精品课件-自动控制原理-第三章 时域分析
合集下载
自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析 (5)
故 20lg ( j) 3(dB)
b
系统带宽频率与带宽
一阶和二阶系统，带宽和系统参数具有解析关系。
自动控制原理教案
一阶系统的带宽: 一阶系统: 因为
1 (s) Ts 1
， 按带宽定义
1 1 T 2b
2
( j 0) 1
20lg ( jb ) 20lg
解 因为该系统为I型系统，单位速度输入下的稳态误差为 查表
1 K 9 K
60
0.62 % e
/ 1 2
7.5%
K 2 1 n , 2n n 2 K 11.6 T T 3.5 ts 0.506
n
自动控制原理教案
G ( j ) G ( j ) 1 G ( j ) A( )
1 2
[1 A2 ( ) 2 A( ) cos ( )] 1 1 [ cos ( )]2 sin 2 ( ) A( )
一般情况下，在M (ω)的极大值附近， γ(ω) 变化较小，且使M (ω)为极值的谐振频率ωr常位于ωc附近，即有
( j 0) 1 ， 按带宽定义
b 2 2 b 2 (1 2 ) 4 2 2 2 n n
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1
1 2
二阶系统的带宽和自然频率成正比。与阻尼比成反比。
自动控制原理教案
带宽指标意义
根据一阶系统和二阶系统上升时间和过渡过程时间与参数的 关系，可以推论:系统的单位阶跃响应的速度和带宽成正比。 对于任意阶次的控制系统，这一关系仍然成立。 当系统的带宽扩大λ 倍，系统的响应速度则加快λ 倍。 对于输入端信号，带宽大，则跟踪控制信号的能力强；而在另一 方面， 抑制输入端高频干扰的能力则弱，因此系统带宽的选择在设计中应折 衷考虑，不能一味求大。
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
自动控制原理的时域分析法ppt课件
精选课件PPT
13
系统的时域性能指标
• 稳定性 • 动态性能指标 • 稳态（静态）性能指标
精选课件PPT
14
单位阶跃响应性能指标：
H(t) 阶跃响应输出
1
0.9
误差带
0.5 Td
超调 稳态误差Ess
0.1 0
Tr Tp
Ts
上升时间
峰值时间 精选课调件PP整T 时间
t
15
1 延迟时间Td：指h(t)上升到稳态的50%所 需的时间。
稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与 系统的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响 应函数来描述，如果脉冲响应函数是收敛的，则 系统稳定。反之，系统不稳定。
精选课件PPT
22
设系统传递函数有 K 个实根 i(i 1K)
r 对共轭复根 (iji)(i1K)
则脉冲响应为：
K
r
y (t)C ie ite it(A ic o s it B isin it)
s 3 2 13 s 2 10 4
将s=z-1代入原方程得：
2 z 3 4 z 2 z 1 0
NEW ROUTH’S TABLE：
s3 2 1
s 1 12 . 2
s2 4 1
s0 4
s1 0 .5
故S右半平面无闭环
s0 1
极点。系统是稳定 的
精选课件PPT故有一个根在s=-1的右边33 。
精选课件PPT
27
劳斯判据
1、列出系统闭环特征方程：
F ( s ) a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0 上式中所有系数均为实数，并设 an 0
2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
朱玉华自动控制原理第3章 时域分析3-1,2,3
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s4 3s3 s2 3s 1 0 s3 3 3
试判别该系统的稳定性。 s2 0 1
当 0时,3 3 0,
s1 3 3 0
s0
1
有2个特征根在s平面第右3章边控. 制系系统统的是时域不分析稳定的
10 0 0
(2) 劳斯表中某一行的元素全为零。
——这时系统在s平面上存在一些大小相等符号相反的
61
s0 6
劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。 这时，系统所有的特征根均处于s平面的左半平面。
第3章 控制系统的时域分析
课程回顾(1)
1、 稳态性能指标 2、 动态性能指标
