向量似变分不等式解的存在性及解集的稳定性
同伦变换不变性与变分不等式中的解的存在性
本文考虑以下变分不等式问题 V I (Λ,φ) 即找到 x ∈
R 使得
n
拓扑度为 Ω和 0, 记为 deg ( f,Ω, 0) . 用 ∫ , �表示 R 上的内积 , 用 ‖ ‖表示相关范数 .
n
∫Λ ( x) , v - x� +φ ( v) - φ( x) ≥ 0, Π v ∈ R
n n n n
-
-
-
n
对于 r > 0, B = { x ∈ R ∶ ‖x‖ < r} , B = { x ∈ R ∶ ‖x ‖
r n r
—
n
在这个式子中 Λ是 R → R 上的一个连续映射 ,φ是 R → R 上的一个凸函数 , 当算子 Λ是强收敛的 , 问题
VI (Λ,φ) 在 Banach 自反空间是存在解的. 这个问题 G . Stanp acchia 于 60 年 代就研 究过 , J. L. L io ns、 B rezi s 和 Kindderleh res、 Stamp acch ia等都在这些方面作出过贡献 [ 1 - 4 ]. 本文试图利用 B rouw er拓扑度的同伦变换不变性
λ, x ) →φ(λ, x) 是连续的 , 2 ) 设 φ∶ [ 0, 1 ] × Br →R ; ( 对 Πλ∈ [ 0. 1 ] 有 0 | φ(λ, 5B ) , 那么映射λ→ deg (φ(λ
r
—
n
给出一类变分不等式解的存在性. 众所周知 , b rouw er拓扑度在偏微分的理论也起着基 础性作用 ,M. A. Krasno selski i与 H. Amann 用连续的方 法来计算 b rouwer拓扑度相关的一些梯度映射中的问题 , 这种方法也可用于解决偏微分方程周期性解的存在性问 题. 关于 Bouw er拓扑度和预解算子 Pλ φ , 拓扑度理论是非
关于Browder-Hartman-Stampacchia变分不等式
３０ ６ ， ｈ ａ ３０３ Ｃ ／ ） ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ Ｙ ｓ ａ ａ ｐ ｏ ｉ ｎ ；ｒｓ ｌｅ ｔ ｒｕ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｉ ｐ ｒ ｘｍａ ｔ ｅｏ ｖ ｎ ；Ｂ ｏ ￣ ｄ Ａ ｓ ｂＩ
ｖ ｒ ｔ ｎ ｌ ｎ ｑ ａｉ ａｉ ｉ ａ ｅ ｕ ｌｙ；ｍａ ｉ ｌ ｎ ｔｎ ｐ ｉｇ ａｏ ｉ ｔ ｘｍａ ｍｏ ｏｏ ｅ ｍａ ｐｎ
要 ］ 本文是利用 Ｙｓａ近似和预解式研究 Ｂｏｄｒ ａｍ ｎ一 哪 ｏ／ ｈ ｒ ｅ —Ｈ ｒ ａ ｗ ｔ
件下的解 的存在性 。
ｆ 中图分类号］ ０７ ．１ １ ９ ７
【 文献标识码 ］ Ａ
【 文章编号］Ｏ ｌ ４２ （ｏ７ ｏ 一 ０ １ ０ １Ｏ 一 ９ ６２ ｏ） ｌ ００ — ４
与Ｅ 间 的配 对 。他 们在 假定 是具 有 弱紧值 的单 调 映射 。且 由 Ｅ中线 段 到 Ｅ 的弱拓 扑 是上半 连续 等 条件 下 ， 到 了解 的存在 性定 理 。我们 将 问题 （） 得 １称为 Ｂｏｘｒ ａｔａ ｒ ｔ —Ｈ ｒ ｎ—Ｓａ ｐｃｈ ｕｅ ｍ ｔ ａｃｉ ｍ ａ变分 不 等式 。 本文 的 目的是继 续研 究 问题 （）解 的存 在性 ， 们在 没 有 紧性 甚 至 没有 连 续 性条 件 下 得 到 了解 的存在 １ 我 性定 理 。我 们 的结 果改进 和推 广 了 ［， ，，］ １２３４ 的主 要结 果 。 本 文 总假定 Ｅ是 自反 Ｂ ｎｃ 间 ， 认为 它 同时是 严 格 凸的 。 ａａｈ空 可
｝ ， ∈Ｅ， 是正规对偶 映射。众所周知 ， Ｅ 是 若
严 格 凸或 Ｅ是光 滑 时 ， 是单 值 的 ， 值正 规对 偶 映射 记为 。还 有 ， Ｅ ． ， 单 当 是 一致 凸时 ， 有界 集上一 致连 在
变分不等式及其应用
变分不等式及其应用摘要变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。
变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名．作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。
本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用．第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。
第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。
第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。
