§5 简单的幂函数
§5简单的幂函数导学案
§5简单的幂函数导学案一、学习目标通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图像和性质，并进行简单的应用。二、重点、难点重点：从五个具体幂函数图像中认识幂函数的一些性质难点：画五个具体幂函数图像并由图像概况其性质，体会图像的变化。规律。三、学习内容1、问题引入（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y=_______元。（2）如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=______。（3）如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y=______。（4）如果正方形的场地面积为x，那么正方形的边长y=______。（5）如果某人x秒骑车行进了1千米，那么他的速度y=______千米/秒。讨论：根据函数的定义，以上五个式子都是函数表达式，它们是指数函数吗？指数函数的形式是什么样的？差别在哪里？以上五个式子有什么共同特征？2、引出定义由上面五个函数表达式的共同特征得出的新的函数--------幂函数。幂函数的定义: 3、幂函数的图象（学生讨论完成）在同一平面直角坐标系中作出幂函数xy,2xy,3xy,21xy,1
xy
的图象。x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …xy……
2xy
……
3xy
……
21xy…
1xy
……4、幂函数的性质（学生讨论完成）幂函数性质xy2xy3xy21xy1
xy
定义域值域奇偶性单调性公共点共同的性质：1. 2.如果α>0，
如果α<0，
5、探讨1y和0xy是不是同一个函数？6、课堂达标1．比较下列两个代数式值的大小：（1）5.1)1(a,5.1a; (2)322)2(a,322.
7、小结。8、作业
北师大版数学必修一《简单的幂函数》教学课件
＝3x2 及 y＝2 均不符合幂函数的形式 y＝xα， 故均不是 幂函数．
2．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？ 【提示】 由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
幂函数的概念
下列函数中是幂函数的是( ) ①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3； 1 1 ⑤y＝ 2；⑥y＝x2＋ . x x A．①③⑤ C．③⑤ B．①②⑤ D．只有⑤
yx ；
1 2
(2)观察上面的函数图象会发现以下特征： ①图象都过点(1,1)． ②在第一象限内函数y＝x，y＝x2，y＝x3， y
x
1 2
的图象自左向右看都是
上升的，也就是在[0，＋∞)上都是增函数，且这几种函数的图象都过原点． ③函数y＝x－1的图象在第一象限内自左向右看是下降的，即y＝x－1在(0， ＋∞)上是减函数．
【思路点拨】 依据幂函数的定义进行判断.
【解析】 y＝－x2 幂前系数是－1 而不是 1，故不是幂函数； y＝2x 指数不是常量，不是幂函数；y＝(x－1)3 的底数是 x－1 而不是 x，故不是 1 1 幂函数； y＝x2＋ 是两个幂函数和的形式， 也不是幂函数.y＝ 2＝x－2 和 y＝xπ 具有 x x 幂函数 y＝xα 的形式，所以选
解决有关幂函数问题的关键是会定性分析
x
q p
中，p，q
为正、负、奇、偶等各种情况的大体图象，要从函数的奇偶性、单调性出 发对函数进行探讨，重点要研究在第一象限内的各种情况.注意：所有幂函 q q 数在第一象限内均有图象，且过点(1,1)， ＞0，则为递增， ＜0，则为 p p 递减.
2.用描点法画出①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④ ⑤y＝x－1的图象并指出其特点. 【解析】 (1)图象如下图所示：
简单的幂函数 (7)
【解析】
(1)因为函数f(x)＝x0.8在 (0，＋∞)上为增函 数，又5.2<5.3，所以5.20.8 < 5.30.8. (2)因为函数f(x)＝x3.1在 (0，＋∞)上为增函 数，又0.2<0.3，所以0.23.1 < 0.33.1.
7
4
7
8 8
1 8
8
,函数y
典例Байду номын сангаас讲：题型一：幂函数的概念
【例1】下列函数中幂函数的个数有( ).
