数值微积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算中的微积分算法
数值计算中的微积分算法在数值计算领域中，微积分算法是非常重要的一部分。
微积分是一个研究函数、极限、连续性、导数和积分等的数学分支。
它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
而在数值计算中，微积分算法的应用更是不可避免。
本文将介绍几种常见的微积分算法及其应用。
一、极限和连续性极限是微积分中最基本的概念之一。
在数值计算中，选择逼近某个固定点的函数值序列来计算极限，是一种常用的求解极限的方法。
例如，要求解 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}$，可以选取一系列 $x$ 的值，让它们逐渐靠近 0，然后计算相应的函数值，最后观察函数值的变化趋势来得到极限的值。
连续性是另一个微积分中重要的概念。
在数值计算中，要保证函数的连续性，可以采用数值微分的方法，例如数值逼近法和差商逼近法。
此外，如果要计算微分方程的解，也必须保证函数的连续性。
在微积分中，连续性和微分方程可以紧密结合，例如欧拉法、龙格-库塔法和梯形法等。
二、导数和积分导数和积分是微积分中最核心的内容之一。
在数值计算中，要计算函数的导数和积分，可以采用微积分的数值逼近方法，例如差商逼近法、辛普森法和梯形法等。
差商逼近法是微积分中一种常用的导数计算方法。
该方法的思路是：将函数的导数近似为两个函数值之比的差。
例如，对函数$f(x)$ 的导数可以表示为：$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$当 $h$ 很小时，上式可以近似为 $f'(x)$ 的值。
在计算过程中，需要注意使用合适的 $h$ 值，以便得到精度较高的结果。
梯形法和辛普森法是微积分中常用的积分计算方法。
在梯形法中，通过将积分区间划分为若干小块，然后分别计算每一块的积分值，最后将它们相加即可得到总积分的值。
在辛普森法中，则是将积分区间划分为若干个小块，并在每个小块上采用二次多项式来逼近积分函数，最后将所有积分区间上的多项式积分相加得到整个积分区间的积分值。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验介绍本次实验是关于数值计算方法的实验，旨在通过计算机模拟的方法，实现对于数值计算方法的掌握。
本次实验主要涉及到的内容包括数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等。
二、实验内容1. 数值微积分数值微积分是通过计算机模拟的方法，实现对于微积分中的积分运算的近似求解。
本次实验中，我们将会使用梯形公式和辛普森公式对于一定区间上的函数进行积分求解，并比较不同公式的计算误差。
2. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算领域中的重要内容。
本次实验中，我们将会使用高斯消元法、LU分解法等方法对于给定的线性方程组进行求解，并通过比较不同方法的计算效率和精度，进一步了解不同方法的优缺点。
3. 插值与拟合插值与拟合是数值计算中的另一个重要内容。
本次实验中，我们将会使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对于给定的数据进行插值求解，并使用最小二乘法对于给定的函数进行拟合求解。
4. 常微分方程的数值解常微分方程的数值解是数值计算中的难点之一。
本次实验中，我们将会使用欧拉法和龙格-库塔法等方法对于给定的常微分方程进行数值解的求解，并比较不同方法的计算精度和效率。
三、实验结果通过本次实验，我们进一步加深了对于数值计算方法的理解和掌握。
在数值微积分方面，我们发现梯形公式和辛普森公式都能够有效地求解积分，但是辛普森公式的计算精度更高。
在线性方程组求解方面，我们发现LU分解法相对于高斯消元法具有更高的计算效率和更好的数值精度。
在插值与拟合方面，我们发现拉格朗日插值法和牛顿插值法都能够有效地进行插值求解，而最小二乘法则可以更好地进行函数拟合求解。
在常微分方程的数值解方面，我们发现欧拉法和龙格-库塔法都能够有效地进行数值解的求解，但是龙格-库塔法的数值精度更高。
四、实验总结本次实验通过对于数值计算方法的模拟实现，进一步加深了我们对于数值计算方法的理解和掌握。
在实验过程中，我们了解了数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等多个方面的内容，在实践中进一步明确了不同方法的特点和优缺点，并可以通过比较不同方法的计算效率和数值精度来选择合适的数值计算方法。
第4节 数值微分
对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。
数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。
它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。
数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。
数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。
数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。
数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。
数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。
数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。
数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。
线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。
数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。
数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。
非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。
微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。
数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。
比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。
在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。
在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。
在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。
数值计算微积分
张建瓴
§13.1 数值积分
一、数值积分方法
在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近 曲线下面的面积，这就是积分问题。