ess
lim[r(t)
t
cr (t)]
(1)延迟时间td (2)上升时间tr
(3)峰值时间tp
(4)调整时间ts
负可化为全为正） （2）劳斯表中第一列所有元素均大于零。
第3章 控制系统的时域分析
例3-1 已知三阶系统特征方程为 a0s3 a1s2 a2s a3 0
试写出系统稳定的充要条件
解：列写劳斯表 s3
a0
a2
0
s2
a1
a3
0
s1 a1a2 a0a3 0
a1
s0
a3
0
故得出三阶系统稳定的充要条件为：
0
9
s0 5
s1 32
0
s0 5
所得结论不变
第3章 控制系统的时域分析
2、劳斯稳定判据的特殊情况
(1) 劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该 行其它元不为零。
——计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯 表的计算无法进行。
自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
s=s1-σ
用s1取代特征方程中的s，即得s1平面上的特征方程 A(s1)=0，则可以在s1平面上应用劳斯判据。
【例3-7】在例3-6中，若要求系统特征根全部位于s=-1的左 边，试求K的取值范围。
解：系统的特征方程为
As s3 14s2 40s 40K 0
将s=s1-1代入上式，得
A s (s1 -1)3 14(s1 -1)2 40(s1 -1) 40K 0
1) 从输入端定义 从输入端定义，把系统的输入信号r(t)作为被控量的
期望值，把反馈信号b(t)作为被控量的实际值，把两者之 间所产生的偏差信号定义为误差e(t)，即
e(t) r(t) b(t)
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s)H(s)
2) 从输出端定义
从输出端定义，把被控量的期望值cr(t)与实际值c(t) 之差定义为误差e′(t)，即
j 1
k 1
lim c(t)
t 0
lim
t 0
q j 1
Aje pjt
r
k 1
Ak ekt
coskt sin kt
0
实根情况下系统的稳 定性
共轭复根情况下系统的稳 定性(稳定)
共轭复根情况下系统的稳 定性(临界稳定)
共轭复根情况下系统的稳 定性(不稳定)
对一阶系统而言，其系统的闭环传递函数为
D(s)
【例3-8】上图
中，
，
试求：
Gc (s)=2
，G0 (s)
=
1 s 1
H (s)=1
。
(1误) 差r(。t)=41(t) d(t)=，1(t)
(2) r(t)=1(t) d(t，)=sin4t
误差。
时系统的稳态 时系统的稳态
解： (1) 给定输入r(t)作用下(d(t)=0)，误差传递函数 Eer(s)为
自动控制原理 第三章时域分析法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
第3章 时域分析法
3.1 控制系统的典型输入信号 3.2 线性系统的稳定性分析 3.3 代数稳定判据 3.4 稳态误差分析与计算 3.5 复合控制系统的稳态误差 3.6 控制系统的动态响应及 3.7 二阶系统的动态响应分析 3.8 二阶系统的动态响应分析 3.9 二阶系统性能的改善 3.10 高阶系统的动态分析 3.11 控制系统时域分析的MATLAB应用
E(s) R(s) C(s)
2．稳态误差的概念
误差信号的稳态分量为稳态误差，其公式为
ess
lim e(t)
t
ess
lim e(t)
t
lim sE(s)
s0
ess
lim e(t)
t
lim sE(s)
s0
essr
essd
er (s)
Eer (s) R(s)
1
1 Gc (s)G0 (s)H (s)
a1
s0
a3
由劳斯定理知：①特征方程式各项系数都为正值，有a0>0，
a1>0，a2>0，a3>0；②劳斯表中第一列系数都为正值有 a1a2-a0a3>0或a1a2>a0a3。
【例3-3】判定A(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0是否稳定。
解：
s4 1 1 1 s3 3 3 0
s2 0( ) 1
eed (t)
4 e3t 25
4 cos 4t 25
3 sin 4t 25
可用例3-2的结论确定K值范围。特征式各系统为正：a0>0， a1>0，a2>0， K>0；三阶系统中特征方程系数两内项的积大 于两外项的积，即 ，得K<14。所以0<K<14时，系统稳定。其 稳定的临界放大倍数KL=14。
2．确定系统的稳定裕量
设特征方程的根与虚轴的距离至少为σ，把原s平面的 虚轴左移σ，得到新的平面s1，则有
