线段成比例
线段成比例的定义
线段成比例的定义线段成比例的定义在数学中，线段成比例是一个重要的概念，其具有广泛的应用。
本文将介绍线段成比例的定义，性质以及使用方法。
一、线段成比例的定义两个线段a，b和两个正实数m、n，若放在同一直线上，使得$\frac {a}{b}=\frac{m}{n}$，那么线段a和线段b就成比例关系，且m和n为这个比例关系的比例因子。
也可以表示成$\frac {a}{b}：\frac {m}{n}$或$\frac {a}{m}=\frac {b}{n}$。
例如，若线段AB=4、BC=3，且CD=6，则线段AB、BC、CD成比例，其中AB与BC的比例因子为4：3，BC与CD的比例因子为3：6。
二、线段成比例的性质1.线段成比例必须在同一直线上。
2.对于线段成比例中的比例因子m、n，它们必须是正实数。
3.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例与线段AB、BC、CD的比例相同，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{CD}$。
4.如果线段AB、BC、CD成比例，那么线段AC和线段BD的比例因子为$\frac {AB}{BC}*\frac {CD}{BC}=\frac {AD}{BC}$。
三、线段成比例的使用方法1.判断是否成比例：通常先判断三个线段是否都在同一直线上，如果在同一直线上，再判断比例因子是否为正实数，如果都满足，则三个线段成比例。
2.求比例因子：如果知道三个线段成比例，可以通过求得其中两个线段的比例关系来求出第三个线段的长度。
3.求比例部分长度：可以利用线段成比例的性质来求解，即$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$。
四、线段成比例的应用线段成比例的应用非常广泛，包括测量和求解各种几何问题等。
1.测量：在线段成比例的情况下，可以通过已知线段的长度来计算未知线段的长度。
2.几何问题：在线段成比例的情况下，可以求解各种几何问题，比如求解直角三角形的斜边长、求解两个垂直平分线的交点等。
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
成比例线段练习题
成比例线段练习题成比例线段练习题在数学中，成比例线段是一个重要的概念。
它涉及到线段之间的比例关系，不仅在几何学中有应用，也在实际生活中有很多实用的场景。
本文将通过一系列练习题，帮助读者更好地理解和应用成比例线段的概念。
练习题一：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=6，CD=9。
求线段EF的长度，已知EF与CD成比例，且CD=15。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/CD将已知条件代入，得到：6/9 = EF/15通过交叉乘法，可以得到：9EF = 6 * 15解方程可得：EF = 10练习题二：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=5，CD=10。
线段EF与线段AB成比例，且EF=12。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/GH将已知条件代入，得到：5/10 = 12/GH通过交叉乘法，可以得到：5GH = 10 * 12解方程可得：GH = 24练习题三：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=8，CD=12。
线段EF与线段CD成比例，且EF=15。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = GH/EF将已知条件代入，得到：8/12 = GH/15通过交叉乘法，可以得到：8 * 15 = 12GH解方程可得：GH = 10通过以上练习题的解答，我们可以看出成比例线段的计算方法是非常简单的。
只需要根据已知条件，运用交叉乘法和解方程的方法，就可以求得未知线段的长度。
成比例线段的应用也非常广泛，例如在地图上测量距离时，可以利用已知线段与未知线段的比例关系，快速计算出未知线段的长度。
除了计算线段的长度，成比例线段还可以用来解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，如果我们知道某个建筑物的高度与宽度成比例，可以通过已知的比例关系，推算出其他未知尺寸，从而帮助进行设计和规划。
理解成比例线段的概念
室内设计
在室内设计中，家具、装饰品和 空间布局等也常常需要遵循一定 的成比例关系，以达到视觉上的
舒适和平衡感。
03 成比例线段的性质和判定 方法
成比例线段的性质
1 2
对应线段长度成比例
如果四条线段a、b、c和d成比例，则它们的长 度之间存在一定的比例关系，即a/b = c/d。
对应角相等
如果四条线段成比例，则它们所构成的三角形中， 对应的角相等。
黄金分割在艺术和设计中广泛应用，如建筑设计、绘画和摄影等，而成比例线 段是实现黄金分割的关键。
与等比数列的关联
等比数列
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中任何项都与它 前面的项成相同的比例。这与成比例线段的定义相呼应。
数学分析
通过成比例线段，可以进一步研究等比数列的性质，如公比 、项数等，以及它们在数学分析和实际生活中的应用。
3
相似图形
如果四条线段成比例，则由它们构成的两组相似 多边形也是相似的。
成比例线段的判定方法
定义法
如果四条线段满足a/b = c/d，则 它们成比例。
平行线法
如果两条线段平行且被一条横截线 所截，截得的对应线段成比例，则 原线段也成比例。
三角形法
如果两个三角形相似，则它们的对 应边成比例。
判定成比例线段的注意事项
分形几何
分形几何中的许多图形都是由成比例 线段构成的。例如，科赫雪花就是通 过不断将线段按照一定比例进行分割 和拼接而形成的。
建筑中的成比例线段
建筑设计
建筑设计中，成比例线段的运用 可以增强建筑的和谐感和美感。 例如，古希腊的帕台农神庙和罗 马的万神庙都是运用了成比例线
段的经典建筑。
建筑结构
建筑物的各个部分之间也存在成 比例关系，如梁和柱的尺寸、窗 户和门的高度等。合理的比例关 系可以使建筑物更加坚固和美观。
4.1成比例线段
得出结论
(1) a c
b d (2) a c b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
ace a c e （2）如果 b d f ，那么 b d f 与
.
