数值微积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算中的微积分算法
数值计算中的微积分算法在数值计算领域中，微积分算法是非常重要的一部分。
微积分是一个研究函数、极限、连续性、导数和积分等的数学分支。
它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
而在数值计算中，微积分算法的应用更是不可避免。
本文将介绍几种常见的微积分算法及其应用。
一、极限和连续性极限是微积分中最基本的概念之一。
在数值计算中，选择逼近某个固定点的函数值序列来计算极限，是一种常用的求解极限的方法。
例如，要求解 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}$，可以选取一系列 $x$ 的值，让它们逐渐靠近 0，然后计算相应的函数值，最后观察函数值的变化趋势来得到极限的值。
连续性是另一个微积分中重要的概念。
在数值计算中，要保证函数的连续性，可以采用数值微分的方法，例如数值逼近法和差商逼近法。
此外，如果要计算微分方程的解，也必须保证函数的连续性。
在微积分中，连续性和微分方程可以紧密结合，例如欧拉法、龙格-库塔法和梯形法等。
二、导数和积分导数和积分是微积分中最核心的内容之一。
在数值计算中，要计算函数的导数和积分，可以采用微积分的数值逼近方法，例如差商逼近法、辛普森法和梯形法等。
差商逼近法是微积分中一种常用的导数计算方法。
该方法的思路是：将函数的导数近似为两个函数值之比的差。
例如，对函数$f(x)$ 的导数可以表示为：$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$当 $h$ 很小时，上式可以近似为 $f'(x)$ 的值。
在计算过程中，需要注意使用合适的 $h$ 值，以便得到精度较高的结果。
梯形法和辛普森法是微积分中常用的积分计算方法。
在梯形法中，通过将积分区间划分为若干小块，然后分别计算每一块的积分值，最后将它们相加即可得到总积分的值。
在辛普森法中，则是将积分区间划分为若干个小块，并在每个小块上采用二次多项式来逼近积分函数，最后将所有积分区间上的多项式积分相加得到整个积分区间的积分值。
数值计算方法实验报告
数值计算方法实验报告一、实验介绍本次实验是关于数值计算方法的实验，旨在通过计算机模拟的方法，实现对于数值计算方法的掌握。
本次实验主要涉及到的内容包括数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等。
二、实验内容1. 数值微积分数值微积分是通过计算机模拟的方法，实现对于微积分中的积分运算的近似求解。
本次实验中，我们将会使用梯形公式和辛普森公式对于一定区间上的函数进行积分求解，并比较不同公式的计算误差。
2. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算领域中的重要内容。
本次实验中，我们将会使用高斯消元法、LU分解法等方法对于给定的线性方程组进行求解，并通过比较不同方法的计算效率和精度，进一步了解不同方法的优缺点。
3. 插值与拟合插值与拟合是数值计算中的另一个重要内容。
本次实验中，我们将会使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对于给定的数据进行插值求解，并使用最小二乘法对于给定的函数进行拟合求解。
4. 常微分方程的数值解常微分方程的数值解是数值计算中的难点之一。
本次实验中，我们将会使用欧拉法和龙格-库塔法等方法对于给定的常微分方程进行数值解的求解，并比较不同方法的计算精度和效率。
三、实验结果通过本次实验，我们进一步加深了对于数值计算方法的理解和掌握。
在数值微积分方面，我们发现梯形公式和辛普森公式都能够有效地求解积分，但是辛普森公式的计算精度更高。
在线性方程组求解方面，我们发现LU分解法相对于高斯消元法具有更高的计算效率和更好的数值精度。
在插值与拟合方面，我们发现拉格朗日插值法和牛顿插值法都能够有效地进行插值求解，而最小二乘法则可以更好地进行函数拟合求解。
在常微分方程的数值解方面，我们发现欧拉法和龙格-库塔法都能够有效地进行数值解的求解，但是龙格-库塔法的数值精度更高。
四、实验总结本次实验通过对于数值计算方法的模拟实现，进一步加深了我们对于数值计算方法的理解和掌握。
在实验过程中，我们了解了数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等多个方面的内容，在实践中进一步明确了不同方法的特点和优缺点，并可以通过比较不同方法的计算效率和数值精度来选择合适的数值计算方法。
第4节 数值微分
对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h
c++ 微积分
在C++中实现微积分运算通常涉及到数值方法，因为解析解往往只对特定类型的函数存在。
以下是几种在C++中实现微积分的基本方法：1. 数值微分（Derivatives）：数值微分是通过函数在某点附近的值来估计导数。
最简单的方法是使用前向差分、后向差分或中心差分公式。
中心差分公式：```cppdouble derivative(double (*f)(double), double x, double h = 1e-5) {return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);}```2. 数值积分（Integrals）：数值积分是通过数值方法来估计一个函数的积分。
常见的数值积分方法包括梯形规则和辛普森规则。
