小学数学六年级奥数《最值问题(2)》练习题(含答案)
小学数学人教新版六年级上册奥数系列讲座：最值问题(含答案解析)
小学数学人教新版六年级上册实用资料最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，F GH×IJ 尽可能的小．则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(moda+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9t a=15+17t ⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
小学奥数 容斥原理之最值问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；A B A B +-1A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，C1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
六年级奥数考点：极值问题
考点：极值问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a－ba+b的最大值是4950。
练习1：1、（课后）设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。
99 1012、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。
1 973、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。
（1）399 （2）201 199【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.（课后）有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。
小学六年级奥数专题5. 最值问题
四初一奥数培训专题4：最值问题四初一班姓名：；例1 .如果2007a=b2,其中a,b为大于0的自然数，则a的最小值是例2.将50拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是例3.在1—2007的所有自然数中，挑选出一些数，使它们中的每一个数都不是另外一个数的倍数，而且不会出现对称数（如：22，303，1001），则至多能选出个数例4若甲的身高和体重这两个数量中至少有一个比乙大，则称甲不亚于乙，在10个小伙子中如果某人不亚于其余9人，那么称之为棒小伙子，那么这10个小伙子中棒小伙子最多可以有个。
例5 学校购进作文类，奥数类，英语类，文艺类，科普类图书若干本，能够满足全校数百名学生没人从中任意借两本（同类书不能借两本），则至少有名学生中一定有两人所借的图书种类完全相同。
四初2018级数学竞赛班作业4四初一班姓名：1.六年级的几位同学合拍了一张照片，已知冲洗一张底片需要0.8元，洗一张照片需要0.35元，在每位同学得到一张照片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的人至少有多少个？2.某邮局只有1.2元，0.8元，0.6元三种邮票，某人要邮寄一个包裹，其邮资为6.2元，若刚好贴满6.2元，则至少要贴多少张邮票？3.四个人年龄之和是100岁，其中一个年龄正好是他们年龄的平均数，另外三个人的年龄最多相差7岁，最少相差2岁，求这四个人的年龄4.现有分别写着1，2，3，4，5，6六个数字卡片各若干张，从中任取出2010张摆放成一行，然后从这一行卡片中任意取出相邻的两张卡片，让其数字相乘得到一个乘积，那么在这些乘积中至少有多少个相同？5.有形状，长短，质量完全一样的6种颜色的筷子各24根，在黑暗中至少应摸出多少根筷子，才能保证摸出8双筷子（每双筷子的两根颜色相同）6.某校有201人参加数学竞赛，按照百分制计分且得分均为整数，若总分为9999 分，则至少有多少名同学的分数相同？为什么？。
小升初六年级奥数专题经典 最值问题答案
例1．1.有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？解答：两组人数的乘积即为比赛场数，故最多比赛4×5=20（场） 2.直角三角形斜边长为10cm ，求这个直角三角形面积的最大值。
解答：设直角三角形三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边长，根据勾股定理有a 2+ b 2=c 2=100，则当a 2= b 2=50时，a 2× b 2最大，为2500，所以面积a×b÷2最大为25.3.一个边长为30的正方形，四个角减去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？解答：假设减去的正方形边长为x ，则拼成的长方体的容积为x （30-2x ）(30-2x).由于4x+30-2x+30-2x=60,则当4x=30-2x=60÷3=20时，容积最大，为20×20×20÷4=2000.4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成两个多位数，那么这两个多位数的乘积最大是多少？解答：先讨论确定两个多位数应为一个四位数和一个五位数。
再确定各个数位上的数字，高位数字越大则乘积越大。
再补上一个0（放在个位，计算出乘积后去掉），根据平均值定理：两个数和一定时，这两个数越接近，乘积越大。
可以得出最大值为：96420×87531÷10＝843973902。
5.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH 和一个两位数IJ 。
求算式IJ FGH DE ABC ⨯-⨯的计算结果的最大值。
解答：为使IJ FGH DE ABC ⨯-⨯尽可能大，则要DE ABC ⨯尽可能大，IJ FGH ⨯尽可能小，后面类似例1的第4题，可得到算式的最大值为2046893751⨯-⨯=60483。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲最值问题二
第十八讲最值问题二「、最值问题中的常用方法a）极端思考在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解.b）枚举比较根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案.c）分析推理根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法.d）构造调整在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果.二、求最大值和最小值的结论1和一定的两个数，差越小，积越大；2. 积一定的两个数，差越小，和越小；3. 两点之间线段最短.例1.用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢? 练习1、（1）用一根长100 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36 立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？例2．有5袋糖，其中任意 3 袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？「分析」每3 袋的总块数都超过60，要求5 袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？练习2、有 5 个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500 分，那这五人的总积分最少是多少？例3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．「分析」为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大．那么首位应该是多少呢？注意到这三个数都是9 的倍数，9 的倍数有什么特征呢？它对这三个数提出了怎样的要求？