高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习

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平面向量专题6 解三角形专题—多三角形问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)专题练习

【技巧总结】（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角∠ADC 与∠ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内用定理。

【巩固练习】1、如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为（）A．33B．36C．63D．662、已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=因为BD BC =，所以D BCD ∠=∠，所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠，3、如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC，22sin 3BAC ∠=，AB =，3AD =，则BD 的长为_______________．4、在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则B D =____，cos ABD ∠=________.135CBD C ∠=- ，5、若锐角的面积为，，，则BC 边上的中线AD 的长是______．【答案】【解析】解：锐角的面积为，，，则：，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：故答案为：6、在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=，求：（1）tan tan tan tan A AB C+的值；（2）BC 边上的中线AD 的长.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即：221610b c =+-，∴2226b c +=.得3x =，即：3AD =.7、在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =，因为sin 0C≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==，(2)同选择①8．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【答案】见解析【解析】选择①：由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠选择②9、已知函数()()2cos sin 10f xx x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且AC =，1CD =-，求三角形ABC的面积.【解析】10、在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =．(1)求cos ADB ∠；(2)若DC =，求BC ．在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠所以5BC=．11、∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．(Ⅰ)求sin sin BC；(Ⅱ)若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长．由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．。

高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案

解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3，解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0，即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π，解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12，又因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ，即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。

专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值．【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ，解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

高考数学大二轮复习专题一平面向量、三角函数与解三角形第二讲三角函数的图象与性质限时规范训练

第二讲三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意，综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确，故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点．其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误．综上，没有真命题．答案：0。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.（本小题满分12分）如图以点为中心的海里的圆形海域被设为警戒水域，在点正北海里处有一雷达观测站.在某时刻测得一匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的点处，经过分钟后又测得该船只已行驶到点北偏东且与点相距海里的点处，其中，.（Ⅰ）求该船行驶的速度；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断其能否进入警戒水域（说明理由）.【答案】解：（I）∴△ABC中由余弦定理得∴∴船航行速度为（海里/小时）…………6分（II）建立如图直角坐标系B点坐标C点坐标直线AB斜率直线AB方程：点E(0,-55)到直线AB距离由上得出若船不改变航行方向行驶将会进入警戒水域。

……………12分【解析】略2.（本小题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(Ⅰ)由题意得即--------------------------2分由正弦定理得--------------------------3分再由余弦定理得--------------------------5分(Ⅱ) --------------------------6分-----------------------8分--------------------------10分所以，故. --------------------------12分3.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为，所以将其图像向右平移个单位长度，得到的图像为，又因为函数的图像关于原点对称，所以函数为奇函数，所以，即，又因为，所以，故应选．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像变换；3、三角函数的图像及其性质；4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．【考点】三角形解得个数的判断．6.已知α∈（，），sinα＝，则tan（α＋）=（）A．7B．C．－7D．－【答案】B【解析】根据题意有，，所以，故选B．【考点】同角三角函数关系式，和角公式．7.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求b，c的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由余弦定理将已知条件中等式的右端化为，再由正弦定理将其化为，然后利用两角和的正弦公式及三角形的内角和为进行整理，可得出A角的余弦值，从而求出角．（2）由已知条件列出关于b，c的方程组即可求出结果．试题解析：（1）由正弦定理得所以所以，故所以（2）由，得由条件，，所以由余弦定理得解得【考点】利用正弦定理、余弦定理解三角形．8.在中，角的对边分别为，已知，且，则为．【答案】6【解析】，，，，，即，解得．所以在中．，，，．【考点】1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．9.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

