中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案
第 1 页 共 11 页 中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案
班级:___________姓名：___________考号：_____________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中直线𝑦=−𝑥与双曲线𝑦=𝑘𝑥交于A、B两点，P是以点𝐶(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结𝐴𝑃，Q为𝐴𝑃的中点.若线段𝑂𝑄长度的最大值为2，则k的值为（ ）
A．−12 B．−32 C．−2 D．−14
2．如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则𝐷𝐸的长为（ ）
A．2√3𝑐𝑚 B．3𝑐𝑚 C．4𝑐𝑚 D．5𝑐𝑚
4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（ ）
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A．12𝑐𝑚 B．14𝑐𝑚 C．16𝑐𝑚 D．18𝑐𝑚
5．如图，直线𝑙∥𝑚，将含有45°角的三角板𝐴𝐵𝐶的直角顶点𝐶放在直线𝑚上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．15°
6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．70°
7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
8．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为( )
A．2＋√3 B．2√33 C．2＋√3或2－√3 D．4＋2√3或2－√3
第 3 页 共 11 页 10．如图，等边𝛥𝐴𝐵𝐶的边长为4，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐹是𝐴𝐷边上的动点，𝐸是𝐴𝐶边上一点，若𝐴𝐸=2，当𝐸𝐹+𝐶𝐹取得最小值时，则∠𝐸𝐶𝐹的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
11．如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中 ∠𝐴=30°，∠𝐴𝐵𝐶=100° ，观察尺规作图的痕迹，则 ∠𝐵𝐹𝐶 的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D．12 厘米
二、填空题
13．如图，要测量河两岸相对的两点 𝐴 、 𝐵 的距离，在 𝐴𝐵 的垂线段 𝐵𝐹 上取两点 𝐶 、 𝐷 ，使
𝐵𝐶=𝐶𝐷 ，过 𝐷 作 𝐵𝐹 的垂线 𝐷𝐸 ，与 𝐴𝐶 的延长线交于点 𝐸 ，若测得 𝐷𝐸 的长为20米，则河宽 𝐴𝐵 长为 米．
第 4 页 共 11 页
14．如图1，点P从△𝐴𝐵𝐶的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐴的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段𝐴𝑃的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△𝐴𝐵𝐶的面积是 .
15．如图，在正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中 𝐴𝐶 为对角线， 𝐸 为 𝐴𝐶 上一点，连接 𝐸𝐵 ， 𝐸𝐷 ， 𝐵𝐸 的延长线交 𝐴𝐷 于点 𝐹 ， ∠𝐵𝐸𝐷=120∘ ，则 ∠𝐸𝐹𝐷 的度数为 .
16．如图，△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴=40°，D、E是AC边上的点，把△𝐴𝐵𝐷沿BD对折得到△𝐴′𝐵𝐷，再把△𝐵𝐶𝐸沿BE对折得到△𝐵𝐶′𝐸，若𝐶′恰好落在BD上，且此时∠𝐶′𝐸𝐵=80°，则∠𝐴𝐵𝐶= ．
17．如图，测量三角形中线段 𝐴𝐵 的长度为 𝑐𝑚 .判断大小关系： 𝐴𝐵+𝐴𝐶 𝐵𝐶 （填
第 5 页 共 11 页 “ > ”，“ = ”或“ < ”）．
18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是
三、综合题
19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；
（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．
（1）线段OA1的长是 ，∠AOB1的度数是 ；
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
21．已知一次函数𝑦=2𝑥−2的图像为𝑙1，函数𝑦=12𝑥−1的图像为𝑙2．按要求完成下列问题：
（1）求直线𝑙1与y轴交点A的坐标；求直线𝑙2与y轴的交点B的坐标；
（2）求一次函数𝑦=2𝑥−2的图象𝑙1与𝑦=12𝑥−1的图象𝑙2的交点P的坐标；
（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．
22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：
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（1）在给定方格纸中画出平移后的△𝐴′𝐵′𝐶′；
（2）图中𝐴𝐶与𝐴′𝐶′的关系怎样？
（3）记网格的边长为1，则△𝐴′𝐵′𝐶′的面积为多少？
23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM.
（1）求证：EF= 12𝐴𝐶 ；
（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.
24．如图①， 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 中 ∠𝐶=90° ， 𝐴𝐶=6𝑐𝑚 .动点 𝑃 以 𝑎𝑐𝑚/𝑠 的速度由 𝐵 出发沿线段 𝐵𝐴
向 𝐴 运动，动点 𝑄 以 1𝑐𝑚/𝑠 的速度由 𝐴 出发沿射线 𝐴𝐶 运动.当点 𝑄 运动 2𝑠 时，点 𝑃 开始运动； 𝑃 点到达终点时， 𝑃 、 𝑄 一起停止.设点 𝑃 运动的时间为 𝑡𝑠 ， △𝐴𝑃𝑄 的面积为 𝑦𝑐𝑚2 ，
𝑦 与 𝑡 的函数关系图像如图②所示.