第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。
关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题VARIATIONAL INEQUALITYAND ITS APPLICATIONABSTRACTVariational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and development of classical variational problems, the form of variational inequalities should be diversification. In this paper, i study the origin, derivation, and applications of variational inequalities.The first chapter is is Preliminaries. In this chaper, i list the definitions of convex functional, upper and lower semi-continuous functional, consecutive, Ferchet differential, montonous map, and so on. They are used forunderstanding the concept, derivation, and applications of variational inequality.In the second chapter, i introduce the concept of variational inequalities and give some common examples of variational inequalities.In the third chapter, by consdering differentiable functions’ extremum problems, non-differentiable functions’ extremum problems, the projection in Hilbert space, control systems of distributed parameter and some other issues, i study the methods of variational inequalities’ derivation.In the fourth chapter, a class of nonlinear quasi-variational inequalitie is introduce, and it is applied to solve second order semi-linear elliptic boundary value problems.Key words:Variational inequalities, extremum problem, elliptic equation，boundary value problem前言 (1)第一章预备知识 (2)第二章变分不等式的概念和例子 (4)§2.1 变分不等式的概念 (4)§2.2变分不等式的例子 (5)第三章变分不等式的导出 (8)§3.1 可微函数的极值问题 (8)§3.2 不可微函数的极值问题 (10)§3.3 Hilbert空间上的投影问题 (11)§3.4 不动点问题 (12)§3.5 分布参数系统控制问题 (14)第四章变分不等式的应用 (17)结论 (19)参考文献............................... 错误!未定义书签。
非线性泛函分析中的变分问题与解的存在性
非线性泛函分析中的变分问题与解的存在性在非线性泛函分析中，变分问题是一类重要的数学问题，研究的是在一定条件下，求解泛函的极值问题。
变分问题是一类典型的优化问题，通过对泛函的变分，可以得到问题的解。
本文将介绍非线性泛函分析中的变分问题，并探讨其解的存在性。
一、变分问题的定义与例子在非线性泛函分析中，变分问题是指通过对泛函进行变分，求得其在某个函数空间中的极值问题。
一个典型的变分问题可以定义如下：设函数空间X为所有满足一定条件的函数的集合，泛函J:X→R为函数到实数的映射。
对于任意的u∈X，若存在v∈X使得对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当∥h∥<δ时，有f(u+h)-f(u)≥ε，那么称v为泛函J在点u处的变分。
当泛函J的变分存在时，我们希望求得v使得泛函J取得最小值。
举例来说，假设我们的函数空间X是连续函数的空间C[0,1]，泛函J定义为J(u)=∫[0,1]((u'(x))^2-u(x))dx。
