九年级数学上册-二次函数的应用第3课时利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题课件沪科版
北师大版九年级数学下册同步教案：第2章二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题
4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题
【知识与技能】
经历探究解决图形的最大面积问题与抛物线形问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.
【过程与方法】
经历探索问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型和数学应用的价值,通过观察、比较、推理、交流等过程,获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.
【情感态度】 通过动手实践及同学之间的合作与交流,让学生积累经验,发展学习动力.
【教学重点】
会根据不同的条件,利用二次函数解决生活中的实际问题
【教学难点】
从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.
一、情景导入,初步认知
问题1： 某开发商计划开发一块三角形土地,它的底边长100米,高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼,这座大楼地基 的最大面积是多少？
要解决类似问题1的实际问题,实际上也就是求面积最大的问题,在数学中也就是求最大值的问题.要解决问题2,实际上也就是建立二次函数模型解决抛物线形问题.这节课我们看能否用已学过的数学知识来
解决以上问题.
【教学说明】通过几个实际情景设置悬念,引入新课.
二、思考探究,获取新知
1.求下列函数的最大值或最小值.
（1）y=2x2-3x-5；
（2）y=-x2-3x+4.
分析：由于函数y=2x2-3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值.
解：（1)二次函数y=2x2-3x-5；中的二次项系数2＞0,
因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点,即函数有最小值.
因为y=2x2-3x-5=2349248x（）
所以当34x时,函数y=2x2-3x-5有最小值是498.
（2）二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1＜0,
因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点,即函数有最大值.
鲁教版五四制九年级数学上册第三章第六节二次函数的应用第三课时.doc
鲁教版九年级数学上册第三章第六节
二次函数的应用(第二课时)
一、 教学目标：
1、 知识与技能：
(1) .能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并根据二次函•数关系式和图 象特点，进行相关判断.
(2) .由具体到抽象，进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数最大(小)值的关系.
2、 过程与方法
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，体会函数的思想方法和数形结合的思想方 法.
3、 情感与态度：
枳极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信 心，体验成功的乐趣.
二、 教学重点：
引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识解决某些实际生活小 问题.
三、 教学难点：
从实际问题中抽彖出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中•问题.
四、 教学程序：
教师活动 学生活动 设计说明 一、 创设问题情景，导入新课
现有一公司的大门呈抛物线形，大门地面宽 AB为4m,顶部C距地面的高度为4. 4m
(1) 试建立适当的坐标系，求抛物线对应的二 次函数的表达式；
学生讨论探究有几种方法，小组合作交流
派学生展示共有几种方法
(2) —辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶 部距地面.2. 65m ,装货宽度为2.4m , 那么这辆汽车能否顺利通过大门？
二、 探索交流揭示新知
(1) 以AB所在的直线为x轴，以过C点垂直于
AB的直线为y轴，建立直角坐标系。
(2) 顶点坐标为C (0,4.4) , B (2,0),可设 为顶点式，求二次函数的解析式。
思维拓展：
在上面的问题中，如果装货宽度为2.4m的汽车能 顺利通过大门，那么货物顶部距地血的最大高度是 多少？ 学生冋答
学生结合H常生活 经验思考讨论；
学生思考讨论 复习引入
引入课题
让学生初步感受 函数的工具作用 师：注意四舍五入
三、自主探究形成技能
如果该大门是双•车道，那么这辆货车是否可以通 过？
九年级数学上册21-4二次函数的应用第3课时二次函数的综合应用教案新版沪科版
- 1 - 21.4二次函数的应用
第2课时建立二次函数模型解决实际问题
教学目标
1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；
2．进一步体会数形结合的数学思想方法。
教学重难点
【教学重点】
将实际问题转化为数学问题。
【教学难点】
建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析式。
课前准备
课件等。
教学过程
一、情境导入
红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？
二、合作探究
探究点一：利用二次函数进行决策和判断
例1 某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－35x2＋3x＋1的一部分，如图所示．
(1)求演员运动过程中距离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演能否成功？请说明理由．
解析：(1)转化为求二次函数y＝－35x2＋3x＋1的最大值问题；(2)求x＝4时对应的y值，然后与BC比较，若等于3.4，即表演成功，否则就不成功．
解：(1)y＝－35x2＋3x＋1＝－35(x－52)2＋194.∵a＝－35<0，∴函数有最大值为194.∴演员运动过程中距离地面的最大高度是194m；
(2)将x＝4代入函数关系式中得y＝3.4.∵BC＝3.4m，∴这次表演能成功．
方法总结：将生活中的问题转化为二次函数问题求解，要把握函数的相关性质与生活中实际问题的对应关系．
探究点二：二次函数的综合运用
- 2 -
例2 如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)和(2，0)，且BC＝23.直线AC与直线x＝4交于点E.求以直线x＝4为对称轴，且过点C与原点O的抛物线对应的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E.
