考研数学(数学二)模拟试卷553(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷553 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 下列命题正确的是( )．
A．f(x)在点x0连续的充要条件是f(x)在点x0可导
B．若fˊ(x)=x2(偶函数)，则f(x)必是奇函数
C．若(常数)，则fˊ(0)=a
D．若，则fˊ(0)=-1
正确答案：D
解析：由连续、可导及奇偶性定义便可得结论．解：由导数定义知故应选(D)．错例分析:有的学生选择(B)选项，这是不对的．如取fˊ(x)=1+cos x．则 令C=1，则f(x)=x+sin x+1，显然fˊ(x)=1+cos x是偶函数，但f(x)=x+sin x+1不是奇函数．还有的同学选(A)项，也是错误的，如取f(x)=｜x｜，则f(x)在x0=0处连续．但由于fˊ-(0)=-1≠1=fˊ+(0)，所以fˊ(0)不存在，即f(x)在x0=0处不可导．选择(C)项同样是错误的，因为不知道f(0)的值就不可能求出fˊ(0)．
2． 设，其中，则( )．
A．I3＞I2＞I3
B．I1＞I2＞I3
C．I2＞I1＞3
D．I3＞I1＞I2
正确答案：A
解析：利用被积函数的不等性确定二重积分的不等性．解：又当0≤x≤π/2时，cos x是减函数，所以有由二重积分性质，得即I1≤I2≤I3．故应选(A)．
3． 设函数(n为正整数)，则f(x)有( )．
A．两个第二类间断点
B．一个第一类间断点，一个第二类间断点
C．两个第一类间断点
D．零个间断点
正确答案：C
解析：先求出函数f(x)的具体表达式，再用间断点的定义判断即可．在分段点x=-1处，因为所以x=-1为第一类间断点(跳跃间断点)．在分段点x=1处，因为所以x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．故应选(C)．错例分析:有的学生选择（D）项，理由是f(x)的表达式中分母为1+x2n，无论x取何值，f(x)都有意义，所以f(x)没有间断点．这样选择是错误的，原因是函数f(x)是用极限定义的，所以必须先求出极限，即先求出f(x)的具体表达式，然后再讨论间断点问题．这是
一类题，考生应重视．
4． 设f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-∞，0)上有唯一的零点x0=-1，且fˊ(x0)=1，则函数的严格单调增区间是( )．
A．(-∞，-1)
B．(-1，0)
C．(-1，1)
D．(1，+∞)
正确答案：C
解析：由题设条件，根据导数定义、极限的保号性、变限函数求导数以及偶函数的性质进行讨论便可得结论．解：在(-∞，0)上考虑，由x0为f(x)的零点可得由极限的保号性质可知，存在δ＞0，在[x0-δ，x0+δ] ?(-∞，0)内有f(x)/(x-x0)＞0．因此，当x∈[x0-δ，x0]时，f(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ]时，f(x)＞0．由f(x)在(-∞，0)上有唯一零点x0=-1，可得当x∈(-∞，x0-δ)时，f(x)＜0；x∈(x0+δ，0)时，f(x)＞0(理由见方法点击)．由题设f(x)是实数集上连续的偶函数，可得x∈(0，1)时，f(x)＞0；x∈(1，+∞)时，f(x)＜0．综合上述，x∈(-1，1)时，f(x)＞0；x∈(-∞，-1)及x∈(1，+∞)时，f(x)＜0．因为Fˊ(x)=f(x)，因此F(x)在(-1，1)内严格单调增加．故应选（C）．
5． 设函数f(x)在[0，a]上连续，且f(x)+f(a-x)≠0，x∈[0，a]，则=( )．
A．0
B．1
C．a/2
D．a
正确答案：C
解析：利用定积分换元法便可得结论．故应选（C）．
6． 设D由x2+y2=4y，x2+y2=4x所围成，在极坐标变换x=rcos θ，y=rsin
θ下，将化为累次积分为( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：先用射线θ=π/4将D分成D1与D2两部分，对D1与D2分别用极坐标系中的累次积分表示二重积分即可．解：由x2+y2=4y及x2+y2=4x得y=x，即rsinθ=rcosθ，所以θ=π/4，如图3—1所示，所以，D=D1+D2；故应选（A）．
7． 设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．
A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关
D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
正确答案：A
解析：对于抽象的向量组，可以用定义法，也可以用排除法．解：设有一组数字λ1，λ2，λ3，λ4，满足λ1+λ2+λ3+λ4(kβ1+β2)=0，若λ4=0，则有条件λ1=λ2=λ3=0，从而推出α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．若λ4≠0，则kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，故β2也可由α1，α2，α3线性表示，矛盾，所以，λ4=0，从而（A）正确．对于其余三个选项，也可用排除法．当k=0时，可排除（B）、（C）项；当k=1时，可排除(D)项．故应选(A)．