那么我们的变分问题就是求解泛函J的最小值。
二、解的存在性理论解的存在性是非线性泛函分析中一个重要而困难的问题。
由于非线性泛函的特殊性质，解的存在性通常要比线性问题要复杂得多。
对于变分问题，在一定的条件下，可以通过一些方法证明解的存在性。
1. 现成结果法：对于一些形式特殊的泛函，已经得到了一些现成的结果，可以直接应用。
2. 变分原理法：通过构造一些数学方法或原理，推导出解的存在性。
3. 博弈论方法：借助博弈论的解存在性理论，可以得到一些非线性泛函的解存在性结果。
4. 紧算子法：通过考察相关算子的性质，利用紧算子的一些性质来证明解的存在性。
三、解的存在性实例下面以一个实例来说明非线性泛函分析中的变分问题与解的存在性。
考虑一个非线性问题，求解如下变分问题：求函数u∈C[0,1]，使得J(u)=∫[0,1]((u'(x))^2+u^2(x))dx达到最小值。
为了证明解的存在性，我们可以通过变分原理法来求解。
【国家自然科学基金】_变分不等式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
超网络 超有效性 超图 解的存性 自适应投影算法 自运动 自反banach空间 罚方法 紧值映射 种群系统 相依上导数 熵函数法 混合均衡问题 混合交通 流量分配 泛函极小 比较值原理 正解 模型 极大单调算子 松弛映象 松弛上强制非线性变分不等式 有限维变分不等式 有限变形 最佳不等式 最优误差估计 最优扩散控制 最优性组 无约束最优化 无偏差指标 改进型hardy不等式 拟牛顿算法 拟变分不等式. 拉氏乘子法 抛物型变分不等式 必要条件 必要最优性条件 微粒群优化 强解 强收敛 弹性力学 弱解 广义非线性似变分不等式 广义梯度 广义变分不等式 平衡原理 带误差的三步投影方法 带函数约束的拟变分不等式 市场占有率 山路引理 局部正则性 存在性 多项式logit 多目标规划
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
不等式的解集的特点
不等式的解集的特点
不等式的解集的特点
一、极值点：
一般地，不等式中常数项影响不等式解集的极值点。
当常数项为正时，解集的极大值在不等式右端，极小值在不等式左端；当常数项为负时，解集的极大值在不等式左端，极小值在不等式右端。
二、解集的交点：
不等式的解集中，可能有多个交点，这些交点是由两个或多个不等式的曲线构成的圆形、矩形等等形状的区域。
在这些交点点中，可以求出所有的解。
三、解集的边界点：
解集中有多个边界点，这些边界点是由常数项影响的。
当常数项为负时，边界点在不等式左端；当常数项为正时，边界点在不等式右端。
四、解集的不可分点：
解集中有一些不可分的点，它们是由多项式和常数项组成的，通常会存在一些解两边界的点。
这些点可以被认为是由不等式的解集组成的稳定状态，不会改变。
- 1 -。
微分方程的稳定性与局部解的存在性
微分方程的稳定性与局部解的存在性微分方程是描述自然界中各种变化规律的一种数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在研究微分方程时，人们常常关注两个重要性质，即稳定性和局部解的存在性。
本文将介绍微分方程稳定性和局部解存在性的概念、判定方法和应用。
一、微分方程的稳定性稳定性是指当初始条件发生微小变化时，系统最终状态是否保持不变。
在微分方程中，稳定性有两种类型：稳定和不稳定。
稳定性的判定方法有多种，其中一种常用的方法是利用线性化原理。
对于非线性微分方程，在某一平衡点附近进行线性化处理，通过分析线性化方程的特征根，可以判断原方程在该平衡点附近的稳定性。
例如，考虑一阶常微分方程$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$，其中$f(t,y)$是关于$t$和$y$的函数。
如果该方程的一个平衡点$(t_0,y_0)$满足以下条件：当$t > t_0$时，$f(t,y)<0$；当$t < t_0$时，$f(t,y)>0$，则该平衡点是稳定的。
二、微分方程局部解的存在性局部解的存在性是指在微分方程中，是否存在一个具有一定条件的函数，能够满足方程的要求。
对于一阶微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，可以得到一个局部解的存在性的条件。
皮卡-林德洛夫定理指出，如果微分方程的右端函数满足局部利普希茨条件，即存在常数$L>0$和$M>0$，使得对于$t_0$附近任意两个点$(t,y)$和$(t,y')$，有$|f(t,y)-f(t,y')|\leq M|y-y'|$，则在$t_0$附近存在一个函数$y=\varphi(t)$，满足微分方程和初始条件$y(t_0)=y_0$。
三、稳定性与局部解的应用稳定性和局部解的存在性在科学研究和工程应用中具有重要意义。
在物理学中，通过研究微分方程稳定性，可以分析系统的运动趋势。
