钢筋混凝土有限元模型钢筋与混凝土的组合分离式 ...
混凝土有限元分析
混凝土有限元分析廖奕全（06级防灾减灾工程及防护工程，06114249）摘要：用传统的理论解析方法分析钢筋混凝土结构，只能解决一些非常简单的构件或结构的非线性问题，对大量的钢筋混凝土结构的非线性分析问题只能用数值方法解决，因此，有限元方法作为一个强有力的数值分析工具，在钢筋混凝土结构的非线性分析中得到了广泛地应用。
随着有限元理论和计算机技术的进步，钢筋混凝土非线性有限元分析方法也得以迅速的发展并发挥出巨大的作用。
关键词：钢筋混凝土有限元分析有限元模型钢筋混凝土结构是土木工程中应用最广泛的一种建筑结构。
相比其它材料结构，钢筋混凝土结构有以下特点：①造价低，往往是建筑结构的首选材料；②易于浇注成各种形状，满足建筑功能及各种工艺的要求；⑧充分发挥钢筋和混凝土的作用，结构受力合理：④材料的重度与强度之比不大；⑤材料性能复杂，一般的计算模型难与实际结构的受力情况相符。
正因为钢筋混凝土材料的这些优缺点，长期以来，钢筋混凝土在工程中的应用如此广泛；为了满足工程需要所建立的反映混凝土材料性能的计算模型也不断完善。
然而，混凝土是一种由水泥、水、砂、石及各种掺合料、外加剂混合而成的成分复杂、性能多样的材料。
到目前为止，还没有一种公认的、能全面反映混凝土的力学行为和性质的计算模型或本构关系。
因此，对钢筋混凝土的力学性能研究还需要学术界和工程人员继续努力。
长期以来，人们用线弹性理论来分析钢筋混凝土结构的受力和变形，以极限状态的设计方法来确定构件的承载能力。
这种设计方法在一定程度上能满足工程的要求。
随着国民经济的发展，越来越多大型、复杂的钢筋混凝土结构需要修建，而且对设计周期和工程质量也提出了更高的要求。
这样一来，常规的线弹性理论分析方法用于钢筋混凝土结构和构件的设计就力不从心。
设计人员常有“算不清楚”以及“到底会不会倒”的困惑。
为此，钢筋混凝土非线性有限元分析方法开始受到重视。
同时，随着有限元理论和计算机技术的进步，钢筋混凝土非线性有限元分析方法也得以迅速的发展并发挥出巨大的作用。
钢筋混凝土结构的有限元
l
K
2
l
N
T
k
N
dx
2
积分后展开，可得单元刚度矩阵的表达式如下：
K l
62k x0Fra bibliotek2k y
对称
k x 0
0 2k x
k y
0 2k y
N
Nx
N
y
kh
0
0 kv
u v
D w
(3-73)
其中N x与N y分别为沿x与沿 y方向弹簧中的内
力。利用虚功原理可以建立节点力与内力之间
的关系 F BT N
式中:节点力 F X i Yi X j Yj T。
将式(3-72)和式(3-73)代入，可得
F BT Dw BTDB K
因为钢筋混凝土结构由钢筋和混凝土两种材 料组成。如何将这类结构离散化，这一问题 与一般均匀连续的由一种或几种材料组成的 结构有类似之处，但也有不同之点。由于钢 筋混凝土结构中的钢筋一般被包裹于混凝土 之中，而且相对体积较小，因之，在建立钢 筋混凝土的有限元模型时，必须考虑到这一 特点。通常构成钢筋混凝土结构的有限元模 型主要有三种方式：分离式、组合式和整体 式。现在分别介绍如下。
)u3
(1 2
x l
)u
4
v
( 1 2
x l
)v1
(1 2
x l
)v2
(1 2
x l
)v3
(1 2
x l
)v4
用矩阵形式表示，可简写为
w
u v
N
式中： —节点位移列阵 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 T
N —形函数矩阵；
N
(
钢筋混凝土结构有限元分析模型探讨
分离式模型把钢筋和混凝土作为不同的单元处理，例如混凝土采用solid65，而钢筋采用link8等，可以根据不同的单元类型进行组合。在该模型中可以插入联结单元考虑粘结和滑移，当然如果认为粘结很好，也可以不考虑联结单元问题。该模型是唯一可以考虑钢筋和混凝土之间的粘结特性的。众所周知，钢筋混凝土是存在裂缝的(否则钢筋难以发挥作用)，而开裂必然导致钢筋和混凝土变形不协调，也就是说必然存在粘结失效和滑移的产生，因此这种模型被广泛的应用。单元刚度矩阵的推导与一般有限元相同。
钢筋混凝土结构有限元分析模型探讨