典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。
dblquad函数的参数
输入参数inmin，inmax是内变量的下限和上限； outmin、outmax是外变量的下限和上限； tol的含义与命令quad中的情况相同； method是积分方法选项，如“quad”和“quad8”等。 注意： 该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。
〖例13-6〗 example13_6.m
quad和quad8的参数
tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差， 第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为 0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的 整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的， 而后面的输入参数可缺省。
求积分上下限都为常数的二重积分，被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y)，其中x的取值范围是π到2π，y的 取值范围是0到π。 （1）建立名为integrnd的M文件
fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) （2）用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi)3-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准 确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯 形，我们得到如下（如图13-2）所示的更好的近似结果。
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律。
在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而数值微分则是一种通过数值计算来近似求解导数的方法。
本文将介绍一阶导数的五点数值微分公式及外推算法。
一、五点数值微分公式五点数值微分公式是一种通过函数在某一点及其周围四个点的函数值来近似求解导数的方法。
具体公式如下：$f'(x_0) \approx \frac{-25f(x_0)+48f(x_0+h)-36f(x_0+2h)+16f(x_0+3h)-3f(x_0+4h)}{12h}$其中，$h$为步长，$x_0$为求解导数的点。
这个公式的精度比较高，误差为$O(h^4)$，但是计算量比较大，需要计算五个点的函数值。
二、外推算法外推算法是一种通过不断增加步长来提高数值微分精度的方法。
具体步骤如下：1. 用五点数值微分公式计算出$f'(x_0)$的近似值。
2. 将步长缩小一半，再次用五点数值微分公式计算$f'(x_0)$的近似值。
3. 用第一步和第二步的结果计算外推值：$T_1=\frac{2^4f'(x_0,h/2)-f'(x_0,h)}{2^4-1}$其中，$f'(x_0,h/2)$为第二步计算的近似值。
4. 将步长再次缩小一半，用五点数值微分公式计算$f'(x_0)$的近似值。
5. 用第二步和第四步的结果计算外推值：$T_2=\frac{2^4T_1-T_0}{2^4-1}$其中，$T_0$为第一步计算的外推值。
6. 重复以上步骤，直到外推值的误差满足要求。
外推算法的优点是可以通过不断增加步长来提高精度，而且计算量比较小。
但是需要注意的是，步长不能太小，否则会出现截断误差。
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法是一种比较精确的数值微分方法，可以在实际计算中得到广泛应用。
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f(x ) dx a
b
F(b ) F(a )
max( xi y j )0
lim 2
2
f(i ,j )xi y j i j
主要内容
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad
18
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为： y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有
x2 x0
f ( x )dx p1 ( x )dx x ( x 2 x )dx
x2
0
x2
x0
x x 2 3 3 2 x ( x2 x0 ) ( x2 x0 ) ( x 2 x0 ) 3 2 3 2 x0 x2 x0 2 2 ( x x ) ( x 0 0 2 x2 ) 6 ( x2 x0 ) 2 2( x2 x0 ) 4
Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内 具有直到n+1阶的导数，
f(x ) f(x 0 ) f '(x 0 )(x x 0 ) f " (x 0 )
2 (x x 0 )2
( n 1) f (n )(x 0 ) f ( ) n (x x 0 ) ( x 0 )n 1 n! (n 1)!
3 2
x2
x2 x0 ba (y0 4y1 y2 ) (y0 4 y1 y2 ) 6 6n
19
抛物线法
同理可得：
x4 x2
ba f ( x )dx ( y2 4 y3 y4 ) 6n ba f ( x )dx ( y2 n 2 4 y2 n1 y2 n ) 6n
左点法
右点法
中点法
10
矩形法
x1 x0
步长
xi x i 1 xi
b
a
f ( x )dx f ( i )xi
i 1
n
x2 x1 x2
xn
xn1
xn
节点
b a x a ih, i 1, 2, xi h i n
n n
n
b
a
b
f ( x )dx f ( xi -1 )xi h f ( xi 1 )
抛物线法公式 或
辛卜生 (Simpson) 公式
fuluC.m
21
抛物线法
例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差
dx I 0 1 x2
1
解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 1 dx ba [ y0 y2 n 4( y1 y3 y2 n1 ) ==> 0 2 1 x 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
'
0x x 0 y y0
4 . 积分 函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为
f(x ) dx a
b
max( x i )0
lim
f(i )x i i
1
n
其中 a=x0<x1<…<xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,…,n 若在[a,b]上, F’(x)=f(x), 则 二重积分定义为
不同的算法有不同的计算精度
有没有更好的近似计算定积分的方法 ?