b1 b3 b1
a0 a6
b3
a1 a7 a1
a1 a7
c3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1
b4 b1
(1) 特征方程式全部根在s平面左侧的充分必要条件是：①特 征方程式各项系数都为正值；②劳斯表中第一列系数都为 正值。
(2) 若劳斯表第一列系数有符号改变，则有右侧根(正根)出 现，右侧根的个数等于符号改变的次数。
【例3-1】已知系统的特征方程为
e(t) cr (t) c(t)
E(s)
Cr
(s)
C(s)
Rs H s
C
s
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s)H(s)
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s) E(s) H(s) H(s) H(s) H(s)
E(s) E(s) H (s)
在单位反馈系统中，H(s)=1，两个定义可以统一， 即有
3.1.4 脉冲函数信号
0 (t 0，t )
r(t)
A
(0 ≤ t ≤ )
R(s) A
3.1.5 抛物线函数信号
r(t) Asint
R(s) A 2 s2
3.2 线性系统的稳定性分析
3.2.1 稳定的基本概念
设线性定常系统处于某一平衡状态，在外作用(例 如系统有扰动作用)下，系统离开原来的平衡状态，在 外作用消失后，经过足够长的时间它又能够回到原来的 平衡状态，则称这样的系统是稳定的系统，否则为不稳 定的系统。
s(s 3)
essr
lim
s0
sEer
(s)
lim s
s0
(s 1) s(s 3)
1 3
Eed
(s)
1
G0 (s)H (s) Gc (s)G0 (s)H
(s)
D(s)
(s
4 3)(s2
16)
4
4 1 4 s-3
Eed (s) (s 3)(s2 16) 25 s 3 25 s2 16
A(s)=3s4 +10s3 +6s2 +40s+9=0
试用劳斯表判断该系统的稳定性，若不稳定，则指出有半 平面特征根的个数。
s4
3
6
9
s3
10
40
s2 10 6 40 3 6 10 9 0 3 9
10
10
s1 (6) 40 9 10 55 6
s0
9
简化计算
s4 1 2 3
s3 1 4
3.3.2 用代数稳定判据分析系统时的应用
1. 确定闭环系统稳定时其参数的取值范围 【例3-6】确定图示系统稳定时放大倍数K的取值范围。
解：
(s) C s
K
K
R(s) s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0.025s3 0.35s2 s K
As s3 14s2 40s 40K 0 As a0s3 a1s2 a2s a3
s2 -2 3
s1 5.5 s0 3
特征方程各项系数虽为正，但劳 斯表第一列系数不全为正，故有 右侧根(正根)，系统不稳定。第 一列系数符号有两次改变，故有
【例3-2】三阶系数的特征方程为 A(s)=a0s3+a1s2+a2s+a3=0，
判断其稳定性。
解：
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1 a1a2 a0a3 0
充分条件：首先，制作劳斯表
解：
sn a0 a2 a4 a6 sn1 a1 a3 a5 a7 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4
a0 a2
b1
a1 a3 a1
a1 a3
c1
b1 b2 b1
s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a0 a4
b2
a1 a5 a1
a1 a5
c2
s4 +6s2 +8=(s2 +4)(s2 +2) 0
(s2 +4) 0 s1,2 j2
s5,6 1 j2
(s2 +2) 0 s3,4 j 2
有纯虚根存在，则系统临界稳定。左半平面有2个根，虚 轴上有4个根，右半平面没有根。
【例3-5】若系统特征方程为
A(s)=s6 +3s5 +2s4 +4s2 +12s+8=0
3.1 控制系统的典型输入信号
3.1.1 阶跃函数信号
r(t
)
0 A
(t 0) (t ≥ 0)
R(s) A s
3.1.2 斜坡函数信号
r(t
)
0 At
(t 0) (t ≥ 0)
R(s) A s2
3.1.3 抛物线函数信号
0 (t 0)
r
(t
)
At
2
(t ≥ 0)
R(s) 2A s3
s1 3 3
s0 1
