专题训练：直角三角形
直角三角形专题训练SSS
直角三角形专题训练SSS什么是直角三角形？直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度是90度。
直角三角形的特点是其中两条边相互垂直，我们称这两条边为直角边，而第三条边则称为斜边。
直角三角形的边长关系直角三角形的边长关系可以通过SSS（Side-Side-Side）法则来描述。
SSS法则指出，如果我们知道直角三角形的三条边的长度，我们就可以确定这个三角形的形状。
直角三角形训练题以下是一些直角三角形训练题，让我们来测试一下你对SSS法则的理解：1.若一个直角三角形的直角边长分别为3cm、4cm，求其斜边长。
2.若一个直角三角形的直角边长分别为5cm、12cm，求其斜边长。
3.若一个直角三角形的斜边长为13cm，直角边长分别为5cm 和xcm，求x的值。
4.若一个直角三角形的斜边长为10cm，直角边长分别为xcm 和6cm，求x的值。
5.若一个直角三角形的斜边长为15cm，直角边长分别为xcm 和x+5cm，求x的值。
请你通过使用SSS法则，解答以上训练题。
加油！答案解析1.使用勾股定理计算斜边长：斜边长= √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
2.使用勾股定理计算斜边长：斜边长= √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13cm。
3.使用勾股定理计算直角边长：x = √(13^2 - 5^2) = √(169 - 25) = √144 = 12cm。
4.使用勾股定理计算直角边长：x = √(10^2 - 6^2) = √(100 - 36) = √64 = 8cm。
5.使用勾股定理计算直角边长：x = √(15^2 - (x+5)^2)。
将直角边长代入方程，得到：225 = x^2 - (x+5)^2.化简方程：225 = x^2 - (x^2 + 10x + 25)。
移项并合并同类项：0 = -10x - x^2 - 200.移项并整理方程为标准形式：x^2 + 10x + 200 = 0.由于此方程无实数解，因此无法确定x的值。
中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类附答案解析
中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类附答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=2．∴AP+BP的最小值是22（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．4．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF V 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴= 在Rt CEF V 中，30ECF ∠=︒tan EFECF CF∴∠= 312EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.5．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°333在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=32×33=92.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M 为A 'B '的中点，即可得出∠A =∠A 'CM ，进而得到PB 32=BC 32=，依据tan ∠Q =tan ∠A 3=，即可得到BQ =BC 3⨯=2，进而得出PQ =PB +BQ 72=； （3）依据S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，即可得到S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ，利用几何法即可得到S △PCQ 的最小值=3，即可得到结论． 【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2． ∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=．∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 32=，∴PB 32=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC ＝2x ， ∵BC ＝2+1，∴x+x ＝2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC 22AB BC +2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC 22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH 2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22+．． ∴PE+PF 22+【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°．位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•tan68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG．（Ⅰ）如图①，求OD的长及ABBG的值；（Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′．①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小；②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为2+2，此时α=315°，F′（12+2，12﹣2）【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°,BG′=2AB,可知sin∠AG′B=12ABBG,推出∠AG′B=30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A、B、F′在一条直线上时,AF′的长最大.【详解】（Ⅰ）如图1中，∵A（0，1），∴OA=1，∵四边形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=，∵BD=DG，∴BG=，∴==．