1 结构有限元分析流行的几种模型及其特 Nhomakorabea 比较公认的有分离式模型(discrete model), 分布式模型(smeared model)(也有称整体式模型)，组合式模型(也有称埋藏式模型embedded model)三种 (上述三种也称xxx钢筋模型)。
①离散裂缝模型：也称单元边界的单独裂缝模型，即将裂缝处理为单元边界，一旦混凝土开裂，就增加新的结点，重新划分单元，使裂缝处于单元和单元边界之间。该法可以模拟和描述裂缝的发生和发展，甚至裂缝宽度也可确定。但因几何模型的调整、计算量大等，其应用受到限制。不过也因计算速度和网格自动划分的实现，该模型有可能东山再起。
3 裂缝处理的主要方式
裂缝的发生机理及其裂缝理论可参考各种教材和书籍，这里不予赘述。而这里所言是钢筋混凝土有限元分析中裂缝的数学模型，由于裂缝的处理比较困难，因此其处理方式也很多，可谓百花怒放。但主要且常用的有三种方法：离散裂缝模型(discrete cracking model)、分布裂缝模型(smeared cracking model)、断裂力学模型。
②分布裂缝模型：也称单元内部的分布裂缝模型，以分布裂缝来代替单独的裂缝，即在出现裂缝以后，仍假定材料是连续的，仍然可用处理连续体介质力学的方法来处理。即某单元积分点的应力超过了开裂应力，则认为整个积分点区域开裂，并且认为是在垂直于引起开裂的拉应力方向形成了无数平行的裂缝，而不是一条裂缝。由于不必增加节点和重新划分单元，很容易由计算自动进行处理，因而得到广泛的应用。
ANSYS钢筋混凝土建模方法概述
利用大型通用有限元软件ANSYS进行钢筋混凝土结构的建模、计算分析、结果处理是目前针对钢筋混凝土进行数值模拟的重要步骤。
如何采用ANSYS进行钢筋混凝土建模，能否把握有限元模型的可行性、合理性是将有限元理论应用到实际工程中较为关键的一环。
按照目前在建模中对钢筋的处理方式，ANSYS钢筋混凝土建模方法主要分为三种：整体式、分离式以及组合式，每种方法都具有不同的建模特点，现略做总结如下。
一、整体式建模ANSYS采用Solid65单元来模拟混凝土,所谓整体式建模也即是在建模过程中，通过对65单元进行实常数的设置来考虑钢筋对混凝土结构的作用。
这种方法将钢筋弥散于整个单元中，并视单元为连续均匀材料。
与其他方法比较，整体式建模的单元刚度矩阵综合了钢筋和混凝土单元的刚度矩阵，并且是一次性求得综合的刚度矩阵。
因此，在采用整体建模方法时，在建模之前，应首先求得单元各个方向的配筋率，并设置实常数，一般适用于体量较大，配筋比较规整的钢筋混凝土结构。
整体式建模所得计算结果对比实验来讲，其计算的开裂荷载误差较小，但开裂荷载后的整体荷载位移曲线与实验相比误差较大。
但采用整体建模方法的主要好处是能有效避免因为单元细分导致的应力奇异问题，有利于提高整体计算的收敛性性能。
二、分离式建模与整体式建模方法不同，分离式建模是指在建模过程中，考虑钢筋与混凝土的相互作用，分别选用不同的单元来模拟钢筋和混凝土。
一般而言，钢筋采用线单元link8模拟，混凝土选用配筋率为0的素混凝土Solid65单元模拟。
由于采用不同单元建模，如果认为结构在受外部荷载作用时，钢筋与混凝土在相互约束情况下会产生相对滑移，这时可以在钢筋与混凝土之间添加粘结单元来模拟钢筋与混凝土之间的粘结与滑移，一般采用非线性弹簧conbin39。
如果认为两者之间连接紧密，不会出现滑移，可视为刚性连接，只需通过合并节点即可，也即是相当于两者节点耦合。
从上述表述可见，分离式模型可以揭示钢筋与混凝土之间相互作用的微观机理，而这也是整体式模型无法做到的。
钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式共3篇
钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式共3篇钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式1钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式钢筋混凝土是建筑结构中广泛使用的材料之一。
在结构设计与分析过程中，了解钢筋混凝土的本构关系和有限元模式是十分重要的。