高三数学三角函数综合试题

高三数学三角函数综合试题1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.设函数满足当时，，则（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】由题意，，故选A.【考点】1.函数的求值.3.已知tan,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根，且3π＜＜,则cos+sin= ( )A．B．C．-D．-【答案】C【解析】∵tan·=k2-3=1∴k=±2,而3π＜＜,∴tan>0,即tan+=k=2，解之得tanα=1，所以sin=cos=∴cos+sin=-4.设函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,-π<≤π)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=的值域.【答案】(1) f(x)=2sin(2x+) (2) [1, ]∪(,]【解析】解:(1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即=π,解得ω=2.因为f(x)在x=处取得最大值2,所以A=2,从而sin(2×+)=1,所以2×+=+2kπ,k∈Z.又由-π<≤π,得=.故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).(2)g(x)====cos2x+1(cos2x≠).因为cos2x∈[0,1],且cos2x≠,故g(x)的值域为[1,]∪(,].5.已知函数f(x)=-asin cos(π-)的最大值为2,则常数a的值为()A．B．-C．±D．±【答案】C【解析】【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再利用最大值求得a.解:因为f(x)=+asinx=(cosx+asinx)=cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以=2,解得a=±.6.已知向量a=(sin(α+),1),b=(4,4cosα-),若a⊥b,则sin(α+)=()A．-B．-C．D．【答案】B【解析】∵a⊥b,∴a·b=4sin(α+)+4cosα-=0,即sin(α+)+cosα=,即sinαcos+cosαsin+cosα=,即sinα+cosα=,故sinα+cosα=,故sin(α+)=,又sin(α+)=-sin(α+)=-.故选B.7.设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【答案】（1）x＝（2）【解析】(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sin x＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.8.在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为，，，.（1）求的最大值及的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最大值为１６，及的取值范围0＜；（Ⅱ）最大值为３，最小值为２.【解析】（Ⅰ）求的最大值及的取值范围，由向量的数量积，即，由此可想到利用余弦定理求出，通过基本不等式，可求得b•c的最大值，再结合，可求出的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值和最小值，可利用二倍角的正弦函数化简函数，这样化为一个角的一个三角函数的形式，通过角的范围0＜，利用正弦函数的最值，从而求出函数的最大值和最小值．试题解析：（Ⅰ）即又所以，即的最大值为16即所以，又0＜＜所以0＜（Ⅱ）因0＜，所以＜，当即时，当即时，【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．9.已知函数在一个周期上的系列对应值如下表：（1）求的表达式；（2）若锐角的三个内角、、所对的边分别为、、，且满足，，，求边长的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件中表格给出的对应点，通过“五点作图法”，建立方程组，求出参数和的值，从而得到函数的解析式；（2）通过条件，并利用第（1）问的解析式可求出角的大小，进而利用正弦定理，变形求出的值，再求边长的值，解题过程体现方程思想的运用.试题解析：（1）由题设条件给出的点可知，，解得，，，将点代入得，求得，于是函数.（2）由得，即，设，则，，即，解得，.【考点】利用三角函数图像上的点求解析式，正弦定理.10.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】三角函数的诱导公式及三角函数值.11.已知向量与，其中(Ⅰ)若，求和的值；(Ⅱ)若，求的值域.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)的值域为．