A.3
B.4
C.5
D.6
[思路分析]抓住幂函数的结构特征解题：自变量在底数位
置. [解析] ②、③、⑥是幂函数.
答案：A
[思路分析]待定系数法求出函数的解析式，然后再求f(4). [解析]
题后反思
反思：解决幂函数概念问题关键是抓住幂函数的特征： 底数为自变量x，常数在指数位置．
y＝xn
O 123 x
典例精讲：题型三：函数值大小的比较
【例4】比较下列各组数的大小：
1 5.20.8与5.30.8
2 0.23.1与0.33.1
3
2.6
2 5
与2.7
2 5
5 1.30.5与0.51.3
7
4
8
7 8
与-
1 9
8
[思路点拨] (1)、(2)、(3)指数相同，可构造幂函数比 较大小，(4)幂指数不同，可以先转化成相同幂指数， (5)可以利用“中间量”比较大小.
第二章 函数
§5 简单的幂函数（一）
高一数学 张梦茹
学习目标
简单的幂函数
第二章
§5
第 7页
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02课堂互动探究
第二章
§5
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1 怎样判断函数的奇偶性？
1判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一 般步骤： ①考查定义域是否关于原点对称，这是函数具备奇偶 性的前提条件. ②根据定义域考查表达式 f－x是否等于 fx，－fx， 若 f－x＝－fx，则 fx为奇函数；,若 f－x＝fx，则 fx 为偶函数； ,若 f－x＝－fx且 f－x＝fx， 则 fx既是奇函 数，又是偶函数；
第二章
§5
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例1
判断下列函数的奇偶性．
2x2＋2x (1)f(x)＝ ； x＋1 (2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝a，x∈R；
x1－x， (4)f(x)＝ x1＋x，
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[学习目标]
1.
掌握运用函数图像理解和研究函数性质的
思想. 2. 理解函数奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性. 3. 了解 幂函数的概念.
第二章
§5
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x≥0， x＜0.
[思路点拨]
根据定义判断函数的奇偶性．
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章 函数§5 简单的幂函数(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝|x |＋1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【解析】 函数定义域为R ，f (－x )＝|－x |＋1＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B2．下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．12y x =C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 【解析】 对A ，由y ＝x －2＝1x 2知x ≠0；对B ，12y x =＝x ，知x ≥0；对D ，由y ＝x －1＝1x知x ≠0，故A 、B 、D 中函数定义域均不为R ，从而选C. 【答案】 C3．函数y ＝(x ＋2)(x －a )是偶函数，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【解析】 结合选项，a ＝2时，f (x )＝x 2－4是偶函数，故选A.【答案】 A4．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1,3 B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 α＝1,3时，定义域为R ，α＝－1,1,3时为奇函数，∴α＝1,3时符合题意．【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＝________.【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (－x )＝－f (x )，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5.【答案】 －56．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (12)x －3 (x ≤0)x 12 (x ＞0)，已知f (a )＞1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若(12)a －3＞1，则a ＜－2； 若a 12＞1，则a ＞1. 综上所述，a ＜－2或a ＞1.【答案】 a ＜－2或a ＞1三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3 (x >0)0 (x ＝0)2x －3 (x <0)的奇偶性．【解析】 ①当x >0时，－x <0，则f (－x )＝2·(－x )－3＝－(2x ＋3)＝－f (x )②当x <0时，－x >0f (－x )＝－2x ＋3＝－(2x －3)＝－f (x )③当x ＝0时，f (0)＝0即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．8．已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？【解析】 由于2223(1)mm y m m x --=--为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2，或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)在(0，＋∞)上为常函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为y ＝x －3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在x ∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数．9．(10分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．【解析】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x －2，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2 (x ＜0)0 (x ＝0)－x 2＋2x ＋2 (x ＞0).(2)先画出y ＝f (x )(x ＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x ＜0)的图象，其图象如图所示：由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．。
北师大版高中数学必修1 第五章简单的幂函数 课件(共23张PPT)
1.了解幂函数的概念；能够通过观察总结简单 幂函数的一些性质；会利用定义判断或证明简 单函数的奇偶性。 2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方 法。 3.培养从特殊归纳出一般的意识，培养利用图 像研究函数奇偶性的能力，引导学生发现数学 中的对称美。 教学重点：幂函数的概念；奇偶函数的概念 教学难点：简单幂函数的图像、性质；自评
2．函数
f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2
是幂函数且函数
f(x)为
偶函数，求 m 的值．
栏
解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，目 链 即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不 接 符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.
