新东方优能中学-数学-第一章集合及常用逻辑用语 (答案版)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。

新高中数学必修一第一册第一章讲义集合与常用逻辑用语--第1讲集合的概念与性质(含答案)

第一章集合与常用逻辑用语第一讲：集合的概念知识点梳理讲解：一、集合的概念【知识梳理】1、元素与集合的概念【要点讲解】准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 【知识精讲】例1 (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21 ，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．【解】(1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的． ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．【变式训练】1、下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点D ．所有小的正数【答案】 B【解析】A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．2 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数；(2)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)3的近似值的全体．【解】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．3、判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)著名的数学家；(2)某校2020年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．【解】(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.【方法技巧总结】判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．二、元素的特性及集合相等【知识梳理】1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．【要点讲解】(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.【知识精讲】例1、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.【解】(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧-45,25,0≠B . 故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .例2、已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值．【解】若1∈A ，则a ＝1或2a ＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，a ＝2a ，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.【变式训练】1、已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值．【解】方法一：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即错误!∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)．当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.2、已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若2x ∈A ，求实数的值．x 【解】∵2x ∈A ，∴2x 是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若2x ＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若2x ＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 2x ＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【方法技巧总结】1、元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．2、元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．【易错题】【典例】若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．【解析】∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 【易错点】1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．【易错点训练】若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________．解析：①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意；当a ＝－1时，由②知不合题意．综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1三、元素与集合的关系【知识梳理】1、如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2、如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 【要点讲解】(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的 3．常用的数集及其记法（1）数集及其记法（2【知识精讲】题型1判定元素与集合的关系例3 (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．【答案】(1)C (2)B【变式训练】1 给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 B【解析】12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3是无理数，④错； 0是自然数，⑤错．故选B.2 用符号 “∈”或“∉”填空．－2________R ；－3________Q ；－1________N ；π________Z. 【答案】 ∈ ∈ ∉ ∉ 3给出下列说法：①R 中最小的元素是0； ②若a ∈Z ，则－a ∉Z ； ③若a ∈Q ，b ∈N *，则a ＋b ∈Q. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确. 【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．题型2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．【答案】 0,1,2【解析】∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N.当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N.∴A 中元素为0,1,2.【变式训练】1 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则( )A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2【答案】 D【解析】∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.【方法技巧总结】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．【课堂小测】1．下列选项中能构成集合的是( )A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍【解析】选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形【解析】选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．【解析】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．【答案】②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.【解析】代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.【答案】2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．【解】因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.【课后作业】一、选择题1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A【答案】 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )A．0∈A B．a＝AC．a∈A D．a∉A【答案】 C解析∵A中只有一个元素a且a≠0，∴0∉A，选项A错．∵a为元素，A为集合，故B错误．由已知选C.3．下列结论中，不正确的是( )A ．若a ∈N ，则－a ∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈ZC ．若a ∈Q ，则|a |∈QD ．若a ∈R ，则3a ∈R 【答案】 A解析 A 不对．反例：0∈N ，－0∈N.4．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∉MB ．1∈MC ．－2∉MD ．2∈M 【答案】 D【解析】①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |的值为－2，所以集合M 中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】 D【解析】由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．6．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A 【答案】C【解析】令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A ；令3k －1＝－11，解得k ＝－103∉Z ，∴－11∉A ； ∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A .7．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素【答案】 A【解析】由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，并且x ，－x ，|x |之中总有两个相等，所以最多含2个元素．8．