经典数学史论文

通过对《数学史与数学文化》这门课程一个多月的学习，我对数学史有了进一步的了解，对数学的发展有了更加理性的认识。

数学史是一部大百科全书，是一场精彩纷呈的电影，是科技发展的生命历程！它饱含着无数个前辈伟大的数学家的杰出贡献，又为那些愿意为数学历史写下新篇章的后来者铺好了道路！法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和现状”尽管我们反复强调学习知识的意义，但是如果没有适当的历史叙述，那么这些知识的来龙去脉对于学生来说仍然是感到费解的．对于学习数学的学生来说，一些课程所介绍的通常是一些似乎没有什么关系的数学片段，而历史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来．因此数学学习中，应在学习数学知识的同时，把一些重要的数学史料结合起来，更能掌握数学发展的基本规律，了解数学的基本思想，同时我们还可以看到数学发展的曲折，数学家们所经历的艰苦漫长的道路．数学史中那些能够深深感动我们、惊心动魄、引人入胜的例子不胜枚举．从而激发我们学习数学的积极性和创造性。

那样的话，我们不仅获得真知灼见，还将获得顽强学习的勇气，进而塑造完善的人格．1.数学史料对理解数学发展的作用（1）数学发展到今天，已经延伸出上百个分支，但它毕竟是一个整体，并且有它自己的重大问题和目标．如果一些分支专题对于数学的心脏无所贡献，它们就不会开花结果，一些被分裂的学科就面临着这种危险．如由于在工业技术上的极大应用，哈密顿四元法曾传播很广，风行一时，但不久后，四元法就不再使用了．如同Hilbert说的：“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合．”（2）数学课程所介绍的似乎是一些没有什么关系的数学片段．历史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们和数学思想的主干也联系起来．数学史既可以展示数学发展的总体过程，又详加介绍各学科的具体发展过程，把握数学这一发展过程可使我们视野开阔，深刻理解数学的本质，以便在今后的学习中能高瞻远瞩．把握数学这一发展过程，还可以加深对所学知识的理解．正如无理数是由于度量问题而产生的，它的发现导致几何学在一定时期内独立于算术孤立发展；求极大、极小问题、求曲线长等问题的研究，直接促使牛顿、莱布尼兹发明微积分．微积分产生后，出现了许多分支，如常微分方程、偏微分方程；分析学中的“病态”函数给勒贝格以启发，后来勒贝格创立了测度论；著名数学家康托因研究分析学问题而发明朴素集合论，朴素集合论又包含悖论．因此，集合论应运而生．深刻地理解数学史的内容，才能了解数学发展的基本进程．（3）通常的数学课程直接给出一个系统的逻辑叙述，使我们产生这样的印象：数学家们几乎理所当然地从定理到定理，数学家们能克服任何困难，并且这些课程完全经过锤炼，己成定局．我们可能被湮没在成串的定理中，特别是当我们刚开始学习这些课程的时候．历史却形成对比，它教导我们，一个科目的发展是由汇集不同方面的成果，点滴积累而成的．我们也知道，常常需要几十年，甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步．不但这些科目并非天衣无缝，就是那些已经取得的成就，也常常只是一个开始，许多缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造．今天的小学生都知道阿拉伯数字为1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，而这些抽象的数是从人们长期的计数实践中产生的，至于它的记法，又是经过漫长的历史演变的．今天的人们会解一元三、四次方程，而在古代中世纪人们仅会一元一次方程、一元二次方程的求解情况，直到文艺复兴时期人们才掌握一元三次、四次方程的求解情况，正是由于塔尔塔利亚和菲奥尔在1835年2月22日那场别开生面的数学比赛推动了一元三次方程的解法，也正是由于这场比赛，深深地吸引了意大利米兰的一位数学家卡尔丹诺，他使一元三次方程的解法更为完善．