四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考 数学 Word版含答案
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}=04A x x ≤≤，{}28150B x x x =-+>，则()AB =R（ ）A ．[]4,5B ．[]0,3C ．[]3,4D ．()3,4【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合B,根据补集的定义求出B R，根据交集的定义，计算求得结果.【详解】由281503x x x -+>⇒<或5x >，则[]3,5RB =，则()[]3,4R A B ⋂=,故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查补集、交集的运算，属于基础题. 2．已知复数21z i=-，则z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可【详解】由()()()()22121211111i i z i i i i i ++====+--+-，则z =故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题 3．命题:p “0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x <”的否定p ⌝为（ ） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x ≥B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ D ．00,2x π⎛⎫∃∉ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ 【答案】C【分析】全称命题的否定：将∀→∃，否定结论即可.【详解】由原命题p 可知：其否定为0:0,2p x π⎛⎫⌝∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a ，7a 是方程28130x x --=的两根，则9S =（ ） A ．36 B ．40 C ．72 D ．80【答案】A【分析】由根与系数的关系可得378a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可求得结果【详解】因为3a ，7a 是方程28130x x --=的两根， 所以378a a +=， 所以()()19379993622a a a a S ++===， 故选：A【点睛】此题考查等差数的性质的应用，考查等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题5．已知311tan 4e dx x πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎰，则2sin cos cos sin αααα+=-（ ） A ．4- B ．4 C ．5 D ．5-【答案】D【分析】由定积分得tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2α=，再由2sin cos 2tan 1cos sin 1tan αααααα++=--即可求解. 【详解】由()()()331311ln ln ln13e e dx x C e C C x⎰=+=+-+=，则tan 1tan 341tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，由2sin cos 2tan 15cos sin 1tan αααααα++==---故选：D.【点睛】本题考查定积分的计算，三角函数的诱导公式的应用及正余弦齐次式计算，属于基础题.6．已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其期望()3E X =，随机变量Y 服从正态分布()1,2N ，若()0P Y p >=，则()02P Y <<=（ ） A ．23B ．34C ．14D ．12【答案】D【分析】由()3E X =得到p ，根据正态分布的性质再由()0P Y >得到()01P Y <<及()02P Y <<可得答案.【详解】由()3434E X p p ==⇒=，则()304P Y >=，则()31101424P Y <<=-=，则()()1022012P Y P Y <<=<<=，故选：D.【点睛】本题考查二项分布的期望与正态分布的概率，属于基础题 。
2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三上学期联考（文）数学试题
依题意， ，由 解得 为函数的对称轴，令 求得函数的一条对称轴为 .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.
6．若数列 各项不相等的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，则 （）
A.18B.28
C.44D.49
【答案】B
【解析】根据等比中项列方程，将方程转换为只含 的表达式后求得 ，由此求得 的值.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意判断出函数 的单调性，结合偶函数的性质比较出 的大小关系.
【详解】
由于函数 满足 ， ，且 ， ，所以函数在 上为单调递减函数.而函数为偶函数，故 ， .而 ，所以 .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用函数的性质比较大小，考查对数运算，属于基础题.
.显然，当 时， 只有 个极值点 ，不符合题意.只有C选项符合.
构造函数 .依题意 在区间 上有两个不同的零点，故 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
11．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ,若 ，则 的周长的最大值为（）
2．已知复数 ，则 对应的点在复平面内位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】利用复数除法运算化简 ，由此求得 对应点所在象限.
【详解】
依题意 ，对应点为 ，在第一象限.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期中数学联考试题
（1）当 时，求 的定义域；
（2）若 ，讨论 时， 的值域.
参考答案
1．D
【分析】
根据交集、补集的定义计算可得.
【详解】
解： ， ，
故选：
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
2．D
【分析】
根据基本初等函数的性质对选项一一分析即可判断.
【详解】
解：对于 ： 在定义域上单调递减，不符合题意；
12．已知 ， ，把一个直角边长为2的等腰直角三角形 沿直角边 平行于 轴滑动，若点 刚好在 图象上，点 在 图象上时，点 的坐标为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 ，则 ______．
14．高一某班共有15人参加数学课外活动，其中7人参加了数学建模，9人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有3人，问这两种活动都没参加的有______人.
【点睛】
本题主要考查了赋值法求函数值以及利用函数单调性求解不等式的问题.需要根据题意代入合适的数值并利用单调性进行求解.属于基础题.
12．B
【分析】
根据 与 的平移关系与等腰直角三角形 边长为2可求得 ,再设 的坐标利用 求解即可.
【详解】
因为 ,故 为 往上平移 个单位所得.又等腰直角三角形 边长为2即 ,解得 .
对于 ： 函数在 ， 上单调递减，不符合题意；
对于 ： ，定义域为 ，不符合题意；
对于 ： ，函数在 上单调递减，在 上单调递增，满足条件.