由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( )A ．a ∈AB ．a 2∈A C.1a∉A D ．a ＋1∉A 【答案】 A【解析】a ＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a ∈A .a ＋1<4＋4＋1＝5，∴a ＋1∈A .a 2＝(2)2＋22·3＋(3)2＝5＋26>5.∴a 2∉A .1a ＝12＋3＝3－2(2＋3)(3－2)＝3－2<5. ∴1a∈A . 故选A.二、填空题9．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *.【答案】 2【解析】∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.10．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．【答案】 x ≠0,1,2，1±52【解析】由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52. 11．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a＋b ＝____.【答案】－1【解析】∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴b a ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}．∵1∈B ，a ≠1，∴a 2＝1，a ＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1.三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意． ∴实数a 的值为－32. 13．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；解：(1)2∈A ，则11－2∈A ，即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ，即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12. 证明如下：1（）若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1，所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1，进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)，故11－a ≠a －1a，所以A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 四、探究与拓展14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．【答案】 1,2【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2， ∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}． 15．已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z)，求证：(1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于集合A .证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A .(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立．①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾．②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k －2∉A .。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全单选题1、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.2、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.3、设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2,3}C．{3,4}D．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .4、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B．5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、集合A={x|x<−1或x≥1}，B={x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−2,2]B．[−2,2)C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．[−2,0)∪(0,2)答案：B分析：分B=∅与B≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+2≤0无解，此时a=0，满足题意.②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a>0时，可得x≤−2a，要使B⊆A，则需要{a>0−2a<−1，解得0<a<2.当a<0时，可得x≥−2a ，要使B⊆A，则需要{a<0−2a≥1，解得−2≤a<0，综上，实数a的取值范围是[−2,2).故选：B.7、在下列命题中，是真命题的是（）A．∃x∈R,x2+x+3=0B．∀x∈R,x2+x+2>0C．∀x∈R,x2>|x|D．已知A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，则对于任意的n,m∈N∗，都有A∩B=∅答案：B分析：可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/选项A，∃x∈R,x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，所以Δ=1−12=−11＜0，显然此方程无实数解，故排除；选项B，∀x∈R,x2+x+2>0，x2+x+2=（x+12）2+74≥74＞0，故该选项正确；选项C，∀x∈R,x2>|x|，而当x=0时,0>0，不成立，故该选项错误，排除；选项D，A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，当n,m∈N∗时，当a、b取得6的正整数倍时，A∩B≠∅，所以，该选项错误，排除.故选：B.8、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a =−3时，A ={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a =−3满足要求．综上，a =2或a =−3．故选：D ．多选题9、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2解得a =2且a =4，得此方程组无解，故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.10、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误. 由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬s⇔¬q⇔¬r⇒¬p且¬p⇏¬r，故④正确.故选：ABD11、已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A．0∉M B．2∈M C．−4∈M D．4∈M答案：CD分析：讨论x,y,z的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.当x,y,z均为负数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=−4；当x,y,z两负一正时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z两正一负时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z均为正数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4；∴M={−4,0,4}，A、B错误，C、D正确.故选：CD12、已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x,y)|y=x2+1}，下列关系正确的是（）．A．(1,2)∈B B．A=B C．0∉A D．(0,0)∉B答案：ACD分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．13、对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（）A．a=b是ac=bc的充要条件B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a>b是a2>b2的充要条件D．a<5是a<3的必要条件答案：BD分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断解：∵“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵“a>b”⇒“a2>b2”为假命题，“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵{a|a<3}{a|a<5}，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故D为真命题.故选：BD.填空题14、已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案：a<－4或a>2分析：按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.①当a>3即2a>a＋3时，A＝∅，满足A⊆B；.②当a≤3即2a≤a＋3时，若A⊆B，则有{2a≤a+3a+3〈−1或2a〉4，解得a<－4或2<a≤3综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.所以答案是：a<－4或a>215、命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的否定是__________．答案：∀x∈R，x＜1根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定分析：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，∴命题的否定是：∀x∈R，x＜1．所以答案是：∀x∈R，x＜1．16、用符号∈或∉填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____N∗，3.1____Q，3.1___R.答案：∉∉∉∈∈分析：由元素与集合的关系求解即可因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N∗；3.1∈Q；3.1∈R.所以答案是：∉，∉，∉，∈，∈.