8． 下列各组矩阵相似的是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：利用相似的传递性直接证明(B)项中矩阵相似，或者利用相似的必要条件排除错误选项．解：因为相似矩阵的秩相等，由的秩为1，而的秩为2，故(A)项中的矩阵不因为相似矩阵的行列式的值相等，由于=4，而=8，故(C)项中的矩阵不相似．因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等．由于的对角线元素之和为6，而的对角线元素之和为4，故（D）项中的矩阵不相似，因此只能选（B）．事实上，和都与对角矩阵相似，因而与相似．故应选（B）．
填空题
9． 设则I，J，K的大小关系为 ．
正确答案：I＜K＜J
解析：比较被积函数在积分区间内的大小次序，利用定积分的性质即可得．解：当0＜x＜π/4时，有cot x＞l＞cos x＞sin x＞0．从而由y=lnx的单调增加性质，得ln cott＞ln cosx＞ln sinx，根据定积分性质，可得即I＜K＜J．故应填I＜K＜J．
10． = ．
正确答案：e1/2
解析：首先将已知函数表示为指数函数的形式，然后利用对数函数的泰勒展开式，最终取极限即可得结果．错例分析:对于本题，部分学生解法如下：
11． 设f(x)，g(x)是连续函数，= ．
正确答案：
解析：直接利用变限积分的求导公式即可．
12． 在区间[0，1]上，函数f(x)=nx(1一x)n的最大值记为M(n)，则= ．
正确答案：e-1
解析：先求出f(x)在(0，1)内的极值可疑点；再由f(x)在极值可疑点处的函数值及区间端点的函数值得最大值M(n)；最后求
13． 如图所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，g(x)是线性函数，则= ．
正确答案：1
解析：由直线方程的点斜式先求出g(x)的表达式，将g(x)代入积分中，计算定积分即可．解：先求g(x)的表达式，由图形可知，线性函数g(x)的斜率为
14． 设3阶实对阵矩阵A满足A2一3A+2E=O，且｜A｜=2，则二次型f=xTAx的标准形为 ．
正确答案：
解析：二次型可经过正交变换化为标准形，且标准形中平方项的系数即为对应实对称矩阵A的特征值．解：由A2一3A+2E=O，得A的特征值为1或2．又因为｜A｜=2，即特征值乘积为2，故A的特征值为1，1，2．所以二次型的标准形为．故应填．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，求f(x)的表达式．
正确答案：由题意知，曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=fˊ(x0)·(x-x0)．即y=f(x0)+fˊ(x0)·(x-x0)，该切线与x轴交点的横坐标为 由题设条件，知由x0∈I的任意性，得fˊ(x)=1/8f2(x)．解微分方程，得故f(x)=8/(4-x)，x∈I．
解析：先求切线方程，再由切线、x轴及直线x=x0所围区域面积得关于f(x)的一阶微分方程，解微分方程可得f(x)的表达式．
16． 计算定积分
正确答案：
解析：利用定积分的性质、换元积分法及恒等式：
17． 设z=z(x，y)是由方程F(z+1/x，z-1/y)=0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数．证明：
正确答案：方程两边分别对x，y求导，可得
解析：利用隐函数求偏导数的方法是直接求偏导数；并注意在求导过程中将z看作因变量，x，y看作自变量，求出相应的偏导数并整理即可得所求的结论．
18． (Ⅰ)证明：利用变换可将方程．(Ⅱ)求方程的通解．
正确答案：
解析：本题是做自变量变换，关键是注意求导公式：，至于第二步求通解，则是基础问题．
19． 设g(x)＞0为已知连续函数，在圆域上计算其中λ，μ为正常数．
正确答案：若区域D关于直线y=x对称，则对连续函数f(x，y)，有
解析：根据积分区域的对称性将积分化简，从而求得积．
20． 设
正确答案：
解析：首先利用单调有界数列必有极限的结论说明极限存在，再由两端取极限便可得结果．
21． 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(a)=g(b)=1，在(a，b)内f(x)，g(x)可导，且g(x)+gˊ(x) ≠0，fˊ(x) ≠0，证明：
正确答案：
解析：，将η和ξ均看作变量，则上式可写成
22． 设a1，a2，a3，a4为4维列向量，满足a2，a3，a4线性无关，且a1+a3=2a2．令A=(a1，a2，a3，a4)，β=a1+a2+a3+a4．求线性方程组Ax=β的通解．
正确答案：先求Ax=0的基础解系．
解析：利用非齐次线性方程组解的结构求解．先求对应导出组的基础解系，再求一个特解．错例分析：本题的主要错误在于未能利用条件a1+a3=2a2得到Ax=0的基础解系，未能利用β=a1+a2+a3+a4得到Ax=β的特解．
考研数学(数学二)模拟试卷489(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷489 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设则f(x，y)在点O(0，0)处 ( )