现在考察劳斯表第一列中各项数值。当ε趋近于零时， 的值3是-一3 绝对值很大的负数值，因此可以认为第一列中 各项数值 的符号改变了两次。由劳斯判据得，该系统有 两个极点具有正实部，系统是不稳定的。
【例3-4】已知系统的特征方程为
A(s)=s6 +2s5 +8s4 +12s3 +20s2 +16s+16=0
(s)
D(s)
1 s(s
3)
essd
lim
s0
sEed
(s)
lim s s0
1 s(s 3)
1 3
41 ess essr essd 3 3 1
(2) 给定输入r(t)作用下(d(t)=0)，误差传递函数Eer(s) 为
用s1取代特征方程中的s，即得s1平面上的特征方程 A(s1)=0，则可以在s1平面上应用劳斯判据。
【例3-7】在例3-6中，若要求系统特征根全部位于s=-1的左 边，试求K的取值范围。
解：系统的特征方程为
As s3 14s2 40s 40K 0
将s=s1-1代入上式，得
A s (s1 -1)3 14(s1 -1)2 40(s1 -1) 40K 0
1) 从输入端定义 从输入端定义，把系统的输入信号r(t)作为被控量的
期望值，把反馈信号b(t)作为被控量的实际值，把两者之 间所产生的偏差信号定义为误差e(t)，即
e(t) r(t) b(t)
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s)H(s)
2) 从输出端定义
从输出端定义，把被控量的期望值cr(t)与实际值c(t) 之差定义为误差e′(t)，即
j 1
k 1
lim c(t)
t 0
lim
t 0
q j 1
Aje pjt
r
k 1
Ak ekt
coskt sin kt
0
实根情况下系统的稳 定性
共轭复根情况下系统的稳 定性(稳定)
共轭复根情况下系统的稳 定性(临界稳定)
共轭复根情况下系统的稳 定性(不稳定)
对一阶系统而言，其系统的闭环传递函数为
D(s)
【例3-8】上图
中，
，
试求：
Gc (s)=2
，G0 (s)
=
1 s 1
H (s)=1
。
(1误) 差r(。t)=41(t) d(t)=，1(t)
(2) r(t)=1(t) d(t，)=sin4t
误差。
时系统的稳态 时系统的稳态
解： (1) 给定输入r(t)作用下(d(t)=0)，误差传递函数 Eer(s)为
自动控制原理 第三章时域分析法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
第3章 时域分析法
3.1 控制系统的典型输入信号 3.2 线性系统的稳定性分析 3.3 代数稳定判据 3.4 稳态误差分析与计算 3.5 复合控制系统的稳态误差 3.6 控制系统的动态响应及 3.7 二阶系统的动态响应分析 3.8 二阶系统的动态响应分析 3.9 二阶系统性能的改善 3.10 高阶系统的动态分析 3.11 控制系统时域分析的MATLAB应用
E(s) R(s) C(s)
2．稳态误差的概念
误差信号的稳态分量为稳态误差，其公式为
ess
lim e(t)
t
ess
lim e(t)
t
lim sE(s)
s0
ess
lim e(t)
t
lim sE(s)
s0
essr
essd
er (s)
Eer (s) R(s)
1
1 Gc (s)G0 (s)H (s)
a1
s0
a3
由劳斯定理知：①特征方程式各项系数都为正值，有a0>0，
a1>0，a2>0，a3>0；②劳斯表中第一列系数都为正值有 a1a2-a0a3>0或a1a2>a0a3。
【例3-3】判定A(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0是否稳定。
解：
s4 1 1 1 s3 3 3 0
s2 0( ) 1
eed (t)
4 e3t 25
4 cos 4t 25
3 sin 4t 25
可用例3-2的结论确定K值范围。特征式各系统为正：a0>0， a1>0，a2>0， K>0；三阶系统中特征方程系数两内项的积大 于两外项的积，即 ，得K<14。所以0<K<14时，系统稳定。其 稳定的临界放大倍数KL=14。
2．确定系统的稳定裕量
设特征方程的根与虚轴的距离至少为σ，把原s平面的 虚轴左移σ，得到新的平面s1，则有
b1 b3 b1
a0 a6
b3
a1 a7 a1
a1 a7
c3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1
b4 b1
(1) 特征方程式全部根在s平面左侧的充分必要条件是：①特 征方程式各项系数都为正值；②劳斯表中第一列系数都为 正值。
(2) 若劳斯表第一列系数有符号改变，则有右侧根(正根)出 现，右侧根的个数等于符号改变的次数。
【例3-1】已知系统的特征方程为