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
你发现这些形状相同 的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同
• 2、图形之间的“放大、缩小”
• 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小” • 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用 相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
x y z x y 3z 2.已知 : , 求 的值. 2 3 4 3x 2 y
3、已知a : b : c 3 : 4 : 2, 且a 2b c 18, 求3a b 2c的值。
学以致用
1. x+y 5 x 已知 3y = 4 ，求 y .
学以致用
3.在
称比例线段．
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = ， 或 a：b=c：d， b d 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
成比例的四条线段是有次序的!
随堂练习
1．a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，求线段 d 的长．
人教版九年级数学比例线段
1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交DF 于K ，求KFDK的值。
2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ，交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。
求证：PN PF PM PE ⋅=⋅。
答案：一、填空题：1、32，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题：1、31； 2、证明PMPNPF PE =即可；课后作业一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。
2． 已知x y 52=，则y x :=______________。
3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则=+-++zy x zy x 2 。
5． =++===++222,753,10z y x zy x z y x 则且若 。
6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。
7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则EC= 。
8． 若==+yxy y x 则,38 。
9、若()0753≠==a c b a ，则ac b a ++=_________二、选择题： 1．如果32=b a ，则b ba +等于（ ） （A ）l 31 （B ）21（C ）53 （D ）352．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ）(A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c3．已知32==d c b a ，且d b ≠，则db ca --=（ ） （A ）32 （B ）52（C ）53 （D ）514．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ）（A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）65．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=21 6．已知0754≠==zy x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ）43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）167=++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1.线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段的比叫做这两条线段的比.2.比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的等于另外两条线段的，那么这四条线段叫做成比例线段，简称.在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的，b 、c 叫做比例的，称d 为a 、b 、c 的.3.比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么.特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即，则b 叫a ，c 的比例中项.(2)合(分)比性质：若dc b a =，则. (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且，则. 4.黄金分割(1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的比叫做.(2)黄金分割的作法【例题讲解】例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是.(2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z. (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且abc a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.例3.(1)已知线段AB ＝a ，在线段AB 上有一点C ，若AC ＝a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？【同步测试】一、选择题1.已知一矩形的长a ＝1.35m ，宽b ＝60cm ，则a ∶b 的值为（ ）(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,2cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm3.如果线段a ＝4，b ＝16，c ＝8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ）(A)8 (B)16 (C)24 (D)324.已知32=b a ，则bb a +的值为（ ） (A)23(B)34(C)35(D)53 5.已知x ∶y ∶z ＝1∶2∶3，且2x ＋y －3z ＝－15，则x 的值为（ ）(A)－2 (B)2 (C)3 (D)－36.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ）(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米(B)11米(C)10米(D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB ＝4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 －2)cm(B)(6－2 5 )cm (C)( 5 －1)cm (D)(3－ 5 )cm9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB ＝AE AC，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB ＝DE BC (B)AB AD ＝AE AC (C)DB EC ＝AB AC (D)AD DB ＝AE AC10.若ba c a cbc b a k 222-=-=-=，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为（ ） (A)－1 (B)21(C)1 (D)－12 二、填空题11.在x ∶6＝ (5 ＋x)∶2 中的x ＝；2∶3 ＝ ( 5－x)∶x 中的x ＝.12.若9810z y x ==, 则______=+++zy z y x . 