例如，在力学中，通过分析质点在势能场中的受力情况，可以判断系统的平衡点是否稳定，进而确定质点在该势能场中的稳定位置。
变分不等式问题的解的存在性
变分不等式问题的解的存在性中国科学(A 辑)第30卷第10期SCIE NCE IN C HINA (Series A)2000年10月变分不等式问题的解的存在性张立平韩继业徐大川¹¹º*(中国科学院数学与系统科学研究院¹应用数学研究所; º计算数学与科学工程计算研究所, 北京100080)摘要对一般凸集约束下的变分不等式问题提出了一个新的例外簇概念. 基于此概念, 给出了变分不等式问题解存在的一个充分条件, 此条件弱于许多已知的关于变分不等式问题的解的存在性条件. 对于伪单调变分不等式问题, 它是解存在的充要条件. 对于P 0非线性互补问题, 利用例外簇的概念, 给出了其解存在的充分条件.关键词例外簇变分不等式互补问题 P 0-函数令K 是R 中一非空闭凸集, F :R y R 为一连续函数. 变分不等式问题(VI(K , F ) ) 即是:求一点x I K , 满足(x -x ) F (x ) \0, P x I K .当K =R +时, VI(K , F ) 转化为如下的非线性互补问题(NCP(F ) ) :求一点x , 满足x \0, F (x ) \0, x F (x ) =0.[1]Tn**T**n n n(1) (2)变分不等式问题在经济平衡理论、控制论、对策论、交通、社会和经济模型等许多方面都有着广泛的应用, 其理论和算法的研究在近几十年里得到了长足的进展. (1) 与(2) 式的基本问题之一是解的存在性问题:在何种条件下, VI(K , F ) 或NCP(F ) 有解. 文献[1]举出了多个存在性定理和文献, 如文献[2~7]等等. 另外Smith[8]和Isac 等[9]分别引入了/例外序列0和[10,11]/例外簇0的概念来研究NCP(F ) 的解的存在性问题. 最近赵和韩等的结果, 对一类VI(K , F ) 提出了例外簇的概念, 这里K 定义如下:nnn推广了文献[8, 9, 12](3)K ={x I R :g i (x ) [0(i =1, , , m ) ; h j (x ) =0(j =1, , , l ) },其中g i :R y R 为连续可微凸函数, h j :R y R 为仿射函数, 且K 满足Slater 条件. 赵和韩等的例外簇概念提供了形如(3) 式的VI(K , F ) 的解存在的一个充分条件,且对伪单调变分不等式而言, 它也是解存在的必要条件. 应用例外簇的概念, 文献[11]给出了P *非线性互补问题解存在的一个充分条件.本文对于带一般闭凸集约束的变分不等式问题定义了例外簇, 它是赵和韩例外簇概念的推广. 通过此概念, 我们给出了关于VI(K , F ) 解存在的一个基本定理:若VI(K , F ) 不存在例外簇, 则它必定有解. 且对伪单调VI(K , F ) 而言, 此条件也是必要的. 最后, 我们给出了P 0非线性互补问题解存在的充分条件.2000-01-30收稿*国家自然科学基金资助项目894中国科学 (A 辑) 第30卷1 例外簇和VI(K , F ) 的解的存在性定理首先给出一些记号:+#+表示Euclid 模, R +表示R 中非负象限, P K (#) 表示到闭集K 上的投影算子. 令DD y R 的连续函数组成的线性空间, 令deg (f , D , y ) 表示f , D 和y 之间的拓扑度, 这里nf I C (D ) , y I R 且y |f (5D ) (见文献[13, 14]) . 下面列出一些引理, 以备后用.引理111引理112n[1][13]nnnx 是VI(k , F ) 的解, 当且仅当x =P K (x -F (x ) ) . 设Dn****H (x , t ) =tG (x ) +(1-t ) F (x ) , 0[t [1. 设y 是R 中的任意一点, 若y |{H (x , t ) :x I 5D , t I [0, 1]}, 则引理113[14]deg(G , D , y ) =deg(F , D , y ) .设D 和F 由引理1. 2定义, 若y |F (5D ) 且deg(F , D , y ) X 0, 则F (x ) =y在D 中有解.[1]n引理114 设F :K y R 为一连续函数. 若K 是非空紧凸集, 则VI(K , F ) 必定有解. 由于引理1. 4, 为研究VI(K , F ) 解的存在性, 本文以下假设K 是无界闭凸集. 我们给出VI(K , F ) 的例外簇的定义.定义111 令x ^I K , 称序列{x }r y ]-[F (x +t r (x ^-x ) ) +t r (x -x ^) ]I N K (x ) ,其中N K (x ) 表示K 在x 的法锥. 法锥N K (#) 的定义如下:N K (x ) ={z I R :z (y -x ) [0, P y I K }, 若x I K ,ª, 其他.nTrrrrrrrr(4)(5)注111 定义1. 