故选：
【点睛】
本题考查常见函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．
3．C
【分析】
判断函数相等，需要满足定义域相同且解析式相同.
2020～2021学年度上期蓉城名校联盟高中2019级期中联考理科数学参考答案及评分标准
蓉城名校联盟 2020～2021 学年度上期高中 2019 级期中联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12CABC CDB DAAB D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．314．1215． x = -6 或 y = - 5 x + 1 （缺一个都不给分，答案： x = -6 或12y + 5x - 6 = 0 也可以）12 2 16． 45三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17．（10 分）解：（1） BC 方程为 2x + y -15 = 0 ， AD ⊥ BC∴设直线 AD 方程为 x - 2 y + a = 0……2 分点 A (-1, 2) 代入，得 a = 5∴直线 AD 的方程为 x - 2 y + 5 = 0……4 分（2） AB ， AC 边的中点分别为 E ， F∴ EF 为△ABC 的中位线……5 分 ∴ EF ∥BC ，且点 A 到直线 EF 的距离等于直线 EF ， BC 之间的距离设直线 EF 的方程为 2x + y + b = 0……7 分2 ⨯ (-1) + 2 + bb +15，即 b = b +1522 +1222 +12解得 b = - 15……9 分2∴直线 EF 的方程为 4x + 2 y -15 = 0 .……10 分18．（12 分）解：（1）设圆 C 的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，……1 分⎛ D E ⎫则圆心 C-, -⎪……2 分2 ⎝ 2 ⎭⎧⎪1 + D + F = 0⎧D = -2⎪⎪……5 分由已知得 ⎨5 - D - 2 E + F = 0，解得 ⎨E = 4⎪ 3⎪⎪D + 2E - 11 = 0 ⎩F = 1⎩-2所以，圆 C 的方程为 x 2 + y 2 - 2x + 4 y +1 = 0 ；……6 分1（2）圆 C 的方程为 x 2 + y 2 - 2x + 4 y + 1 = 0 ，即 (x -1)2 + ( y + 2)2 = 4圆心 C (1, -2) ，半径 r = 2……7 分圆 M 的方程为 x 2 + y 2 + 4x - 2ay + a 2 - 5 = 0 ，即 (x + 2)2 + ( y - a )2 = 9 圆心 M (-2, a ) ，半径 R = 3……8 分因为圆 C 与圆 M 相交，所以 R - r <CM< R + r……9 分即1 < 9 + (a + 2)2 < 5 ， ……10 分解得： -6 < a < 2所以，实数 a 的取值范围为 (-6, 2) .……12 分19．（12 分）证明：（1）因为点 E 、 F 分别为线段 AC 、 AD 的中点∴ EF 为△ACD 的中位线，则 EF ∥CD……2 分CD ⊂ 平面BCD ， EF ⊄ 平面BCD∴EF ∥平面BCD……4 分 又 EF ⊂ 平面EFNM ，平面EFNM 平面 BCD = MN∴ EF ∥MN ；……6 分（2） ∠CDA = ∠CDB = 90︒∴CD ⊥ DA ，CD ⊥ DBDA DB = D ，DA ⊂ 平面ADB ，DB ⊂ 平面ADB ∴CD ⊥ 平面ADB……8 分∴CD ⊥ AB……9 分又 DH ⊥ AB ， DH CD = D ，DC ⊂ 平面DCH ，DH ⊂ 平面DCH∴ AB ⊥ 平面CDH ……11 分AB ⊂ 平面ABC∴平面CDH ⊥ 平面ABC .……12 分20．（12 分）解：（1）左边三个方块的面积之和为 0.32，故中位数在第四个方块中，中位数 = 3 + 0.18 ⨯1 = 3.75……2 分0.24平均数 = 0.5 ⨯ 0.07 +1.5 ⨯ 0.09 + 2.5 ⨯ 0.16 + 3.5 ⨯ 0.24 + 4.5 ⨯ 0.18+5.5 ⨯ 0.14 + 6.5 ⨯ 0.07 + 7.5 ⨯ 0.05 = 3.82……4 分所以，该景区这一百天中每天游客数的中位数约为 3750 人，平均数约为 3820 人.（2）（i ） x = 20 ，……5 分y = 4.4……6 分ˆ 70b = 232 ≈ 0.3 ，……7 分ˆ0.3⨯ 20 = -1.6a ˆ = y - bx = 4.4 -∴ y ˆ = 0.3x -1.6……8 分（ii ）当最高气温在 20℃~26℃内时，9y0.3x- 1.64.4 6.2根据 ˆ =得游客数在内…… 分2直方图中这个范围内方块的面积 = (5 - 4.4) ⨯ 0.18 + 0.14 + (6.2 - 6) ⨯ 0.07 = 0.262……11 分天数 = 0.262 ⨯100 ≈ 26所以，这 100 天中最高气温在 20℃~26℃内的天数约为 26 天.……12 分21．（12 分）解：（1） AE ⊥ EF ， AE ⊂ 平面ABFE平面 ABFE ⊥ 平面 EFGH 且交于 EF ，∴ AE ⊥ 平面EFGH……2 分∴ AE ⊥ EH∴∠FEH 为二面角 F - AE - H 的平面角∴∠FEH = 120︒……4 分∴V= 1 S⋅ AE = 1 ⨯ 1 FE ⋅ EH sin ∠FEH ⋅ AE2A -EFH3 △EFH3=16 ⨯ 2 ⨯ 2sin120︒⨯1 = 33所以，三棱锥 A - EFH 的体积为 3. ……6 分3（2）证法一：连接 AC 、 EGA 、 E 、 G 、 C 四点共面∴平面 ABCD 平面 ACGE = AC ，平面 EFGH 平面 ACGE = EG 又平面 ABCD ∥平面 EFGH∴ AC ∥EG……8 分同理可证， AB ∥EF ，BC ∥FG ，AD ∥EH ，CD ∥GH∴∠BAC = ∠FEG ，∠ABC = ∠EFG ∠DAC = ∠HEG ，∠ADC = ∠EHG ∴△ABC ∽△EFG ，∠ADC ∽∠EHG∴ AD = AC = AB =1……10 分 EH EG EF 2延长 FB 交 EA 的延长线于点 P ，延长 HD 交 EA 的延长线于点 QAB ∥EF ，AD ∥EH∴线段 AB 、 AD 分别为△PFE 、△QHE 的中位线∴ AP = AE ，AQ = AE ∴ AP = AQ∴ P 、 Q 重合则直线 FB HD = P .