【解析】(Ⅰ)由已知条件，得，由此可求得的值，由于为特殊值，从而可求得的值，进而求得和的值（也可利用平方关系求得和的值）；(Ⅱ)首先列出函数的表达式，利用三角函数的平方关系及三角函数辅助角公式，将其化为一个复合角的三角函数式：，最后利用整体思想来求函数的值域．试题解析：(Ⅰ)，， 2分求得. 3分又，， 5分，. 6分(Ⅱ) 8分又，，， 10分，即函数的值域为. 12分【考点】1．向量共线的充要条件；2．三角函数求值；3．三角函数的值域．12.已知函数则函数在[-1,1]上的单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∵，∴.【考点】1.倍角公式；2.两角和的正弦公式；3.三角函数的单调区间.13.在中,若,则的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含角的等腰三角形【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴三角形为直角三角形.【考点】1.两角差的正弦公式；2.两角和与差的余弦公式；3.特殊角的三角函数值.14.已知函数（）.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用三角函数公式化简为一个角的三角函数式，易得周期；（2）把x的取值范围代入（1）所求函数的解析式中，可得值域（注意函数的单调性）.试题解析：(1)(4分)的最小正周期为； (6分)(2)由(1)知,在区间上单调递增,在区间上单调递减; (10分); (12分)又,;所以函数在区间上的值域是 (15分)【考点】1、和差化积公式及二倍角公式；2三角函数的单调性及值域.15.设函数,且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)根据三角恒等变形化简，得，而的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则，从而根据，解得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，将当做一个整体，则，所以，所以，则在区间上的最大值和最小值分别为. 试题解析：(Ⅰ),的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,且，所以，解得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，，所以，所以，在区间上的最大值和最小值分别为.【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的最值求解.16.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的值域为.【解析】（Ⅰ）先由三角恒等变换得，从而得；（Ⅱ）先由得得，再由正弦函数的单调性得，从而得的值域为.试题解析：(I)4分所以，周期． 6分（II）∵，∴ 8分，∴的值域为 12分【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的单调性；3.三角函数的值域17.已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调增区间为和.【解析】（Ⅰ）先由向量数量积坐标运算得，再由图象与直线的相邻两个交点之间的距离为得，从而求得；（Ⅱ）由得，再由余弦函数的单调性可得的单调增区间为和.试题解析：（Ⅰ） 1分5分由题意，， 6分（Ⅱ），时，故或时，单调递增 9分即的单调增区间为和 12分【考点】1.向量的数量积；2.三角恒等变换；3.三角函数的单调性18.已知函数f（x）＝－ax（a∈R）既有最大值又有最小值，则f（x）值域为_______．【答案】【解析】若，则的值域为，会使无最大最小值，故，所以,令，则，即，故，解得，所以f（x）值域为.【考点】三角函数性质、函数值域的求法.19.已知α，β为锐角，且sinα＝，tan（α－β）＝－．求cosβ的值．【答案】.【解析】先由tan（α－β）＝－计算出和，再构造角，利用两角差的余弦公式解答.试题解析：2分4分5分6分10分【考点】角的构造、两角差的余弦公式、切割化弦.20.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．21.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.22.函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．4π【答案】B【解析】，所以周期.【考点】三角变换及三角函数的周期.23.已知函数（＞0）.在内有7个最值点，则的范围是______.【答案】【解析】∵函数f（x）=sin（ωx）在内有7个最值点，设其周期为，则，即，解得，∴ω的取值范围是．【考点】三角函数的周期性及其求法．24.已知函数（1）求的单调减区间；（2）在锐角三角形ABC 中，A、B、C的对边且满足,求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求函数的单调区间需将已知化为的形式，然后利用复合函数的单调性处理，先逆用正弦的二倍角公式和降幂公式，然后利用辅助角公式即可求；（2）三角形问题中，如果有边角混合的式子，可考虑边角转化，或变为关于角的三角关系式，或变为关于边的代数式处理，该题先利用正弦定理把边化角，得三角关系式，从中解，然后结合已知条件得的范围（注意是锐角三角形这个条件），然后确定的范围，再结合的图象求的范围，从而可求出的取值范围.