清华大学混凝土结构有限元分析讲义
有限元总结讲义
5 网格分界面和分界点 结构中的一些特殊界面和特殊点应分为网格边界
或节点，以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移 约束条件。
常见的特殊界面和特殊点有材料分界面、 几何尺寸突变面、分布载荷分界线(点)、集中 载荷作用点和位移约束作用点等。
6 位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传
递相邻单元。 为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是
划分网格原则
划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求 考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格 形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立 正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考
虑的一些基本原则（影响因素）。
1 网格数量 5 网格分界面和分界点 2 网格疏密 6 位移协调性 3 单元阶次 7 网格布局 4 网格质量 8 节点和单元编号
体内部趋近于边界的应力分量的关系。
Fsj ijni
位移边界条件 就是弹性体表面的变形协调，弹性体临近表
面的位移与已知边界位移相等
面（应）边界条件
给定面力分量 X ,Y ,Z 边界 —— 应力边界
cos( N ,x ) l cos( N , y ) m cos( N ,z ) n
N
Z
Y X
2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不
同的网格，以适应计算数据的分布特征。 在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集 中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采 用比较密集的网格。 在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模 型规模，则应划分相对稀疏的网格。
这样，整个结构便表现出疏密不同的网格 划分形式。
1、结构的离散化 2、单元特性分析 3、计算单元刚度矩阵 4、单元集成 5、施加边界条件 6、求解位移 7、求解应力应变等场量
计算力学 有限单元法 清华大学 王勖成
3 有限元法的未来
1. 为真实模拟新材料、新结构的行为， 发展单元类型、新材料本构。 2. 为分析、模拟各类形式的结构在复杂工矿和 环境作用下的全 寿命过程的响应。 3. 有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同 集成完整的虚拟产品发展系统
王勖成编著 清华大学出版社
教学参考资料：Zienkiewicz The finite element method Bathe Finite element procedures Batoz Modelisation des Structures
par La Medod Elements Finites
关于程序训练 通常安排在第5或第6周开始上机训练， 读懂程序（Fortan）, 利用程序计算简单的 算例 (输入数据文件，约束条件， 精度分析等等)，完成上机报告。
3.考核方法 平时习题 自选论文(程序实践) 考试
期中考试 期末考试 20％ 40％
10% 30% 60%
教材和教材参考书： 教材： 有限单元法 FINITE ELEMENT METHOD
等著名学者著教材
解析单元嵌入有限元中
跨尺度计算 或称多尺度计算
0.3.3 对于各种物理问题的 可应用性
有限元法求解的是物理问题的控制方程， 对线弹性，弹塑性问题，粘弹塑性问题， 动力问题，屈曲问题，热传导问题， ……， 均可以进行有效的分析
针对不同物理问题的控制方程 未知场函数 选用合适的单元、形函数 相应的求解方法
0.4 有限元法的发展、现状和未来
1 有限元法的早期工作
1943 Courant从应用数学角度的考虑 1956 Turner、Clough等将刚架位移法 推广到弹性力学平面问题 1960 Clough第一次提出了“有限单元法” （ The finite element method ）
钢筋混凝土结构的有限元分析
钢筋混凝土结构的有限元分析任何纷繁复杂的知识体系，都如同枝叶繁茂的苍天大树，本人习惯先抓住主干理清思路，然后再对各枝叶逐个击破，混凝土结构的有限元分析亦如是。