解答题17、已知m>0,p:(x+1)(x−5)≤0,q:1−m≤x≤1+m.（1）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p与q一真一假，然后分p真q假，p假q真，求解即可；（2）由p是q的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m]，则有{m>01−m≤−11+m≥5，从而可求出实数m的取值范围（1）当m=5时，q:−4≤x≤6，因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则{−1≤x≤5x<−4或x>6，该不等式组无解；若p假q真，则{x<−1或x>5−4≤x≤6，得−4≤x<−1或5<x≤6，综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）因为p是q的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m>01−m≤−11+m≥5，得m≥4，故实数m的取值范围为[4,+∞).18、已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B={x|3<x<4}，求实数a的值；(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.答案：(1)3(2){a|a≤23或a≥4}分析：（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B=∅，B≠∅讨论，简单计算即可得到结果. （1）因为A∩B={x|3<x<4}，所以a=3.（2）因为A∩B=∅，所以可分两种情况讨论：B=∅，B≠∅. 当B=∅时，有a≥3a，解得a≤0；当B≠∅时，有{a>0a≥4或3a≤2，解得a≥4或0<a≤23.综上，实数a的取值范围是{a|a≤23或a≥4}.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结单选题1、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D2、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．3、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4、命题“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是（）A．∃x≥0,x2+ax−1<0B．∃x≥0,x2+ax−1≥0C．∃x<0,x2+ax−1<0D．∃x<0,x2+ax−1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax−1<0”.故选：C5、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.6、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.7、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C8、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题9、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．10、已知全集U=Z，集合A={x|2x+1≥0,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，则（）A．A∩B={0,1,2}B．A∪B={x|x≥0}C．(∁U A)∩B={−1}D．A∩B的真子集个数是7答案：ACD分析：求出集合A，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.A={x|2x+1≥0,x∈Z}={x|x≥−1,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，2A∩B={0,1,2}，故A正确；A∪B={x|x≥−1,x∈Z}，故B错误；,x∈Z}，所以(∁U A)∩B={−1}，故C正确；∁U A={x|x<−12由A∩B={0,1,2}，则A∩B的真子集个数是23−1=7，故D正确.故选：ACD11、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．填空题12、请写出不等式a>b的一个充分不必要条件___________．答案：a>b+1 (答案不唯一)分析：根据充分不必要条件，找到一个能推出a>b，但是a>b推不出来的条件即可.因为a>b+1能推出a>b，但是a>b不能推出a>b+1，所以a>b+1是不等式a>b的一个充分不必要条件，所以答案是：a>b+1（答案不唯一）13、已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案：(−∞,4]分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解.当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则{m+1≥−2, 2m−1≤7,m+1<2m−1,解得2<m≤4．综上，m的取值范围为(−∞,4]．所以答案是：(−∞,4]14、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．解答题15、已知集合A={x|−1≤x≤2},B={y|y=ax+3,x∈A}，C={y|y=2x+3a,x∈A}，（1）若∀y 1∈B ，∀y 2∈C ，总有y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；（2）若∀y 1∈B ，∃y 2∈C ，使得y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；答案：（1）a ≥5；（2）a ≥−14. 分析：（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，由题设可得y 1max ≤y 2min ，建立不等式组，解之可得答案. （2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，建立不等式组，解之可得答案.（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，其中−1≤x ≤2，由题设可得y 1max ≤y 2min ，即y 1max ≤3a −2，故{−a +3≤−2+3a 2a +3≤−2+3a ，解得a ≥5.（2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，故{−a +3≤4+3a 2a +3≤4+3a ，解得a ≥−14.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总单选题1、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.2、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.3、已知集合S={x∈N|x≤√5}，T={x∈R|x2=a2}，且S∩T={1}，则S∪T=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.4、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．7、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q> 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.多选题9、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）A．0≤m<4B．0<m<2C．1<m<4D．−1<m<6答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.10、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．11、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.填空题12、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．13、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：014、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．解答题15、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

新高中数学必修一第一册第一章讲义集合与常用逻辑用语--第1讲集合的概念与性质(含答案)

第一章集合与常用逻辑用语第一讲：集合的概念知识点梳理讲解：一、集合的概念【知识梳理】1、元素与集合的概念【要点讲解】准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 【知识精讲】例1 (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21 ，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．【解】(1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的． ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．【变式训练】1、下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点D ．所有小的正数【答案】 B【解析】A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．2 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数；(2)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)3的近似值的全体．【解】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．3、判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)著名的数学家；(2)某校2020年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．【解】(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.【方法技巧总结】判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．二、元素的特性及集合相等【知识梳理】1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．【要点讲解】(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.【知识精讲】例1、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.【解】(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧-45,25,0≠B . 