试题解析：（1）由得=，∴，解得，故的单调减区间为；（2）因为，由正弦定理得，化简为，所以=,∴=,又因为，所以，由是锐角三角形，所以，，，∴，∴的取值范围.为.【考点】1、三角函数的单调区间；2、正弦定理；3、三角函数的值域.25.已知向量，，，点A、B为函数的相邻两个零点，AB=π.（1）求的值；（2）若，，求的值；（3）求在区间上的单调递减区间.【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】（1）由向量的数量积可得：.这个函数相邻两个零点间的距离等于半个周期，再利用求周期的公式可得的值.（2）由（1）得，则.这里不能展开来求，而应考虑凑角：，这样再利用差角的正弦公式就可以求出的值；（3）,这是一个三角函数与一个一次函数的差构成的函数，故可通过导数来求它的单调区间.试题解析：（1）, 3分由，得，则. 4分（2）由（1）得，则.由，得， 6分. 8分（3）,,∴, 10分∴（）,即（）,又,∴在区间上的单调递减区间为， 12分【考点】1、向量的数量积；2、三角函数的周期；3、三角变换；4、导数的应用.26.已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；（2）若为锐角，且，求的值.【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）.【解析】（1）先将函数解析式化简为，然后根据相应公式求出函数的最小正周期与最大值；（2）先利用求出的值，然后利用已知条件确定的取值范围，进而确定的正负，并利用平方关系求出的值，最终求出的值.试题解析：（1），，即函数的最小正周期为，，即函数的最大值为；（2），，为锐角，所以，故，因此，，.【考点】1.三角函数的周期性与最值；2.同角三角函数的基本关系27.设函数，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且.（1）若点的坐标为（-），求的值；（2）若点为平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由三角函数的定义求解与，进而求的值；（2）由平面区域的可行域可得角的范围，再求解的值域，本题将三角化简求值与线性规划知识联系在一起,具有新颖性.试题解析：（1）由三角函数的定义，得故 4分（2）作出平面区域（即三角形区域ABC）如图所示，其中于是 7分又且故当，即时，取得最小值，且最小值为1.当，即时，取得最大值，且最大值为.故函数的值域为. 12分【考点】1.三角化简求值；2.三角函数的值域；3.线性规划可行域.28.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角函数的定义得，在选项中只有B选项的的正弦值为，故选B.【考点】三角函数定义、三角函数求值.29.已知函数的最大值为，且，是相邻的两对称轴方程.（1）求函数在上的值域;（2）中,，角所对的边分别是，且，，求的面积.【答案】（1）函数在上的值域为；（2）的面积为.【解析】（1）先根据函数的最大值为列式解出的值，并将函数的解析式化为的形式，根据三角函数两条相邻对称轴之间的距离与周期的关系，求出函数的最小正周期，进而求出的值，然后再由，确定出的取值范围，然后结合函数的图象确定函数的值域；（2）先利用正弦定理求出的外接圆的半径，然后利用正弦定理中的边角互化的思想并结合题中的等式将与所满足的等式确定下来，再利用余弦定理求出的值求出来，最后再利用三角形的面积公式即可算出的面积.试题解析：（1）由题意,的最大值为,所以.而,于是,. ∵是相邻的两对称轴方程.∴T=2π=, ∴ω=1,∵∴的值域为.（2）设△ABC的外接圆半径为,由题意,得.化简,得.由正弦定理,得,. ①由余弦定理,得,即. ②将①式代入②,得.解得,或(舍去). .【考点】1.三角函数的最值；2.三角函数的周期；3.正弦定理；4.余弦定理；5.三角形的面积公式30.已知，其中向量，，.在中，角A、B、C的对边分别为，，.(1)如果三边，，依次成等比数列，试求角的取值范围及此时函数的值域；(2) 在中，若，边，，依次成等差数列，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先根据向量的数量积的坐标运算和三角函数的积化和差公式，化简，然后根据三边关系结合余弦定理求得角的取值范围，再将代入化简后的，得到，根据三角函数在定区间上的值域求得函数的值域；（2）根据题中所给信息解得角的大小，由，得到，由已知条件得边，，依次成等差数列，结合余弦定理，得到两个等量关系，解得的值.试题解析：（1），2分由已知，所以，所以，，则，故函数f(B)的值域为； 6分（2）由已知得，所以， 8分所以或，解得或（舍去）， 10分由，得，解得，由三边，，依次成等差数列得，则，由余弦定理得, 解得. 12分【考点】1、平面向量的数量积的运算；2、余弦定理；3、解三角形；4、等差数列的性质及应用；5、特殊角的三角函数值.31.函数 ()的值域是_______________。