在（-，0]上的图象如图，你能试作出[0，+）内 的图象吗？
y
0
x
： 想一想 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，
在（-，0]上的图象如图，你能试作出 [0，+） 内的图象。
y
0
x
练习 1.判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) 3 ; (2)yx2,x(3,3]; x
(3)f(x)x23; (4)f(x)2(x1)21
2
我们学过一次函数，二次函数，反比例函数
如 yx,y1,yx2 x
它们在形式上有什么异同?
相同：函数解析式是幂的形式，且指数是常数， 底数是自变量.
不同：指数不同
一.幂函数
1.幂函数概念 一般地，如果一个函数，底数是自变量x,指
数是常量 a ，即 y=xa ，这样的函数叫做幂函数.
注意:幂函数中的指数 a可以为任意实数.在
函数简单的幂函数课件
函数简单的幂函数课件pptxx年xx月xx日contents •幂函数概述•幂函数的图象和性质•幂函数的应用•幂函数的拓展•总结与反思目录01幂函数概述幂函数定义：形如y=x^a的函数，其中a为常数。
幂函数在高等数学中占有重要地位，其性质和应用有着广泛的应用。
0102非零的常数次幂函数$y=x^a$，当a>0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当a<0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递减。
幂函数的图象幂函数的图象由点$(1,1)$出发，在$y$轴右侧的图象是上升的，在$y$轴左侧的图象是下降的，并且图象过点$(0,0)$。
幂函数的奇偶性当$a$为整数时，幂函数为奇函数；当$a$为偶数时，幂函数为偶函数。
当$a$为负奇数时，幂函数为既奇又偶函数；当$a$为负偶数时，幂函数为非奇非偶函数。
幂函数的对称性$y=x^a$的图象关于原点对称；$y=x^{-a}=1/x^a$的图象关于$y$轴对称。
幂函数的扩展在实际应用中，可以将幂函数扩展到多个变量的情形，如二元三次幂函数等。
03040502幂函数的图象和性质幂函数图象的绘制步骤、要点、注意事项总结词步骤要点注意事项1.定义域，2.函数式，3.图象1.定义域的确定，2.函数式的变换，3.图象的绘制1.定义域的边界值的处理，2.函数式变换的准确性，3.图象的精确度幂函数性质的运用基本性质、应用、实例总结词1.单调性，2.奇偶性，3.周期性基本性质1.函数的单调性，2.函数的奇偶性，3.函数的周期性应用 1.幂函数的单调递增区间，2.幂函数的奇偶性判断，3.幂函数的周期求解实例03幂函数的应用总结词了解幂函数与方程根的关系，掌握利用幂函数求解方程的方法。
利用幂函数求解方程通过对幂函数的性质和图像的掌握，利用幂函数求解方程的解，特别注意在特定区间求解方程时需要注意的问题。
幂函数与方程根的关系幂函数在方程中的应用，主要是指利用幂函数的性质和图像特点，通过观察幂函数的图像来确定方程的根。
北师大版 5 简单的幂函数学导学案
课题5 简单的幂函数自主备课一、学习目标1、了解简单幂函数的概念； 会利用定义证明简单幂函数的奇偶性2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。
3、 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念4、 学习难点：简单的幂函数的图像性质。
函数奇偶性的判断。
二、教学过程幂函数的概念：1、形如 的函数叫幂函数，它的形式非常严格． ①前面的系数是1；②底数自变量x ； ③指数是常数a;④只有一项例如：11232,,,,y x y x y x y x y x -=====常见的幂函数： 2、在坐标系中画函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 21、y ＝x 1-幂函数的图像和性质与幂指数α有关，①当α>0时，过0（0，0），（1,1）且在[0，＋∞)上为增函数， ②当α<0时，过（1,1），且在(0，＋∞)上为减函数.奇偶函数的概念一般地，函数()f x 图像关于原点对称的函数叫奇函数。