……12 分证法二： A 、 E 、 G 、 C 四点共面∴直线 EA 、 GC 相交或平行 若 EA ∥GCEA ⊂ 平面ABFE ， GC ⊄ 平面ABFE∴GC ∥平面ABFE……7 分又 GC ⊂ 平面GCBF ， 平面GCBF 平面ABFE = BF3∴GC ∥BF 则 AE ∥BF平面 ABCD ∥平面 EFGH平面 ABCD 平面 ABFE = AB ，平面 EFGH 平面 ABFE = EF∴ AB ∥EF则四边形 ABFE 为平行四边形则 AB = EF ，与已知 2 AB = EF 矛盾∴ EA ∥GC 不成立，只能是 EA 、 GC 相交设 EA GC = PGC ⊂ 平面 GCBF ， EA ⊂ 平面 ABFE ∴ P ∈平面 GCBF ， P ∈平面 ABFE∴ P 点在平面 GCBF 与平面 ABFE 的交线上平面 CBFG 平面 ABFE = FB∴ P ∈ FB……11 分同理可证， P ∈ HD∴ FB HD = P .22．（12 分）解：（1）圆 C 的圆心 C (-3, 4) ，半径 r = 4由弦 AB 的长为 211 得：点 C 到直线 l 的距离为⎛ 1⎫2d = r 2 AB == 5-⎪⎝ 2⎭(2m +1) ⨯ (-3) + (m - 2) ⨯ 4 - 3m - 4又 d ==5 m + 3(2m +1)2 + (m - 2)2 m 2 +1m + 355m 2+1解得： m = -4；3（2） cos ∠MPN = 1- 2 sin 2∠MPC = 1⎛CM232- 2= 1 -P CP 2⎝ ⎭由（1）知点 C 到直线 l 的距离 d =5 m + 3m 2 +1∴ CP d ，∴ CP = d 时， cos ∠MPN 的值最小，即 cos ∠MPN 的最小值为1 - d32由已知得1 - d322 = 1345 ，解得 d = 35∴5 m + 3= 3 5 ，解得 m = 34 或 0m 2+1……8 分……9 分……10 分……12 分……1 分……2 分……3 分……4 分……5 分……6 分……7 分4m ＞0 ，∴m =3……8 分4当 m = 3 时，直线 l 的方程为 2x - y - 5 = 04设 P (a , 2a - 5) ，以 CP 为直径的圆记为圆 D则圆 D 的方程为 (x + 3)(x - a ) + ( y - 4)( y - 2a + 5) = 0即 x 2 + y 2 + (3 - a ) x + (1 - 2a ) y + 5a - 20 = 0 ① ……9 分圆 C 的方程为 x 2 + y 2 + 6x - 8y + 9 = 0 ② 由②－①得 (a + 3)x + (2a - 9) y - 5a + 29 = 0③M 、 N 两点为圆 C 和圆 D 的公共点∴③即为直线 MN 的方程……10 分③变形得 ( x + 2 y - 5) a + 3 x -9 y + 29 = 0⎧x + 2 y - 5 = 0⎧x = - 13解得 ⎪……11 分由 ⎨ = 0 ⎨ 44⎩3x - 9 y + 29 ⎪⎪y =15⎩所以，直线 MN⎛ 13 44 ⎫经过定点- , ⎪.……12 分1515⎝ ⎭5。
蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高一期中联考数学参考答案及评分标准
3
lg 2 lg 3
lg 2 lg 3
233 2
（2）原式
=
27 8
2 3
1 125
2 3
22 5
1
50 2
1
8 27
2
3
2
125 3
2
2 5
1
50 2
1
2 3
2
52
22 5
5
2 1 4 2 1 13
9
9
……5 分 ……10 分
18．（12 分）
（1） A {x x2 5x 4 0} {x 1 x 4} ，B {x 1 2 x 8} {x 1 x 3} ……2 分 2
2
①若
a 2
2 时，即 a
4 时，
f
(x)
在[2, 4]
上单调递增，
fmin
(x)=f
(2)
7
3a
……7 分
②若 a 2
4 ，即 a 8 时，
f
(x) 在[2, 4] 上单调递减，
fmin (x)
f
(4)
19 3a
1……9 分Fra bibliotek③若 2 a 4 ，即 8 a 4 时， f (x) 在 [2, a] 上单调递减，在[ a , 4] 上单调递增
13． 1
14． (, 2] [3, ) 15． (3, 0) (3, )
1 16．[ , 2]
2
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17．（10 分）
（1）原式 lg 52 2 lg 23 lg 27 lg 2 3 2(lg 5 lg 2) lg 33 lg 2 3
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学联考试题(含答案解析)
【答案】A
【解析】首先求出函数解析式，再代入计算即可.
【详解】
f x x
解：设幂函数的解析式为
f
则
2
2 4 ，解得 4
f x x4
f 2 24 16
故选： A
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式，及函数值的计算，属于基础题.
5．已知
a
log3
1 3
,
1
b 33 ,
c
1 3
3
故参加了活动的人数有 4 3 6 13 人.故两种活动都没参加的有15 13 2 人.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了集合中元素的计算,属于基础题.
3m
15．若
4n
m, n
0，则 log4
3
______.（用 m，n
表示）
n 【答案】 m
【解析】利用换底公式化简即可.
【详解】
设 3m 4n a m, n 0,则 m log3 a, n log4 a ,
对任意两个不相等的正数 x1, x2 都有
x1 x2
,即
f
x1
x1 x1
f x2
x2 x2
0
g x1
x1
g x2
x2
0
,故
g(x)
在 0, 上为减函数.
又
f
2 0 g(2) ,故
f
2 0
2
.
综上, g(x) 为偶函数,且在 , 0上单调递增,在 0, 上单调递减.
f x
g 2 g 2 0
18．己知全集U R ，集合 A x 2„ x„ 0 , B x x 2x a 0 ，且 a 1 .
四川省蓉城名校联盟2020-2021学年第一学期高中2020级高一期中联考数学科解析版
蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（学生版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,22.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B．()f x =C ．22()log xf x = D ．2log ()2xf x =3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 26.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.1212.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 14.不等式236212()2xxx --≥的解集为________． 