e(t) cr (t) c(t)
E(s)
Cr
(s)
C(s)
Rs H s
C
s
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s)H(s)
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s) E(s) H(s) H(s) H(s) H(s)
E(s) E(s) H (s)
在单位反馈系统中，H(s)=1，两个定义可以统一， 即有
3.1.4 脉冲函数信号
0 (t 0，t )
r(t)
A
(0 ≤ t ≤ )
R(s) A
3.1.5 抛物线函数信号
r(t) Asint
R(s) A 2 s2
3.2 线性系统的稳定性分析
3.2.1 稳定的基本概念
设线性定常系统处于某一平衡状态，在外作用(例 如系统有扰动作用)下，系统离开原来的平衡状态，在 外作用消失后，经过足够长的时间它又能够回到原来的 平衡状态，则称这样的系统是稳定的系统，否则为不稳 定的系统。
s(s 3)
essr
lim
s0
sEer
(s)
lim s
s0
(s 1) s(s 3)
1 3
Eed
(s)
1
G0 (s)H (s) Gc (s)G0 (s)H
(s)
D(s)
(s
4 3)(s2
16)
4
4 1 4 s-3
Eed (s) (s 3)(s2 16) 25 s 3 25 s2 16
A(s)=3s4 +10s3 +6s2 +40s+9=0
试用劳斯表判断该系统的稳定性，若不稳定，则指出有半 平面特征根的个数。
s4
3
6
9
s3
10
40
s2 10 6 40 3 6 10 9 0 3 9
10
10
s1 (6) 40 9 10 55 6
s0
9
简化计算
s4 1 2 3
s3 1 4
3.3.2 用代数稳定判据分析系统时的应用
1. 确定闭环系统稳定时其参数的取值范围 【例3-6】确定图示系统稳定时放大倍数K的取值范围。
解：
(s) C s
K
K
R(s) s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0.025s3 0.35s2 s K
As s3 14s2 40s 40K 0 As a0s3 a1s2 a2s a3
s2 -2 3
s1 5.5 s0 3
特征方程各项系数虽为正，但劳 斯表第一列系数不全为正，故有 右侧根(正根)，系统不稳定。第 一列系数符号有两次改变，故有
【例3-2】三阶系数的特征方程为 A(s)=a0s3+a1s2+a2s+a3=0，
判断其稳定性。
解：
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1 a1a2 a0a3 0
充分条件：首先，制作劳斯表
解：
sn a0 a2 a4 a6 sn1 a1 a3 a5 a7 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4
a0 a2
b1
a1 a3 a1
a1 a3
c1
b1 b2 b1
s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a0 a4
b2
a1 a5 a1
a1 a5
c2
s4 +6s2 +8=(s2 +4)(s2 +2) 0
(s2 +4) 0 s1,2 j2
s5,6 1 j2
(s2 +2) 0 s3,4 j 2
有纯虚根存在，则系统临界稳定。左半平面有2个根，虚 轴上有4个根，右半平面没有根。
【例3-5】若系统特征方程为
A(s)=s6 +3s5 +2s4 +4s2 +12s+8=0
3.1 控制系统的典型输入信号
3.1.1 阶跃函数信号
r(t
)
0 A
(t 0) (t ≥ 0)
R(s) A s
3.1.2 斜坡函数信号
r(t
)
0 At
(t 0) (t ≥ 0)
R(s) A s2
3.1.3 抛物线函数信号
0 (t 0)
r
(t
)
At
2
(t ≥ 0)
R(s) 2A s3
s1 3 3
s0 1
现在考察劳斯表第一列中各项数值。当ε趋近于零时， 的值3是-一3 绝对值很大的负数值，因此可以认为第一列中 各项数值 的符号改变了两次。由劳斯判据得，该系统有 两个极点具有正实部，系统是不稳定的。
【例3-4】已知系统的特征方程为
A(s)=s6 +2s5 +8s4 +12s3 +20s2 +16s+16=0
(s)
D(s)
1 s(s
3)
essd
lim
s0
sEed
(s)
lim s s0
1 s(s 3)
1 3
41 ess essr essd 3 3 1
(2) 给定输入r(t)作用下(d(t)=0)，误差传递函数Eer(s) 为