（Ⅱ）①如图2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋转角α=30°，根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°，综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．②如图3中，连接OF，∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为∴BF′=2，∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣）【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用．12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）．（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求222AFFC BFAF FC+-⋅的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．【答案】（1）①120°；②1；（2）当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．【解析】【分析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG 是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH3，GH=12y，从而有FH=x﹣12y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【详解】（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2．∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°，∴∠GBH=30°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，GH=12y，BH=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣12y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=y）2+（x﹣12y）2=x2﹣xy+y2，∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+（）=1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6，∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=12BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×2当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C；∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第（2）小题的关键．。
解直角三角形专题训练(二)
， ， ，， ，， ，，
，
６ ３
１． ０ 已知 ， Ｂ两点 ，若 点 Ａ 对点 Ｂ的仰 角 为 ０ 那么 Ｂ对 Ａ 的俯 角是 （ ，
Ａ． Ｃ． ２
不 锈 钢架 杆 Ａ 和 Ｂ （ 子 的底 端分 别 Ｄ Ｃ 杆
为 Ｄ， ， ／Ｄ ＝ ６ ５． Ｃ）且 ＡＢ ６ ． 。
的相 关部 分
２ ８ 【Ａ Ｏ ６ １ ｌ
ｌ ２ ３
１２４１２４ ３ Ｉ。． ５． ７ ２ ５ ６ ２５１２４． ５ ４． １ ６
９
（ ４图 ， Ｃ是 河 岸 边 两 点 ， 是 对 岸 边 一 ． Ｂ， Ａ 点， 测得 Ｂ ＝ ５ ， ＡＣ ＝ ５ ， Ｃ ６ Ｃ ４。 Ｂ ４ 。Ｂ ＝ ０ｍ， 则点 到岸边 Ｃ的距 离是 — — ｍ．
） ．
Ｂ． ０。 ９ 一 Ｄ． ８ 。 １ ０ －０
（） １ 求点 Ｄ与 点 Ｃ的高 度差 Ｄ Ｈ．
（） ２ 求所 用 不锈 钢材料 的 总长 度 ｌ 即 Ａ （ Ｄ＋
１ ． 午 ９时 ， 上 １ 一条 船从 Ａ 处 出发 ， 以每 小 时 ４ ０海 里 的 速 度 向正 东 方 向 航 行 ， ９时 ３ ０ 分 到达 处 ． 图 ， Ａ， 如 从 Ｂ两 处 分别 测得 小 岛 在北 偏 东 ４ 。 ５ 和北偏 东 １ 。 向 ， ５方 那 么 处船 与小 岛 的距离 为 （
ＰＤ＝ ＰＥ．
Ｃ Ｃ Ｓ ０ Ｃ Ｓ ｓ ０ ｓｎＢ ． Ｏ 。Ｏ ６ Ｂ＋ ｉ ６ 。 ｉ ｎ
Ｄ． Ｏ ０ Ｃ ＳＢ＋ ｉ ０。ｉ ￣ ８６ 。 Ｏ ｓｎ ３ ｓｎ Ｂ
１． 图． ３如 为测河 两 岸相对 两抽 水泵 Ａ， 的距 Ｂ
离， 在距 Ｂ 点 ３ 的 Ｃ处 （ Ｃｊ ０ｍ Ｂ ＿ ） 测 ， 得 ／Ｂ Ａ＝ ５ ， Ａ， 间的距 离为 （ ＿ Ｃ ５ 。则
【精编版】中考数学专题训练——解直角三角形
中考专题训练——解直角三角形1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．参考答案与试题解析1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．【分析】根据已知可得OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC＝2，利用锐角三角函数的定义求出∠OBC＝60°，然后在Rt△BAC中，利用含30度角的直角三角形求出AC＝4，再利用平角定义求出∠1＝30°，从而可得AC∥x轴，即可解答．【解答】解：如图：∵点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），∴OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，∴cos∠OBC＝＝，∴∠OBC＝60°，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝4，∵∠1＝180°﹣∠OBC﹣∠ABC＝30°，∴∠A＝∠1＝30°，∴AC∥x轴，∴点A的坐标为（4，）．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．【分析】（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，利用勾股定理可求解AB，BD 的长，通过解直角三角形可求解AM的长，再由勾股定理可求解DM的长，利用解直角三角形可求解；（2）过F作FN⊥BD于N，通过△DCF≌△DNF可得DN＝3，CF＝NF，BN＝2，再由勾股定理可求解CF，DF的长，证明△DCF∽△DGB列比例式可求解．