故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .例2、已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值．【解】若1∈A ，则a ＝1或2a ＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，a ＝2a ，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.【变式训练】1、已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值．【解】方法一：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即错误!∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)．当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.2、已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若2x ∈A ，求实数的值．x 【解】∵2x ∈A ，∴2x 是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若2x ＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若2x ＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 2x ＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【方法技巧总结】1、元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．2、元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．【易错题】【典例】若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．【解析】∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 【易错点】1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．【易错点训练】若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________．解析：①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意；当a ＝－1时，由②知不合题意．综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1三、元素与集合的关系【知识梳理】1、如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2、如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 【要点讲解】(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的 3．常用的数集及其记法（1）数集及其记法（2【知识精讲】题型1判定元素与集合的关系例3 (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．【答案】(1)C (2)B【变式训练】1 给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 B【解析】12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3是无理数，④错； 0是自然数，⑤错．故选B.2 用符号 “∈”或“∉”填空．－2________R ；－3________Q ；－1________N ；π________Z. 【答案】 ∈ ∈ ∉ ∉ 3给出下列说法：①R 中最小的元素是0； ②若a ∈Z ，则－a ∉Z ； ③若a ∈Q ，b ∈N *，则a ＋b ∈Q. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确. 【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．题型2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．【答案】 0,1,2【解析】∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N.当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N.∴A 中元素为0,1,2.【变式训练】1 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则( )A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2【答案】 D【解析】∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.【方法技巧总结】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．【课堂小测】1．下列选项中能构成集合的是( )A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍【解析】选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形【解析】选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．【解析】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．【答案】②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.【解析】代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.【答案】2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．【解】因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.【课后作业】一、选择题1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A【答案】 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )A．0∈A B．a＝AC．a∈A D．a∉A【答案】 C解析∵A中只有一个元素a且a≠0，∴0∉A，选项A错．∵a为元素，A为集合，故B错误．由已知选C.3．下列结论中，不正确的是( )A ．若a ∈N ，则－a ∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈ZC ．若a ∈Q ，则|a |∈QD ．若a ∈R ，则3a ∈R 【答案】 A解析 A 不对．反例：0∈N ，－0∈N.4．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∉MB ．1∈MC ．－2∉MD ．2∈M 【答案】 D【解析】①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |的值为－2，所以集合M 中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】 D【解析】由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．6．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A 【答案】C【解析】令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A ；令3k －1＝－11，解得k ＝－103∉Z ，∴－11∉A ； ∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A .7．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素【答案】 A【解析】由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，并且x ，－x ，|x |之中总有两个相等，所以最多含2个元素．8．由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( )A ．a ∈AB ．a 2∈A C.1a∉A D ．a ＋1∉A 【答案】 A【解析】a ＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a ∈A .a ＋1<4＋4＋1＝5，∴a ＋1∈A .a 2＝(2)2＋22·3＋(3)2＝5＋26>5.∴a 2∉A .1a ＝12＋3＝3－2(2＋3)(3－2)＝3－2<5. ∴1a∈A . 故选A.二、填空题9．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *.【答案】 2【解析】∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.10．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．【答案】 x ≠0,1,2，1±52【解析】由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52. 11．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a＋b ＝____.【答案】－1【解析】∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴b a ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}．∵1∈B ，a ≠1，∴a 2＝1，a ＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1.三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意． ∴实数a 的值为－32. 13．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；解：(1)2∈A ，则11－2∈A ，即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ，即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12. 证明如下：1（）若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1，所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1，进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)，故11－a ≠a －1a，所以A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 四、探究与拓展14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．