高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 典型例题变化率问题例题讲解素材 北师大版选修1-1
（完整版）变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳
（完整版）变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳1●⾼考明⽅向1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的⼏何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x 的导数． 4.能利⽤基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.★备考知考情由近⼏年⾼考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题⽬很少出现，主要是以导数运算为⼯具，考查导数的⼏何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、⽅程、斜率与倾斜⾓的关系，以平⾏或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014⼴东理科10、⽂科11. 2014⼴东理科10 曲线52-=+xy e在点()0,3处的切线⽅程为；2014⼴东⽂科11曲线53=-+xy e 在点()0,2-处的切线⽅程为；⼀、知识梳理《名师⼀号》P39知识点⼀导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.(2)称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数.注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题1f′(x)与f′(x0)有什么区别？f′(x)是⼀个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．例.《名师⼀号》P39 对点⾃测11.判⼀判(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)f′(x0)与[f(x0)]′表⽰的意义相同．()(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．()答案(1)×(2)×(3)√23知识点⼆导数的运算公式及法则 1.基本初等函数的导数公式注意：（补充）常量函数的导数为零11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.nn x xx x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x ==则42.导数的运算法则注意：（补充）复合函数的导数(())y f u x =，'''(())()y f u x u x =g注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题3对函数求导时，其基本原则是什么？求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利⽤运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于⽐较复杂的函数，如果直接套⽤求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进⾏合'221.(()())''()'()2.(()())''()()()'()()'()()()()'3.()()4.(())''()1'()5.[]'()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x cf x cf x g x g x g x ±=±?=?+-= ==-理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．, 称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'0000()()()lim lim→?→+?-===x xf x x f xyk f xx x切线5导数的⼏何意义函数在x=x0处的导数——曲线y=f(x)在点（x0,f(x0))处切线的斜率.导数的物理意义——瞬时速度例.周练13-1⼀个物体的运动⽅程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是⽶，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是() A．7⽶/秒B．5⽶/秒C．6⽶/秒D．4⽶/秒注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．注意:《名师⼀号》P40 问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？在点P处的切线，P是切点，⽽过点P的切线，P不⼀定是切点，后者包括前者．67⼆、例题分析： (⼀) 导数的计算例1.（补充）⽤导数定义求函数1()f x x=的导数。
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修2_2
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
解 :(1)∵Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-(43+3)=(Δt)3+12(Δt)2+48Δt,
������
∴ Δ������ = 48 + 12Δ������ + (Δ������)2.
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0). 而当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变化率,
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03.
(2)结合(1)知,当t趋于2时,平均速度趋于14.所以估计当t=2时,该
质点的瞬时速度为14.
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1)
=2x0-2+Δx.
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题型一 题型二
题型二
瞬时变化率
【例2】 如果一个质点从定点A开始运动,在时间t的位移函数为
高中数学课件第二章第11节《变化率与导数、导数的计算》资料
答案：(1,0)
根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：
1.求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2.求平均变化率 ＝
；
3.得导数f′(x0)＝
.
上述过程可简化为：一差、二比、三极限.
利用导数的定义求函数y＝ 的导数.
[思路点拨] 按照一差、二比、三极限.
[课堂笔记] ∵Δy＝
＝
∴
∴
即y′＝
.
， ，
，
若将“y＝ 解：Δy＝
”改为“y＝ ”呢？ ，
1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区 间(a，b)内的导数的基本步骤：
(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征； (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导； (3)整理得结果. 2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函
，即f′(x0)＝
(3)导函数 当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝ y′＝
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲 线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的 斜率 ，过点P 的切线方程为：y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式 原函数
答案：B
4.设f(x)＝
＋ ，则f′(x)＝
.
解析：f′(x)＝(
＝
＝
＋ )′＝(
)′＋( )′＝ ( )′
答案：
5.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行
于直线3x－y＝0，则点P的坐标为
.
解析：由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率 等于3， 即f′(x0)＝ －1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1， 0).
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率笔记省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
(A)27 (B)20
(C)25
(D)23
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3.以初速度为v0(v0>0)(单位:米/秒)作竖直上抛运动物体, t秒时高度(单位:米)为s(t)=v0t- g1t2,则物体在时刻t0时
2 瞬时速度为__________.
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29/53
知能巩固提升
30/53
一、选择题（每小题5分，共15分）
(B)(-4,33)
(C)(-1,3)
(D)不确定
45/53
【解析】
46/53
2.（5分）物体运动曲线s=3t-t2,则物体初速度为_____. 【解析】
答案：
47/53
3.(5分)汽车行驶旅程s和时间t之间 函数图象如图,在时间段［t0,t1］, ［t1,t2］,［t2,t3］上平均速度分 别为v1,v2,v3,则三者大小关系为________.
20/53
思绪点拨：解答本题可先依据要求问题选好使用函数解析式， 再依据求平均改变率和瞬时改变率方法求解平均速度和瞬时速 度.
