静电场中的导体

R1 R2 q′ = Q R1 R3 − R1 R2 − R2 R3
R2
− q′ + q′
R 1
Q + q′
R2
R3
附录: 附录:证明
1 σ∝ Rl >> R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 证明: 用导线连接两导体球
则 VR1 = VR2
Q2 = 即 4πε0R 4πε0R2 1
Q σ3 = − Q 联立求解： 联立求解： σ1 = 0 σ2 = S S EA = EC = 0 EB = Q εoS
若第二块板原来带有电荷Q’，现让其接地，结果如何？ 现让其接地，结果如何？
半径为R的金属球与地相连接 在与球心相距d=2R 的金属球与地相连接,在与球心相距 例2 半径为 的金属球与地相连接 在与球心相距 处有一点电荷q(>0),问球上的感应电荷 q'=? 处有一点电荷 问球上的感应电荷 解： 利用金属球是等势 球体上处处电势: 球体上处处电势 U= 0 球心处： 球心处：
r r r r ∫ E ⋅ ds = ∫ E内 ⋅ ds = 0 体内无净电荷！ ∴ ∑ q内 = 0 即：体内无净电荷！
2 空腔导体 ,空腔内无电荷时
A B
内表面？ 内表面？ 外表面？ 外表面？
v v ∫ E⋅dS = 0
S
∑q = 0
i
若内表面带电, 若内表面带电,必等量异号
UAB = ∫
AB
3. 导体表面附近的场强
σ∆S
在导体表面上任取面元∆ 在导体表面上任取面元∆S, 如图作底面积为∆ 的高斯柱面,轴线垂直∆ 如图作底面积为∆S的高斯柱面,轴线垂直∆S 则有： 则有：r r r r r r0 r 0 r
∫ E⋅dS = ∫上E⋅dS + ∫下E⋅dS + ∫侧E⋅dS
= E ⋅ ∆S 1 ∑ q σ ⋅ ∆S = E ⋅ ∆ S ∴ E = σ i = εo εo εo
R 1
R2
R3
法一: 由高斯定理, 法一 由高斯定理 得
E1 = 0 ( r < R1 )
q E2 = ( R1 < r < R 2 ) 2 4 π ε0r E3 = 0 ( R2 < r < R3 ) Q +q E4 = (r > R3 ) 2 4 π ε0r
∞
+q
R 1
−q
Q+ q +
R2
v v R3 Vo = ∫ E ⋅ dl 0 v R2 v v R3 v v ∞ v v R1 v = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + ∫ E3 ⋅ dl + ∫ E4 ⋅ dl
+ +
+ + + + + 带电云
－
－－ － － －
静电感应 电晕放电 可靠接地
0 R1 R2 R3
q q q+Q 1 = ( − + ) 4 π ε0 R1 R2 R3
法二: 直接用大叠加法!
思考:1)用导线连接A,B 再作计算 思考:1)用导线连接 :1)用导线连接 连接A,B q (−q) 中和 连接 球壳外表面带电
r < R3
R3
Q+ q
Q+ q
B
−q q
A R1 O
R2
R1
v v E ⋅ dl
−q
q
R 1
+q
=∫
R2
R1
1 1 dr = ( − ) 2 4πε 0 r 4πε 0 R1 R2 q
R3 3)若接地不是外壳球而是内球 内球上所带电量为零吗? 3)若接地不是外壳球而是内球 内球上所带电量为零吗?？
q′ q′ Q + q′ 1 V球 = ( − + )=0 R3 4 π ε 0 R1 R2
反证法： 反证法： 设导体内部某点 E≠0， ≠ ，
r r 则该处有 F = − eE 此力将驱动电子运动
导体未达静电平衡。 ∴ 导体未达静电平衡。同理可证 (2)
2)推论 导体静电平衡条件的另一种表述 推论(导体静电平衡条件的另一种表述 推论 导体静电平衡条件的另一种表述): (1) 导体是等势体。 导体是等势体。 (2) 导体表面是等势面。 导体表面是等势面。 2. 导体上电荷分布 ** 体内无净电荷 ρ=0)，电荷只分布在导体表面上 体内无净电荷(ρ ， 证明： 证明：1 体内无空腔 .p 围任一点P作高斯面 由高斯定理得： 围任一点 作高斯面S, 由高斯定理得： 作高斯面
Q 1
σ14πR12 σ2 4πR22 σ1 R2 = ∴ = 4πε0R 4πε0R2 σ2 R 1 1
尖端放电现象 带电导体尖端附近的 电场特别大, 电场特别大,可使尖端附 近的空气发生电离而成为 导体产生放电现象． 导体产生放电现象．
