坡比与坡度 -(精选)
坡比、坡度问题
（2）自学“例4”，认真思考下列问题： ①.四边形ABCD是梯形，例中是如何做辅助线把四边
形进行分割的？
②.例题中通过辅助线把四边形分割成 形和 形。 ③.这样，就把实际问题转化为直角三角形的问题。
解疑合探
1、坡角
坡面
i= h : l
h
α 水平面
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
l
2、坡度（或坡比）
别忽略我哦！
Ａ
bＣ
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
水库大坝的横断面是梯形， 坝顶宽6m，坝高23m，斜坡 AB的坡度i=1∶3，斜坡CD 的 坡度i=1∶2.5，
则斜坡CD的 坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB 的长应设计为多少？
A
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
23
D
学习目标
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
1、斜坡的坡度是 1 : 3，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是45°，则坡比是 __1：__1___。
在Rt△ABE中
i
BE AE
1 3
AE 3BE 3 23 69m
在Rt△DCF中，同理可得
i CF
1
FD
2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m
AD AE EF FD
坡度坡比
1、坡角：坡面与水平面的夹角。
图 19.4.5 2、坡度（或坡比）： 坡面的铅垂高度（h）和水平距离（l）的比。
表示坡度时，通常写成1:m 的形式 3、坡度与坡角的关系： i h tan l
4、应用： （1）能将h、l、c、i各量的计算问题转化为解 直角三角形的问题，这些量中若已知两个量， 可求其他量. （2）在有些实际问题中没有直角三角形，学会 添加辅助线构造直角三角形.
解直角三角形的应用
坡度(坡比)和坡角
i 1: 3
B
6
C
i=1:2.5 23
A
D
i= h : l
坡面
1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
α
h
水平面
l
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（l）
h 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—— l 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
B C
i 1: 3
A α D
拓展练习
1、如图,某截面为梯形的水坝上底宽AD=6米, 高为4米,斜坡AB的坡比i=1∶1.2，斜坡DC的 坡角为45° (1)求坝底BC的长； (2)若将坝高再提高0.5米，得梯形EBCF。此 时坝宽EF为多少米？
2、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道 的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2 米，坡角为45°。实际开挖渠道时，每天比原 计划多挖土20立方米，结果比原计划提前4天 完工，求原计划每天挖土多少立方米。
h α
L
例题 一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD，路基顶宽BC为2.8米，路基高为 1.2米，斜坡AB的坡度ｉ=1：1.6 (1)计算路基的下底宽(精确到0.1米)； (2)求坡角(精确到1°) 2.8
坡比
1、坡度2%是：找坡的系数，如屋面找坡，向两侧找2%的坡，屋面总宽20m，那找坡的量应是20/2*0.02/2=0.1m，即平均找坡厚度是10cm；
坡度——通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示。
坡度的表示方法有百分比法、度数法、密位法和分数法四种，其中以百分比法和度数法较为常用。
(1) 百分比法
表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：坡度 ＝ (高程差/水平距离)ｘ100%
使用百分比表示时，
即：i=h/l×100％
例如：坡度3% 是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)3米 ；1%是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)1米 。以次类推！
30° 58% 50%
45° 100% 71%
60° 173% 87%
90° ∞ 100%
例题：
一个斜坡的坡度i=1:2,若某人沿斜坡往上行进100米,则他的高度将上升多少米.
解：因为坡度——通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示。通常使用百分比表示。
那么，就有：高度上升为：100*√5/5=20√5米.