15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-. （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域； （2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数． （1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈) 21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围. 22.已知函数()42+=x xbf x 为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（解析版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,2【答案】 A. 【解析】∵{}{}Z 111,0,1=∈-≤≤=-B x x ，则{}1,0,1=-AB ，故选A.2.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B ．()f x =C ．22()log xf x =D ．2log ()2xf x =【答案】 C ． 【解析】由题意得，()f x x =的定义域为R ，A ：2()x f x x=的定义域为()()-00∞+∞，，，与()f x x =的定义域不一样，排除A ．B ：()f x =R ，但是()f x x =，排除B ，D ：2log ()2xf x =的定义域为()0+∞，，排除D ，所以正确答案选C . 3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+【答案】 A ． 【解析】2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，A 正确；2()f x x=在(0,)+∞上为减函数，B 错误； ()lg(2)f x x =-为在(2,)+∞上为增函数，C 错误；()24f x x =-+在(0,)+∞上为减函数，D 错误；故选A ．4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D. 【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =， 此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C. 【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.6.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[【答案】 D 【解析】由题意得⎩⎨⎧>-≥-04132x x ，解得42<≤x ；选D.7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-【答案】 A 【解析】因为方程有两个不等实根，所以0814)2(2>⨯⨯-=∆a ，解得22>a 或22-<a ；又221>>x x ， 所以212x x a +=，所以22>a ，且2232)2(222>--=a a x ，解得3<a ，所以322<<x ，选A. 8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B ． 【解析】根据题意，对于任意的1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->- 成立则函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤在R 上是增函数∴1201(2)1462a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯+-≤+⎩，解得52,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由0452>-+-x x 得函数)(x f 的定义域为)4,1(，根据复合函数的单调性得⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2541x x ，解得251≤<x ，∵函数)(x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，∴]1,[+m m ⊆51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎩⎪⎨⎧≤+>2511m m ，解得231≤<m ；选C. 10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A 【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.12【答案】C. 【解析】由题可知：函数()f x 为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题.若1x ≤时，2()(1)f x x =+，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有42(1)(1)0x a x +-+=. 当1x =-时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，当1x ≠-时，2()(1)0f x x =+>，∴方程两边可同时除以2(1)x +，则方程变为2(1)0x a +-=，又知03a <<，则该方程有两根，∴方程展开有2210x x a ++-=，由韦达定理得122x x +=-；若1x >时，()|4|f x x =-，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有2|4||4|0x a x ---=. 当4x =时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根， 又|4|0x ->，方程两边可同时除以|4|x -，则方程变为|4|0x a --=，当4x >时，方程为40x a --=，∴=4x a +，∴这是方程其中一个根， 当14x <<时，方程为40x a --=，∴=4x a -，∴这是方程其中一个根，综上所述：方程的实根有，1-，1x ，2x ，4，4a +，4a -，则所有实根之和为9，故选C. 12.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】 B ． 【解析】()()()213031011221x x x x x x x --⇒⇒--≠--≤≤≤且，故(]1,3M = ∵MN N ⊆，∴M N ⊆，由题意可得：210ax x -+>在(]1,3x ∈上恒成立即21x a x ->在(]1,3x ∈上恒成立，故只需2max1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ 22211111124x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当112x =即2x =时，2max 114x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故14a >，故选B ． 