1是文献[11]中例外簇概念的推广. 事实上, 设K 是由(3) 式定义的非空闭凸集且满足Slater 条件. 令x I K , 则对任意的y I K , K I [0, 1], 有x +K (y -x ) I K . 令I ={1, 2, , , m }, J ={1, 2, , , l }, I (x ) ={i I I :g i (x ) =0}, 则有0\lim K |00=lim K |0g i (x +K (y -x ) ) -g i (x )Kh j (x +K (y -x ) ) -h j (x )=$g i (x ) (y -x ) , P i I I (x ) , =$h j (x ) (y -x ) , P j I J .T T(6a)(6b)K n对于任意z I N K (x ) , 任意y I R , 如果存在 K >0, 使得x +K (y -x ) I K , P K , 0[KT(5) 和(6) 式, z (y -x ) [0; 如果有x +K (y -x ) |K , P K , 0[KT T$g i (x ) (y -x ) >0, 或存在j I J , 使得$h j (x ) (y -x ) X 0, 故集合S =y -x :y I R ; z (y -x ) >0; $g i (x ) (y -x ) [0, P i I I (x ) ;$h j (x ) (y -x ) =Tn T T第10期张立平等:变分不等式问题的解的存在性895是空集. 由Farkas 引理知, 存在K i \0(i I I (x ) ) , L j I R(j I J ) , 使得 z =rri I I (x )EK i $g i (x ) +rj I JE L $h (x ).jjr lr(7) (8)rT设{x }是VI(K , F ) 关于x ^的一例外簇, 由(4) 式知,-2[F (x +t r (x ^-x ) ) +t r (x -x ^) ]I N K (x ).再由(7) 和(8) 式知, v (K r ) i \0(i I I (x ) ) , 和L r I R , 使得-2[F (x +t r (x ^-x ) ) +t r (x -x ^) ]=取(K r ) i =0(i I I \I (x ) ) , 则有F (x +t r (x ^-x ) ) =-t r (x -x ^) -(K r ) g (x ) =0.令y =x +t r (x ^-x ) , 则x =rrrrr Trrrrrrrri I I (x )rE(K r ) i $g i (x ) +$h (x ) L r . rr(9)1r T r T$g (x ) K r +$h (x ) L r , 2(10) (11)t r r r r r-, 且y I K . 令A r =, 则有x =A r y +(1-1-t r 1-t r 1-t rrrA ^I K . 因01, A r y +(1-A ^I K , 并且(10) 和(11) 式可化为r ) xF (y ) =-(A r -1) (y -x ^) -rTrrr T$g (A r y +(1-A r ) x ^) K r 2(12) (13)$h (A r y +(1-A r ) x ^) L r ,(K ^) =0. r ) g (A r y +(1-A r ) xrTr这表明{y }r y ]设K ={x I R :-x [0}=R +, 取x ^=0, 则(12) 和(13) 式化为-(A r -1) y i , 若y i >0,(14) r (K r ) i \0, 若y i =0. 2r这意味着{y }既是文献[8]中定义的NCP(F ) 的例外序列, 也是文献[9]中讨论的反半径序列.n n n定理111 设K 是R 中一个非空闭凸集, F :R y R 为一连续函数, 则VI(K , F ) 或有解, 或对任意x ^I K , 有关于x ^的一个例外簇.F i (y ) =证令由引理1. 1知, x 是VI(K , F ) 的解当且仅当H (x , t ) =t (x -x ^) +(1-t )D r ={x I R :+x +0.若VI(K , F ) 无解, 则对每个r >+x ^+, 存在z I 5D r , t r I [0, 1], 使得0=H (z , t r ) . 若不然, 则存在r 0>+x ^+, 使得0|{H (x , ) :x I 5D r 0, I [0, 1]}.rrnrrrnn896中国科学 (A 辑) 第30卷由引理1. 2知,deg(因|deg(x -x ^, D r 0, 0) |=1, 故由引理1. 