新人教版九年级数学上册二次函数的应用(3)导学案
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新人教版九年级数学上册二次函数的应用（3）导学案
一、学习目标 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值；
掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
二、知识回顾 1．二次函数的三种解析式
（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
（3）交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
2. 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴的交点坐标怎么求？
（1）令x=0，代入抛物线解析式，可得y=c，（0，c）就是抛物线与y轴的交点坐标；
（2）令y=0，即 ax2+bx+c=0，解这个一元二次方程，求得x的解，即可得到抛物线与x轴的交点坐标.
3．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为y=ax2．
三、新知讲解 利用二次函数解决拱桥问题、投球问题、运动轨迹问题、喷水问题等实际问题的一般解题思路：
（1） 建立适当的平面直角坐标系（若题目中已经给出，无需再建）；
（2） 根据题意找出已知点的坐标；
（3） 求出抛物线解析式；
（4） 直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．
注：通过建立平面直角坐标系，可以将有关抛物线图象转化为二次函数模型．
四、典例探究
扫一扫，有惊喜哦！
1．实际问题与二次函数——拱桥问题
【例1】（2013秋•云梦县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 优质文档
人教版数学九年级上册 二次函数在体育运动的应用问题解法探解
人教版数学九年级上册 二次函数在体育运动的应用问题解法探解
抛物线多么完美的弧线，体育界把这条完美的弧线发挥到了极致，在体育项目中得到了最大限度的应用，请欣赏.
1.篮球与抛物线
例1 如图1，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线5.3512xy运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？
分析： 要想求出球在空中的最大高度，实际上就是求对应的二次函数的最值问题．只要求出顶点坐标，问题得解．
距离篮框中心的水平距离是有两部分组成：坐标系中原点左边的水平距离和原点右边的水平距离，二者的和就是他距离篮框中心的水平距离．
解：
⑴ 因为抛物线 5.3512xy的顶点坐标为（0，3.5），且二次项系数为负数，所以二次函数有最大值，所以球在空中运行的最大高度为3.5米 ．
⑵当y＝3.05时，代入抛物线解析式5.3512xy，得：5.3512x＝３．０５，
所以2x＝２．２５ ，所以ｘ＝１．５，ｘ＝－１．５又因为ｘ＞0 ，所以ｘ＝１．５；
当ｙ＝２．２５时， 代入抛物线解析式5.3512xy，得：5.3512x＝２．２５，
所以2x＝６．２５ ，所以ｘ＝２．５，ｘ＝－２．５，因为ｘ＜0 ， 所以ｘ＝－２．５；
故运动员距离篮框中心水平距离为：｜１．５｜＋｜－２．５｜＝４米．
点评： 将对应的问题转化成对应二次函数问题是解题的关键．
２.足球与抛物线
例２ 为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物线cbxaxy2，如图2，则下列结论： ①a＜-601；②-601＜a＜0 ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a.其中正确的是（ ）
浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用(3)
1.4 二次函数的应用(3)
学习目标
1．会运用一元二次方程求二次函数的图像与错误!未找到引用源。轴或平行于错误!未找到引用源。轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题．
2．会用二次函数的图像求一元二次方程的解或近似解．
3．进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要互相转换．
学习过程
利用函数解决实际问题的基本思想方法？解题步骤？
【例1】一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为错误!未找到引用源。，经过错误!未找到引用源。时求的高度为错误!未找到引用源。．已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－12gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，错误!未找到引用源。表示重力系数，取错误!未找到引用源。．问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到错误!未找到引用源。？
xy–1–2123–1123456O
归纳总结