A．两个偏导数存在，函数不连续．
B．两个偏导数不存在，函数连续．
C．两个偏导数存在，函数也连续，但函数不可微．
D．可微．
正确答案：C
解析：所以函数在点(0，0)处连续，且fˊx(0，0)与fˊy(0，0)均存在．再看可微性，若f(x，y)在点(0，0)处可微，则f(△x，△y)－f(0，0)= fˊx(0，0)△x+ fˊy(0，0)△y+成立．上面已有fˊx(0，0)= 0，fˊy(0，0)=0，于是应有f(△x，△y) ．而当(x， y)→(0，0)时．不妨设y=kx→0，则并不趋于0所以当(△x，△y)→(0，0)时，f(△x，△y)不是的高阶无穷小．故f(x，y)在点O(0，0)处不可微．选
C．
2．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
3．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：
4．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
5．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
6．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
7． 已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i＝1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：A
解析：设αi＝(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i＝1，2，3)，由已知条件有 βiTαi＝0(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)， 即βi(i＝1，2，3，4)为方程组的非零解． 由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4，的秩为1，选A．
考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． “f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的( )条件．
A．必要非充分
B．充分非必要
C．充要
D．既非充分又非必要
正确答案：B
解析：f(x)在x=a连续=>｜f(x)｜在x=a连续(｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜)． ｜f(x)｜在x=a连续f(x)在x=a连续．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a连续，但f(x)在x=a间断． 因此，选
B． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
2． 设f(x)，g(x)在x=x0均不连续，则在x=x0处
A．f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续．
B．f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定．
C．f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续．
D．f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定．
正确答案：D
解析：如：在x=0均不连续，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均连续．又如：在x=0均不连续，而在x=0均不连续．因此选
D． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
3． 把当x→0+时的无穷小量α=tanx－x，β=∫0x(1－)dt，γ=－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
A．α，β，γ．
B．γ，β，α．
C．β，α，γ．
D．γ，α，β．
正确答案：C
解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除A与
D．即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除B，即应选
C． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
填空题
4． 设有定义在(－∞，+∞)上的函数：则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________；(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________．
考研数学二解答题专项强化真题试卷53(题后含答案及解析)
考研数学二解答题专项强化真题试卷53 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz/dx.