21/53
22/53
23/53
24/53
25/53
26/53
2.从时刻t=0开始t s内,经过某导体电量(单位:库仑)可由公式
q=2t2+3t表示,则在第5 s 时电流强度为（ ）
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2/53
3/53
4/53
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6/53
7/53
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经典例题精析
10/53
11/53
12/53
13/53
14/53
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【例2】求函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间平均改变率;并结合 图象探讨当Δx取定值后,随x0取值不一样,该平均改变率是 否相同？ 思绪点拨：解答本题可先依据定义求平均改变率,再结合图像 探索和观察平均改变率改变情况.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化
2.1 导数的概念及其应用导数是数学中最重要的概念之一，是我们这一章内容的根本，只有准确把握好导数的概念才能用它指导相关知识的学习，才能用它来解决问题．一 细说导数的概念１． 函数()f x 在某一点0x 处的导数：它是用函数在这一点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量趋与零时的极限来度量的，即 ()'0000()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，或者()0'000()()lim x x f x f x f x x x →-=-，或者()'0000()()lim x f x f x x f x x∆→--∆=∆，或者在k 为非零常数时()'0000()()lim x f x k x f x f x k x∆→+∆-=∆等．这几种形式是等价的，明确这点对解题很有帮助． 例１．已知函数()f x 中，()'12f =,求xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim 0． 分析：当0x ∆→时，20x -∆→，只需将xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim 0变形为(2)0[1(2)](1)2lim (2)x f x f x -∆→+-∆---∆，即可用导数的定义解决． 解：()'0(2)0(12)(1)[1(2)](1)lim 2lim 214(2)x x f x f f x f f x x ∆→-∆→-∆-+-∆-=-=-=-∆-∆． 点评：函数在某一点0x 处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量x ∆必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是2x -∆， 12x ∆等． ２． 函数()f x 在开区间(),a b 内的导数：如果函数()f x 在开区间(),a b 内可导，对于开区间(),a b 内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样'()f x 在开区间(),a b 内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间(),a b 内的导函数， 记作 ()()()00lim lim x x f x x f x y f x y x x∆→∆→+∆-∆'='==∆∆，导函数也简称为导数．例２．求()22f x x =的导数．分析：我们先认定x 为函数()f x 在定义域内的某一个固定的点，用导数的定义求其在这一点处的导数，而这个x 在定义域内又是任意的，故所求出的导数就是函数()22f x x =的导数．解：()()()()222'0002242lim lim lim 424x x x x x x x x x f x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-⋅∆+∆===+⋅∆=∆∆． 点评：定义法是求函数导数的基本方法．二 导数在解决问题中的应用例３．求证：偶函数的导数是奇函数．分析：根据偶函数的定义和导数的定义进行变换．证明：设()f x 是偶函数，则()()()()()()()()'00'()0limlim ()lim ()x x x f x x f x f x xf x x f x xf x x f x f x x ∆→∆→-∆→+∆-=∆--∆--=∆-+-∆--=-=---∆， 即对函数()f x 的定义域内的任意x 有()''()f x f x -=-，即'()f x 是奇函数．点评：0030x x x ∆→⇔-∆→⇔∆→等是活用导数的定义的关键，变形时注意分子分母中自变量改变量的一致性．小结：从上面不难看出导数概念中的关键是＂自变量改变量的一致性和自变量的改变量趋于零的绝对任意性＂．。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
知识讲解_《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固_基础
《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数3. 体会研究函数的意义（1 ）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4•导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义导数的概念：函数y=f（x）在x0点的导数，通常用符号f ‘X。
）表示，定乂为:一山y 「 f (Xo +^X)—f (Xo )f(x0尸lim ——=lim ------- ----------- ----- ---瘵T0也X 2°氐X要点诠释：(1)丄[_^= _j—X L，它表示当自变量x从x°变X i，函数值从 f x°变到 f X1时，.X X—X°. X函数值关于X的平均变化率•当X趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在X°点的导数.(2)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率•如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.(3)对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中，位移S从时间1到t2的平均变化率即为t i到t2这段时间的平均速度.要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s=s t ,那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s t在t=t0时的导数，即v=s' t。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
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3.1 变化的快慢与变化率
【例1】已知质点M 按规律s=2t 2+3作直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),
(1)当t =2，Δt =0.01时，求t
s ∆∆; (2)当t =2，Δt =0.001时，求t
s ∆∆; (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度
【例2】某一物体的运动规律为s=t 3-t 2
+2t +5(其中s 表示位移，t 表示时间，单位：s).则物体在2s 时的瞬时速度为_____________.
参考答案
例1：
【分析】利用平均变化率的求解步骤来解决问题.
【解】：∵t
t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()( t
t t t ∆+-+∆+=)32(3)(222 =4t +2Δt ,
∴(1)当t =2，Δt =0.01时，
t
s ∆∆=4×2+2×0.01=8.02 (cm/s). (2)当t =2，Δt =0.001时，
t
s ∆∆=4×2+2×0.001=8.002(cm/s). (3) 0
0lim lim →∆→∆=∆∆=x x t s v (4t +2Δt )=4t =4×2=8(cm/s). 【点拨】Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的t
s ∆∆越接近某时刻的速度.
例2：
【分析】Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t
s ∆∆即瞬时平均速度 【解】t
t t t t t t t t s ∆∆⋅+∆+∆=∆-++∆+∆+-∆+=∆∆10)(5)(135)2(2)2()2(2323 =(Δt )2
+5·Δt +10.
∴当Δt →0时， 00lim lim
→∆→∆=∆∆x x t s (Δt 2+5·Δt +10) =10,即为t =2时的瞬时速度.
【点拨】解题时要注意式子的整体代入，不要有所遗漏.。