【解答】解：（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∴AB＝，∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝3，∴BD＝，∵∠C＝∠AMD＝90°，∴cos∠A＝，即，解得AM＝，∴DM＝，∴sin∠ABD＝；（2）过F作FN⊥BD于N，∵DG平分∠BDC，∠C＝90°，∴∠CDF＝∠BDF，∠C＝∠DNF＝90°，在△DCF和△DNF中，∴△DCF≌△DNF（AAS），∴DC＝DN＝3，CF＝NF，∴BN＝BD﹣DN＝5﹣3＝2，在Rt△BFN中，BN2+FN2＝BF2，即22+CF2＝（4﹣CF）2，解得CF＝，∴DF＝，∵BG⊥DG，∴∠C＝∠BGD＝90°，∴△DCF∽△DGB，∴，即，解得BG＝．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出∠A的正弦；（2）过点E作EG⊥BD，在直角三角形ABF中先求出∠ABF的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、∠ABF与∠FBC的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．【解答】解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．在Rt△ABF中，BF＝＝12．∴sin A＝＝．（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，∴EF＝EG．在Rt△ABF中，∵sin∠ABF＝＝，在Rt△EBG中，∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，∴13EF＝5×12+5EF．∴8EF＝60．∴EF＝．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝BD＝BC，从而可得∠B＝∠DAB，进而可得∠ADE＝∠BAD，即可解答；（2）过点E作EF⊥CD垂足为F，设DE与AC交于点G，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD＝BC，再利用（1）的结论可得∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，从而可得DG是AC的垂直平分线，进而可得ED＝EC，然后利用等腰三角形的性质可证cos∠ECD＝＝＝，即可解答．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB；（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G，∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，∴DG是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵EA＝ED，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵EF⊥CD，∴CF＝CD，∴∠ECD＝∠B，∵cos B＝，∴cos∠ECD＝，在Rt△EFC中，cos∠ECD＝＝＝，∴CE＝2CD，∴CD＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【分析】（1）由tan B＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB＝＝10；（2）作DE⊥AB于点E，由tan B＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），∴DE＝3a＝，∵AD＝＝6，∴sin∠BAD＝＝．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH＝BC ＝2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH＝＝，根据三角形内角和定理求出∠BAH＝∠D＝90°﹣∠B，则sin∠D＝sin∠BAH＝；（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD＝＝9，则CD＝BD ﹣BC＝5．再解直角△MCD，求出CM＝，即点C到DE的距离为．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．∵AB＝AC，BC＝4，∴BH＝BC＝2．∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6，∴sin∠BAH＝＝＝，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BED＝90°，BE＝3，∴∠BED＝∠BHA，又∵∠B＝∠B，∴∠BAH＝∠D，∴sin∠D＝sin∠BAH＝，即∠D的正弦值为；（2）过点C作CM⊥DE于点M．∵在△BED中，∠BED＝90°，sin∠D＝，BE＝3，∴BD＝＝9，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5．∵在△MCD中，∠CMD＝90°，sin∠D＝＝，∴CM＝CD＝，即点C到DE的距离为．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．在Rt△BED中，∵cos∠ABC＝，∴BE＝cos45°•3＝•3＝3．（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．∴∠EDB＝45°．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB＝＝，∴AD＝5．∴AE＝＝4．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴S△ABD＝AB•DE＝．∵AD是BC边上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．【分析】（1）延长CD，BA，它们相交于点E，得到直角三角形BCE，利用tan B＝，设CE＝4k，则BC＝3k，利用勾股定理求得BE；在Rt△BCE中，用正弦，余弦的定义，结论可求；（2）利用DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，得到∠ADE＝∠CBE，在Rt△ADE中求得线段DE，利用tan B＝，求得线段BC，在Rt△BCD中，用勾股定理，BD可求．【解答】解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，∵DC⊥BC于点C，∴∠BCE＝90°．∵tan B＝，tan B＝，∴．设CE＝4k，则BC＝3k．∴BE＝．∴cos B＝．sin B＝．（2）如下图：∵DA⊥BA于点A，∴∠E+∠ADE＝90°．