其实坡度简单的讲就是一个直角邻源自（地面的角）的TAN值. (2) 度数法
用度数来表示坡度，利用反三角函数计算而得，其公式如下：
tanα(坡度)＝ 高程差/水平距离
所以α(坡度)＝ tan-1 (高程差/水平距离)
不同角度的正切及正弦坡度
角度 正切 正弦
0° 0% 0%
5° 9% 9%
10° 18% 17%
坡度坡比计算范文
坡度坡比计算范文坡度和坡比是地理学和土木工程领域常用的两个概念，用于描述地表或土地的倾斜程度。
在这篇文章中，我们将详细介绍坡度和坡比的计算方法，并讨论它们在实际应用中的意义。
一、坡度的定义和计算方法1.坡度的定义坡度反映的是地表或土地的倾斜程度，通常用百分比或度数表示。
具体来说，坡度是由一点到另一点的高程差除以两点之间的水平距离，在百分比形式下，坡度等于高程差除以水平距离的乘以100。
2.坡度的计算方法a)三点法：假设我们需要计算点A和点B之间的坡度，可以选择点A、B以及其中间的第三点C，然后计算AC和BC之间的高程差以及AC的水平距离。
坡度等于高程差除以水平距离的乘以100。
b)两点法：如果只有点A和点B的高程数据，可以直接计算AB之间的高程差以及AB的水平距离，然后按照三点法的方法计算坡度。
c)坡度计算器：现代地理信息系统（GIS）软件通常都有坡度计算的功能。
用户只需输入高程数据和两点之间的水平距离，软件就会自动计算出坡度的值。
二、坡比的定义和计算方法1.坡比的定义坡比是指高程差与水平距离之间的比值，是一个无单位的值。
坡比的大小可以用来评估地表的倾斜程度和地形的陡峭程度。
通常，较大的坡比意味着较陡的坡度。
2.坡比的计算方法坡比的计算方法和坡度类似，但是由于坡比是一个比值，所以不需要将其乘以100。
具体计算方法如下：坡比=高程差/水平距离不同国家和领域对于坡比的定义可能有所不同，有些地区也可能使用其他与坡度相关的术语，比如坡度比和坡度百分比。
三、坡度和坡比的应用意义1.地形评估：坡度和坡比是评估地形陡峭程度和地势起伏的重要指标。
在地形分析和地貌研究中，研究人员可以根据坡度和坡比的数值来划分地形类型和地貌单元，比如确定山地、丘陵或平原地区。
2.土地利用规划：坡度和坡比对于土地利用规划和土地资源管理也非常重要。
较陡的坡度和较大的坡比通常会限制土地的利用，比如较陡的坡度不适宜农业活动，而较大的坡比可能导致土壤侵蚀和水土流失。
坡比知识点总结
坡比知识点总结一、坡比概述坡比，又称山坡比、坡度，是指地面坡度的倾斜角度。
在地理学、土壤科学、工程学等领域中，坡比是一个重要的概念，对于地貌特征、水土流失、道路建设等方面都有着重要的影响。
了解坡比的概念、影响因素以及测量方法对于各个领域的研究和应用都具有重要意义。
二、坡比的计算方法坡比的计算是通过测量地面的水平距离和垂直高度来得出的。
一般来说，坡比的计算方法有三种：百分比坡度、度数坡度和比例坡度。
1. 百分比坡度百分比坡度是指在水平距离上垂直高度所占比例的百分比。
计算公式为：tan(坡度角度) = (垂直高度 / 水平距离) × 100%。
例如，当垂直高度为3米，水平距离为10米时，百分比坡度为30%。
2. 度数坡度度数坡度是用角度来表示的坡度，即地面的倾斜角度。
计算公式为：坡度角度 = arctan(垂直高度 / 水平距离)。
例如，当垂直高度为3米，水平距离为10米时，度数坡度为arctan(3/10) ≈ 16.7°。
3. 比例坡度比例坡度是指水平距离与垂直高度之间的比值关系。
计算公式为：比例坡度 = 水平距离 / 垂直高度。
例如，当水平距离为10米，垂直高度为3米时，比例坡度为10/3 ≈ 3.33。
对于不同的应用场景，可以根据实际情况选择合适的坡比计算方法。
在工程测量、土壤侵蚀研究等领域中，通常会使用度数坡度进行计算。
三、坡比对于地貌和生态环境的影响1. 对地貌的影响坡比是地形起伏的重要指标之一，地面的坡度决定了地形的形态和特征。
在地理学中，通过坡比的测量和计算可以分析地表的起伏情况，了解地貌的变化特征，为地貌演变的研究提供重要的数据支持。
2. 对生态环境的影响坡比对于生态环境的影响主要体现在水土流失、植被覆盖以及生物多样性等方面。
较大的坡比会增加水土流失的风险，导致水土流失严重，降低土壤肥力和植被覆盖率，进而影响生态环境的稳定性和生物多样性。
因此，在生态环境保护和恢复中，需要重视坡比的影响，采取有效的措施来降低坡比对生态环境的不利影响。
坡比、坡度问题课件
——坡比、坡度问题
泽州县下村中学 李青枝
坡面
α 水平面
铅垂高度（h）
1.坡度（或坡比）： 坡度通常写成1： m 的形式.