梯形规则：```cppdouble trapezoidalRule(double (*f)(double), double a, double b, int n) {double h = (b - a) / n;double sum = 0.5 * (f(a) + f(b));for (int i = 1; i < n; ++i) {sum += f(a + i * h);}return sum * h;}```辛普森规则：```cppdouble simpsonRule(double (*f)(double), double a, double b, int n) { if (n % 2 != 0) n++; // n 必须为偶数double h = (b - a) / n;double sum = f(a) + f(b);for (int i = 1; i < n; i += 2) {sum += 4 * f(a + i * h);}for (int i = 2; i < n - 1; i += 2) {sum += 2 * f(a + i * h);}return sum * h / 3;}```请注意，这些方法都有一个参数 `h` 或 `n`，这是用来控制数值方法的精度的。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。
数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。
它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。
数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。
数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。
数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。
数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。
数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。
数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。
数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。
线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。
数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。
数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。
非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。
微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。
数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。
比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。
在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。
在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。
在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律。
在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而数值微分则是一种通过数值计算来近似求解导数的方法。
本文将介绍一阶导数的五点数值微分公式及外推算法。
一、五点数值微分公式五点数值微分公式是一种通过函数在某一点及其周围四个点的函数值来近似求解导数的方法。
具体公式如下：$f'(x_0) \approx \frac{-25f(x_0)+48f(x_0+h)-36f(x_0+2h)+16f(x_0+3h)-3f(x_0+4h)}{12h}$其中，$h$为步长，$x_0$为求解导数的点。
这个公式的精度比较高，误差为$O(h^4)$，但是计算量比较大，需要计算五个点的函数值。
二、外推算法外推算法是一种通过不断增加步长来提高数值微分精度的方法。
具体步骤如下：1. 用五点数值微分公式计算出$f'(x_0)$的近似值。
2. 将步长缩小一半，再次用五点数值微分公式计算$f'(x_0)$的近似值。
3. 用第一步和第二步的结果计算外推值：$T_1=\frac{2^4f'(x_0,h/2)-f'(x_0,h)}{2^4-1}$其中，$f'(x_0,h/2)$为第二步计算的近似值。
4. 将步长再次缩小一半，用五点数值微分公式计算$f'(x_0)$的近似值。
5. 用第二步和第四步的结果计算外推值：$T_2=\frac{2^4T_1-T_0}{2^4-1}$其中，$T_0$为第一步计算的外推值。
6. 重复以上步骤，直到外推值的误差满足要求。
外推算法的优点是可以通过不断增加步长来提高精度，而且计算量比较小。
但是需要注意的是，步长不能太小，否则会出现截断误差。
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法是一种比较精确的数值微分方法，可以在实际计算中得到广泛应用。
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
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Rn h
f
k 1
n
k
输入数组x(即fk),输出x的和(数) 输入数组x,输出x的依次累加和(数组)
Tn h
n 1
k 1
fk
h ( f0 f n ) 2
trapz(x) 输入数组x,输出按梯形公式x的积分(单位步长)
trapz(x,y) 输入同长度数组 x,y,输出按梯形公式 y对x的积分(步长不一定相等)
ba 因为n h
h2 R( f , Tn ) M 2 (b a ) 12
辛普森公式 的误差估计
即梯形公式Tn的 (5) 误差是h2阶的
(6)
h4 R( f , S n ) M 4 (b a) 180
其中 M 4 max f (4) ( x) , x (a, b)
即辛普森公式Sn的 误差是h4阶的。
• 通过实例学习用数值积(微)分解决实际问题 内 容
1. 分别用梯形（trapz）、辛普森（quad）求下 列函数在指定区间的积分
ye
L 4
2 0
3 x
sin 2 x, 1 x 3.