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 【答案】1-． 【解析】由题意可知：1a =或21a =，故1a =±.当1a =时，21a a ==不满足元素的互异性，故舍去；当1a =-时，{}{}2,1,1a a =-符合题意.14.不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【答案】(][),23,-∞+∞．【解析】不等式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 【答案】()()3,03,-+∞.【解析】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==， ∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<， ∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<， 综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-+∞.16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可得：对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()()()123f x f x f x +>恒成立，只需()()min max 2f x f x > ()2112121x x xm m f x +-==+++， ①当1m =时，()1f x =，满足题意；②当1m >时，()f x 在R 上单调递减，()1f x m <<，故需21m ⨯≥，即12m <≤；③当1m <时，()f x 在R 上单调递增，()1m f x <<，故只需21m ≥，即112m <≤，综上所述，m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2 （2）139【解析】（1）原式232lg 27lg 23lg3lg 2lg5lg 232(lg5lg 2)323323lg 2lg3lg 2lg3=+-⨯+=+-⨯+=-+=（2）原式222213333227185011251812527--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-=+÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22241351213599⎛⎫=+⨯=+-= ⎪⎝⎭4219=+-139=18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,4；（2）[)1,13,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．【解析】(1)由题得：()()254014014x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，即[]1,4A =； 同理：131282222x x -≤<⇔≤<，由函数2x y =在定义域内单调递增，可得[)1,3x ∈-． 即[)1,3B =-．从而有()[]3,4RAB =．(2)分类讨论集合C 是否为空集． ①当C =∅时，则233m m m ≥+⇒≥；②当C ≠∅时，由()C AB ⊆可得：231341221m m m m m <+⎧⎪⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪≥-⎪⎩．综上所述：m 得取值范围为：[)1,13,2m ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-.（1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.【答案】（1）[]0,25（2）273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩. 【解析】（1）当2a =时，2()21f x x x =++，对称轴：1x =-，∴()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,4-上单调递增.∴min ()(1)0f x f =-=，max ()(4)25f x f ==，故函数的值域为[]0,25.（2）∵2()3f x x ax a =++-的对称轴：2a x =-， ①若22a -≤-时，即4a ≥，()f x 在[]2,4-上单调增，∴min ()(2)73f x f a =-=-； ②若42a -≥时，即8a ≤-，()f x 在[]2,4-上单调减，∴min ()(4)193f x f a ==+； ③若242a -<-<-时，即84a -<<，()f x 在2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调减，在,42a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增， ∴2min ()()322a a f x f a =-=--+； ∴综上所述：273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩．20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈)【答案】 （1） 1.5-.（2）3.【解析】（1）由题意得04y =，1 3.94y =，所以当1n =时， 1.51001()5b y y y y +=--⨯，即 1.53.944(4 3.94)5b +=--⨯，解得 1.5b =-.（2）由（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 1.5 1.540.065n n y -=-⨯； 所以 1.5 1.540.065.208n n y -=≤-⨯， 整理得， 1.5 1.5 1.9250.06n -，即 1.5 1.5532n -， 两边同时取常用对数，得5lg32lg 25lg 21.5 1.5lg5lg51lg 2n -==-， 将lg20.3=代入，得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-， 又因为*n N ∈，所以 2.43n ，所以3n =.综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）减函数；（2）()1,3-.