（1）点 𝑃 运动的速度 𝑎= 𝑐𝑚/𝑠 ， 𝐴𝐵= 𝑐𝑚 ；
第 7 页 共 11 页 （2）当 𝑡 为何值时， △𝐴𝑃𝑄 的面积为 12𝑐𝑚2 ；
（3）是否存在 𝑡 ，使得直线 𝑃𝑄 将 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 的周长与面积同时平分？若存在，求出 𝑡 的值；若不存在，请说明理由.
第 8 页 共 11 页 参考答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】D
13．【答案】20
14．【答案】12
15．【答案】105º
16．【答案】60°
17．【答案】2.0；>
18．【答案】4√2
19．【答案】（1）解：𝛥𝐴𝐵𝐶是等腰三角形；
理由：把𝑥=−1代入方程得𝑎+𝑐−2𝑏+𝑎−𝑐=0，则𝑎=𝑏，所以𝛥𝐴𝐵𝐶为等腰三角形
（2）解：∵𝛥𝐴𝐵𝐶为等边三角形
∴𝑎=𝑏=𝑐
∴方程化为𝑥2+𝑥=0
解得𝑥1=0，𝑥2=−1．
20．【答案】（1）6；135°
（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1
∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6
∴∠AO A1＝∠O A1B1
∴OA∠A1B1
∵A1B1＝OA
∴四边形OAA1B1是平行四边形．
第 9 页 共 11 页 21．【答案】（1）解：当𝑥=0时，y= -2，即直线𝑙1与y轴交点A的坐标为(0，−2)
当𝑥=0时，y= -1，即直线𝑙2与y轴交点B的坐标为(0，−1)；
（2）解：∵一次函数𝑦=2𝑥−2的图象𝑙1与𝑦=12𝑥−1的图象𝑙2相交
∴2𝑥−2=12𝑥−1
∴𝑥=23
∴𝑦=2×23−2=−23
∴交点P的坐标为(23，−23)；
（3）解：三点P、A、B围成的三角形，如下图，作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵交y轴于点D
𝐴𝐵=|−1−(−2)|=1
△𝐴𝐵𝑃的高DP为：23
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=12𝐴𝐵×𝐷𝑃=12×1×23=13
即由三点P、A、B围成的三角形的面积：13．
22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；
（2）解：线段AC与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等
（3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．
23．【答案】（1）证明：连接CE
2018中考数学专题复习三角形与四边形综合题专项训练(pdf,无答案)
1 1. 如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是角平分线，E是BC边的中点，EF⊥AD于点F，CG⊥AD于点G，
若tan∠CAD=43，AB＝20，则线段EF的长为____
2. 如图，在△ABC中，tan∠ACB=3，点D、E在BC边上，∠DAE＝21∠BAC，∠ACB＝∠DAE＋∠B，点
F在线段AE的延长线上，AF＝AD，若CD＝4，CF＝2，则AC边的长为_____
3. 如图，在△ABC中，∠A=30°，点D、E分别在AB、AC边上，BD=CE=BC，点F在BC边上，DF与BE
交于点G。若BG=1，∠BDF=21∠ACB，则线段EG的长为___
FG
EDA
BC
EBDA
C
F
G
DE
ABC
F
2 4. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点F，若BC＝3CD，BF＝2，则BC边的长为____
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝45°，点E在射线BD上，AE//CD，AE＝DE，若BD＝1，CD＝
5，则AE的长为____
6. 如图，△ABC中，∠AB＝90°，CD是AB边上的中线，点F在线段AD上，点F在CD延长线上，AE＝
DF，连接CE、BF，若∠AEC＝∠DFB，AC＝32，DF＝13，则线段CE的长为_____
7. 如图，在等边△ABC中，D为AB边上一点，连接CD，在CD上取一点E，连接BE，∠BED＝60°，若E
FDC
ABE
D
BCA
EDABC
F
3 CE＝5，△ACD的面积为4335，则线段DB的长为_____
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，点D是AB的中点，DE//BC，
点F为BC上一动点，连接AF交DG于E，∠AEC恰好为90°，连接CE，当DE＝2时，线段AB的长为
____
9. 如图，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，点C为∠ADB的角平分线上一点，连接AC、DC，过点A作DB的
平行线，分别交DC、BC于点E、F，若BE＝BF，AC＝52，则AE的长为____
广西贵港市2017届中考数学总复习 二次函数与几何图形综合题 探究全等三角形的存在性问题试题
类型4探究全等三角形的存在性问题
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝3x＋23.
(1)求b，c的值；(2)过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
解：(1)∵直线CD的解析式为y＝3x＋23，
∴C(0，23)．∴c＝23.
设直线CD交x轴于点A，
∴A(－2，0)．
∴OAOC＝2
23＝33.
∴∠OCA＝30°.
过点D作DM⊥y轴于点M，
∴∠DCM＝30°.
∴MC＝3DM.