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为错误!未找到引用源。米时，达到最大高度10米．
(1)求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)求球被抛出多远；
(3)当球的高度为5米时，球离抛出地的水平距离是多少？
例2 利用二次函数的图象求一元二次方程 x²＋x－1＝ 0 的近似解．
xy–1–2123–1–212Oxy–1–212–1123456O
作业题
1．利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解．若有解，求出它的解(精确到0.1)．
(1)12x2－x＋1＝0． (2)x2－3x＋1＝0．
xy–1–212345–1123456Oxy–1–212345–1123456O
2．用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0 的解(精确到0.1)．
xy–1–2–312345–1–2–3–4–5–6–712345Oxy–1–2–3–412345–112345678910111213O
九年级数学：利用二次函数解决距离问题
1 九年级数学：利用二次函数解决距离问题
知|识|目|标
通过对抛物线形实际问题的探究分析,会用二次函数知识解决有关距离问题．
目标 会用二次函数知识解决有关距离问题
(1)喷水池中的数学问题
例1 如图5－5－4所示,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,点O恰在圆形水面中心,OA＝1.25米,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下．为使水流形状较为漂亮,负责人要求设计成水流在离OA水平距离为1米处达到距水面最大的高度2.25米．求水流落地点到柱子的距离．
图5－5－4
【归纳总结】 (1)在已知抛物线的顶点坐标时,一般设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
(2)要根据实际问题构建适当的平面直角坐标系,便于求出函数表达式,使问题简单化．
(2)体育运动中的数学问题
例2 教材补充例题在体育测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图像的一部分(如图5－5－5),若这个男生的出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为B(6,5)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远？(结果精确到0.01米)
1 图5－5－5
【归纳总结】 由抛物线读出最远距离或最大高度的方法
(1)抛物线顶点的纵坐标是最大高度；
(2)抛物线与x轴交点的横坐标是最远距离．
知识点一 二次函数在喷水中的应用
喷水是将水喷射向空中,水滴的运动轨迹呈抛物线状,水流也呈抛物线状．在指定的平面直角坐标系内研究平面内一条抛物线问题,用二次函数的知识确定函数表达式,根据函数表达式求解相关问题,如喷水高度、喷水落地的最大距离、确定水池的半径等,体会用数学知识解决生活中实际问题的思想．
知识点二 二次函数在体育运动项目中的应用
在部分体育运动项目中,如跳远、跳高、跳水运动,人体重心运动的路径是抛物线；投抛项目中,铅球、铁饼、标枪等实物重心运动的路径也是抛物线,解决此类问题的方法是在指定的平面直角坐标系内确定抛物线相应的函数表达式,再由二次函数求解具有实际意义的量．
初中复习方略数学第十三讲 二次函数的应用
第十三讲 二次函数的应用
知识清单·熟掌握
抛物线型问题
应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路
1．建立平面直角坐标系：根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．
2．设函数解析式：根据所建立的坐标系，设出解析式．
3．求解析式：将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．
4．解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题．
1．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足y＝－65 t2＋60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m．(×)
2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y＝－112 x2＋23 x＋53 ，则小强此次成绩为10米．(√)
利润最大化问题
应用二次函数性质解决最优化问题的思路 1．分析题中数量关系，确定变量．
2．根据等量关系，构建二次函数模型．
3．根据函数性质，确定最值．
在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题
类型一：隧道和拱桥问题
【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离．
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可． 【自主解答】(1)根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2.