三角函数向量解三角形数列综合测试含答案

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试含答案大冶一中孙雷一、选择题每题只有一个正确选项,共60分1.若向量===BAC CB AB ∠),0,1-(),23,21(则 A.30° B.60° C. 120° D. 150°2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ,)(PC PB PA +•的最小值是A.-8B. -14C.-26D.-303.已知在正方形ABCD 中,点E 为CD 的中点,点F 为CB 上靠近点B 的三等分点,O 为AC 与BD 的交点,则=DB A.OF AE 51858-+ B.OF AE 74718-+ C.OF AE 58518-+ D. OF AE 71874-+ 4.已知）2π-απ-(523-αsin -αcos <<=,则=+αααtan -1)tan 1(2sin A.7528- B.7528 C.7556- D. 7556 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3,则实数=mA.6-B.5-C.3-D.2-6.已知α为锐角,且2)8π-α(tan =,则=α2sin A.102 B.1023 C.1027 D. 4237.已知向量)sin 41-(α，=a ,)4πα0)(1-α(cos <<=，b ,且b a //,则=)4π-αcos( A.21- B.21 C.23- D.23 8.在ABC △中,3:2:1::=A B C ,则=a b c ::A.1:2:3B.3:2:1C.1:3:2D. 2: 3:19.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,若B A C sin sin sin 3+=,53cos =C ,且4=ABC S △,则=c A.364 B.4 C.362 D.5 10.在ABC △中,°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上,且772sin =∠BAD ,则CD =A. 334B.43 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题：“今有女善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布3135尺,则这位女子织布的天数是 A.2 B.3 C.4 D.112.数列}{n a 中,01=a ,且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ,则数列})1-(1{2n a 前2019项和为A.20194036B.10102019C.20194037D.20204039 二、填空题共20分13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值,且1-20192020<a a ,则当0<n S 时n 的最小值为_____________. 14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ,则该数列的通项公式为______________.15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+,且121==a a ,则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.16.ABC △中,Ab B a B Ac C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+,若1=+b a ,则c 的取值范围是___________.三、解答题共70分17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,81=a ,10-10=S1求n a ,n S ；2设||||||21n n a a a T +++= ,求n T .18.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,且552sin =B ,6=•BC BA 1求ABC △的面积；2若8=+c a ,求b 的值.19.已知函数)(|2||-|)(R a x a x x f ∈++=1当1=a 时,求不等式5≥)(x f 的解集；2当]1,0[∈x 时,不等式|4|≤)(+x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.20.已知函数)0(23-sin 3cos sin )(2>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π,将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位长度,再向下平移21个单位长度,得到函数=y )(x g 的图象 1求函数)(x f 的单调递减区间；2在锐角ABC △中,角C B A ,,的对边为c b a ,,,若2,0)2(==a A g ,求ABC △面积的最大值.21.已知关于x 的函数1-2-2π3cos(cos 2)(2）x x x f += 1求不等式0)(>x f 的解集;2若关于x 的不等式x a x x f sin ≥|2sin )(|+在区间]4π3,3π[上有解,求实数a 的取值范围.22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且31-34n n a S =,等差数列}{n b 各项均为正数,223b a =,4246b b a += 1求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；2设数列}{n c 的前n 项和为n T ,对一切*N n ∈有n n n b na c a c a c =++ 22112成立,求n T .。

高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________．答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )，减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案－56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________．答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向；〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0；〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________．答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )．右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12，要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况．正解由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2，即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案 π6解析由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________．答案－725解析由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8，所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25，则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