如f(x)=x 3 函数()f x 图像关于y 轴对称的函数叫偶函数。
如f(x)=x 2 当函数()f x 是奇函数或者是偶函数时，称函数()f x 具有判断函数奇偶性方法图像法_____________________________________________________________________________________________________ 定义法（1）定义域是否关于原点对称；（2）对定义域中任意x，①当有f(-x)=f(x)时，称f(x)是奇函数；②当有f(-x)=-f(x)时，称f(x)是偶函数。
问题：1、二次函数都是偶函数吗？2、一次函数都是奇函数吗？例题讲解例题1、画出函数3=的图像，并讨论单调性。
f x x()x ... -2 -1 1-0 12 1 2 ...2f x...()54=+例2、判断=-2和的奇偶性f x xg x x()()22例3、已知f(x)的定义域为R的奇函数，当时x>0时，f(x)=x-2x （1）求函数f(x)在R上的解析式（2）画f(x)的图像221()0()=1,(2)23,02()=0023,0()0()=-+22(1)()(2)()()f x R x f x x f x x f x x x x f x R x f x x x f x f x f x >+-+>⎧⎪=⎨⎪-<⎩>+当堂练习题、函数是定义在的奇函数，当时，求。
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1 v km / s 平均速度_____________. t
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的
v是t的函数
思考：以上问题中的函数有什么异同？ 将上述对应关系改为 x与y 的形式，可得.
yx
y x2
yx
3
yx
1 2
y x 1
底数是自变量,只是指数不同.
1.了解简单幂函数的概念,掌握几类简单幂函数的图像和性质 （重点） 2.会利用定义证明简单函数的奇偶性.并利用奇偶性画函数图像和 研究函数的方法. （重点）(难点）
2.函数y= x 的图像是( B )
1 3
解析：函数y= x 是幂函数,幂函数在第一象限 故幂函数y= x 的图像在直线y=x的下方,排除C.
1 3
1 3
内的图像恒过定点(1,1),排除A,D. 当x>1时,x> x ，
1 3
3.已知函数 y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的， 则它在[-b,-a]上是（ A.增加的 C.先增后减
1 x x . (6)中 y 2 x 2 . x
练：下列函数为幂函数求相应常数的值.
（） 1 y ax .
2
a 1 b0 a2
(2) y x b.
（ 3 ）y (a2 3) x3 a 2.
(4) y ( x 2) ax b.
2
x 2 4 x 4 ax b x 2 (a 4) x 4 b.
偶函数
非奇非偶函数 偶函数
（3）奇函数在对称区间上单调性相同； 偶函数在对称区间上单调性相反；
题型二：幂函数图像性质 例3：补全下面四个函数的图像
y=-x3 y=x-1 y=x2+1
y
y
y
1
y
o
x
o
x
o
x
y=-x4
o
x
练一练画出下列函数的图像,判断其奇偶性. 3 (1)y . (2)y x 2 3. (3)y 2(x 1) 2 1. x
§5
简单的幂函数
问题引入：我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付
p w 元. ___________
p是w的函数
2 S a (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积______. S 是a的函数 3 V a (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_______. V是a的函数 1 a S2 (4)如果正方形的面积为S，那么正方形的边长______. a是S的函数
（） 1 3 与4 . （2）3.2 与1. 4. 1 1 （3） 与 . 3.7 2.7
(4) 1.6与 1.9.