2 2 2 2
7782.5 sin t 7721.5 cos tdt
16
二、（计算瑞士国土面积的近似值）对瑞士地图（图 上18mm=实际40km)作如下测量：以西向东方向为x轴， 南向北方向为y轴，并选取方便的原点。将从最西端 的边界点到最东边的边界点在x轴上的区间划分成若 干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点 y1 , y2 的坐标 ，得到下表：
140 120
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
17
x y1 y2 x y1 y2 x y1 y2
7.0 44 44 61.0 36
10.5 13.0 45 59 47 70
17.5 50 72 80.5 45
34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 50 93 91 46 38 100 96 43 30 110 101 37 30 34
h2 f (a h) f (a) hf (a) f (a) O(h3 ) 2 三个公式代入可知,前(后)差公式的 误差为O(h), 中点公式误差为O(h2)
数值微分的常用公式
区间(a,b)n等分,y=f(x)在分点处数值为(xk,yk), a=x0<x1<…<xn=b, h=(b-a)/n
110 110 104 106.5 33 28
68.5 76.5 34 41
117
118 116
118
118
121
146 50
124
150 66
121 121
157 158 66 68
111.5 118 123.5 136.5 142 32 65 55 54 52
121
122 116
83
81
82
86
13
-------------h------------- df------------exact_df
[ 1., [ .12500000, [ .15625000e-1, [ .19531250e-2, [ .24414063e-3, [ .30517578e-4, [ .38146973e-5, [ .47683716e-6, [ .59604645e-7, [ .74505806e-8, [ .93132257e-9, [ .11641532e-9, [ .14551915e-10, .36602540, .35372632, .35355609, .35355343, .35355339, .35355339, .35355339, .35355339, .35355339, .35355340, .35355341, .35355282, .35355377, .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340] .35355340]
85
68
18
练习三
已知20世纪美国人口的统计数据为(单位：百万)
年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 假设美国人口的增长规律可用Logisitic模型描述 试估计参数 r , xm
11
数值微分的常用公式
yk 1 yk 1 f ( xk ) , k 1, 2, 2h n 1
y1 y0 f ( x0 ) h yn yn 1 f ( xn ) h
问题
3 y0 4 y1 y2 f ( x0 ) 2h
yn 2 4 yn 1 3 yn f ( xn ) 2h
A T B
f (a h) f (a) 前差 f (a) 公式 h f (a) f (a h) f (a) h
后差 公式
C
0
a-h
a
a+h
x
f (a h) f (a h) f (a) 2h
最常用的中点公式
10
数值微分
误差估计
将f (a h)在点a作Taylor 展开
8
数 值 微 分 实 例 人 口 增 长 率
已知20世纪美国人口的统计数据为(单位：百万)
年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
quad8(‘fun’,a,b,tol)
用辛普森(8阶)公式计算
7
用MATLAB 作数值积分
例. 计算 1）矩形公式和梯形公式
2 sin xdx 0
shiyan311.m shiyan312.m
将(0,pi/2)10等分,步长h=pi/20 2）辛普森公式 精确、方便
无法计算用数值给出的函数的积分
4
梯形公式和辛普森公式的收敛性
若对I某个数值积分In有
n h p
lim
I In
c（非零常数）
则称 In是 p 阶收敛的。
梯形公式 2 阶收敛，辛普森公式 4 阶收敛。
5
用MATLAB 作数值积分
矩形 公式 Sum(x) cusum(x) 梯形 公式
Ln h
f
k 0
n 1
k
dx x rx(1 ) dt xm
19
数值积分与微分
1
数值积分
1.从矩形公式到梯形公式
a x0 x1 xk xn b, ba h , f k f ( xk ) n
Ln h
f
k 0
n 1
k
(1) Rn h
f
k 1
n
k
( 2)
Ln , Rn 平均，得到
梯形公式
Tn h
k 1
n 1
r0 ~ r9(%)的计算结果为
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980
0.011 0.166 0.147 0.102 0.104 0.158 0.149 0.116 0.009
15
上 机
目 的 • 用 MATLAB 掌握梯形公式、辛普森公式、 计算数值积分；
6
用MATLAB 作数值积分
辛普森公式
Sn h ( f 0 f 2m 4 3
m 1 k 0 m 1 k 1
f 2k 1 2f 2k ), Nhomakorabeah
ba 2m
quad(‘fun’,a,b,tol)
用辛普森(2阶)公式计算以 fun.m 命名的函数在 (a, b) 上的积分 tol为相对误差，缺省时为10-3
对k求和，得辛普森公式：
h S m ( f 0 f 2m 4 3
k 0
m 1
f 2k 1 2
k 1
m 1
ba f 2k ), h (4) 2m
3
梯形公式 的误差
h R ( f , Tn ) 12
3 n 1
k 0
f ( k )
估计 M 2 max f ( x) , x (a, b)
h f k ( f0 f n ) 2
(3)
2
2.辛普森(Simpson)公式（抛物线公式）
用( x2k , f 2k ), ( x2k 1 , f 2k 1 ), ( x2k 2 , f 2k 2 )构造
二次函数sk(x)
x2 k 2 h sk ( x)dx ( f 2k 4 f 2k 1 f 2k 2 ) 3 x2 k
以上3式称三点公式，误差为O(h2) 是不是步长 h 越小，结果越好？
12
例 设f ( x)
x，求f (2).
用f (2)
2h 2h 计算，对不同的 h有 2h
clear; for n = 1:1:13 h(n) = 1/8^(n-1); df(n) = (sqrt(2+h(n))-sqrt(2-h(n)))/2/h(n); exact_df(n) = 1/2/sqrt(2); end '-------------h------------- df------------exact_df' vpa([h',df',exact_df'],8)