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10 ， cos
10tan
②若 OP= x(km)，则 OQ=10- x，所以 OA OB
(10 x)2 102
x2 20 x 200
所求函数关系式为 y x 2 x2 20x 200 (0 x 10)
（2）选择函数模型①， y '
10cos cos (20 10sin )( sin ) 10(2sin 1)
（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 [ , ] 上的值域 12 2
2．已知函数 f ( x) sin2 x
3 sin x sin
x π（ 2
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 0，2π 上的取值范围． 3
0 ）的最小正周期为 π．
3．已知向量 m (sin A,cos A), n (1, 2) ,且 m n 0.
是
。
13． .在△ ABC 中， a， b， c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知 a 3, b 3,c 30 , 则 A
＝
.
14．关于平面向量 a， b， c ．有下列三个命题：
①若 a b = a c ，则 b c ．②若 a (1， k)， b ( 2，6) ， a ∥ b ，则 k 3 ．
sin x
5
5
5
5
f ( x) 的最大值为 5 .
5 sin x
ABCD 的区域上（含边界），且 A 、B
与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道
AO 、 BO 、OP，设排污管道的
总长为 ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠ BAO= θ( rad)，将 y 表示成 θ的函数关系式；
②设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；
1
时， f(x)有最大值
3，
2
2
当 sinx=-1 时， f(x)有最小值 -3，
所以所求函数 f(x) 的值域是
3, 3 . 2
4.解：（ 1）依题意知 A=1 f
sin
3
3
1
，又
2
33
5
即
3
6
2
4
；
3
因此 f x sin x
cos x ；
2
（ 2）
f
3
cos
，f
5
12 cos
13
且,
0,
2
4
5
si n
(Ⅰ )求 tanA 的值；
(Ⅱ )求函数 f ( x) cos 2x tan A sin x( x R)的值域 .
4．已知函数 f(x)=Asin(x+ )(A>0,0< < ),x R 的最大值是 1，其图像经过点 M ，1 . 32
(1) 求 f(x)的解析式；
(2) 已知 α， β
0，
3
AE
2
．
sin(45 15 ) sin(90 15 )
2sin 30 故 AE
cos15
21 2
62
6 2 ． 12 分
4
6.【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数
的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，
考查运算求解能力。
2
25
由条件得 cos
,cos
10
5
72
5
、为锐角， sin
3
km 处。
3
8. 解：（ 1）由 cos
5 , (0, ) 得 tan 2 ， sin
5
于是 tan(
) = tan tan 1 tan tan
12
3
1.
2
1
3
（ 2）因为 tan
1 , (0, ) 所以 sin
3
1 ,cos
10
25 5
3 10
35
5
5
25
f ( x)
sin x
cos x
cos x
单位圆相交于 A 、B 两点，已知 A 、B 的横坐标分别为
（1）求 tan(
) 的值；（ 2）求
2 的值。
225 ,
10 5
y A
B
Oห้องสมุดไป่ตู้
x
7．某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A 、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20 km，
BC=10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形
12
，且 f(α )= ， f(β )= ，求 f(α -β )的值 .
2
5
13
5．如图， △ ACD 是等边三角形， △ ABC 是等腰直角三角形， ∠ ACB 90 ， BD 交 AC
于 E ， AB 2 ．（Ⅰ）求 cos∠ CAE 的值；（Ⅱ）求 AE ．
D C
E
A
B
6．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与
（2）请你选用（ 1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度
最短。
D
P
C
O
A
B
8．（江西 17）已知 tan
（1）求 tan(
) 的值；
1 ， cos
3
5 ,,
5
(0, )
（2）求函数 f (x) 2 sin(x ) cos(x ) 的最大值．
解三角形，平面向量与三角形的综合答案
又 f( )
3 f ( ) 1 ，∴当 x
3 时， f ( x) 取最小值
12
2
22
12
2
所以函数 f ( x) 在区间 [
, ] 上的值域为 [
3 ,1]
12 2
2
1 cos2 x 3
2. 解：（Ⅰ） f ( x)
sin 2 x
2
2
3
1
1
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x
π
1
．
2
2
2
62
．
9．若向量 a ， b 满足 a 1，b 2 且 a 与 b 的夹角为，则 a b
．
3
10．若 sin( 2
3 ) ，则 cos2
5
_________。
11．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b、 c ，若 3b c cos A acosC ，
则 cos A
。
12 已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b ( a b) 0，则 | b | 的取值范围
622
2
3. 解：（Ⅰ）由题意得 m·n=sinA-2cosA=0,因为 cosA≠ 0,所以 tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 tanA=2 得
f ( x) cos2 x 2sin x 1 2sin 2 x 2sin x
2(sin x
1)2
3 .
22
因为 x R,所以 sin x
1,1 . 当 sin x
4． f ( x) cos( x ) 最小正周期为，其中
6
5
5． a,b 的夹角为 120 ， a 1, b 3，则 5a b
0 ，则
6．若 AB 2, AC 2BC ，则 S ABC 的最大值
7．设 x
0，
，则函数 y
2sin 2 x 1
的最小值为
．
2
sin 2x
8．设向量 a (1，2)， b (2，3) ，若向量 a b 与向量 c ( 4， 7) 共线，则
抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB ，若∠ BAO= θ(rad)，则 OA
AQ
cos BAO
故 OB 10 cos
又 OP 10 10tan ，所以 y OA OB OP 10
10 10
cos cos
所求函数关系式为 y 20 10sin 10 (0
)
cos
4
一、填空题
4
8
2
7
10
22
3
3
2
7
三、解答题
7
3
[ 0，1 ]
②
25
3
6
1 解：（ 1） f ( x) cos(2x ) 2sin( x )sin( x )
3
4
4
1
3
cos 2 x
sin 2x (sin x cos x)(sin x cos x)
2
2
1 cos 2x
3 sin 2x
sin 2 x
cos2 x
cos2
cos2
令 y ' 0 得 sin
1
0
2
4
6
当 (0, ) 时 y ' 0 ， y 是 θ的减函数；当 6
( , ) 时 y ' 0 ，y 是 θ的增函数； 64
所以当
时， ymin 6
20 10 1 2 10 10 3 10
3
2
此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上，且距离
AB 边 10
解三角形，平面向量与三角形的综合练习
一、填空题
1．若角的终边经过点 P (1， 2) ，则 tan 2 的值为 ______________．
2．已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ，且 a b 4 ，那么 a b 的值为 ________．
3．已知向量 a (1, 3) ， b ( 2,0) ，则 a b =_____________________.