【解析】（1）判断：减函数，证明：任取1x ，2x ，假设12x x <，∴()()212144=222121x x f x f x ---+++()()()12124222121x x x x -=++， ∵12x x <，()()1221210x x ++>，()124220x x -<，∴()()210f x f x -<，∴函数()f x 在定义域上单调递减.（2）函数的定义域为R ，∵22224()22=()212121x x x x f x f x ---⨯⎛⎫-=-==--- ⎪+++⎝⎭， ∴()f x 是奇函数，∵(())(1)0f f x f t +-<，∴()(())1f f x f t <-，又∵()f x 在定义域上单调递减，∴()1f x t >-，所以，存在1()t f x >-，等价于()min 1()t f x >-，又∵()()2,2f x ∈-，()1()1,3f x -∈-∴ 1.t >-22.已知函数()42+=x x b f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1=-b ；（2）32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,；（3）不存在m 满足条件，理由见解析. 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. （3）不存在，理由如下，设22-=-x x t ，38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，()()2log 2=-+m h t t mt , ∴220-+>t mt 在38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 上恒成立， ∴min 2⎛⎫<+ ⎪⎝⎭m t t ，则176<m ，∵1≠m ，则()170,11,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 对于二次函数()22=-+d t t mt ，开口向上，对称轴为2=m t ，∴11170,,22212⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ∴对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，则二次函数()22=-+d t t mt 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则()min 3317224⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，()max 8882329⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ， 假设存在满足条件的实数m ，则当()0,1∈m 时，由复合函数的单调性判断方法，可知()()2log 2=-+m h t t mt 为减函数， ∴()max 0=h t ，则()()2min min 21=-+=d t t mt ，∴33171224⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭d m ， ∴()160,13=∉m （舍）， 同理可知，当171,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 时，73171,246⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭m （舍）， 综上所述，不存在实数m 满足条件成立.。
2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}，则M∩N∗=()A. (−1,1]B. {1}C. (0,2)D. {0,1}2.函数的定义域为，若对任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则()A. B. C. D.3.函数的单调递减区间为()A. (−∞,−3)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−3,−1)4.已知a=log20.3，b=0.31.3，c=21.3，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c5.已知函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx，对任意x1∈(−∞,23]，都存在x2∈(0,+∞)，使得f(x1)−g(x2)=14，则x1−x2的最大值为()A. −2548B. −2348C. −13−ln2 D. −12−ln36.函数的定义域为()A. [π4,+∞) B. [π4,5π4]C. D.7.若关于x不等式kx2−kx+1>0的解集为R，则实数k的取值范围是()A. (0,4)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. [0,4)8.定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有( )A. B. C.D.9.函数f(x)=log 12(−x 2−2x +3)的单调减区间为( ) A. (−∞,−1] B. (−3,−1] C. [−1,1) D. [−1,+∞)10. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f(x +2)=f(x)，且当x ∈[0,2]时，f(x)=e x −1，则f(2 013)+f(−2 014)=( )．A. 1−eB. e −1C. −1−eD. e +111. 已知函数f (x )=则函数f (x )的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f′(x)<12，则f(x)<x2+12的解集为( )A. {x|−1<x <1}B. {x|x >−1}C. {x|x <−1或x >1}D. {x|x >1}二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 下列关系式中，正确的关系式有______个①√2∈Q ②0∉N ③2∈{1,2} ④⌀={0} ⑤{a}⊆{a}．14. 光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，则通过3块玻璃板后的强度变为______ ． 15. 已知f(x)=(x+1)2x 2+1+sinx ，若f(m)=2，则f(−m)的值是______ ．16. 函数f(x)=|x −2|−lnx 的零点个数为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简下列式子：(1)sin(α−5π2)⋅cos(3π2−α)⋅tan(π+α)⋅cos(π2−α)sin(2π−α)⋅tan(α−π)⋅sin(−α−π)(2)2lg3+log 0.114cos0+12lg0.36(3)已知tana=23，求1sinαcosα．