∵DC⊥BC于点C，∴∠E+∠CBE＝90°．∴∠ADE＝∠CBE．∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．∵cos∠ADE＝，∴．∵AD＝3，∴DE＝5．∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，∴．∴BC＝9．∴BD＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．【分析】（1）通过已知条件推出∠EBD＝∠ABC，即可通过求∠ABC的正弦值求出∠EBD 的正弦值；（2）过点C作CF⊥AB于点F，利用cos∠CAF＝cos∠CAB求出AF的长，结合等腰三角形性质即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠ABC，∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，∴AF＝1，又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，∴AD＝2AF＝2．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝，∴＝，∴AB＝10，∴BC＝＝8，又∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，∴，∴CE＝；（2）作EF⊥AB交AB于F，由（1）知CE＝，则BE＝8﹣＝，DE＝＝，设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，解得x＝，∴EF2＝（）2﹣（）2＝，EF＝，∴sin∠BDE＝＝．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．【分析】（1）过D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，先求BE，再用相似三角形性质得到答案．【解答】解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，∴∠BAC＝30°，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝，∴BD＝＝，Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝，Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，∴△BCD∽△AHD，∴，∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，∴，解得AH＝，HD＝，∵∠AEB＝∠BAC＝30°，∴HE＝＝，∴BE＝BD+DH+HE＝，∵EG∥AC，∴∠BDC＝∠BEG，而∠CBD＝∠GBE，∴△CBD∽△GBE，∴，即，∴EG＝．方法二：过E作EG⊥BC于G，∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，∴△ABD∽△ABE，∴＝，即，∴BE＝，∵DC⊥BC，EG⊥BG，∴DC∥BG，∴，即＝，∴EG＝，∴点E到直线BC的距离为．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．【分析】（1）根据sin B＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴tan∠ACB＝＝．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【分析】（1）由三角函数定义求出CD＝5，由勾股定理得出AD＝12，AE：ED＝7：5，求出ED＝5，由三角函数定义即可得出答案；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，求出BD＝BC﹣CD＝3，由平行线分线段成比例定理得，＝，得出AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵AE：ED＝7：5，∴ED＝5，∴tan∠DCE＝＝1；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴，＝，∴AF＝FG，设BG＝3x，则FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，∴＝．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．【分析】（1）在直角三角形ABD中，利用边角间关系和勾股定理先求出AB、BD，再求出CD的长；（2）在直角三角形ADC中，利用斜边的中线与斜边的关系，说明∠C与∠EDC的关系，求出∠C的正弦值即得结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC．∴sin B＝＝．∵AD＝12，∴AB＝＝＝15．在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，∴AC＝13．∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C．∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．【解答】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3．∵AB＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DE⊥AB，∴在Rt△DEB中，．∴在Rt△ACB中，，∴（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．∴在Rt△AHE中，，AH＝AE•cos45°＝，∴，∴EH＝AH＝，∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，即∠ACE的余切值是．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH＝BH＝x，根据tan C的值，表示出HC，由BC＝6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tan C的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠B＝45°，设AH＝x，则BH＝x，在Rt△AHC中，tan C＝＝，∴HC＝2x，∵BC＝6，∴x+2x＝6，解得：x＝2，∴AH＝2，∴S△ABC＝•BC•AH＝6；（2）由（1）得AH＝2，CH＝4，在Rt△AHC中，AC＝＝2，∵DE垂直平分AC，∴CD＝AC＝，∵ED⊥AC，∴在Rt△EDC中，tan C＝＝，∴DE＝．