13
定积分几何意义
y
f ( x)
S1 S2
S )dx a f ( x
Si
b
Sn
S f ( x )dx Si
b a i 1
n
o a
xi 1 xi
b
x
14
梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似
1
0.78539399673078
yn yn1 2
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
17
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
ba h1 , xi ih1 , i 0,1, 2n , 2n
yi 1 yi Si xi yi f ( xi ), i 1, 2, 2
整个曲边梯形的面积：
,n
S f ( x )dx
b
Si
i 1 n
a n
Si
i 1
yi 1 yi xi 2
15
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令： b a x1 x2 xn h n 则 S
16
梯形法举例
例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差
dx I 0 1 x2
1
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
y dx 0 ==> h y1 0 1 x 2 2
i
9
矩形法
定积分的近似：
b
a
f ( x )dx f ( i )xi
i 1
n
n 充分大，x 充分小
通常我们取
x1 x2
xn
ba h n
点 i [ xi 1 , xi ] 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 xi 1 , 右端点 xi 和中点 ( xi 1 xi ) / 2 。
2
预备知识：微积分 1.极限和连续 数列极限: >0, N>0 ，使当n>N时 有xn -a<，则 lim xn a n 函数极限: 如果当xx0时有f(x) A， lim f(x ) A 则 x x 连续: 如果当xx0时，有f(x) f(x0) 则称 f(x)在x0连续。 闭区间上连续函数必有最大值和最小值。
(i = 0, 1, 2, ..., 100)
12
矩形法举例
相对误差分析
1
dx arctan x 理论值：0 2 1 x
左点法相对误差：
1 0
π 4
0.78789399673078 / 4 0.003178 /4 0.78289399673078 / 4 右点法相对误差： 0.003188 /4 中点法相对误差： 0.78540024673078 / 4 2.653 10-6 /4
n
n
a
b
a
y f ( x )dx h 0 y1 2
矩形法举例
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )，
并比较这三种方法的相对误差。
dx I 0 1 x2
1
解：a=0, b=1, n=100
1 nLeabharlann h =1/n=0.01, xi = i*h,
dx h f ( xi 1 ) 0.78789399673078 左点法： 0 2 1 x i 1 n 1 dx h f ( xi ) 0.78289399673078 右点法：0 2 1 x i 1 n 1 dx xi 1 xi 中点法： f( ) 0.78540024673078 0 1 x 2 h 2 i 1
0.78539816339745
相对误差：0.78539816339745 / 4
/4
2.827 10
-16
22
Matlab 函数
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad
符号积分函数：int
y y 0
若 A=f(x0,y0), 称f(x,y)在(x0,y0) 点连续 f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为
f(x 0 x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ) fx(x 0 ,y 0 ) lim x 0 x f(x 0 ,y 0 y ) f(x 0 ,y 0 ) ' fy(x 0 ,y 0 ) lim y 0 y
n x2 i x2 i 2
x2 n x2 n 2
相加即得：
b
a
f ( x )dx
i 1 n
f ( x )dx
ba ( y2 i 2 4 y2 i 1 y2 i ) i 1 6 n
20
抛物线法
整理后可得：
b a
ba f ( x )dx [ y0 y2 n 4( y1 y3 y2 n1 ) 6n 2( y2 y4 y2 n 2 )]
0
2. 微分与导数 函数f(x)在点x = x0的导数为
f(x 0 h ) f(x 0 ) f '(x 0 ) lim h 0 h
若f(x)在x0可导则在x0可微，dy = Adx 当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的； 当f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的； 当f’(x0)=0, x0为驻点, 若x0为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则 f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）
符号积分函数：int
8
矩形法
矩形法