而卡尔丹诺的学生费拉里根据三次方程的求根公式，启发了对四次方程的研究．四次以上的方程是否有一般的代数方法？从16世纪的后半叶到19世纪初的二百多年，无数数学家和数学爱好者，耗尽了心血，绞尽了脑汁，仍然一无所得．法国数学大师拉格朗日千辛万苦利用对称多项式理论、置换理论、预解式理论导出了适用二次、三次、四次方程的根式解法，但对五次以上的方程仍然束手无策．1824—1826年挪威数学家阿贝尔证明了一般五次方程不可能有根式解，并由此导出了可变群论，即阿贝尔群的理论．1828年法国年轻数学家伽罗华证明了五次以上代数方程有根式解的充要条件，由此产生了伽罗瓦理论．由此可见，今天看似简单的问题，历史上留下了多少数学家艰辛跋涉的足迹．数学事业每前进一步，都要付出多么崇高的劳动．希尔伯特要大家回答的23个问题，近一百年过去了仍未完全解决．1976年，在美国伊里诺斯大学的国际数学会议上数学家们提出了二百多个问题和猜想，到现在已解决的很少．数学大厦基础上的裂缝，从1902年的“罗素悖论”，历经八十多年仍未完全弥合．数学的发展并非一帆风顺．（4）课本中的字斟句酌，未能表现创作过程中的斗争、挫折、以及数学家所经历的艰苦漫长的道路．通过学习数学史，我们一旦认识到这一点，就不仅获得真知灼见，还将获得顽强学习的勇气．因为看到数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，如何一点一滴地得到他们的成果．这样对于自己在学习中遇到的挫折就不会感到颓丧．我们都知道17世纪最伟大的法国数学家费马提出的“费马大定理”——不存在正整数x，y，z，n，使得x n+y n=z n（当n＞2时）．从那时起，许多卓越的数学家在此问题上付出了数不清的艰辛努力．1779年欧拉给出了一个n＝3的证明．不久，欧拉又出色地证明了n=4的情况．大约1825年，勒让德和狄利克雷独立地对n＝5给出了证明；拉梅于1839年对于n＝7证明了此定理．德国数学家库默尔对此问题的研究做了有意义的推进．1843年提出了“库默尔理想数”为费马关系式的不可解性导出了一个条件．1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔给哥廷根科学院留下10万马克，作为这个“定理”的第一个证明的完全奖金．三百多年过去了，直到1995年由英国的数学家怀尔斯成功地证明了这个定理．被称为“20世纪最辉煌的数学成果”．由此可见，多少数学家经历了艰苦漫长的道路，才取得了最后的成功．数学的发展很少有风平浪静的时候，每前进一步，都充满斗争和挫折，特别在重大突破的关键时刻，不仅会遇到世俗观念的阻碍，还会遇到数学界传统观念的排挤，数学家本人也会犯错误．天文学家兼数学家伽里略，被罗马教皇夺去了生命；解析几何的创始人笛卡尔受到教会的残酷迫害；第一个发现无理数的希伯斯被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进了大海．其它如牛顿、莱布尼茨创建的微积分学、罗巴切夫斯基创建的非欧几何、康托创建的集合论，当初都曾受到攻击．著名的数学家柯西在论证函数项级数收敛性时曾犯过错误．优秀的数学家哈密顿也曾为“四色问题”冥思苦想13年而不得其果．但是数学家们并没有被困难、挫折、诽谤所吓倒，而是充满勇气，充满创造，披荆斩棘，克服种种困难，推动数学的车轮滚滚向前．（5）通过对数学史的学习，可以使我们更好地感知和理解数学美．提高我们的审美情趣，陶冶情操，从而更热爱数学这门学科，执迷于对数学的探索．数学美指的是数学具有简洁性、对称性、和谐性和奇异性．德国数学家弗希纳做过一次别出心裁的试验，他召开了一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形．并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形．