【答案】 1,2【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2， ∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}． 15．已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z)，求证：(1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于集合A .证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A .(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立．①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾．②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k －2∉A .。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12，因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)单选题1、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.2、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.3、设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.①若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1；②投掷一枚硬币3次，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P （A ）＝78，P （B ）＝18，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件. 所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A小提示：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.4、已知命题p:∃x ∈(−1,3)，x 2−a −2≤0.若p 为假命题，则a 的取值范围为（）A ．(−∞,−2)B ．(−∞,−1)C ．(−∞,7)D ．(−∞,0)答案：A解析：由题可得命题p 的否定为真命题，即可由此求解.∵ p 为假命题，∴ ¬p:∀x ∈(−1,3)，x 2−a −2>0为真命题，故a <x 2−2恒成立，∵ y =x 2−2在x ∈(−1,3)的最小值为−2，∴a <−2.故选：A.5、若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则实数a 的范围是（）A ．a >2B ．a ⩾2C ．a >−2D ．a ⩽−2答案：A解析：根据命题的否定为真命题可求.若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则命题“∀x ∈[−1,2],−x 2+2<a ”是真命题，当x =0时，(−x 2+2)max =2，所以a >2.6、若不等式|x −1|<a 成立的充分条件为0<x <4，则实数a 的取值范围是（）A ．{a ∣a ≥3}B ．{a ∣a ≥1}C ．{a ∣a ≤3}D ． {a ∣a ≤1}答案：A分析：由已知中不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，令不等式的解集为A ，可得{x |0<x <4 }⊆A ，可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案.解：∵不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，设不等式的解集为A ，则{x |0<x <4 }⊆A ，当a ≤0时，A =∅，不满足要求；当a >0时，A ={x ∣1−a <x <1+a}，若{x |0<x <4 }⊆A ，则{1−a ⩽01+a ⩾4，解得a ≥3. 故选：A.7、下列命题是假命题的有（）A ．若x ∈A ，那么x ∈A ∩B B ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈AC ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈A ∪BD ．若x ∈A ，那么x ∈A ∪B答案：A分析：由集合与元素的关系和交集并集的定义逐一判断，即可求解对于A ，若x ∈A ，那么x 可能不属于B ，故A 错误；对于B ，若x ∈A ∩B ，则x 是集合A 和B 的公共元素，那么x ∈A ，故B 正确；对于C ，若x ∈A ∩B ，那么x ∈A ∪B ，故C 正确；对于D ，若x ∈A ，那么x ∈A ∪B ，故D 正确．故选：A ．8、已知命题p ：∃x ∃N ，e x <0（e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（）A ．∃x ∃N ，e x <0B ．∃x ∃N ，e x >0C ．∃x ∃N ，e x ≥0D ．∃x ∃N ，e x ≥0分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（）A．(−∞，−5)B．(−3，−1]C．(3，+∞)D．[0，3]答案：AB解析：根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.∵∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB小提示：本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.11、下列说法中不正确的是（）A．0与{0}表示同一个集合B．集合M＝{3, 4}与N＝{(3, 4)}表示同一个集合C．方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1, 1, 2}D．集合{x|4<x<5 }不能用列举法表示答案：ABC分析：根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.对于A中，0是一个元素（数），而{0}是一个集合，可得0∈{0}，所以A不正确；对于B中，集合M＝{3， 4}表示数3,4构成的集合，集合N＝{(3， 4)}表示点集，所以B不正确；对于C中，方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}，根据集合元素的互异性，可得方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1， 2}，所以C不正确；对于D中，集合{x|4<x<5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.填空题12、关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为____________.答案：a≤0或a=1分析：根据方程根的情况，讨论a=0和a≠0两种情况，结合一元二次方程根的分布情况，以及充要条件的概念，即可求解.，符合题意.若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负实数根，则当a=0时，x=−12当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实数根，则Δ=4−4a≥0，解得a≤1，当a=1时，方程有且仅有一个负实数根x=−1，当a<1且a≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则1<0，即a<0.a所以当a≤0或a=1时，关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a≤0或a=1”.所以答案是：a≤0或a=1.13、设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7}，则其偶子集Q的个数为___________.答案：63分析：对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：{1,3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、{5,7}，共6种，若集合Q中只有4个奇数时，则集合Q={1,3,5,7}，只有一种情况，若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为{2,4}、{2,6}、{4,6}，共3种情况；若集合Q中只含3个偶数，则集合Q={2,4,6}，只有1种情况.因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.所以答案是：63.14、写出一个使得命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题的实数a的值__________．（写出一个a的值即可）答案：−1分析：根据题意，假设命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当a=0和a≠0时两种情况，从而得出实数a的取值范围，再根据补集得出命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题时a的取值范围，即可得出满足题意的a的值.解：若命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，则当a=0时成立，当a≠0时有{a>0Δ=4a2−12a<0，解得：0<a<3，所以当0≤a<3时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，所以当a∈(−∞,0)∪[3,+∞)时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题，所以答案是：−1.（答案不唯一，只需a∈(−∞,0)∪[3,+∞)）解答题15、已知命题p:∀1≤x≤2,x2−a≥0，命题q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.（1）若命题¬p为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若命题 p 和¬q均为真命题，求实数 a 的取值范围.答案：（1）{a|a>1}；（2）{a|0<a≤1}.分析：（1）写出命题p的否定，由它为真命题求解；（2）由（1）易得命题p为真时a的范围，再由q为真命题时a的范围得出非q为真时a的范围，两者求交集可得．解：(1)根据题意，知当1≤x≤2时，1≤x2≤4.¬p:∃1≤x≤2,x2−a<0，为真命题，∴a>1.∴实数 a 的取值范围是{a|a>1}.(2)由(1)知命题 p 为真命题时，a≤1.命题 q 为真命题时，Δ=4a2−4(2a+a2)≥0，解得a≤0,∴¬q为真命题时，a>0.∴{a≤1a>0，解得0<a≤1，即实数 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.。

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新东方优能中学-数学-第一章集合及常用逻辑用语 (答案版)

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