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，∵tan58°＝，∴BC＝，在Rt△P AC中，∠P AC＝26.6°，∵tan26.6°＝，∴AC＝，∵AB＝AC﹣BC，∴﹣＝22，解得PC≈16（cm），∴S△P AB＝22×16＝176cm2；（2）如图3，点P即为所求．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到DC的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG＝CD，从而可以求得CG的长；（2）作EF⊥AB于点G，然后根据题意，可以求得EF和AF的长，从而可以得到tan∠BAE的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，∴，∵D是斜边AB上的中点，∴，又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心，∴；（2）∵点E是BC边上的中点，∴，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵在Rt△BEF中，cos B＝，BF＝BE•cos B＝，∴，∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，∴tan∠BAE＝．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题．（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB．②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD，∴＝．（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．【分析】（1）先判断出∠ABD＝∠BAD，进而得出△ABN≌△BAH，即可得出BN＝AH，代换即可得出结论；（2）设出EF＝a，先利用勾股定理求出FC，证明△ABD∽△AFE，得出比例式求出CF 即可建立方程，求出a，利用勾股定理即可求出CE；（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，证明△ABD∽△GCA，列比例式结合平行线分线段成比例定理可得结论．【解答】（1）证明：如图1，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC，∴BN＝BC，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，在△ABN和△BAH中，，∴△ABN≌△BAH（AAS），∴BN＝AH，∴BC＝AH，∴BC＝2AH；（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，∴∠ABD＝∠AFE＝150°，∴△ABD∽△AFE，∴，即，∴＝，设EF＝a，则AF＝a，∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，∴CF＝a，∴6﹣a＝a，∴a＝，∴CE＝EF＝；（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，∴△ABD∽△GCA，∴，即＝，∴CG＝5m2，∵AG∥CE，∴，∴，∴m＝，∴BC＝8m＝．故答案为：．。
专题21 解直角三角形专项训练(原卷版)
专题21 解直角三角形专项训练
1．（2020·上海九年级一模）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）
2．（2020·上海大学附属学校九年级三模）已知：如图，楼顶有一根天线，为了测量楼的高度，在地面上取成一条直线的三点E、D、C，在点C处测得天线顶端A的仰角为60°，从点C走到点D，CD＝6米，从点D处测得天线下端B的仰角为45°．又知A、B、E在一条线上，AB＝25米，求楼高BE．
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专题训练7 直角三角形及等腰三角形中的角度计算
专题训练7 直角三角形及等腰三角形中的角度计算专题训练7: 直角三角形及等腰三角形中的角度计算本文档将介绍如何计算直角三角形中角度的方法，以及等腰三角形中角度的特点和计算方式。
直角三角形中的角度计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
在直角三角形中，我们可以通过已知两个角度或两个边长来计算第三个角度。
1. 已知两个角度：- 如果已知一个角度为90度，另一个角度为30度，我们可以使用直角三角形的性质，将两个已知角度相加，再用90度减去相加后的结果，即可得到第三个角度。
- 示例计算：已知两个角度为90度和30度，第三个角度 = 90度 - 30度 = 60度2. 已知两个边长：- 如果已知两条边分别为3和4，我们可以使用三角形中的三角函数（如正弦、余弦、正切），推算出夹角的值。
- 示例计算：已知两条边长分别为3和4，我们可以通过计算正切值来求得夹角的大小。
夹角的正切值 = 对边长度 ÷临边长度 = 3 ÷ 4 = 0.75。
我们可以使用反正切函数（arctan）来求得夹角的大小。
夹角= arctan(0.75) ≈ 36.87度等腰三角形中的角度计算等腰三角形是指两个边相等的三角形。
在等腰三角形中，角度的特点是底角（两边所夹的角）相等，而顶角（底角的对角）可以通过底角的计算得到。
1. 底角的计算：- 在等腰三角形中，底角等于180度减去顶角的两倍。
- 示例计算：已知顶角为30度，底角 = 180度 - 30度 × 2 = 180度 - 60度 = 120度2. 顶角的计算：- 顶角可以通过底角的计算得到，即顶角 = 180度减去底角的一半。
- 示例计算：已知底角为90度，顶角 = 180度 - 90度 ÷ 2 = 180度 - 45度 = 135度注意：等腰三角形中的角度计算只适用于等腰三角形，其他类型的三角形需要使用其他方法进行计算。
解直角三角形的应用(专题训练)
12mm
l
200mm
B D C
3.某段公路,每前进100m,路面就上升4m,
则路面的坡度为( D )
1 A. 50
1 B. 25
C. 22°
39 D. 156
4.如图所示，是某市的一块三角形空地， 准备在上面种植某种草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价为a元，则购 买这种草皮至少需要( )C A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
5.如图所示, 水坝的横断面是等腰梯形， 斜坡AB的坡度i=1:3, 斜坡AB的水平宽度 BE=3 3 m, AD=2m, 求∠B, 坝高AE及坝 底宽BC.
