第11届小机灵杯五年级决赛解析

第十一届小机灵杯五年级决赛试题
2、商场元旦促销，将彩色电视机降价20%出售，那么元旦促销活动过后商场要涨价 %
才能恢复到原价。

[答案]25
[解答]假设电视机原价为a ，降价后的售价为
()120%0.8a a -=。

假设要涨价%x 才能恢复到
学习奥数的优点
1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力
4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

3、已知13411a b -=，那么()20132065b a --=______。

[答案]2068
[解答]由于13411a b -=，所以()6520513451155a b a b -=⨯
-=⨯=，所以
()()20132065201365202068b a a b --=+-=
4、在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，赢者每局得2分，输者每局得0分，平局则两个选手各得1分。

今有4名计分者统计了这次比赛中全部的得分总数，由于有的计分者粗心，其数据各不相同，分别为1979、1980、1984、1985。

经核实，其中有1人统计无误。

这次比赛共有________名选手参加。

[答案
]45
[解答]容易知道不管比赛是输赢的情况，还是平局的情况，一局两个人的分数总和总是为2分。

所以最后总比分应该是一个偶数。

从四个答案中，明显1984或者1980可能是总分数。

也就是说比赛的总场次为19842992÷
=场或者19802990÷=场。

设比赛一共有n 名选手参加，每
A
B C 2
9
7
+
[答案]60
()1001029710010992973A B C C B A C A C A +++=++⇒-=⇒-=。

所以满足条件的
()
,A C 可能是()()()()()()1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,9。

由于本题对B 没有要求（B 可以取
6、如图所示，P 为平行四边形ABDC 外一点。

已知PCD ∆的面积等于5平方厘米，PAB ∆的面积等于11平方厘米。

则平行四边形ABCD 的面积是
[答案]12
于AB CD =，所以
而平行四边形ABDC 的面积为ABDC S AB EF =⋅，所以()212ABDC
PAB PCD S S S ∆∆=-=
7、等差数列1219,,
,a a a 共有19项。

已知171418120a a a a +++=，那么
3
19a += [答案]570
[解答]设等差数列的公差为d ，则7114118161317a a d a a d a a d
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩，所以
17141811436120930a a a a a d a d +++=+=⇒+=。

而
()()
()
()3
191111218a a a d a d a d +=++++++
8
、一个容器内已经住满了水，现有大中小三个铅球，第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，沉入大球。

已知第一次溢出的水是第二次的3倍，第三次溢出的水是第一次的3倍，求三个球的体积比为 [答案]3:4:13
[解答]设小球的体积为x ，中球的体积为y ，大球的体积为z 。

（1） 由于第一次把小球沉入水中，所以第一次溢出的水的体积为x
（2） 由于第二次把小球取出，把中球沉入水中，所以第二次溢出的水的体积为y x -
（3） 由于第三次取出中球，沉入大球，所以第三次溢出的水的体积为
z y -
根据已知条件，9、一个长方形，是由5行3列的小正方形组成的，小正方形的边长为1cm ，这个长方形里有24个顶点，选择其中3个顶点，用一线段围成一个面积为2.5平方厘米的三角形。

这样子的三角形，长方形里一共有 个 [答案]124
[解答]李老师的解答
两个方程了：
11、由120个棱长为1的正方体，拼成一个长方体，表面全部涂色，只有一面染色的小正方体，最多有 块 [答案]64
[解答]设长方体的长、宽、高分别为,,l m n （不妨设l
m n ≥≥）
，容易知道只有一面染色的小正方体只有每个面上可能有一些。

要使得其最多，那么2n =（否则内部有太多的小正方体都是所有面没有染色的）。

由于12060lmn lm =⇒=。

此时一面染色的小正方体的个数为
()()()()()22222242602242644l m lm l m l m l m --=--+=--+=⨯-+。

要使得()2644l m ⨯-+最大，那么就是要使l m +最小。

考虑到60lm =，容易知道当10,6
l m ==时，l m +最小。

所以只有一面染色的小正方体最多有()264410664⨯-⨯+=
12、一个正整数数列，第一项是8，第二项是1，从第三项起每一项等于它前面两项之和，请问该数列第2013项被105除，余数是 [答案]16
[解答]由于105357=⨯⨯，所以先计算分别除以3,5,7的余数。

（1） 除以3的余数：2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,
一个周期
，由于20138251+5=⨯，所以其余数为
1
（2） 除以5的余数：3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,
一个周期
，由于
201320100+13=⨯，所以其余数为1
（3） 除以7的余数：1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,
一个周期
，由于
201316125+13=⨯，所以其余数为2
综上所述，这个数除以3余1；除以5余1；除以7余2；容易知道这样的数最小为16，所以最
后的余数为16
[答案]81 [解答]
由于12345679A B ⨯⨯最大为9912345679999999999⨯⨯=（一个九位数），不妨设)
()(45678989
a -（如果不理解这步，可以用123456789000000000123456789-来体会一下）
所以最后数字和为9981⨯=
14、一个31位的整数，如果把这个整数的每个相邻的两个数码组成的整数作为两位数来考虑的话，任何一个这样的两位数都可以被17或23整除。

另外，这个31位的整数的数码中只有一个7。

则这个31位数的所有的数码之和为 [答案]151
[解答]首先我们证明这个7肯定是最后一位。

如果不是最后一位，那么后面肯定还有一位，不妨
17,517,8517,68517,468517,3468517,23468517,923468517,6923468517，
46923468517,346923468517,
一个周期
由此我们知道31位数，除去后面4位，剩下有27位。

由于27552=⨯+，所以最后所有的和为()851792346546151++++++++⨯++=
15、直角梯形ABCD ，上底长1，下底长7，连接AB 边上的E 点和DC 边上的F 点，形成与AD 和BC 平行的线段EF 把直角梯形面积一分为二，则线段EF 的长度为 [答案]5
[解答]由相似模型我们知道，2
149
GAD GBC S AD GAD GBC S BC ∆
∆⎛⎫
∆∆⇒== ⎪
⎝⎭∽。

设4948GAD GBC ABCD S k S k S k ∆∆=⇒=⇒=。

由于EF 把直角梯形面积一分为二，所以
2
15525GAD GEF S AD GAD GEF EF AD EF S ∆∆⎛⎫
∆∆⇒==⇒== ⎪
⎝⎭
∽。