练习3、用1、2、3、4、5、6 各一个组成两个三位数，使得它们都是 3 的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．例4.把1至99依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 9899 •从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多 少？「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 1920.从中划去20个数字, 剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能 是多少？例5.邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长 1千米.如果邮递员从邮局出发，必么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题, 形才能一笔画出来呢?例6.如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A 点出发，沿柜子表面爬到右上角的B 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？ 一共有几条最短路线？请在图 中表示出来.「分析」如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道,则这样走的总路程就是最短的. 那同学们回想一下，什么样的图「分析」众所周知，两点之间线段最短.然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行•这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A到B的最短路线•可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？罐头装箱问题我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题， 怎么摆放才能最有效地利用包装箱内的空间呢？一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1这样.它是一种较优排法，但不是最优的办法.没有最大限度地利用空间， 浪费不少，圆的面积只占总共的 78.5% .图1 图2比上述办法好得多的办法， 是将罐头摆放成图2所示的六边形.不难算出，正六边 形内圆所覆盖的面积超过了 90%.实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的， 这种六边形摆放法是最紧密的包装方式.但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候.例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的•如图3，它的放法就不比图 4好.当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越 倾向于正六边形排法.比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了•如图 5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优 解•我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第 13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间.最后，大家思考一个问题：设 1角钱硬币的直径为 a 厘米，那么我们在边长为 10a 厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是 100枚吗？能否放进去更多？图3图5作业1. 用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？3. 用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式.4. 把21至40依次写成一排，行成一个多位数：21222324. 3940 .从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？5. 如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？第十八讲最值问题二例7. 答案：294详解：长方体满足：长宽高80 4 20 厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近.所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为7 7 6 294 立方厘米.例8. 答案：103详解：任意 3 袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下 4 袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋.现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103 块.由于 5 袋糖果分别有21、21、21、20、20 块，是符合要求的，所以103 就是最小值.例9.答案：954X873X621详解：每个数都是9 的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9 的倍数.由于1到9 总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18 和9.各位数字之和为9 的数最大只能是621.其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9 和8，十位取7 和5，个位取4和3，有最大乘积954X872，故所求的乘法算式是954X873X521 .例10 . 答案：最大为999997585960 ...9899 ;最小是10000012345061626364 (9899)详解：（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9.首先，最开头的12345678 这8 个数字是要去掉的，留下了第一个9;然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9;再去掉 3 次的19个数，使得剩下第3、4、5个9.现在已经去掉了一共8+19X4=84 个数，剩下的数前 5 个数字都是9，然后是50515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉15 个数.但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8 要去掉17个数，到下一个7 要去掉15个数，于是最后结果的第6 个数字最大是7，应该去掉的15 个数字为505152535455565.所以剩下的数最大为999997585960 (9899)（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字 1就行了 .然后去掉 234567891共9个数，留下第一个 0;再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0;再去掉3次的19个数，就能得到第 3、4、5个0.现在一共去掉了 9 19 4 85个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0,余下的部分是 515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉14个数.