18.已知全集U=R，集合A={x|−1<x<1}，B={x|1≤4x≤8}，C={x|−4<x≤2a−7}．(1)A∩(∁U B)；(2)若A∩C=A，求实数a的取值范围．19.已知关于x的二次函数f(x)=ax2−4bx+1，(1)设集合P={−1,1，2，3，4，5}和Q={−2,−1,1，2，3，4}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率；(2)若a是从区间[1,3]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率．20.飞机每飞行1小时的费用由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分P(元)与飞机飞行速度v(千米∕小时)的函数关系式是P=0.01v2，已知甲乙两地的距离为a(千米)．(1)试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用y(元)关于速度v(千米∕小时)的函数关系式；(2)当飞机飞行速度为多少时，所需费用最少？21.已知函数f(x)是定义在(−4,4)上的奇函数，且f(2)=1，当−4<x≤0时，有f(x)=ax+bx+4．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的表达式，并利用定义判断其在该区间上的单调性．22.(本小题满分8分)已知函数(1)若函数的图象经过点，求的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)比较与的大小，并写出必要的理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合M={x∈R|y=lg(4−x2)}={x|4−x2>0}={x|−2<x<2}，M∩N∗={1}．故选：B．化简集合M，根据交集的定义写出M∩N∗．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：D解析：试题分析：由，得，，由得，，，，故，选D．考点：抽象函数．3.答案：A解析：本题考查求复合函数单调区间，解答时需注意定义域，属于中档题．解：由x2+2x−3>0，得x<−3或x>1，的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞)．可看作由和u=x2+2x−3复合而成的，u=x2+2x−3=(x+1)2−4在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，又在定义域内单调递增，在(−∞,−3)上递减，在(1,+∞)上递增，所以的单调递减区间是(−∞,−3)，故选A．4.答案：A解析：解：∵log20.3<log21=0，0<0.31.3<0.30=1，21.3>2，∴a<b<c．故选：A．由log 20.3<0,0<0．31.3<1,21.3>2，即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：函数f(x)=1−√2−3x,g(x)=2lnx ，对任意x 1∈(−∞,23]，都存在x 2∈(0,+∞)，使得f(x 1)−g(x 2)=14， 可得1−√2−3x 1−2lnx 2=14，即34−√2−3x 1=2lnx 2， 可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)， 即有x 1=2−(t−34)23，x 2=e t2，x 1−x 2=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t2，t ≤34，ℎ′(t)=−23t +12−12e t 2，t ≤34， ℎ″(t)=−23−14e t2<0，t ≤34， ℎ′(t)递减，可得ℎ′(t)≥ℎ′(34)， ℎ′(34)<0，ℎ′(0)=0，即t =0为极值点，且为最值点， 当0<t <34时，ℎ(t)递减； 当t <0时，ℎ(t)递增， 可得t =0为最大值点， 求得ℎ(0)=−2548． 故选：A ．由题意即34−√2−3x 1=2lnx 2，可令34−√2−3x 1=2lnx 2=t(t ≤34)，解得x 1，x 2，令ℎ(t)=−13t 2+12t +2348−e t 2，t ≤34，求得导数和单调性、可得极值和最值，即可得到所求最大值．本题考查函数的最值的求法，注意转化思想和构造函数法，考查导数的运用：求单调性和极值，属于难题．6.答案：C解析：解：由题意得：sin(x−π4)≥0，解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4，，故选C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，属于基础题．7.答案：D解析：解：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，令y=kx2−kx+1，∵y>0恒成立，>∴抛物线y=kx2−kx−1开口向上，且与x轴没公共点，∴k>0，且△=k2−4k<0，解得0<k<4；综上所述，k的取值范围为[0,4)．故选：D．先分类讨论：当k=0，有1>0恒成立；当k≠0，利用二次函数的性质求解，令y=kx2−kx+1，要y>0恒成立，则开口向上，抛物线与x轴没公共点，即k>0，且△<0，解不等式即可得到k的取值范围；最后取两者之并即可．本题考查了函数恒成立问题，着重考查二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想的运用和转化思想，易错点在于忽略当k=0的情形，属于中档题．8.答案：B解析：，，当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；当时，，则上式为，所以；所以在上的解集为，故；故答案选．考点：1.抽象函数及其应用；2.推理证明．9.答案：B解析：解：由−x2−2x+3>0，解得−3<x<1，(−x2−2x+3)的定义域为(−3,1)，∴函数f(x)=log12t为单调递减函数，令t=−x2−2x+3，则g(t)=log12由复合函数的单调性可知，f(x)的单调递减区间为t=−x2−2x+3在(−3,1)上的单调增区间．t=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，对称轴为x=−1，开口向下，∴t=−x2−2x+3的单调增区间为(−3,−1]．故选：B．(−x2−2x+3)的单调减区间为t=−x2−2x+3在定义域根据复合函数的单调性可知，f(x)=log12上的单调增区间，再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.答案：B解析：由f(x+2)=f(x)可知函数的周期是2，所以f(2013)=f(1)=e−1，f(−2014)=−f(2014)=−f(0)=0，所以f(2013)+f(−2014)=e−1．11.答案：C解析：解决的关键是对于分段函数的各段的零点分别讨论求解得到结论，属于基础题。
