同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9

x3+ 3x2 _x _3

1.求函数f(x)= ----- 2------- 的连续区间，并求极限lim f (x), lim f (x)及lim f (x).

X2+ X—6 T —」7解讪；宁2 _X—S-W3)丫Of函数在(严七6内除点xrn和Xi外是连续 X2+x—6 的，所以函数f(x)的连续区间为(=,」)、(」,2)、(2,讼).

1

在函数的连续点 x=O处，lim f(X)=f (O)=-.

T 2

在函数的间断点x=2和xi 处，

lim f(x)=lim Tx”)lim 以一1 )")款

X_32 '，X T (x+3)(x-2) ' 丿—J3 x-2 5

2.设函数f(x)与g(x)在点x o连续，证明函数

'^x^max{ f(x), g(x)},屮(x)=mi n{f(x), g(x)}

在点X o也连续.

证明已知 lim f(x)=f(X0), lim g(x)=g(X0).

X—J Xo

可以验证

1

®(x) =2[f(x) +g(x)+|f(x)—g(x)|]

,

1

叫寸

(X)+g(X)T f(x)—g(x川.

因此®(X o) =—[f (x o) +g(x o)+|

f (x o) -g(x o)

1

],

2

1

屮(X o)=-[f (X o)+g(X o)—|f(X o)—g(X o)|].

2

因为

1

X iV (

x)划。尹以血⑴+心-回］

1

NU噪f(x)+xm^g(x)F xm?(X)—s^g(x)|]

1

石[f(x o)中g(X o)+|f(X o) —g(X o)|] =9x0), 所以W(x)在点X o也连续. 同理可证明屮(X)在点x o也连续.

(x+3)(x—2)

3.求下列极限：

(1) lim J x2-2x+5 ;

x-j o

3

2

c X +a . X -a 2cos --- sin

” sinx-sina ” 2 (6) lim -------- =lim -------

X T X 一a X T

X -a ⑵ lim (sin2x)： ⑶ lim ln(2cos2x) J x 州-1 ⑷ l X m

p x ; ”L \ J 5

X -4 (5)

lim

1

-- :—

J X -4 ⑹ lim ;

T

X —a

⑺ lim (J x 2

十X -J x 2

-x). —-be

解(1)因为函数f (x)=Jx 2

-2x+5是初等函数，f(x)在点x=0有定义，所以

lim J x 2

—2x+5=f (O)=JO 2

-2 0+ 5 =亦. x —^

⑵因为函数f(x)=(sin 2x)3

是初等函数,f(x)在点

lim (sin2x)3

=f (壬)=(sin2 王)3

=1 .

4 4

⑶因为函数f(x)=ln(2cos2x)是初等函数，f(x)在点 兀 兀

lim ln(2cos2x) =f (二)=1 n(2cos2 二)=0. x _^ 6 6

x=—有定义，所以

4

x=-有定义，所以

6

⑷ lim^xF —Jlim W x 比-心上十1

^ ^30 X X T x(J x +1 +1)

i

f

/u\ r V 5X T-¥X

⑸ l x m 1

X —1 =lim I =lim X T

=1

=lim ................ 一 ___ 一 X T 0

x(J x +1 +1) X T 0

J x +1 +1

J 0+1 +1

2

=lim &5x -4 -以)(J 5x -4 + 寸 X)_li m

4x-4

%x -1)(J 5x -4+以)

(xT)(J5xT +/x)

』5x —4 +7X J 5 1—4+71 2

1

=lim [(l +^x 2 =e 2

=7e . X 1

lim (1 七tan 2

x)cot

^lim 〔(1 +3tan 2

x)

3ta

^x 3 =e 3. x T ^0

6 七-3 x4

厂f 2

.因为

.X —a 丄

sin ---

.. x+a =lim cos --- lim X T 2 T XT

^.cos^a^cosa. 2

(7) lim (J x 2

+ X -J x 2

" = lim

—-be :- -」 (J x 2 +x 4x 2 —x)(J x 2 + X +J x 2

—x) I x _j-bc (J x 2

+x + J x 2

—x)

2x

=lim —,

——, =lim - x

4(J x 2

+X &X 2

—X)x *(

=1. 4.求下列极限：

1

(1) lim e x

;

x -^pC

⑵阿I n

SnX

;

1 —

⑶ x i^(七)2

；

⑷lim(1+3ta 门

2

乂广

代

3+x

⑸ xmfc)2

；

s 、J 1 +tan X -山 t sin x ⑹

l

Xm

^ x JZ x —X

1

(1)

i

ime x

lim -

X —

=e

lim In 沁 T X

沁円nin.

X

1 - lim (1+)

2 X 2

)