1, 2 3 2
6.(09吉林)小鹏学完解直角三角形知识后,给 同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长 方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰 好四个顶点都在横格线上,已知=360,求长方 形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题.(精 确到1mm)(参考数据:sin360≈0.60， cos360≈0.80, tan360≈0.75）
4.如图所示,某地下车库的入口处有斜 坡AB, 其坡度i=1:1.5, 且AB=
13 m.
5.如图所示, 一渔船上的渔民在A处看见 灯塔M在北偏东600方向, 这艘渔船以28 海里/时的速度向正东航行, 半小时至B处, 在B处看见灯塔M在北偏东150方向, 此时 灯塔M与渔船的距离是( A )海里 A. 72 B.142 C. 7 D. 14
6.如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水 坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它 的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能 力，现将背水坡改造坡比为1∶1.5的斜 坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法
专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ， 即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)． 设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6， 即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。
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课题：直角三角形
1．了解直角三角形两个锐角的关系．
2．掌握直角三角形的判定．
重点：直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定．
一、情景导入，感受新知
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里往着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．
同学们，你们知道其中的道理吗？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P13，完成下面的内容：
1．直角三角形的两个锐角有什么关系？
2．直角三角形如何表示？
如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE.
(二)阅读教材P14，完成下面的内容：
1．在一个三角形中，若有两个角互余，则这两个角之和为90°，由三角形内角和定理，第三个角的度数为：180°－90°＝90°，所以该三角形为直角三角形．
2．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形．证明：略．
师生活动
①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．
②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．
③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．
三、典例剖析，运用新知 【合作探究】
例1：如图，将两个完全相同的直角三角形叠放，使一个三角形的锐角顶点与另一个三角形的直角顶点重合，另外B ，C ，D 三点在一条直线上．请问：重叠部分的三角形是直角三角形吗？为什么？
解：是直角三角形． 理由如下：
根据题意可知，∠A ＝∠EBD ，∠A ＋∠ACB ＝90°， ∴∠EBD ＋∠ACB ＝90°. ∴∠BFC ＝90°. ∴△BFC 是直角三角形．
例2：根据下列条件，判断△ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A ＝∠B ，∠C ＝40°； (2)∠B ＝∠C ＝30°； (3)∠A ＝75°，∠B ＝15°.
解：(1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∠C ＝40°，∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝180°－∠C
2
＝
180°－40°
2
＝70°，∴△ABC 中的最大角为70°.∴△ABC 是锐角三角形． (2)在△ABC 中，∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－30°－30°＝120°，∴△ABC 中最大角是120°，∴△ABC 是钝角三角形．
(3)在△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－75°－15°＝90°，∴△ABC 中最大角为90°.∴△ABC 是直角三角形．
师生活动
①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑． ②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨． ③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑． 四、课堂小结，回顾新知
1．直角三角形两锐角的关系：__互余__．
2．直角三角形的判定方法：__证明有一个内角为90°__． 五、检测反馈，落实新知
1．如图，直线a ⊥直线c ，若∠1＝70°，则∠2＝( C ) A ．70° B ．110° C ．20° D ．30°
第1题图
第2题图
2．如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1＝40°，则∠2的度数是( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．140°
3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30°. (1)求∠BAE 和∠DAE 的度数．
(2)若∠C －∠B ＝α(∠C ＞∠B)，求∠DAE 的度数．(用含α的代数式表示)
解：(1)如图，∵在△ABC 中，∠B ＝70°，∠C ＝30°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－70°－30°＝80°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝1
2×80°＝40°；∵AD ⊥BC ，∠B ＝70°，∴∠BAD ＝90°－
∠B ＝90°－70°＝20°，∵∠BAE ＝40°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°.
(2)∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝1
2(180°－∠B －∠C)，∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°－∠B ，∴∠DAE ＝
∠BAD －∠BAE ＝(90°－∠B)－12(180°－∠B －∠C)＝12(∠C －∠B)＝1
2
α.
六、课后作业：巩固新知 (见学生用书)。