本文将从理论和实践两个层面介绍钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式。
一、理论基础1.1 本构关系本构关系是描述材料应力和应变之间关系的数学模型。
对于钢筋混凝土结构来说，其本构关系可以分为弹性和塑性两个阶段。
如图1所示，该曲线表现了材料的应变和应力之间的关系。
在开始阶段，钢筋混凝土材料表现出弹性行为，即在一定范围内，应变和应力呈线性关系，在这个范围内，应力的变化只取决于外力的变化。
当荷载增加时，材料进入塑性阶段，即出现残余变形，弹性不再适用。
此时，应变和应力的关系呈现非线性态势，应力会逐渐增大，直至材料失效。
图1 钢筋混凝土的本构关系曲线1.2 有限元分析有限元分析是一种近似解微分方程的数值分析方法。
该方法将问题分解成一个有限数量的小区域，在每个小区域内建立数学模型，通过连接小区域，组成总体的数学模型。
对于钢筋混凝土结构的有限元分析，可以采用三维有限元模型或二维\轴对称有限元模型等。
二、实践操作2.1 有限元模型的建立在进行有限元分析前，需要建立合适的有限元模型。
在钢筋混凝土结构的有限元分析中，通常采用ABAQUS、ANSYS软件进行模拟。
有限元模型的建立需要考虑结构的几何形状、材料特性、加载条件等，在模型建立的过程中需要进行模型分析和后处理，如应力监测、应变监测、变形量分析等。
2.2 本构关系的采用在建立有限元模型时需要设置材料弹性模量、泊松比、破坏应力等本构关系参数，这些参数可以通过试验数据和经验公式进行估算。
同时，基于实际结构的材料本身的特性和结构内力状态等影响因素，还需要考虑材料的非线性效应，包括弹塑性分析和的动力分析等。
三、应用现状在实际的建筑结构设计和分析中，钢筋混凝土结构的有限元分析被广泛采用，可以帮助工程师更加准确地预测材料的行为，并定位结构的破坏点及应急防御措施。
混凝土有限元模型概述_secret
混凝土有限元模型概述摘要介绍了钢筋混凝土有限元分析的意义，并介绍了混凝土结构常见的集中有限元模型。
关键词有限元钢筋混凝土分离式模型整体式模型组合式模型1、钢筋混凝土有限元分析的意义钢筋混凝土结构是土木工程中应用最为广泛的一种结构。
长期以来，人们用线弹性理论来分析钢筋混凝土结构的应力或内力，而以极限状态的设计方法确定构件的承载能力。
这种钢筋混凝土构件的设计方法往往是基于大量实验数据基础上的经验公式，虽然这些经验公式能够反映钢筋混凝土构件的非弹性性能，对常规设计来说也是行之有效且简单易行的，但是在使用上有局限性，也缺乏系统的理论性。
随着电子计算机的发展，有限元法等现代数值计算方法在工程分析中得到了越来越广泛的应用。
同样，在钢筋混凝土结构的分析中也开始显示出这一方法是非常有用的。
运用有限元分析可以提供大量的结构反应信息，例如结构位移、应力、应变、混凝土屈服、钢筋塑性流动、粘结滑移和裂缝发展等。
着对研究钢筋混凝土结构的性能，改进工程设计有重要的意义。
2、钢筋混凝土有限元模型钢筋混凝土有限元模型主要有三种模型：分离式模型、组合式模型、整体式模型。
2.1 分离式模型分离式模型把混凝土和钢筋作为不同的单元来处理，即混凝土和钢筋各自被划分为足够小的单元。
在平面问题中，混凝土可划分为三角形或四边形单元，钢筋也可分为三角形或四边形单元。
但考虑到钢筋是一种细长的材料，通常可以忽略其横向抗剪强度。
这样，可以将钢筋作为线性单元来处理。
这样处理，单元树木可以大大减少，并且可避免因钢筋单元划分太细而在钢筋和混凝土的交界处应用过多的过渡单元。
在分离式模型中，钢筋和混凝土之间可以插入联结单元来模拟钢筋和混凝土之间的粘结和滑移，这一点是组合式或整体式有限元模型做不到的。
但若钢筋和混凝土之间的粘结很好，不会有相对滑移，则可视为刚性联结，这是也可以不用联结单元。
2.1.1 混凝土单元钢筋混凝土结构有限元分析中，平面问题常采用四到八结点四边形等参单元，空间问题常采用八结点或20结点六面体单元。
ANSYS混凝土问题分析
ANSYS混凝土问题分析1．关于模型钢筋混凝土有限元模型根据钢筋的处理方式分为三种：分离式、整体式和组合式模型◆分离式模型：把混凝土和钢筋作为不同的单元来处理，即混凝土和钢筋各自被划分为足够小的单元，两者的刚度矩阵是是分开来求解的，考虑到钢筋是一种细长的材料，通常可以忽略起横向抗剪强度，因此可以将钢筋作为线单元处理。