2.坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
3.坡度与坡角的关系：
1、斜坡的坡度是1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 __1_：_1___。
课堂小结
3. 认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添
加辅助线构造直角三角形来解决问题。 4．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。 按照题中的精确度进行计算，注明单位。
课堂小结
1. 坡比、坡角的概念及其应用，特别是：
i＝
h l
=tanα
它体现了坡比和坡角间的关系.
2.
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 解直角三角形问题）；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，应用直角 三角形的有关性质，解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米，
E
∴sinα= = = ，
∴BF=0.65× =0.25（km），
F
∵斜坡BC的坡度为：1：4， ∴CD=CE+DE=BF+CE= +
∴CE：BE=1：4， 设CE=x，则BE=4x，
由勾股定理得：x2+（4x）2=12 解得：x=
答：点C相对于起点A升高了 （ + ）km．
【解】
α
A
FD
∴α≈22⁰.
中考链接
（2014•镇江）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜 坡向上走了0.65千米到达点B，sinα= 5 ，然后又沿着坡度为 i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C1．3问小明从A点到点C 上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
坡比、坡度问题
直角三角形各元素间的关系:
c
(1)角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ａb
(2)边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）
(3)边角之间的关系: sinA＝ a c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
cotA＝
b a
注意:如何选用三角函数 公式变形，如a=c·sinA,...... Ａ
（作垂线）
一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽 为12.5米，其坡面AD的坡角为32°，坡面BC的坡 度为i=1：2，求路基下底的宽（精确到1米）
（参考数据：sin320≈0.5,tan320≈0.6 ）
12.5
D
C
32° 4.2 4.2
A
E
i=1：2
B
★注意：（1）在图上标注已知条件 （2）构造出直角三角形
解：在 Rt△A BC 中，∠A BC=30°，
∴A
C=
1 2
A
B
=50，BC=50
3
∵BD 的坡度为 1：5
∴CD =10 3
故 A D =A C-CD = 50-10 3 >20 故要重新设计．
练习：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落 在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡 面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长 为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树 的高度为 6 3 m。
我们的感受
1、同学们：你们的感受是...... 2、老师的感受是......
B
a
C
B C
观察
图（１）和（２）中，哪个山坡比较陡？
最新解直角三角形的应坡比与坡度
用数学去解释生活
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例 如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升 高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 老师提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即 坡度等于坡角的正切.
1、如图,某截面为梯形的水坝上底宽AD=6米, 高为4米,斜坡AB的坡比i=1∶1.2，斜坡DC的 坡角为45° (1)求坝底BC的长； (2)若将坝高再提高0.5米，得梯形EBCF。此 时坝宽EF为多少米？
2、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道 的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2 米，坡角为45°。实际开挖渠道时，每天比原 计划多挖土20立方米，结果比原计划提前4天 完工，求原计划每天挖土多少立方米。
60 3 i tan . 100 5
i
α 100m
60m
┌
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比 较陡?
甲 13m α ┌ 5m 乙 6m ┐ 8m β
5 i1 tan .老师提示: 解:甲梯中, 132 52 12 在生活中,常 6 3 用一个锐角的 乙梯中, i2 tan . 8 4
解直角三角形的应用
坡度(坡比)和坡角
你知道吗？
定义： 1、坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）。
h 公式 i= L
α
h L
2、坡面与水平面所夹的锐角叫做坡角。
h i= =tg L α
你会算吗？
1、坡角α=45°坡比i= 1∶1
2、坡比为 1: 3 ,坡角α= 30°