13.若a ∶3 ＝b ∶4 ＝c ∶5 , 且a ＋b －c ＝6, 则a ＝，b ＝，c ＝.14.已知x ∶y ∶z ＝ 3∶4∶5 , 且x ＋y ＋z ＝12, 那么x ＝，y ＝，z ＝.15.若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a . 16.已知x ∶4 ＝y ∶5 ＝z ∶6 , 则①x ∶y ∶z ＝, ② (x ＋y)∶(y ＋z)＝.17.若322=-y y x , 则_____=yx . 18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是.19.如图，已知 AB ∶DB ＝ AC ∶EC ，AD ＝15 cm , AB ＝40 cm , AC ＝28 cm , 则 AE ＝；20.已知，线段a ＝2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是.三、解答题21.已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +-(2)z y x z y x +-++35432. 22.已知0≠-=-=-z a c y c b x b a ，求x ＋y ＋z 的值. 23.若ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3，求ΔABC 的三边之比.24.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a ＋b ＋c ＝60cm ，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求ΔABC 的面积.25.已知线段AB ＝10cm ，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考1、若k ca b c b a b a c =+=+=+＝k ，则k 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．－1 D ．12或－1 2、如图，△ABC 中，AG DE AH BC =，且DE ＝12，BC ＝15，GH ＝4，求AH ．3、 以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取 AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（1）求AM、MD的长；（2）你能说明点M是线段AD的黄金分割点吗？。
线段的长度与比例关系
线段的长度与比例关系在数学中，线段是由两个点确定的有限长的直线部分。
线段的长度是指这个直线部分的实际长度，而线段的比例关系则是指两个线段之间的长度比值。
在本文中，我们将探讨线段的长度与比例关系，并介绍一些相关的数学定理和概念。
一、线段的长度线段的长度是指由两个端点确定的直线部分的实际长度。
通常用字母l表示线段的长度。
对于平面上的线段，我们可以使用勾股定理来计算其长度。
假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的长度l可以通过以下公式计算得出：l = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]例如，如果线段的两个端点为A(1, 2)和B(4, 6)，则线段AB的长度为l = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5。
二、线段的比例关系线段的比例关系指的是两个线段之间的长度比值。
假设有两个线段AB和CD，其长度分别为l1和l2。
那么线段AB与线段CD的比例关系可以表示为l1:l2或者l1/l2。
在数学中，线段比例关系有如下三种情况：1. 线段比例关系为1:1，表示两个线段的长度相等。
例如，如果线段AB的长度为6，线段CD的长度也为6，则可以表示为AB:CD = 1:1。
2. 线段比例关系为1:n，表示其中一个线段的长度是另一个线段长度的n倍。
例如，如果线段AB的长度为4，线段CD的长度为8，则可以表示为AB:CD = 1:2。
3. 线段比例关系为m:n，表示两个线段的长度不成比例。
例如，如果线段AB的长度为3，线段CD的长度为5，则可以表示为AB:CD = 3:5。
根据线段的比例关系，我们可以推导出一些有关线段长度的性质和定理。
三、线段长度与比例关系的定理和性质1. 线段等分定理：当一个直线段由某个点O等分为两段时，各段的长度之比等于它们所对应的线段在直线上的投影的长度之比。
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1、了解线段的比和成比例线段的概念，并掌握 成比例线段的判定方法及比例的基本性质应用。 2、通过情景感受到学习线段的比的必要性，根 据比例线段探究比例基本性质，进一步熟练掌 握解决问题的能力。 3、通过有关比例计算，进一步提高学生从数学 角度分析问题和解决问题的能力。
第四章 图形的相似
1 成比例线段（1）
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)段的比是否相等。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两 条线段的积 。
例题讲析
例2 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，
按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形
彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原
AB k，或
n
CD
AB=k×CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。
思练考习：：线在段运A用C=线0.段1m的,A比B=时5c，m需,求要AC注:A意B什= 2么:1？
A
B
C
概念二：建立成比例线段的概念
BC B C
由下面的格点图可知， AB
AB
＝_________，
＝________，这样 AB 与 BC 之间有关系______．
探究活动：探索比例的基本性质
做一做：请指出下列比例式的比例内项和比
例外项,并比较它们的积.
(1) 0.3 0.6 (2) 2 1
24
63
讨论：利用等式性质，能从 a c 推导出
ad=bc吗？反过来呢？
bd
比例的两个外项之积等于两个内项之积
ac
ad=bc
bd ad=bc
ac bd
（a，b，c，d都不为零）
AB BC
成比例线段
四条线段a，b，c，d 中，如果a与b的比等于c
与d的比,即
a
c （或a∶b＝c∶d
)那么这四条线段a，
bd
b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项， d 叫做 a、b、c的第四比例项.
注意：四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关。
补充说明：若a:b=b:c，那么b2=ac,我们把b
叫做a,c的比例中项。
例题讲析
例1 已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm .
问：这四条线段是否成比例？为什么?
答：这四条线段成比例.
∵a=10mm=1cm
d31 b=6=2
ad c=b
即线段a、c、d、b成比例.
变式训练：已知线段a,b,c,d成比例，a=3cm , b=2cm, c=6cm,求线段d 的长。
必做题：书本P79 1题和2题 选做题：学习之友P31 9题
拓展练习
1、若
xy 7 y4
，则
x y
=
2、已知
a 2b 9 2a b 5
，则a:b=
• 3、已知1, √2 ,2三个数，请你再添上一 个数，写出一个比例式。
情景引入
实际生活中我们经常会看到许多形状相同的图形。
概念一：建立线段的比的概念
线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m、n，那么说这两条线段的比AB:CD=m:n或写
成 AB m .其中，线段AB,CD分别叫做这个线段比的前
CD n
项、后项.如果把
m表示成比值k,那么
绸布的长与宽的比相同，即
AE AD AD AB
,那么
a的值应当是多少？
解：根据题意可知，AB=am，AD=1m。
∵ AE AD AD AB
∴
1 3
a
1
1a
∴ a 3
∴ a 3
课本：学习之友 P30课内练习
1.通过这节课的学习 活动你有哪些收获？
2.你还有什么想法吗？
学习永远是件快乐而有趣的事！