结果矩形的长与宽之比为0.618的矩形被为是最美的矩形．0.618——“黄金比值”，这一神秘的数字，蕴涵着奇异的数学美，这一美的密码一经被人类掌握，立即成为服务于人类的法宝．艺术家们则用它创造出更加令人神往的艺术珍品；设计家利用它设计出巧夺天工的建筑；科学家们则在科学的海洋尽情地欢奏0.618这一美的旋律．此外像对数螺线、裴波那契数列，哥德巴赫猜想、费马最后定理、四色问题、多阶幻方等给人以美的欢乐、醉心的向往．6）通过学习数学史可以使我们更好地回顾往昔，展望未来．20世纪上半叶的数学成果既然可以超过19世纪的几倍，近三十年所出现的数学分支又可超过18世纪的总和．可以预料：随着新世纪的到来，数学事业将会更神速的发展．数学分支越细，越有利于数学家在某一方向上深入发展．数学信息的繁密，更能帮助数学家了解自己研究方向上的概况．避免无效的劳动．随着计算机的飞速发展，使数学家逐步摆脱了沉重的计算负担；人工智能的不断开发，将协助数学家进行部分劳动．面对美好的数学前景，增强我们的使命感和目标感，吸引着更多的学数学的人献身于这一艰苦而又伟大的事业．2.数学史料对学生掌握数学思想的作用数学思想是人们对数学认识的反映，它又直接支配着数学的实践活动．任何数学事实的理解、数学概念的掌握、数学方法的运用，数学理论的建立，无一不是数学思想的体现．因此可以说，数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识．通过学习数学史，可以知道各种具体的数学思想的产生和发展，它与数学主干思想有何联系，它对数学发展的影响、作用和地位．数学中有许多数学思想．如，当美索不达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊只时，就意味着符号抽象的产生；而当他们第一次试图使用什么记号将羊只的总数记录下来时，就意味着符号思想的出现，这是人类认识史上巨大飞跃的开端．符号思想的实质就是通过建立某种对应，实现从感性到理性认识的转换．对于我们来说掌握了这种对应关系，才能理解所使用符号的意义，才能进入形式化的数学领域．此外，对数思想、坐标思想、微积分思想、方程思想、函数思想等都会使我们学习知识事半功倍．3．数学史料对开发学生数学思维的作用（1）思维是人脑对客观事物的本质属性和规律的关系的概括与间接的反映．数学思维是一种思维，它是人们的数学认识活动，是人们从事数学活动（一般指研究数学，学习数学，应用数学和讲授数学的活动）中的理性认识过程，是人们形成数学思维形式，数学概念、数学命题，数学推理和数学理论的思维过程．数学史料富有典型性和教育意义．领略数学家们的创造性思维过程，有助于我们深刻地理解教材，领会教材的实质，从而可以增强我们驾驭教材的能力．这一点是战胜题海战术的有力武器，现在的学生只知道做题，而对题的深层结构和思想实质不做思考，当他们面对一个全新的问题时便往往束手无策，而学习前人在面对未知领域所用的思想方法，对我们解决问题很有裨益．如公元1847年，一位完全靠自学成材的数学家布尔（1815—1864），深刻地研究了命题的演算规律，创造了一种崭新的代数系统，这种代数系统，把逻辑思维的规律，归结为代数演算的过程从而使逻辑关系的判断与推理，复杂命题的变换与简化，终于找到了巧妙而有效的数值途径．类似这样的数学史知识，能使学生认识到在探索数学问题时应冲破思维的局限，从而发展学生的数学思维．（2）数学史中记载了许多数学家发明、发现的生动过程，我们了解这些过程，有助于理解掌握创造的方法、技巧，从而增强其创造力．如公元263年，刘徽在《九章算术》的注释中提出了计算圆周长的“割圆”思想，刘徽本人精辟的论述：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣！”．刘徽用“割圆”思想不仅计算出了π的近似值，而且还提供了一种研究数学的方法．这种方法相当于今天的“求极限”．数学家们的这些数学方法和思想能开阔我们的视野，发展我们的思维．21世纪，科技将以更快的速度发展，数学在里面发挥的作用肯定越来越大。