下一 位取不到0 了，只能去掉一个 5,留下1;再下一位连1都取不到，只能去掉 1个5, 取2；再去掉一个5,留下3 ;去掉一个5,留下4 •现在还能再去掉10个数字，而剩 下的是55565758596061••…，接下来11个数中最小的数是 5,所以取一个 5•然后剩 下的数前11个数字为55657585960 ,因而我们去掉10个数字5565758596,使下一位达 到最小数字0.所以最后剩下的数最小是 1000001234506162636…9899 .例11 . 答案：26他至少应该多走1千米街道，最小是26千米.在图2中, 26千米走遍所有街道的一种方法.例12 . 答案：最短的长度是 5; 4详解：为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3.蚂蚁要从A 处爬到B 处，途中必须经过两个相邻的面， 两个相邻面的交线必是 EH 、HF 、FG 、GC 、CD 、 DE 六条线段中的一条.一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG 、DE 的情形为一类，交线是 HE 、GC 的情形为一类，交线是 FH 、DC 的情形为一 类.详解: 如图1,由于的A 、 B 两点连出的边是 3条，也就是奇数条，仅当 A 与B 为出发点和终点时，才能一笔画.我们不能从邮局出发一笔把这个图画出, 即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局, 1 1 1图2我们给出了邮递员走图1图3 图4情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH ,那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图 4 •这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点•此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线,它恰好直角三角形ABC的斜边. 由于AC 3 , BC 3 1 4，因此AB 5 •D B1图63 C 3 GHF G33 CH7D： 1B图A73 C情况2：如果两相邻面的交线是GC •同样我们也可以沿着GC,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 5 .此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边•由于BD 3 ,AD 3 1 4，因此AB 5 .情况3：如果两相邻面的交线是DC •同样我们也可以沿着DC ,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 6 .此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长.而AG的长度是3 36，所以AB 一定大于6・其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同. 所以爬行路线长度最少是5, (1)和(2)的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线.展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线(如图7) •因此在长方体表面，从到B的最短路线的长度是5, 一共有4条满足要求.练习1、答案：576简答：100 4 25 8 8 9 ，8 8 9 576 ．练习2、答案：834简答：总积分最少是167 167 500 834 ，此时 5 人分数可以是166、167、167、167、167．练习3、答案：642 X 531简答： 6 和 5 分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是 3 的倍数，可得到乘积最大的算式642 531 ．练习4、答案：95617181920；10111111110简答：同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．作业6. 答案：1000简答：120 4 30 10 10 10 ，10 10 10 1000 ．7. 答案：17简答：必有两人的勋章数都不多于 4 块，余下两人勋章数之和不多于9 块，因而最多只能有 4 4 9 17 块．8. 答案：8532 7641简答：首位要尽量大，取8 和7，次位也尽量大，取 6 和5，然后是十位要尽量大，从 4 和 3 里取．也就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532 和7641，所求的乘法算式是8532 7641 ．9. 答案：93333334353637383940；1012333435363738394010. 答案：36简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程36 千米．。
小学六年级最值问题
最值问题1、六年级最值问题：难度：高难度表示一个四位数，表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字。
已知，问：乘积的最大与最小值差多少？答：2、六年级六年级最值问题：难度：高难度一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。
答：3、六年级最值问题：难度：高难度将l，2，3…49，50任意分成l0组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，求这l0个中位数之和的最大值及最小值。
答：4、六年级最值问题：难度：中难度把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？答：5、六年级最值问题：难度：高难度下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？答：1、六年级最值问题习题答案：【解】可以看出A＝1，因为E≠O，1，所以B最大为7，这时E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠O，1，2，所以C最大为5。
从而三位数最大为759，这时＝34。
最小为234(这时＝759最大)。
＝(1000＋)×(993－)，＝1000×993－1000×＋993×一×＝993000－7×—－×于是在最大时，乘积最小，最小时，乘积最大，因此，所求的差是(993000－7×234－234×234)－(993000－7×759－759×759)＝7×(759－234)＋759×759－234×234 ＝7×(759－234)＋(759＋234)×(759－234)＝7×(759－234)＋993×(759－234)＝1000×<759－234)＝525000。
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小学数学六年级奥数《最值问题(2)》练习题（含答案）
一、填空题
1.下面算式中的两个方框内应填 ,才能使这道整数除法题的余数最大. □÷25=104…□
2.在混合循环小数 2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大.写出新的循环小数:
3.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中最小的是 .
4.将37拆成若干个不同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么,这个最大乘积等于 .
5.一个五位数,五个数字各不同,且是13的倍数.则符合以上条件的最小的数是 .
6.把1、2、3、4...、99、100这一百个数顺序连接写在一起成一个数. Z =1234567891011 (9899100)
从数Z 中划出100个数码,把剩下的数码顺序写成一个Z ',要求Z '尽可能地大.请依次写出Z '的前十个数码组成一个十位数 .
7.用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm 3,长方体的长,宽,高各是 cm 时,所用的铁丝长度最短.
8.若一个长方体的表面积为54平方厘米,为了使长方体的体积最大,长方体的长,宽,高各应为 厘米.