九年级数学《二次函数的应用》函数实际运用教案
九年级数学《二次函数的应用》函数实际运用教案
教学目标:
1. 了解二次函数的基本概念和特性；
2. 掌握二次函数的应用，尤其是函数的图像和实际问题的联系；
3. 培养学生分析和解决实际问题的能力。
教学准备:
1. 教材：九年级数学教材第X章；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、作业本。
教学过程:
一、引入活动
1. 导入话题：请学生们回顾上节课学习的内容，简要询问二次函数的定义和基本形式。
2. 引入主题：将本节课的主题以问题的形式呈现给学生：“二次函数在现实生活中有哪些应用呢？”
二、知识讲解
1. 讲解二次函数的图像：通过展示PPT上的图像，引导学生观察二次函数图像的特点，并介绍顶点、对称轴、开口方向等概念。 2. 讲解二次函数的实际应用：从实际生活中选择几个典型的例子，如抛物线的运动轨迹、塔的高度与时间的关系等，解释二次函数在这些问题中的应用。
三、案例分析
1. 案例一：小明从楼顶向上抛一颗球，球的运动轨迹可以用二次函数表示。给定抛物线的顶点坐标和距离地面的最大高度，请让学生通过公式推导和计算，确定球的运动轨迹方程。
2. 案例二：某商场为了促销，准备通过调整售价和销量之间的关系来提高利润。请学生根据售价和销量的数据，建立二次函数模型，并通过求解最值问题，确定最佳销售策略。
四、讨论与总结
1. 学生交流：请学生们以小组为单位，根据自己感兴趣的实际问题，讨论并找出相关的二次函数应用案例。每个小组选择一个案例进行介绍，并给出解决问题的策略。
2. 整体总结：引导学生总结本节课所学的知识点和方法，强调二次函数在实际生活中的广泛应用。
五、拓展练习
1. 练习一：请学生们完成教材上与二次函数应用相关的练习题，巩固所学知识。 2. 练习二：设计一道与实际生活相关的二次函数问题，并要求学生用二次函数的方法解答。
六、作业布置
1. 布置笔记作业：请学生们对本节课的要点进行整理，写一份学习笔记，明确二次函数应用的基本概念和方法。
浙教版数学九年级上册_《二次函数的应用(3)》参考教案2
1.4 二次函数的应用(三)
1．会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题．会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解．
2．通过学生自主探索、思考及想象，培养观察、分析、归纳等综合能力．
3．进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换．让学生体会数形结合的思想并充分应用于解题中．
重点：问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换．
难点：课本例4涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的重点．
一、新课导入
复习提问：
1．利用函数解决实际问题的基本思想方法是什么？解题步骤有哪几步？
2．“二次函数应用”的思路是什么？
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
(3)用数学方式表示出它们之间的关系；
(4)用数学知识求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
说明：通过复习提问，体现以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动学生参与教学过程的新课程理念．
二、新知学习 活动1探究几个物理问题
(1)匀加速直线运动
我们知道，在匀速直线运动中，物体运动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为s＝vt.而在匀加速直线运动中，速度的数值是时刻在改变的，我们仍用s表示距离(m)，用v0表示初始速度(m/s)，用t表示时间(s)，用a表示每秒增加的速度(m/s2)．那么匀加速直线运动位移的公式是：s＝v0t＋12at2.
就是说，当初始速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是二次函数．
我们来看一个例子：v0＝1 m/s，a＝1 m/s2，下面我们列表看一下s和t的关系.
t(s) 0 1 2
3 4 5 6
s(m) 0 1.5 4 7.5 12 17.5 24
注意：这里的时间必须从加速时开始计时，停止加速时停止计时，t的取值范围，很明显是t≥0，而s的取值范围，同样是s≥0.下面我们来看看它的图象(如图)．