3知,0=H (z , t r ) =t r (z -x ^) +(1-t r ) [z -P K (z -F (z ) ) ]=z -t r x ^-(1-t r ) P K (z -F (z ) ).rrrrrrrrrrrrrr(15)若t r =0, 则由(15) 式知z =P K (z -F (z ) ) , 即z 是(1) 式的解, 矛盾. 若t r =1, 则由(15) 式知, z =x ^, 这与+z +=r >+x ^+相矛盾. 故t r I (0, 1). 由(15) 式知, 对所有的r >+x ^+, t r I (0, 1) ,t r r r r-=P K (z -F (z ) ) I K . 1-t r 1-t r即x >r(16)t r r-是下面问题的惟一解:1-t r 1-t r+x -(z -F (z ) ) +:x I K .2于是有-[x -(z -F (z ) ) ]I N K (x ).即-[F (x +t r (x ^-x ) ) +t r (x -x ^) ]I N K (x ).VI(K , F ) 关于x ^的一个例外簇.定理112 若对某一x ^I K , VI(K , F ) 无关于x ^的例外簇, 则VI(K , F ) 有解.rrrrrrrr(17) (18)r r r r由(16) 式及+z +=r 可知, x I K 且+x +y ](r y +]). 根据定义1. 1, {x }r y ]2 VI(K , F ) 无例外簇的条件定理1. 1和1. 2给出了VI(K , F ) 有解的一个充分条件. 我们将证明这个条件弱于文献中一些已知的解的存在性条件. 对伪单调变分不等式而言, 它也是必要的.n n n定理211 设F :R y R 是一连续函数, K对每个序列{x }+x ^+, 使得r T r (x -x ^) F (x ) \0, (19) 则VI(K , F ) 无关于x ^的例外簇, 因此VI(K , F ) 有解.证用反证法. 假若VI(K , F ) 有关于x ^的例外簇{x }r数列{t r }, 满足0[F (x +t r (x ^-x ) ) +t r (x -x ^) ](x -x ) \0, P x I K .在(20) 式中, 令y =x +t r (x ^-x ) 及x =x ^, 得t r r(y -x ^) F (y ) +1-t rrTrrrrrrTr ry +](20)r-1-t (y -x ^)+y -x ^+. -t r\0.因0F (y ) (y -x ^) [-r Tr第10期张立平等:变分不等式问题的解的存在性 897于是,(y -x ^) F (y ) +x ^+.rrrrrrTrrr(21)但y =x +t r (x ^-x ) I K , 且由+x +y ], 0推论211 设F :R y R 是一连续函数, KK (x ^) ={x I K :(x -x ^) F (x )T(22)有界(或为空) , 则VI(K , F ) 无例外簇.注211 Harker 和Pang 提出了条件(22) (见文献[1]中定理2. 3) , 它是本文条件的推论.文献[11]提出了/p -阶强制性0的概念:定义211 称函数F :R y R 关于凸集K 是p -阶强制的, 若存在p I (-], 1) , x ^I K , 使得lim =+]. (23) x I K , +x +y ]+x +当p =1, (23) 式就是通常的强制性条件(见文献[7]) . 显然, 强制性函数必是p -阶强制的. 反之不然(见文献[11]) . 强制性条件在研究VI(K , F ) 解存在方面起着重要的作用(见文献[7~9, 15]). Hartman 和Sta mpacchia 个结果可推广到p -阶强制性函数.[16]Tnn, Mor 证明了:若F 是强制的, 则VI(K , F ) 有解. 这[7]n n n推论212 设F :R y R 是一连续函数, K使得F 是p -阶强制的, 则VI(K , F ) 无例外簇.[1]n n定义212 称函数F :R y R 在凸集K 中满足Karamardian 条件, 若存在非空有界集D(x -y ) F (x ) \0.n n定义213 称函数F :R y R 为n(a) 在KT T(y -x ) F (x ) \0](y -x ) F (y ) \0;n(b) 在KT T(y -x ) F (x ) >0](y -x ) F (y ) \0.[10]显然, 在单调的概念中, 拟单调是最弱的. 伪单调函数必是拟单调的, 反之不然.T(24) (25)r定义214[11](D1) 称F :R y R 在K 中是弱正常的, 若存在x ^I K , 使得对每个序列{x }(26) (27)n nr T r (x -x ^) F (x ^) \0, +x +>+x ^+. (D2) 称F :R y R 在K 中是严格弱正常的, 若(26) 式换为(x -x ^) F (x ^) >0, +x +>+x ^+.