9.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .
10.将进货的单价为40元的商品按50元售出时,每个的利润是10元,但只能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个.为了赚得最多的利润,售价应定为 .
二、解答题
11.王大伯从家(A 点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B 点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.
12.某公共汽车线路上共有15个车站(包括起点站和终点站),公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车,要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排乘客A B ·
· 河
座位多少个?
13.有一块长24厘米的正方形厚纸片,如果在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸合容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?
14.某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?
———————————————答案——————————————————————
1. 2426和24
因为除数是25,余数最大应是24,所以被除数为25⨯104+24=2426.算式应为2624÷25=104…24.
2. 1
.2
8
71
28
3. 471
设这个整数为1000K+123,其中K是整数.因1000K+123=(1001K+117)+(K-6),1001K和117都是13的倍数,因而(K-6)是13的倍数,K的最小值是6,这个数为6123,6123÷13=471.
4. 2618
因37=17+11+7+2,它们的积为17⨯11⨯7⨯2=2618.
5. 10257
五位数字各不相同的最小的五位数是10234.10234÷13=787…3.故符合题意的13的最小倍数为788.
验算:13⨯788=10244有两个重复数字,不合题意,13⨯789=10257符合题意.
6. 9999978956
由计算可知,Z共有192位数,去掉100位数码,还剩92个数字,所以Z'是92位数.对Z'来说,前面的数字9越多,该数越大.因此Z'中开头应尽可能多保留9.在Z中先划去第一个9前的8个数码,再分别划去第二个9、第三个9、第四个9、第五个9前各19个数码，这时共划去了84个数,这时得到的数是: 99999505152535455565758596061……
还需要划去16个数码,第六个9前面有19个小于9的数码,划掉7以前的6和6以下的所有数码,这样又划掉16个数码,还剩下7、8、5等3个数码,新组成的数为:999997859606162…99100,前十个数码组成的十位数是9999978596.
7.6,6,6
设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm和zcm.则有xyz=216.
铁丝长度之和为(4x+4y+4z)cm,故当x=y=z=6时,所用铁丝最短.
8.3,3,3
设长、宽、高分别为x、y、z厘米,体积为V厘米3,则有2(xy+yz+zx)=54,从
而xy +yz +zx =27.因V 2=(xyz )2=(xy )(yz )(zx ),故当xy =yz =zx 即x =y =z =3时, V 2有最大值,从而V 也有最大值.
9. 7
每次朝上的两个面上的和,最小可能是2,这时两个面都出现1,最大可能是12.
以朝上的两个面上的数为加数,依次列出的加法算式共有6⨯6=36个,其中和为7的算式共有6个:6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6.故每次朝上的两个面上的数的和,可能出现的次数最多是7.
10. 20元
设每个商品售价为(50+x )元,则销量为(500-10x )个,总共可获利(50+x -40) ⨯(500-10x )=10⨯(10+x )⨯(50-x )元.因(10+x )+(50-x )=60为一定值.故当10+x =50-x ,即x =20时,它们的积最大.
11. 以河流为轴,取A 点的对称点C ,连结BC 与河流相交于D 点,再连续AD .则王大伯可沿着AD 走一条直线去河边D 点挑水,然后再沿DB 走一条直线到积肥潭去.这就是一条最短路线.
12. 从第一站开始,车上人数为1⨯14,到第二站时,车上人数为2⨯13,依次可算出以下各站车上人数为3⨯12、4⨯11、5⨯10、6⨯9、7⨯8、8⨯6…车上最多的人数为56人,故车上至少应安排乘客座位56个.
13. 如图,设剪去的小正方形边长为x 厘米,则纸盒容积
为:V =x (24-2x )(24-2x )=2⨯2x (12-x )(12-x )
因2x +(12-x )+(12-x )=24是一个定值,故当2x =12-x 时,即x =4时,其乘积最大从而纸盒容积也最大.
14. 设由A 地运往甲方x 台,则A 地运往乙方(16-x )台,B 地运往甲方 (15-x )台,B 地运往乙方(x -3)台.于是总运价为(单位:元):
S =500x +400(16-x )+300(15-x )+600(x -3)=400x +9100.
显然x 满足不等式153≤≤x .故当x =3时,总运费最省,为
400⨯3+9100=10300(元).
A B D 河流
x。