钢筋和混凝土之间可以插入粘结单元来模拟钢筋与混凝土之间的粘结和滑移。
一般钢筋混凝土是存在裂缝的,而开裂必然导致钢筋和混凝土变形的不协调，也就是说要发生粘结的失效与滑移，所以此种模型的应用最为广泛.◆整体式模型：将钢筋分布与整个单元中，假定混凝土和钢筋粘结很好，并把单元视为连续均匀材料,与分离式模型不同的是，它求出的是综合了混凝土与钢筋单元的整体刚度矩阵；与组合式不同之点在于它不是先分别求出混凝土与钢筋对单元刚度的贡献然后再组合，而是一次求得综合的刚度矩阵.◆组合式模型组合式模型分为两种：一种是分层组合式，在横截面上分成许多混凝土层和若干钢筋层，并对截面的应变作出某些假设,这种组合方式在钢筋混凝土板、壳结构中应用较广；另一种组合方法是采用带钢筋膜的等参单元。
当不考虑混凝土和钢筋二者之间的滑移,三种模型都可以。
分离式和整体式模型使用于二维和三维结构分析。
就ANSYS而言，可以考虑分离式模型：混凝土(SOLID65）+钢筋（LINK单元或PIPE 单元),认为混凝土和钢筋粘结很好。
如要考虑粘结和滑移,则可引入弹簧单元进行模拟，如果比较困难也可以采用整体式模型（带筋的SOLID65)。
2．本构关系及破坏准则◆本构关系混凝土本构关系的模型对钢筋混凝土结构的非线性分析有重大影响。
混凝土的本构就是表示在各种外荷载作用下的混凝土应力应变的响应关系。
在建立混凝土本构关系时一般都是基于现有的连续介质力学的本构理论，在结合混凝土的力学特性，确定甚至调整本构关系中各种所需的材料参数.通常,混凝土的本构关系可以分为线性弹性、非线性弹性、弹塑性及其他力学理论等四类。
钢筋混凝土有限元分析在结构工程中的应用
钢筋混凝土有限元分析在结构工程中的应用发表时间：2019-01-11T15:26:54.707Z 来源：《新材料·新装饰》2018年7月上作者：赵岩松[导读] 在国内外的土木工程中，钢筋混凝土结构因具有普遍性、可靠性良好、操作简单等优点，而得到了广泛的应用。
钢筋混凝土结构是钢筋与混凝土两种性质截然不同的材料组合而成（华北理工大学河北唐山 063000）摘要：在国内外的土木工程中，钢筋混凝土结构因具有普遍性、可靠性良好、操作简单等优点，而得到了广泛的应用。
钢筋混凝土结构是钢筋与混凝土两种性质截然不同的材料组合而成，由于其组合材料的性质较为复杂，同时存在非线性与几何线形的特征，应用传统的解析方法进行材料的分析与描述在受力复杂、外形复杂等情况下较为困难，往往不能得到准确的数据，给工程安全带来隐患。
而有限元分析方法则充分利用现代电子计算机技术，借助有限元模型有效解决了各种实际问题。
关键词：有限元分析；钢筋混凝土结构；应用引言实际工程中的钢筋混凝土梁，受力性能都是非线性。
钢筋混凝土梁在轴力、剪力和弯矩的共同作用下，受力性能过程都可以采用非线性方法进行理论分析求得，而获得截面弯矩 -曲率（M- 1/ρ）关系全曲线，截面应力等，此即可确定梁的开裂弯矩Mcr、屈服弯矩 My和极限状态时的特征弯矩 Mu以及相应的曲率值，积分法或数值计算法分析构件的变形等性能指标。
采用有限元分析方法对实际工程中的梁进行非线性分析，对其性能进行评价，实际工程具有一定意义。
一、有限元分析发展历史国际上早在60年代初就开始投入大量人力和物力开发有限元分析程序，但真正的CAE软件诞生于70年代初期，而近15年则是CAE软件商品化的发展阶段，CAE开发商为满足市场需求和适应计算机硬、软件技术的迅速发展，这就使得目前市场上知名的CAE软件，在功能、性能、易用性﹑可靠性以及对运行环境的适应性方面，基本上满足了用户的当前需求，从而帮助用户解决了成千上万个工程实际问题，同时也为科学技术的发展和工程应用做出了不可磨灭的贡献。
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等参单元
整体坐标系 局部坐标系
[K ] = [B ]T [D ][B]t∆
参考网页上的教学程序planarFEM.pdf
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
母单元插值函数
u = ∑ N i ui
i =1 4 4
单元内应变场
[ε ] =