类似于文献[10, 11], 也可证明以下的一些结果:Karamardian 条件, 则VI(K , F ) 无例外簇.rTrnnn n n定理212 设F :R y R 是一连续函数, Kn n n:,898中国科学 (A 辑) 第30卷调的, 则下列条件等价:( ) VI(K , F ) 无例外簇;( ) F 在K 中是弱正常的; ( ) VI(K , F ) 有解.n n n定理214 设F :R y R 是一连续函数, K定理2. 2~2. 4说明本文定理1. 2给出的VI(K , F ) 的解存在条件弱于许多已知的解存在条件, 而且成为伪单调VI(K , F ) 解存在的充分必要条件.3 P 0非线性互补问题的解的存在性我们研究一类重要的非线性互补问题NCP(F ) 的解的存在性, 这里F 是P 0-函数.常见的单调函数、一致P -函数、P -函数、P *-函数均是P 0-函数的特例. 文献[10, 11, 15]中对于单调函数、一致P -函数、P -函数、P *-函数等构成的NCP(F ) 已研究了解的存在性.n n n定义311 称F :R y R 为K1[i [nmax [F i (x ) -F i (y ) ](x i -y i ) \0, P x , y I K , x X y .下面给出NCP(F ) 的解存在的两个充分条件, 这里F 是P 0-函数. 记e i 为第i 个分量是1, 其余分量是0的n 维向量.n n定理311 设F :R y R 是一连续P 0-函数, 若存在n 个数A , n ) , 使得i \0(i =1, 2, , F (A i e i ) I R +(i =1, 2, , , n ) , 则NCP(F ) 在R +中无关于点0的例外簇, 因而NCP(F ) 有解.证设NCP(F ) 在R +中有关于点0的例外簇{x }r y +存在数列{G r }, G r >0, 有F i (x ) =-G r x i , 如果x i >0, F i (x ) \0, 如果x i =0.令Irr+rrrrrnr]n rnn(28) (29)={i :x i >0}, Irrr={i :x i =0}.r(30) (31)由于+x +y ](r y +]) , 故存在i 0, 使得lim sup x i 0=+]. r y +]于是存在r , 使得x i 0>A , y =A i \0. 令x =x i e i , 则有000 x i =y i , P i I Ir****r r; x i 0=xr i*0>A i =y i ; x i >0=y i , P i I I 00r*r+*, i X i 0. (32)由(28) ~(30) 和(32) 式及定理假设知,*x F i (x ) =-G r i , P i I Ir+*,F i (y ) \0, P i =1, 2, , , n ,故P i I Ir +*, 有x i X y i , 且F (x ) i () i i x r *i -F i ) r*r*第10期张立平等:变分不等式问题的解的存在性 899=-G r (x i ) -x F i (y )*r*2r i*(33)[F i 0(x ) -F i 0(y ) ](x i 0-y i 0)*=(x i 0-A i ) (-G r x i 0-F i 0(y ) )r*r*(34)于是(32) ~(34) 式和F 是P -0函数相矛盾, 故NCP(F ) 无例外簇, 因此(2) 式有解.定理312 设F :R y R 是一连续P 0-函数, 若存在n 个数B i [0(i =1, 2, , ,n ) , 使得F (B i e i ) I R +(i =1, 2, , , n ) , 则NCP(F ) 在R +中无关于点0的例外簇, 因而NC P(F ) 有解.证明类似于定理3. 1, 故略.nnnn4 结论本文给出了VI(K , F ) (K 是一般闭凸集) 的例外簇的概念, 证明了VI(K , F ) 无例外簇是解存在的一个充分条件, 并且证明了这个新的充分条件弱于一些已知的解存在条件. 此条件对于伪单调变分不等式问题的解的存在性是充分必要条件, 最后, 给出了P 0非线性互补问题解存在的充分条件.参考文献1 Harker P T, Pang J S. Fini te -di mensional variati onal inequality and nonlinear complementari ty problems:A survey of theory, algo -rithm, and applicati ons. Mathematical Programming, 1990, 48(2):161~2202 Eaves B C. The linear complementarity problem. M anagement Science, 1971, 17(3) :612~6343 Eaves B C. 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