二、目标和目标解析目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数. 目标解析：通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备求出简单的形如复合函数的导数的能力.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心.三、教学问题诊断分析教学问题：学生已经掌握了函数的求导以及一些基本初等函数的求导公式对于复合函数的导数,学生的认知困难主要在两个方面:（1）什么是复合函数？学生对新概念的理解和接受是比较困难的；（2）如何对复合函数进行求导？要求学生掌握方法并运用.因此,应该重视培养学生独立思考和计算的能力，重视学生参与知识的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题.基于以上分析，本节课的教学重点定为：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程；教学难点定为：记忆复合函数求导法则的公式结构.四、教学策略分析教材主要研究形如()()y f g x =()ln 21y x =-，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的，教材中通过细致研究sin 2y x =的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则.对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于()f ax b +的形式即可.。
简单复合函数的导数-高考数学复习PPT
1 C.ln 3
解析
f′(x)＝（x－11）ln
，故 3
f′(2)＝ln13.
D.－ln13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
索引
2.若函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( A )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
3.注意1个易错点 对复合函数求导不完全.
索引
拓展延伸分层精练 核心素养达成
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝( C )
A.ln 3
B.－ln 3
解析 设直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)，则 y0＝1＋x0，y0＝ ln(x0＋a)， 又 y′＝x＋1 a， ∴y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1，即 x0＋a＝1. 又 y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
索引
训练3 曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面
积为( A )
A.13
B.12
C.23
D.1
解析 对 y＝e－2x＋1 求导得 y′＝－2e－2x，则 y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，
∴曲线 y＝e－2x＋1 在点(0，2)处的切线方程为 y＝－2x＋2.
索引
7.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h.假 设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t ＋ 0.6t2 ， 则 出 站 后 “ 绿 巨 人 ” 速 度 首 次 达 到 24 m/s 时 的 加 速 度 为
高中数学《复合函数的导数》教案【导数】
一、教学目标 【知识与技能】 掌握复合函数的概念，会求复合函数的导数。 【过程与方法】 通过对复合函数求导的探究，提升分析问题、解决问题的能力。 【情感态度与价值观】 感受数学内在的逻辑美，提升对数学的兴趣。 二、教学重难点 【重点】复合函数的概念及求导。 【难点】复合函数的求导。 三、教学过程 (一 )导 入 新 课 复习:求 y=Inx 和 y=3x+2 的导数。 出示: y=ln(3x+2)，组织学生思考如何求其导数，引出本节课学习。 (二 )探 索 新 知 带领学生分析 y=ln(3x+2)的结构特点，学生初步感受 y=ln(3x+2)是由 u=3x+2(x>-(2/3))和 y=Inu“复合”得到的，学生初步感受“复合”的含义。 组织学生类比上述分析的过程，再举出类似“复合”的例子，并分析其结构 特点。例如: y=(x+2)3、y=(2x+ 3)2. 教 师 先 讲 解 这 些 函 数 都 是 复 合 函 数 ，然 后 组 织 学 生 尝 试 给 出 复 合 函 数 的 一 般 概念。 师 生=f(u)和 u=g(x)，如 果 通 过 变 量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记 作 y= f(g(x))。 教 师 直 接 介 绍 复 合 函 数 的 求 导 方 法: y'X=yu'nx'， 并 讲 解 每-个 字 母 的 含 义 。
作业:求 y= x -1 的导数。
让 学 生 利 用 复 合 函 数 的 求 导 方 法 ，求 y=ln(3x+2)的 导 数 ，可 以 直 接 预 设 学 生 能够得到正确答案，
教师详细讲解并规范步骤。 (三 )应 用 新 知 例 :求 下 列 函 数 的 导 数 。 (1) y=(2x+3); (2) y=sin(πx+φ) (其中πφ均为常数) (四 )小 结 作 业 小 结 :学 生 总 结 本 节 课 收 获 。
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高三数学复习教案：简单复合函数的导数
【高考要求】：简单复合函数的导数(B).
【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数.
2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征.
3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值.
【知识复习与自学质疑】
1.复合函数的求导法则是什么?
2.(1)若，则 ________.(2)若，则 _____.(3)若，则
___________.(4)若，则 ___________.
3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数.
4.函数的单调性是_________________________________________.
5.函数的极大值是___________.
6.函数的值,最小值分别是______,_________.
【例题精讲】
1. 求下列函数的导数(1) ;(2) .
2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,求的值.
【矫正反馈】
1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________.
2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.
(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为 ,若 ,则函数的周期是
____________.
4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________.
5.曲线上的点到直线的最短距离是___________.
【迁移应用】
1.设 , , 若存有 ,使得 ,求的取值范围.
2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.。