1 (5)1.1 与 . 1.3
3
3
3
y x3在R
2
33 43 3.22 >1. 42
1 1 > 3.7 2.7
2
y x2在(0, )
1 y 在( , 0) x
a 4 b 4
主要掌握的几种幂函数：
（） 1 y x.
（4）y x 1
（ 3 ）y x . （ 2）y x . 1 1 . 2 （ 5 ） y x x . x
2 3
你能画出它们的图像吗？
幂函数有哪些特征：
幂函数
y x.
定义域
对称性 原点对称 Y轴对称 原点对称
x A, 有f ( x) f ( x). x A, 有f ( x) f ( x).
y x中，
为偶数时，函数为偶函数； 为奇数时，函数为奇函数。
函数奇偶性补充： （1）y a称为常函数，是偶函数.
（2） 奇偶性加减
奇函数 偶函数
奇函数
奇函数 非奇非偶函数
y
x在(0, )
3
1.6< 1.9
1 1 3 1.1 1, 1 1.1 > 1.3 1.3
幂函数还有哪些特征？
当 1时，y x 在(0, )为向上弯曲的增函数；
当0 1时，y x 在(0, )为向下弯曲的增函数； 当 0时，y x 在(0, )为减函数；
27 64
3
4
xB
y B
例1，判断一下：下列函数是否为幂函数.
（） 1 y 3x .
2
(2) y x x2 .
(4) y ( x 2)5 . 1 (6) y 2 . x
1 2
（ 3 ）y x2014 .
(4) y x.
答：(3)、 (4)、(6)是幂函数
(4)中 y
单调性
定点
R R R
R
(, 0) , (0, )
(1,1) (1,1) (1,1)
yx . 3 yx .
2
y
x.
1 y . x
0, 无 0, ) x x 0 原点对称 (, 0) , (0, )
R
(1,1)
(1,1)
题型一：比大小 例2：试比较下列各组数的大小，并解释
B ）
B.减少的 D.先减后增
4.二次函数 f
x m 1 x
2
2mx 3
是偶函数,则f(x)解析式为？
m 0 ,易知 m 0 解：已知函数对称轴为 x m 1 f ( x) x 2 3
5.填空(填奇或偶或非奇非偶)
(1)函数y=2x是 (2)函数y=2x2+1是 奇 偶 函数. 函数.
探究点2.函数奇偶性 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，图像关于
y轴对称的函数叫作偶函数..
具有的特点: 1，定义域对称（图像范围对称）； 2，对于定义域中任意的x,都有 f ( x) f ( x), 为偶函数； 对于定义域中任意的x,都有 f ( x) f ( x),为奇函数；
(3)函数y=2x2+4x+1是 非奇非偶函数.
1.几种简单幂函数的图像及性质. 2.判断函数奇偶性的方法:
(1)析法
f(-x)=-f(x)
f(x)是偶函数.
y=f(x)为奇函数 y=f(x)为偶函数
f(-x)=f(x)
忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
（2）因为. f ( x) x 4 2 x 2 , x R 定义域对称； f ( x) ( x) 2( x) x 2 x f ( x)
4 2 4 2
f ( x) x 4 2 x 2为偶函数。
1.判断题 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.( × ) （2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是增加的,则f(x)在[0,+ )上也是增加的.( √ ) （3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在 (-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+ )上也是减少的.( × )
3.培养学生从特殊归纳出一般的意识. (难点）
什么是幂？
指数幂 幂值
N a
例如：
幂值 指数幂 指数
n
底
指数
82
3
底
探究点1.幂函数的定义： 形如y x 的函数称为幂函数。
其中x为自变量，y为函数值， 为常量。
3 y f ( x ) x 例如： f : y x3
1 2
1
8
y
0
y
0
y
x
-1
x
1
O
-3
x
(1)奇函数
(2)偶函数
(3)非奇非偶函数
例4
判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2x的奇偶性.
5
解：（ 1 ）因为. f ( x) 2 x , x R 定义域对称； f ( x) 2( x)5 2 x 5 f ( x) f ( x) 2 x 5为奇函数。