正确答案： 涉及知识点：多元函数微积分学
2． (92年)已知f”(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x1和x2,恒有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)成立．
正确答案：不妨设x1≤x2，由拉格朗日中值定理可知 f(x1)一f(0)=f’(c1)x1 (0＜c1＜x1) f(x1+x2)一f(x2)=f’(c2)x1(x2＜c2＜x1+x2)又f”(x)＜0，则f’(x)单调减少，故f’(c2)＜f’(c1)，而x1＞0则 f(x1+x2)一f(x2)＜f(x1)一f(0)又f(0)=0，则 f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2) 涉及知识点：一元函数微分学
3． (2006年试题，16)求不定积分
正确答案：用积分公式求解
解析：用分部积分法和换元积分法． 知识模块：一元函数积分学
4． 函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝1，且满足等式。 (1)求导数f(x)；
(2)证明：当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立．
正确答案：[详解1](1)根据题设，有 (x＋1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(x)dt＝0，上式两边对x求导，得 (x＋1)f”(x)＝－(x＋2)f’(x)，即。两边积分，得lnf’(x)＝－x＋ln(x＋1)＋lnC，即有。在题设等式中令x＝0，得f’(0)＋f(0)＝0，又f(0)＝1，于是f’(0)＝－1，代入f’(x)的表达式，得C＝－1，故有(2)当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)＝1，所以 f(x)≤f(0)＝1．设ψ(x)＝f(x)－e－x，则ψ(0)＝0，ψ’(x)＝f’(x)＋ex＝。当x≥0时，ψ’(x)≥0，即ψ(x)单调增加，因而ψ(x)≥ψ(0)＝0，即有 f(x)≥e－x．综上所述，当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1． [详解2](1)解法同详解1．(2)由于f(x)＝f(0)＋∫0xf’(t)dt＝，由于当t≥0时，，于是由定积分的性质得，因此，当x≥0时，有e－x≤f(x)≤1．
考研数学(数学二)模拟试卷557(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷557 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 把x→0﹢时的无穷小量α＝∫0x2tantdt，β＝∫0xcost2dt，γ＝sint3dt按从高阶到低阶排列，则正确的排列次序是( )
A．α，β，γ
B．β，α，γ
C．α，γ，β
D．β，γ，α
正确答案：C
解析：由题意，α＝∫0x2tantdt～∫0x2tdt～x4，β＝∫0xcost2dt～∫0x1dt～x，γ＝～x2，从高阶到低阶依次为α，γ，β。
2． 下列命题中：①若f(x)＝A，g(x)不存在，则f(x)g(x)不存在。②f(x)，g(x)分别是x－a的n阶与m阶无穷小，若n﹥m，则是x－a的n－m阶无穷小。③若f(x)在x＝x0处存在左右导数且f﹢’ (x0)≠f﹣’ (x0)，则f(x)在x＝x0处连续。④若函数极限f(x)＝A，则数列极限f(n)＝A。⑤若数列极限f(2n－1)＝f(2n)＝A，则函数极限f(x)＝A。正确的个数有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
正确答案：B
解析：①中当A＝0时，f(x)g(x)可能存在。如f(x)＝0，则f(x)＝0，f(x)g(x)＝0，故①错误。②中由题干知＝A≠0，＝B≠0，若n﹥m，有故②正确。③中若f(x)在x＝x0处存在f﹢’(x)与f﹣’(x)，则f(x)在x＝x0处右连续及左连续→f(x)在x＝x0处连续，故③正确。④和⑤由数列极限和函数极限的关系可知，若函数极限f(x)＝A，则任意xn→﹢∞(n→﹢∞)均有＝A。若只有某xn→﹢∞，则f(xn)＝Af(x)＝A。如f(x)＝sinπx，f(n)＝0，f(n)＝0，但f(x)不存在，故④正确，⑤错误。
3． 若函数f(x)＝x2｜x｜，则使fn(0)存在的最高阶数为( )
考研数学(数学二)模拟试卷561(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷561 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知函数f(x)＝，则＝( )
A．2/3
B．﹣2/3
C．f(0)
D．不存在
正确答案：D
解析：显然f(0)＝0，故左极限不等于有极限，极限不存在。
2． 设[x]表示不超过x的最大整数，则x＝0是f(x)＝的( )
A．跳跃间断点
B．可去间断点
C．无穷间断点
D．振荡间断点
正确答案：A
解析：所以x＝0是f(x)＝的跳跃间断点。