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蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考
数学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则A∩B＝
A.{－1，0，1}
B.{0，1}
C.{－1，1}
D.{0，1，2}
2.下列函数与f(x)＝x是同一函数的是
A.f(x)＝
2
x
x
B.f(x)
C.f(x)＝log22x
D.f(x)＝2
log
2x
3.下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝2
x
C.f(x)＝lg(x－2)
D.f(x)＝－2x＋4
4.若函数f(x)＝log a(x－3)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标是
A.(3，0)
B.(4，0)
C.(3，1)
D.(4，1)
5.已知函数f(x)＝
3
log x2x0
1
x0
3
x
->
⎧
⎪
⎨
≤
⎪⎩
，
()，
，则f(f(－2))的值为
A.－4
B.－2
C.0
D.2
6.已知函数y＝f(x)的定义域为[1，＋∞)，则函数g(x)＝f(2x－3)
A.[－1，4]
B.[－1，4)
C.[2，4]
D.[2，4)
7.已知关于x 的方程x 2－2ax ＋8＝0的两个实根x 1，x 2满足x 1>x 2>2，则实数a 的取值范围为
，3) B.(2，＋∞)
，＋∞) D.(－
，3)
8.已知函数f(x)＝()x a 2x 4a 6x 1a 2x 1
⎧-+-≤⎪⎨+>⎪⎩，，满足对任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有()()1212f x f x (x x )
-->0成立，则实数a 的取值范围是 A.(1，
32] B.(2，52] C.[32，2) D.(1，52
] 9.已知函数f(x)＝()212
log x 5x 4-+-在区间[m ，m ＋1]上是减函数，则m 的取值范围为 A.(－∞，32] B.[52，＋∞) C.(1，32] D.[52
，3) 10.设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则 A.433
4
21(3)(3)(log )3f f f -->> B.433421(log )(3)(3)3f f f -->> C.433421(log )(3)(3)3f f f -->> D.433421(3)(3)(log )3f f f -->> 11.已知函数f(x)＝()2x 1x 1x 4x 1
⎧+≤⎪⎨->⎪⎩，，，则关于x 的方程f 2(x)－af(x)＝0(0<a<3)的所有实根的和
为
A.3
B.6
C.9
D.12
12.已知不等式x 2x 1--≤12
的解集为M ，关于x 的不等式ax 2－x ＋1>0的解集为N ，且M ∪N ⊆N ，则实数a 的取值范围为 A.(0，＋∞) B.(
14，＋∞) C.(29，＋∞) D.(12，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若1∈{a ，a 2}，则a ＝ 。
14.不等式232x x -≥(12
)6－2x 的解集为 。
15.设偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式x ·f(x)<0的解集为 。
16.已知f(x)＝x x 2m 21
++，若对任意的x 1，x 2，x 3∈R ，总有f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)为某一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围为 。
三、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
求下列各式的值： (1)32log 232lg25lg8log 27log 223
+-⨯+；
(2)()()212320
33130.00838550π---⎛⎫
⎛⎫+⨯÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
18.(12分)
己知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}，B ＝{x|
12≤2x <8}，若R 为全体实数集合。
(1)求A ∩(R B)；
(2)若C ＝{x|2m<x ≤m ＋3}，C ⊆(A ∪B)，求m 的取值范围。
19.(12分)
已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2，4]。
(1)当a ＝2时，写出函数f(x)的单调区间和值域；
(2)求f(x)的最小值g(a)的表达式。
20.(12分)
节约资源和保护环境是中国的基本国策，某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少。
已知改良工艺前所排放的废气中每立方米污染物数量y 0＝4mg ，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为y 1＝3.94mg 。
第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为y n ，可由函数模型y n ＝y 0－(y 0－y 1)×51.5n ＋
b (b ∈R ，n ∈N *)给出，其中n 是指改良工艺的次数。
(1)求b的值；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08 mg，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得企业所排放的废气中含有的污染物数量达标。
(参考数据：lg2≈0.3)
21.(12分)
若函数f(x)＝
4
2 21
x
-
+。
(1)判断函数f(x)的单调性并用定义法证明；
(2)若关于x的不等式f(f(x))＋f(t－1)<0有解，求实数t的取值范围。
22.(12分)
4*＋b
已知函数f(x)＝4
2
x
x
b
+
为奇函数。
(1)求实数b的值；
(2)若对任意的x∈[0，1]，有f(2x2－kx－k)＋3
2
<0恒成立，求实数k的取值范围；
(3)设g(x)＝log m[4x＋4－x－mf(x)](m>0，且m≠1)，问是否存在实数m，使函数g(x)在[1，log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。