∂N 1 ∂x 0 ∂N 1 ∂y 0 ∂N 1 ∂y ∂N 1 ∂x ∂N 2 ∂x 0 ∂N 2 ∂y 0 ∂N 2 ∂y ∂N 2 ∂x ∂N 3 ∂x 0 ∂N 3 ∂y 0 ∂N 3 ∂y ∂N 3 ∂x ∂N 4 ∂x 0 ∂N 4 ∂y u1 v1 0 u 2 ∂N 4 v 2 ∂y u 3 ∂N 4 v 3 ∂x u 4 v 4
弹簧单元
∆u ' − cosθ [∆w'] = ∆v' = sin θ sin θ − cosθ
T
四边形滑移单元
cos θ sin θ ui sin θ vi cosθ u j v j
sin θ − cosθ cos θ sin θ sin θ cosθ
雅可比矩阵
∂N i ∂N i ∂x ∂N i ∂y = + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ
∂N i ∂x ∂ξ ∂ξ = ∂N i ∂x ∂η ∂η
高斯积分
∂N i ∂N i ∂x ∂N i ∂y = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
ub 0 0 0 b2 l2
vb ] =
T
a2 l 1 0 0 0
0 a2 l1 0 0
0 0 b1 l1 0
0 0 0 b1 l2
a1 l1 0 0 0
u 1 0 v1 a1 u 2 l1 v2 u = [R ][δ e ] 0 3 v3 0 u 4 v4
u1 ' v ' 1 u ' 1 x' 1 x' 1 x' 1 x' 2 − − − + + − ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 2 l v2 ' 2 l 2 l 2 l 1 x' 1 x' 1 x' 1 x' −( − ) −( + ) 0 0 0 ( + ) 0 ( − ) u 3 ' 2 l 2 l 2 l 2 l v3 ' u ' 4 v4 ' ∆u ' = [N '][δ '] = ∆v '
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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分离式模型
分离式模型
将钢筋与混凝土分别作为不同单元来处 理 一般将混凝土简化为实体单元，钢筋简 化为梁单元或桁架单元 钢筋与混凝土之间的滑移可以通过在钢 筋与混凝土之间添加相应的界面单元加 以模拟
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形函数的推导
[∆w'] =
∆u ' u 上 − u下 = ∆v ' v 上 − v下
∆v' = a 3 + a 4 x'
∆u ' = a1 + a 2 x'
形函数矩阵
[∆w'] =
[K ] = [T ]T [K '][T ]
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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钢筋与混凝土的粘结滑移本构
局部粘结滑移关系
Nilson
τ (kgf/cm 2 ) = 100 × 10 2 S (cm) − 58.5 × 10 6 S 2 + 8.53 × 10 9 S 3
[F ] = [X Y [δ ] = [u v [F ] = [K ][δ ]
s a s a a
s s s
a
Xb ub
Yb ] vb ]
T
T
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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钢筋附加刚度矩阵
[δ ] = [u
s a
带钢筋膜的8节点6面体单元
va 0 0 b2 l2 0
1 [(u3 '−u 2 ') + (u 4 '−u1 ')] l 1 a 4 = [(v3 '−v 2 ') + (v 4 '−v1 ')] l
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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局部坐标系下的刚度矩阵