σ↑E↑
< 电风实验 >
+++ ++
+ +
+ + +
避雷针的工作原理
表面尖端处, 表面尖端处,E较大 表面凹进处, 表面凹进处,E最弱
避雷针 尖端放电 除尘器 ……
注:具体证明和例子详见附录
5.静电屏蔽 静电屏蔽 模型： 空腔内有带电体的导体壳 模型：**空腔内有带电体的导体壳 设导体带电荷Q，空腔内有一带电体 ， 设导体带电荷 ，空腔内有一带电体+q，则导体 壳内表面所带电荷为-q 壳内表面所带电荷为 证明： 在导体壳内作一高斯面S 证明： 在导体壳内作一高斯面
§4 静电场中的导体(金属导体 静电场中的导体 金属导体) 金属导体
导体 将实物按电特性划分： 将实物按电特性划分： 半导体 绝缘体 在均匀场放入一导体的情况 : 静电感应
r E′
r E
E内 = 0
电荷不动 表面出现感应电荷 uu ur r 电荷积累到一定程 达静电平衡 E' + E = 0 度
1. 导体静电平衡条件 导体的静电平衡状态： 导体内部和表面都 导体内部和表面都没有 导体的静电平衡状态：—导体内部和表面都没有 静电平衡状态 电荷作宏观定向 宏观定向运动的状态 电荷作宏观定向运动的状态 。 1) 导体静电平衡条件： 导体静电平衡条件： (1)导体内部任何一点的场强等于 0 。 导体内部任何一点的场强等于 导体内部任何一点的 (2)导体表面任何一点的场强都垂直表面 (2)导体表面任何一点的场强都垂直表面 。 导体表面任何一点的
Q+q
−q S
+q
r r 由高斯定理： 由高斯定理：∫ E ⋅ dS = 0 ∴∑qi = 0 ∑ q i = q + q内 = 0
i
即：q内 = −q 得证
i
由电荷守恒： 由电荷守恒： q外 = Q + q
讨论
Q+ q +q
1)若将腔内带电体与导体壳连接， 若将腔内带电体与导体壳连接， 若将腔内带电体与导体壳连接 会出现什么情况？ 会出现什么情况？ 腔内无电荷分布： 腔内无电荷分布：E内=0 屏蔽外场
Q
+q
−q
2)若将导体壳接地，又会出现 若将导体壳接地， 若将导体壳接地 什么情况？ 什么情况？ 导体壳外： q外 = 0 导体壳外：E外=0 屏蔽内场
一金属平板, 面积为S带电 带电Q, 在其旁放置第二块同面 例1 一金属平板 面积为 带电 积的不带电金属板. 静电平衡时,电荷分布及电场分布 积的不带电金属板 求 (1)静电平衡时 电荷分布及电场分布 静电平衡时 电荷分布及电场分布. (2) 若第二块板接地 忽略边缘效应 若第二块板接地?忽略边缘效应 忽略边缘效应. 解： (1) 设四个面上电荷面度为 σ1 σ2 σ3 σ4 σ1 σ2 σ3 σ4 σ1 + σ2 = Q 由电荷守恒律,有 由电荷守恒律 有： S Q σ3 + σ4 = 0 A B C 如图取高斯柱面， 由静电平衡条件: 如图取高斯柱面， 即：σ2 + σ3 = 0 .P 导体内任意一点 其电场 E=0 导体内任意一点P, r σ1 σ 2 σ 3 σ 4 E 即：2ε + 2ε + 2ε − 2ε = 0 o o o o 得： σ1 = σ2 = Q 2S
vi v 与导体是等势体矛盾! E ⋅ dl ≠ 0 与导体是等势体矛盾!
即电荷全分布在导体外表面上! 电荷全分布在导体外表面上!
?若导体内空腔有带电体, 若导体内空腔有带电体,
电荷分布? 电荷分布?
结论:一般情况下, 结论:一般情况下, 净电荷分布在导体 的外表面, 若导体 外表面, 空腔内有带电体, 空腔内有带电体, 内外表面都有净电荷 内外表面都有净电荷
即：∫
q′ 4πε o R
q′
R
o
R
Uo= 0
q
d q′ q + =0 4πε o 2R 0 4πε oR
=− q 4πε o 2 R
q ∴ q′ = − 2
课堂练习: 课堂练习: 有一外半径R3, 内半径R2的金属球
的同心金属球, 壳,在球壳中放一半径R1的同心金属球,若使 球壳带电Q 球壳带电Q和球带电q. +Q 问: 两球体上的电荷如何 +q 分布？球心电势为多少？ 分布？球心电势为多少？
σ3 = − Q 2S σ4 = Q 2S
EC =
Q 2εoS
EA = −
Q 2εoS
EB =
Q 2εoS
σ1 σ2 σ3 σ4
Q
(2)第二块板接地 第二块板接地 则 σ4与大地构成一导体
σ4 = 0
A
B
C
.P
r E
σ1 + σ2 = Q S 同理可得： 同理可得： σ + σ = 0 2 3