本文即从分析层面和单元维度层面梳理了对混凝土结构有限元分析的认知和思考。
需要说明的是，Gin主攻方向是结构工程，本文讨论的范围也仅限于结构工程，暂不包含岩土工程与风工程。
基于分析层面的归纳基于Gin的理解，混凝土结构的有限元分析按照分析层面进行分类，可归纳为材料层面、构件层面及体系层面。
材料层面，揭示了混凝土材料在不同几何维度下最根本的力学机理与物理规律，这是混凝土结构有限元分析的根。
基于基本的力学规律，结合试验结果进行抽象和拟合，便得到了不同维度下、引入不同考量因素的材料本构模型。
如果能得到一个新的本构，估计也够毕业一个博士。
构件层面，即研究各类混凝土结构构件拉、压、剪、扭、弯的力学性能及其耦合效应，并将结果规范化、条文化。
简单点的，如不同高跨比混凝土梁受剪性能研究等等；时髦点的，如某FRP自复位混凝土剪力墙抗震性能研究等等；复杂点的，如不同截面形状钢骨混凝土柱受力性能研究等等……这些都是基于构件层面的分析研究，其应用价值一方面是为工程设计提供指导，另一方面则是为体系分析提供依据。
规范里一个不起眼的建议值，往往背后蕴含着众多学者/学生日以继夜的构件试验。
体系层面，主要是模拟、评估实际结构的各种性能。
就结构工程而言，体系层面的分析主要包括抗风分析与抗震分析。
其应用价值，一方面是从整体上获得结构变形、内力及损伤的分布，为构件层面的设计提供依据；另一方面，得到对结构各项性能的评价，如抗震性能、抗倒塌性能、可恢复性能、舒适性等等，而这恰恰是最直接、也最为人们所关注的指标。
基于单元维度层面的归纳按照计算单元的维度，混凝土结构的有限元分析又可划分为基于一维单元的分析、基于二维单元的分析及基于三维单元的分析。
一维单元主要包括能够描述弯曲性能的梁单元和不能描述弯曲性能的杆单元（此外有还有零长度单元等概念，本文不做过多讨论）。
有限元讲义3-2
y y
A-17
第九节 有限元法分析的步骤
一、单元刚阵的推导 1 写出位移函数； 2 计算单元应变； 3 计算单元应力； 4 根据虚功方程，得出单元刚阵。 二、整体结构的分析 1 建立整体结构的静力平衡方程式； 2 进行边界条件处理； 3 解方程组，求节点位移； 4 根据节点位移求应变、应力。
u ( x, y) Niu i N j u j N k uk Nl ul
令ui 1, u j uk ul 0, 代如上ux, y 式
v( x, y) Ni vi N j v j N k vk Nl vl
u( x, y) Ni
综上对三种单元的分析，可以看出，形状函数是单元一些 可能位移的方程式。 • 二、形状函数的性质
性质1：任一形状函数在各节点处的值或为1或为0
1 Ni 0
在节点i处 在其它节点处
A-5
性质2：单元的各个形状函数之和总是等于1
Ni 1
这两个性质的意义是：第一，形状函数反应了相邻单元在共同节点 处位移的连续性；它反映了单元的刚体位移。 • 三、形状函数的设定的说明 形状函数既然是单元的一些可能产生的位移，因此它们与位移函数 具有相同的特性，可以用插值多项式来设定。设定时要满足上诉形 状函数性质以及连续性和常应变条件。即 1、形状函数应满足
A-15
u x x x v y 0 y xy u v y x y N i x 0 Ni y N j x 0 N j y
A-16
0 Ni y Ni x
ห้องสมุดไป่ตู้
0 N j y N j x
杆系有限元模型
! 框架建模简单，剪力墙建模复杂 ! 剪力墙模型：
! 基于材料的模型 ! 分层壳单元
! 基于截面的模型 ! 墙单元
! 基于构件的模型 ! 等效梁模型，等效桁架模型
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
评述
! 基于截面的恢复力模型在描述比较规律 的截面行为时，其精度要优于纤维模型， 且建模难度也往往较小
(cl )2
(1 +
2b)
2EI cl
[1
+
3(a
+
b)
+
6ab]
0
6EI l2
4EI (1+ 3b + 3b2 ) cl
剪力墙
连梁
刚域
实际结构 刚域
简化模型 刚域
al
cl
bl
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
并联杆模型
（1） 弯曲刚度等于 p1EI 的弹性杆 Mi
∆M ∆M
Mi
Mj
EI
塑性铰
塑性铰
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
考虑剪切变形的梁单元
EA
l
0
[ ]
0
Ke
=
−
EA l
0
0
0
12i
(1 + β )l 2
−
(1
6i +β
)l
0
−
(1
12i + β )l
2
−
(1
6i +β
)l
0
−
(1
6i +β
)l
4+ 1+
β β