3． 设u(x，y)在点M0(x0，y0)处取极大值，并且均存在，则( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：令f(x)＝u(x，y0)，由题干知x＝x0是f(x)的极大值点，故有同理，令g(y)＝u(x0，y)，且y＝y0是g(y)的极大值点，故有
4． 设f’(x0)＝0，f’’(x0)﹥0，则必存在一个正数δ，使得( )
A．曲线y＝f(x)在(x0－δ，x0＋δ)上是凹的
B．曲线y＝f(x)在(x0－δ，x0＋δ)上是凸的
C．曲线y＝f(x)在(x0－δ，x0]上单调减少，而在[x0，x0＋δ)上单调增加
D．曲线y＝f(x)在(x0－δ，x0]上单调增加，而在[x0，x0＋δ)上单调减少
正确答案：C
解析：已知，由极限的保号性质可知，存在δ﹥0，当x∈(x0－δ，x0＋δ)且x≠x0时，。因此，当x∈(x0－δ，x0)时，f’(x)﹤0；当x∈(x0，x0＋δ)时，f’(x)﹥0。又f(x)在x＝x0连续，所以f(x)在(x0－δ，x0]上单调减少，在[x0，x0＋δ)上单调增加。
5． 设y＝f(x)是[0，∞)上单调增加的连续函数，f(0)＝0，记它的反函数为x＝f﹣1(y)，a>0，b﹥0，令I＝∫0af(x)dx+∫0bf﹣1(y)dy，则( )
考研数学二(填空题)模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷55 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =______
正确答案：
解析：当x→0时， 知识模块：函数、极限、连续
2． 设f(x)可导且f(x)≠0，则=__________.
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
3． 设f(χ)连续，且f(1＋χ)－3f(1－χ)＝8χ(1＋｜χ｜)，则f′(1)＝_______．
正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学
4． 设方程x＝yy确定y是x的函数，则dy＝_______．
正确答案：； 涉及知识点：一元函数微分学
5． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
6． 设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为_________，特征向量为_________.
正确答案：特征值为λ=｜A｜，特征向量k1e1+k2e2……+knen，其中k1,k2,……，kn为Rn的标准正交基，k1,k2,……，kn是不同时为零的任意常数．
解析：本题考查特征值与特征向量的概念和求法．由于矩阵A可逆，故｜A｜≠0，又因为AA*=｜A｜E，即得｜AA*一｜A｜E｜=0，因此矩阵AA*的全部特征值为λ=｜A｜，是n重特征值．对于λ=｜A｜，λE—AA*=｜A｜E—｜A｜E=O，显然任何一个非零的n维向量都是方程组(λE一AA*)x=0的非零解，从而矩阵AA*的属于λ=｜A｜的特征向量为k1e1+k2e2+…+knen，其中e1，e2，…，en为Rn中的标准正交基，k1,k2,……，kn是不同时为零的任意常数． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
7． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
8． ∫1+∞=______.
正确答案：
解析：因(xex)’=ex(x+1)，令xex=t，则dt=ex(x+1)dx，于是 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
考研数学二(一元函数的导数与微分概念及其计算)模拟试卷5(题后
考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2-x垂直，则=
A．-1．
B．0．
C．1．
D．不存在．
正确答案：B
解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故应选(B)． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
2． 设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则
A．a=0，b=2．
B．a=1，b=-3．
C．a=-3，b=1．
D．a=-1，b=-1．
正确答案：D
解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，-1)处的斜率 y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=-1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此选(D)． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
3． 设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．
A．充分非必要.
B．充分必要.
C．必要非充分.
D．既非充分也非必要.