2k x ' 0 k sym 2 ' y kx ' 0 2k x ' k k 0 ' 0 2 ' y y [K '] = l 0 − 2k x ' 0 2k x ' 6 − kx ' k k k 0 − ' 0 − 2 ' 0 2 ' y y y − 2k ' kx ' kx ' 0 0 0 2k x ' x k k k k 0 − 2 ' 0 − ' 0 ' 0 2 ' y y y y
v = ∑ N i vi
i =1
N1 =
1 (1 − ξ )(1 − η ) 4 1 N 2 = (1 + ξ )(1 − η ) 4 1 N 3 = (1 + ξ )(1 + η ) 4 1 N 4 = (1 − ξ )(1 + 土有限元》
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=
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm
yi yj ym
ai = x j y m − x m y j bi = y j − y m ci = − x j + x m
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单元刚度矩阵
[D] =
1 ν 0 E ν 1 0 1 −ν 1 −ν 0 0 2
[K ] = ∫−1 ∫−1 [B ]T [D ][B ] J tdξdη = ∑∑ wi ([B ]T [D ][B ] J t ) i
1 1 i =1 j =1
n
n
∂y ∂N i ∂N i ∂x ∂ξ ∂x ∂N = [J ] ∂ N ∂y i i ∂y ∂y ∂η
[K ] =
− cosθ sin θ
sin θ − cos θ
cosθ sin θ
sin θ k h cos θ 0
0 − cos θ kv sin θ
最早由Goodman提出作为岩石力学中的 节理单元 单元宽度为零，不影响网格划分 与混凝土单元位移差值函数一样
u 4 '−u1 ' = a1 −
a2 2 a2 2
v 4 '−v1 ' = a3 −
a4 2 a4 2
u 3 '−u 2 ' = a1 −
a1 =
v3 '−v2 ' = a3 −
a2 =
1 [(u3 '−u 2 ') + (u 4 '−u1 ')] 2 1 a3 = [(v3 '−v 2 ') + (v 4 '−v1 ')] 2
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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钢筋单元
钢筋与混凝土的界面单元形式
常用单元 桁架单元 梁单元 二维或三维
弹簧单元
Spring, link Goodman
滑移单元
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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钢筋与混凝土的组合 钢筋混凝土有限元模型
江见鲸 陆新征 清华大学土木工程系 2004
钢筋混凝土有限元分析的复杂性：
材性本身的复杂性 材料组合的复杂性 分离式模型 组合式模型 整体式模型
常用的钢筋混凝土有限元组合方式：
y1 y2 y3 y4
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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其他常用单元
参阅教学网页上相关程序
平面8节点等参元 空间8节点等参元
planarFEM.pdf 3D_Solid_src.pdf source_planefem.zip
n 1
高斯点 0.0
权因子 2.0
2 1.0 ± 1/ 3 3 ± 0.7745967 0.555556 0.0 0.888889
x1 1 − (1 − η ) (1 − η ) (1 + η ) − (1 + η ) x 2 [J ] = 4 − (1 − ξ ) (1 − ξ ) (1 + ξ ) − (1 + ξ ) x3 x4