有限元分析基础教学课件
分法、有限体积法和无网格方法等。
感谢您的观看
THANKS
为什么学习有限元分析
有限元分析可以帮助学生和工程师了解如何 使用数值方法解决各种实际问题。
它提供了对复杂系统的深入理解，并能够解 决难以解析的问题。
通过使用有限元分析，学生和工程师可以更 好地理解工程系统的性能，优化设计并提供 更有效的解决方案。
如何学习有限元分析
学习有限元分析需要掌握一定的数学和物理基础知识，例如线性代数、微积分、物 理等。
展望
有限元分析的未来发展
01
介绍了有限元分析未来的发展趋势和应用前景，包括高性能计
算、多物理场耦合和复杂结构分析等。
有限元分析的挑战
02
探讨了有限元分析面临的挑战和难点，包括计算精度、计算效
率、边界条件和多尺度问题等。
有限元分析与其它数值方法的结合
03
讨论了有限元分析与其它数值方法的结合和应用，包括有限差
一种基于最小势能原理的有限元分析 方法，通过将问题离散化为多个子问 题，并求解每个子问题的线性方程组， 得到问题的近似解。
03
有限元方法
有限元方法的基本思想
划分网格
将连续的求解区域离散为有限个小的单元， 单元之间通过节点连接。
近似解法
用每个小单元上的近似函数来逼近原函数， 从而得到整个求解区域的近似解。
设定边界条件和载荷
讲述如何运行分析，包括选择求解器、设置 迭代次数、收敛判据等。
运行分析
说明如何为模型设定边界条件和施加载荷， 包括位移、力、温度等。
结果后处理
介绍如何查看和解析结果，包括位移、应力、 应变等。
有限元分析软件编程接口
软件支持的语言
介绍软件支持的编程语言，如 Fortran、C、Python等。
有限元讲义2-2
l 6 EI z l2
为了求出另外两个刚度系数，可以通过静力平衡方程
由
Fy 0 Mi 0
得
' ' k31 Fyj Fyi
12EI z l3 l
6 EI z ' ' ' k41 M zj Fyi M zi 2
1 推导单元刚阵中第一行元素 由
ki 2
称为二维坐标系的方向余弦矩阵
称为二维局部坐标系下节点位移行矩阵
称为二维统一坐标系下节点位移行矩阵 （3.3-4a）
qi qi
因为
qi T qi
（3.3-4b）
在式（3.3-4b）两端同乘以[]-1，有
1 I 1 T
1 vi qi 2 zi q q v j 3 j 4 zj
1 Fyi Fi 2 M zi F F F j 3 yj 4 M zj
A-22
将力的公式代入，得
' Fyi l 3
' Fyi l 2
经过推导得出
" k12 Fyi
6 EI z l2 4 EI z l 同理 6 EI z 可推
2
出
k13 k 23 k 33
12EI z l 6 EI z
3
k14
6 EI z
k22 M " zi
l2 12EI z l3 6 EI z l2
" k32 Fyj
k42 M " zj
l 2 EI z l
k 43
l2 2 EI z k 24 l 6 EI z k34 l2 4 EI z k 44 l
精选有限元分析模态分析讲义
精选有限元分析模态分析讲义有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种工程分析方法，通过将连续体离散化为若干个有限单元，建立有限元模型，以求解结构的力学性能和振动特性。
模态分析是有限元分析的重要应用之一，主要用于研究和预测结构的固有频率、振型和模态势能的分布。
以下是一份精选的有限元分析模态分析讲义，包括了模态分析的基本原理、建立有限元模型的步骤和模态分析的结果解读。
一、模态分析的基本原理：1.结构固有频率的定义和意义；2.结构的振型和模态势能的物理意义；3.模态分析的数学模型和假设；4.模态方程的推导和求解方法；5.模态分析的应用示例。
二、建立有限元模型的步骤：1.结构的几何建模和网格划分；2.材料的力学性质和边界条件的定义；3.单元类型和单元参数的选择；4.单元刚度矩阵和质量矩阵的生成；5.结构的总刚度矩阵和总质量矩阵的组装；6.结构的边界约束处理；7.求解结构的固有频率和振型。
三、模态分析的结果解读：1.结构的固有频率和振型的意义及影响因素；2.模态势能的计算和分析；3.结构的频率响应和模态叠加法；4.模态分析结果的验证和灵敏度分析；5.模态分析在结构设计和优化中的应用。
此外，讲义还可以包括以下内容：1.不同类型结构的模态分析实例和案例分析；2.常见的模态分析方法和软件工具的介绍；3.模态分析结果的后处理和可视化方法；4.模态分析中的常见问题和解决方法；5.模态分析在结构健康监测和故障诊断中的应用。
总之，一份精选的有限元分析模态分析讲义应当全面介绍模态分析的基本原理和方法，包括模态分析的建模步骤和结果解读，同时提供实例和案例分析，为学习者提供理论基础和实践指导，使他们掌握有限元模态分析的基本原理和应用技能。