正确答案：B
解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即，当｜x-x0｜＜δ时，因此应选(B)． 知识模块：一元函数
的导数与微分概念及其计算
考研数学二(二重积分)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学二（二重积分）模拟试卷5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：积分区域的直角坐标形式为 D={(x，y)｜x2+y2≤x，y≥0}，则原式=，应选(D)． 知识模块：二重积分
填空题
2． cos(2x+y)dxdy=_______，其中D：x2+y2≤r2．
正确答案：1
解析：由积分中值定理，存在(ξ，η)∈D，使得 知识模块：二重积分
3． 设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=y2+f(x，y)dxdy，则f(x，y)=_______
正确答案：
解析：令则f(x，y)=y2+Ax，两边积分得 知识模块：二重积分
4． 设区域D为x2+y2≤R2，则=________
正确答案：
解析：由对称性得 知识模块：二重积分
5． 交换积分次序=_____
正确答案： 涉及知识点：二重积分
6． 交换积分次序，则=_______
正确答案：
解析：积分区域D={(x，y)｜，0≤y≤2}，则原式= 知识模块：二重积分
7． 交换积分次序=_______
正确答案：
解析：令D1={(x，y)｜0≤x≤，x2≤y≤x}，则 知识模块：二重积分
8． =______
正确答案：
解析： 知识模块：二重积分
9． 设f(x)=，D为-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，则=_______
正确答案：
解析：f(y)f(x+y)=则 知识模块：二重积分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10． 求
正确答案：交换积分次序得 涉及知识点：二重积分
11． 将积分f(x，y)dxdy化成极坐标形式，其中D为x2+y2=-8x所围成的区域．
考研数学(数学三)模拟试卷406(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷406 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 函数f（x）=x3一3x+k只有一个零点，则k的取值范围为
A．|k|＞2．
B．|k|＞1．
C．|k|＜1．
D．|k|＜2．
正确答案：A
解析：f(x)为三次多项式，至少有一个零点，y=f(x)只有以下三种情形
2． 设正数列{an}满足
A．e．
B．1．
C．0．
D．
正确答案：B
解析：
3． 在反常积分中收敛的是
A．①，②．
B．①，③．
C．②，④．
D．③，④．
正确答案：B
解析：由题设选项可知，这4个反常积分中有两个收敛，两个发散．方法1°找出其中两个收敛的．知③收敛．因此选(B)．
4． 设f（x）在[一δ，δ]有定义，且f（0）=f’（0）=0，f”（0）=a＞0，又收敛，则p的取值范围是
A．
B．
C．(1，+∞)．
D．[1，+00)．
正确答案：B
解析：由因此，的取值范围是应选(B)．
5． a=一5是齐次方程组有非零解的
A．充分必要条件．
B．充分条件，但不是必要条件．
C．必要条件，但不是充分条件．
D．既不是必要条件又不是充分条件．
正确答案：B
解析：根据克拉默法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为0．于是a=一5是(Ⅰ)有非零解的充分条件，但不是必要条件．
6． n维向量α=（1／2，0…．，0，1／2）T，A=E一ααT，β=（1，1…．，1）T，则Aβ的长度为
A．
B．
C．n．
D．n2．
正确答案：B
解析：Aβ=(E一4ααT)β=β一4α(αTβ)=β一4α=(一1，1，…，1，一1)T，||Aβ||=
7． 袋中有2个白球和1个红球．现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第n次取到白球的概率为
考研数学二(线性代数)模拟试卷54(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）模拟试卷54 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是 ( )
A．α1，α2，…，αs均不为零向量
B．α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
C．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余向量线性表出
D．α1，α2，…，αs中任意s一1个向量均线性无关
正确答案：C
解析：用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D)都是向量组线性无关的必要条件，但不充分． 知识模块：线性代数
2． n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )
A．存在一组全为零的数k1，k2，…，ks，使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0
B．α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
C．α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D．存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使 k1α1+k2α2+…+ksαs≠0
正确答案：C
解析：可用反证法证明之．必要性：假设有一向量，如αs可由α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾，故任意一个向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．(A)对任何向量组都有0α1+0α2+…+0αs=0的结论；(B)必要但不充分，如α1=[0，1，0]T，α2=[1，1，0]T，α3=[1，0，0]T任意两个线性无关，但α1，α2，α3线性相关；(D)必要但不充分．如上例α1+α2+α3≠0，但α1，α2，α3线性相关． 知识模块：线性代数