设抛物线的顶点横坐标为h，则CM＝3h.∴D(h，23＋3h)．
∴y＝a(x－h)2＋23＋3h.
代入C(0，23)，∴23＝ah2＋23＋3h.
∴h1＝0(舍)，h2＝－3
a.
∴y＝a(x＋3
a)2＋23＋(－3
a)＝ax2＋23x＋23.
∴b＝23.
(2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)，
∵∠ACO＝30°，
∴∠CDB＝30°.
由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形．
∵CE∥x轴，∴△DAF为等边三角形．
∴B为AF中点，
∵A(－2，0)，F(4，0)，∴B(1，0)．
∵抛物线对称轴为直线x＝1.
中考数学压轴题专题复习——直角三角形的边角关系的综合附答案解析
中考数学压轴题专题复习——直角三角形的边角关系的综合附答案解析
一、直角三角形的边角关系
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）235.
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，
'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
AB=sin30AC=6012=120（m）
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，
则'60AEAC， '30CEAA3，
在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
DC=33AC=203
DE=503
tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235
答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案
中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）∠BPQ=30°；
（2）该电线杆PQ的高度约为9m．
【解析】
试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=33PE=33x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-33x=6，
解得：x=9+33． 则BE=（33+3）米．
在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．
∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
2．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
(1)求证：△PAC∽△PDF；
(2)若AB＝5，，求PD的长；
(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
2020-2021中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题及答案解析
2020-2021中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题及答案解析
一、圆的综合
1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．
【解析】
【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．
（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．
【详解】
（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
故∠AOC=60°．
（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=12OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
而OC是⊙O的半径，
故PC与⊙O的位置关系是相切．
（3）如图；有三种情况：
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）；
劣弧MA的长为：60441803；
②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）；
劣弧MA的长为：120481803；
③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）；
中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案
中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2，并已知1tan1.082，2tan0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？ 【答案】
【解析】
过A作AFCD于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．
2．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33 .
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案解析
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案解析
一、直角三角形的边角关系
1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）∠BPQ=30°；
（2）该电线杆PQ的高度约为9m．
【解析】
试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=33PE=33x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-33x=6，
解得：x=9+33． 则BE=（33+3）米．
在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．
∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形
（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tan∠ADP
中考数学直角三角形的边角关系综合经典题附详细答案
中考数学直角三角形的边角关系综合经典题附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）在ABC△中，180180375390ACBBBAC.
在RtABC中，sinACBAB，所以3sin3725155ACAB（海里）.
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.
（2）过点C作CMAB，垂足为M，由题意易知，DCM、、在一条直线上.
在RtACM中，4sin15125CMACCAM，3cos1595AMACCAM.
在RtADM△中，tanMDDAMAM，
所以tan7636MDAM.
所以222293691724ADAMMDCDMDMC，. 设缉私艇的速度为v海里/小时，则有2491716v，解得617v. 经检验，617v是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及详细答案
中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点
P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？
（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t
的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4st=；（2）PEGOS四边形2315688tt ，(05)t；（3）52t时，PEGOS四边形取得最大值；（4）165t时，OEOQ.
【解析】
【分析】
（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．
（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．
（3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出ECGQOCOG，由此构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，
中考数学每日一练：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题练习题及答案_2020年解答题版
中考数学每日一练：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题练习题及答案_2020
年解答题版
答案
答案
答案2020
年中考数学：图形的变换_
锐角三角函数_
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题练习题
~~
第1
题~~
(2020
郑州.
中考模拟)
如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC
为50
米，在乙楼顶部A
点测得甲楼顶部D
点的仰角为
37°
，在乙楼底部B
点测得甲楼顶部D
点的仰角为60°
，则甲、乙两楼的高度分别为多少？(
结果精确到1
米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
， ≈1.73)
考点：
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;
~~
第2
题~~
(2020
绍兴.
中考模拟)
如图，在离铁塔150m
的A
处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12'
，测倾仪高AD
为1.52m.
求铁塔
的高BC.
（精确到0.1m）（参考数据：sin30°12'≈0.5030
，cos30°12'≈0.8643
，tan30°12'≈0.5820
）
考点：
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;
~~
第3
题~~
(2020
绍兴.
中考模拟)
某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30
米的D
处，无人机测得操
控者A
的俯角为37°
，测得点C
处的俯角为45°.
又经过人工测量操控者A
和教学楼BC
距离为57
米，求教学楼BC
的高度.
（注：点A,B,C,D
都在同一平面上.
参考数据：sin37°≈0.60
，cos37°≈0.80
，tan37°≈0.75
）
考点：
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;
~~第4
题~~
(2019
南京.
中考模拟)
某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物
，高为10米.
某校数学兴趣小组的
同学为了测量山的高度
，在公园找了一水平地面，在
处测得建筑物点
（即山顶）的仰角为
，沿水平方向前
答案
答案进20米到达 点，测得建筑物顶部 点的仰角为 ，求山的高度 .
（结果精确到1
米，参考数据： ， ，
）
考点：
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;